遼寧省2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題一?選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合S中有10個元素，從S中每次隨機(jī)選取1個元素，取出后還放回到S中，則取5次后所取出的元素有重復(fù)的概率是（保留兩位有效數(shù)字）（）A.0.50 B.0.55C.0.70 D.前三個答案都不對【答案】C【解析】考慮反面，取5次后沒有重復(fù)元素的概率為，于是所求概率為．故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，則，即復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.3.已知圓與圓有且僅有三條公切線，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；圓和圓有且僅有三條公切線，兩圓外切，，即，設(shè)，則，，即，，解得：，的取值范圍為.故選：D.4.如圖，已知正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），，，分別為，，上的點，，，分別記二面角，，的平面角為，，，則（）A.<< B.<<C.<< D.<<【答案】B【解析】設(shè)為三角形中心，過作于，于，于，由平面，得，平面，則平面，又平面，于是是二面角的平面角，因此，同理，，以為原點建立直角坐標(biāo)系，如圖2，不妨設(shè)，則，由，，得，，則直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，于是，，，，，而，，為銳角，所以.故選：B5.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和，且滿足，．設(shè)（非零整數(shù)，），若對任意，有恒成立，則的值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】由，，又，所以，，又，所以，由得（），相減得，，，所以，所以，再相減得，則，而，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項和公差均為1，所以，，對任意，有恒成立，則恒成立，，即，是奇數(shù)時，，，∴，為偶數(shù)時，，，∴，綜上，．又是非零整數(shù)，所以．故選：D.6.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為（）A.2 B.3 C. D.4【答案】B【解析】由于，，成等差數(shù)列，則，由正弦定理可得,故,，由于，因此，故，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號.故選：B.7.平面上有兩組互不重合的點，與，，，.則的范圍為（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時，由題，有，，.得.則在以為圓心，半徑為1的圓上，則在以為圓心，半徑為2的圓上.又，則如下圖所示，即時，取最小值為1；如下圖所示，即時，取最大值為3.則當(dāng)時，的范圍是，驗證選項可排除A，B，C.故選：D8.設(shè)集合，則集合的元素個數(shù)為（）A.1011 B.1012 C.2022 D.2023【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時，，此時；又因為為奇數(shù)，為偶數(shù)，且中的任意兩組角都不關(guān)于對稱，所以的取值各不相同，因此當(dāng)時集合中的取值會隨著的增大而增大，所以當(dāng)時，集合中有1011個元素；當(dāng)時，易知又易知，所以可得.即時的取值與時的取值相同，根據(jù)集合元素的互異性可知，時并沒有增加集合中的元素個數(shù)，當(dāng)時，易知，可得當(dāng)時，集合中的元素個數(shù)只增加了一個0，所以可得集合的元素個數(shù)為個.故選：B.二?選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.半圓形量角器在第一象限內(nèi)，且與軸、軸相切于D、E兩點．設(shè)量角器直徑，圓心為，點為坐標(biāo)系內(nèi)一點．下列選項正確的有（）A.點坐標(biāo)為B.C.D.若最小，則【答案】ACD【解析】由題意得，量角器與軸、軸相切于、兩點，且，則，故A正確；由A可知，，則，則，故B錯誤；記，則C選項，故C正確；設(shè)，則，當(dāng)時，，故D正確；故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.，，，則B.在的展開式中含項的系數(shù)為，則展開式中二項式系數(shù)最大的是第5項C.15人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是D.已知函數(shù)在上的最小值恰為，則所有滿足條件的的積屬于區(qū)間【答案】AD【解析】對于A：令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即；令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即；由誘導(dǎo)公式得，所以，因此；因為，，故只需比較與的大小，由二項式定理得，，所以．綜上，，故A正確；對于B：由可得，當(dāng)，,則，其展開式的通項為，令,得,解得；當(dāng),,則，其展開式的通項為，令，得，解得綜上所述：，所以展開式共有7項，所以展開式中二項式系數(shù)最大項是第4項，故B錯誤；對于C：個人圍坐在圓桌旁從中任取人，他們兩兩互不相鄰，則可先把個人入坐好，再讓其余人插空，共有種不同的圍坐方法，所以所求概率是，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，因為此時的最小值為，所以，即.若，此時能取到最小值，即，代入可得，滿足要求；若取不到最小值，則需滿足，即，在上單調(diào)遞減，所以存在唯一符合題意；所以或者，所以所有滿足條件的的積屬于區(qū)間，故D正確；故選：AD.11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，對于數(shù)列，若，下列說法不正確的是（）A.存在的等比數(shù)列，使得為等比數(shù)列B.，均存在等差數(shù)列，使得為等差數(shù)列C.，均不存在等比數(shù)列，使得為等差數(shù)列D.若存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，且，則的最小值為【答案】ABD【解析】A：若的等比數(shù)列，使，由且，若，則，若，則，則①，不妨令，，則，故，且，僅當(dāng)時等號成立，若，方程①中左式恒大于右式，同理，即，結(jié)論相同，錯；B：若存在等差數(shù)列，使得為等差數(shù)列，則且，所以，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，顯然不滿足，錯；C：若存在等比數(shù)列且公比為，使得為等差數(shù)列，則，不妨設(shè)，，只需，只需，則，令，則，令，則，且，則在上單調(diào)遞增，又，故都有，令，則，即在上單調(diào)遞增，令，且，則，故在上單調(diào)遞減，則，所以無解，對；D：若存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，令，則，所以，而，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最小值不為，錯.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，，公比q是的展開式中的第二項（按x的降冪排列），且為的前n項和，若，則______.（用含n和x的式子表達(dá)）【答案】【解析】由題設(shè)，可得，故，則，由的展開式通項為，，所以其第二項為，故，且，當(dāng)時，，則，即，故，所以；當(dāng)時，，則，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)，其極大值點和極小值點分別為，記點，直線交曲線于點，若存在常數(shù)，使得，則______.【答案】【解析】解：由函數(shù)，可得，令，可得或，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為或，所以直線的方程為，即，由，可得，令，可得，令，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，因為，所以有且僅有2個零點，其中，這表明方程的解集為，即直線與曲線交于另一點，且點的橫坐標(biāo)為，由，即，假設(shè)存在常數(shù)，上的，則，所以，代入，可得，設(shè)函數(shù)，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為，所以，存在唯一的實數(shù)，使得，此時，所以存在常數(shù)，上的，且.14.我們規(guī)定：在四面體中，取其異面的兩條棱的中點連線稱為的一條“內(nèi)棱”，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四面體稱為“垂棱四面體”，如左圖.如右圖，在空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有橢圓，為其下焦點，經(jīng)過的直線與交于兩點，為平面下方一點，若為垂棱四面體，則其外接球表面積是的函數(shù).（1）的定義域是______；（2）的最小值是______.【答案】【解析】如圖，連接，由題知，平行且等于，平行且等于，所以，，故為平行四邊形，所以對角線，則是的中點，同理也是的中點，故“垂棱四面體”的三條內(nèi)棱交于一點，由三條內(nèi)棱兩兩垂直，易知為菱形，則，顯然，故，同理，所以“垂棱四面體”可補(bǔ)為如下圖示的長方體，綜上，題設(shè)右圖可將補(bǔ)成長方體，設(shè)長寬高分別為，則外接球半徑為該長方體的體對角線長的一半，為，所以，顯然，，，則，設(shè)，因直線過橢圓焦點，所以，聯(lián)立，得，則，所以，則，又，，，所以則，即，由為某長方體的三個頂點，結(jié)合題設(shè)新定義，易知中為銳角，所以只需角為銳角，即，則，可得，由，所以最大時，最小，令，則，由在上單調(diào)遞增，故，所以.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，..（1）若平面內(nèi)有一經(jīng)過點的曲線，該曲線上的任一動點都滿足與所成角的大小恰等于與所成角.試判斷曲線的形狀并說明理由；（2）在平面內(nèi)，設(shè)點Q是（1）中的曲線E在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線上的動點，其中G為曲線E和的交點,以B為圓心，為半徑的圓分別與梯形的邊交于兩點.當(dāng)點在曲線段上運(yùn)動時，求四面體體積的取值范圍.解：（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)與所成的角為，則，所以，設(shè)，則，所以，即，化簡得，故曲線是平面ABCD內(nèi)的雙曲線；（2）由（1）知：，設(shè)，則，所以直線CD的方程為：，代入雙曲線方程化簡得，因為直線CD與雙曲線E交于點C，所以，故，則，則，故雙曲線E在直角梯形ABCD內(nèi)部的區(qū)域滿足，設(shè)為雙曲線的動點，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，而要使圓B與AB、BC都有交點，則，故滿足題意的圓的半徑取值范圍是，因為平面DMN，所以P-BMN體積為：，故問題可以轉(zhuǎn)化為研究的面積，且，設(shè)，則，所以，則，所以.16.已知為銳角三角形的三個內(nèi)角，角所對的邊分別為.（1）求證：；（2）若，且，求實數(shù)的取值范圍，使得對任意實數(shù)和任意角，恒有；（3）求的最小值.（1）證明：因為，由，則，故，所以，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，即.由為銳角，則，所以有，同理，，所以，.（2）解：由題意，且，則根據(jù)余弦定理可得，化簡得，由正弦定理得，得，由均為銳角，且，則且，解得，則，令，則，，不等式，即不等式對任意，恒成立.所以對任意恒成立，則，化簡得，則不等式對任意恒成立，其否定為：存在，使不等式.即存在，成立.即關(guān)于的不等式在有解.由可得，且；，且，且當(dāng)時，；又，則要使不等式在有解，則，故當(dāng)，或時，不等式對任意恒成立.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.（3）解：在銳角中，，由，則，令，則，故，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.令，則，令，則，令，解得，則當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在單調(diào)遞增；又，故在有且僅有一個根，設(shè)為，且，發(fā)現(xiàn)，故，故，由，則，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；故，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到最小值，且最小值.此時，綜上可得，的最小值為.17.已知函數(shù)與互為反函數(shù)，若A，兩點在曲線上，，兩點在曲線上，以A，，，四點為頂點構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線垂直，則我們稱這個矩形為與的.“關(guān)聯(lián)矩形”：（1）若函數(shù)冪函數(shù)，且點在圖象上，設(shè).①求曲線在點處的切線方程；②求函數(shù)的極值點；（2）若函數(shù)，且與的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S.證明：.（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）根據(jù)題意可設(shè)，代入可得，即，則，由反函數(shù)的概念知，所以，則，①易知，則曲線在點處的切線方程為：，整理得；②令，即，可知時，，即此時單調(diào)遞增，時，，即此時單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值點為，沒有極小值點；（2）由得其反函數(shù)為，所以和圖象關(guān)于直線對稱，且由其性質(zhì)可知，根據(jù)對稱性可設(shè)關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱，則，設(shè)，其中，則，，因為“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，所以，，所以，由，得，所以，所以由得即.對于函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故即，令，則且，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，因為，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，從而.18.一般地，若兩個橢圓焦點都在x軸或y軸上，長軸相等，其中一個橢圓的短半軸長與另一個橢圓的焦距長相等，則稱兩個橢圓為相關(guān)橢圓.已知橢圓，拋物線與有一個相同的焦點F.過點F作互相垂直的兩條直線l與，直線l與交于點G、B，直線與交于點C、D.（1）求該橢圓的相關(guān)橢圓方程及拋物線的方程（2）四邊形GCBD的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.（3）過橢圓左頂點A且斜率為的直線與橢圓交于點M，與軸交于點，設(shè)點為MA的中點.若軸上存在點，對于任意的，都有（為原點），若，求的值.解：（1）橢圓的焦點在軸上，，設(shè)橢圓方程為，，若橢圓的短半軸長與的焦距長相等，即，此時不合要求，若橢圓的短半軸長與橢圓的焦距長相等，即，解得，滿足要求，故橢圓方程為；橢圓的焦點為，故，解得，故；（2）顯然當(dāng)直線的斜率為0時，直線與拋物線只有1個交點，不合要求，故直線的斜率不為0，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為，中，令得，故，此時，，設(shè)四邊形GCBD的面積為，，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，則，故，故，直線，與橢圓聯(lián)立得，恒成立，設(shè)，則，由弦長公式得，設(shè)四邊形GCBD的面積為，，令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故，故四邊形GCBD的面積存在最小值，最小值為8.（3）由題意得，故直線，聯(lián)立得，設(shè)，則，故，，故，，中，令得，故，，又，設(shè)，故，解得，所以，由得，即，，即，其中，，故，解得，故的值為