遼寧省朝陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省朝陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，所以．故選：B．2.已知，則（）A.9 B.8 C.3 D.1【答案】B【解析】令，則.故選：B.3.某企業(yè)職工有高級職稱的共有15人，現(xiàn)按職稱用分層抽樣的方法抽取30人，有高級職稱的3人，則該企業(yè)職工人數(shù)為（）A.150 B.130 C.120 D.100【答案】A【解析】設(shè)該企業(yè)職工人數(shù)為，由分層抽樣性質(zhì)可得，解得，所以該企業(yè)職工人數(shù)為.故選：A.4.“且”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由“且”，則“且”，故充分性滿足；反之，若“且”，取，顯然成立，但并不滿足“且”，故不滿足必要性.故選：A.5.如圖，四邊形中，為線段的中點，為線段上靠近的一個四等分點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，為線段的中點，則．故選：D．6.某班級從5名同學(xué)中挑出2名同學(xué)進(jìn)行大掃除，若小王和小張在這5名同學(xué)之中，則小王和小張都沒有被挑出的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記另3名同學(xué)分別為a，b，c，所以基本事件為，，（a，小王），（a，小張），，（b，小王），（b，小張），（c，小王），（c，小張），（小王，小張），共10種．小王和小張都沒有被挑出包括的基本事件為，，，共3種，綜上，小王和小張都沒有挑出的概率為．故選：B.7.著名數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若當(dāng)空氣溫度為時，某物體的溫度從下降到用時分鐘，則再經(jīng)過分鐘后，該物體的溫度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，，，所以，可得，再經(jīng)過分鐘后，該物體的溫度為，即該物體的溫度為．故選：C．8.已知集合，若是的必要條件，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是的必要條件，所以，所以成立.令，得在恒成立，所以，所以，，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列關(guān)于平面向量的說法錯誤的是（）A.若是共線的單位向量，則B.若，則C.若，則不是共線向量D.若，則一定存在實數(shù)，使得【答案】ACD【解析】是共線的單位向量，則或，A錯誤；向量相等，即大小相等，方向相同，B正確；若也有可能長度不等，但方向相同或相反，即共線，C錯誤；若，不一定存在實數(shù)，使得，如且時，命題不成立，D錯誤．故選：ACD．10.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】已知，，，取，所以，A選項錯誤；因為，，所以，所以，所以，所以，所以，B選項正確；因，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，C選項正確；，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，D選項正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時，為偶函數(shù) B.既有最大值又有最小值C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象恒過定點【答案】ACD【解析】當(dāng)時，，定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，A正確；因為，所以，則有最大值，沒有最小值，B錯誤；因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時，，所以的圖象恒過定點，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.請寫出一個冪函數(shù)滿足以下兩個條件：①定義域為；②為減函數(shù)，則________.【答案】（答案不唯一）【解析】舉例，其定義域為定義域為，且為減函數(shù).13.某高一班級有40名學(xué)生，在一次物理考試中統(tǒng)計出平均分?jǐn)?shù)為70，方差為95，后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實得70分卻記為50分，乙實得60分卻記為80分，則更正后的方差是________.【答案】85【解析】設(shè)更正前甲，乙，丙...的成績依次為，則，即，所以，，即，所以.更正后的平均分，更正后的方差.14.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】易知，令，則滿足條件需關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，由，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知甲、乙兩人進(jìn)行圍棋挑戰(zhàn)賽，先勝兩局的一方贏得比賽，每局比賽不考慮平局，并且前一局先手的一方，下一局比賽將作為后手．在每一局比賽中若甲方先手，則該局甲獲勝的概率為；若甲方后手，則該局甲獲勝的概率為．（1）求雙方需要進(jìn)行第三局比賽的概率；（2）若第一局比賽乙先手，求甲贏得比賽的概率．解：（1）若雙方需要進(jìn)行第三局比賽，則前兩局比賽中雙方各勝一局，因為前兩局比賽中，雙方各先手一次，故雙方需要進(jìn)行第三局比賽的概率．（2）記第局甲獲勝為事件，甲贏得比賽為事件，則包含的所有事件為，且這個事件之間兩兩互斥，由，，，得．16.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求，的值；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題意可知，，1是方程的兩根，所以，，解得，或，.故，的值分別為，，或，.（2）當(dāng)時，，若在上恒成立，即的圖象與軸至多有一個交點，則，即，解得，故的取值范圍是.17.對于居民生活用水，某市實行階梯水價．具體來說，季度用水量在及以下的部分，收費標(biāo)準(zhǔn)為3元；季度用水量超過但不超過的部分，收費標(biāo)準(zhǔn)為4元；季度用水量超過的部分，收費標(biāo)準(zhǔn)為6元．（1）求某戶居民用水費用（單位：元）關(guān)于季度用水量（單位：）的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了了解居民用水情況，通過抽樣獲得了2024年第三季度本市1000戶居民每戶的季度用水量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若這1000戶居民中，季度用水費用超過200元的有400戶，求直方圖中的值以及季度用水量的第75百分位數(shù)．解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以與之間的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由（1）知，當(dāng)時，，即季度用水量超過的占，結(jié)合頻率分布直方圖知，解得．設(shè)第分位數(shù)為，因為季度用水量低于的所占比例為，低于的占，所以第分位數(shù)在內(nèi)，故，解得，即季度用水量的第分位數(shù)為．18.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性并利用定義法證明；（3）求在上的最大值.解：（1）因為，所以，即因為，所以．（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因為，且，所以，當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（3）當(dāng)時，由（2）知在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時，由（2）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以若，則，若，則．綜上，.19.現(xiàn)定義了一種新運算“”：對于任意實數(shù)，，都有（且）.（1）當(dāng)時，計算；（2）證明