山西省2025屆高三上學期1月期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省2025屆高三上學期1月期末數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，解得，故，又，所以.故選：B.2.已知，，且，其中i是虛數(shù)單位，則（）A.10 B. C.2 D.【答案】D【解析】由得：，所以解得，所以.故選:D.3.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，故的零點，由在上單調(diào)遞增，得，，因此的零點，則.故選:D.4.將單詞“”的7個字母填入編號從1到12的一排方格中，每個方格至多填入1個字母，且6號方格填字母“”，則得到的結果從左至右仍為單詞“”的填法有（）A.400種 B.350種 C.200種 D.150種【答案】B【解析】第一類第一步：從1到5號方格中選出3個，填入“c”“o”“l(fā)”這3個字母，有種方法；第二步：從7到12號方格中選出3個，填入“e”“c”“t”這3個字母，有種方法，所以得到的結果從左至右仍為單詞“”的填法有種；第二類第一步：從1到5號方格中選出2個，填入“c”“o”這2個字母，有種方法；第二步：從7到12號方格中選出4個，填入“l(fā)”“e”“c”“t”這4個字母，有種方法，所以得到的結果從左至右仍為單詞“”的填法有種.所以得到的結果從左至右仍為單詞“”的填法有種.故選:B.5.天文計算的需要，促進了三角學和幾何學的發(fā)展.10世紀的科學家比魯尼的著作《馬蘇德規(guī)律》一書中記錄了在三角學方面的一些創(chuàng)造性的工作.比魯尼給出了一種測量地球半徑的方法：先用邊長帶有刻度的正方形測得一座山的高（如圖1），再于山頂T處懸一個直徑為且可以轉(zhuǎn)動的圓環(huán)（如圖2），從山頂T處觀測地平線上的一點I，測得且，由此可以算得地球的半徑（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由圖可知，，故，解得.故選：B.6.在任意四邊形中，點，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：由，則①，又②，由①+②可得，即，故，設與夾角為，則，解得.故選：C.7.已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則的值為（）A.或 B.或 C. D.【答案】A【解析】設切點為，由已知得，則切線斜率，所以切線方程為，因為直線過點，則，化簡得，又因為切線有且僅有1條，即，解得或2，故選：A.8.已知點在拋物線：（）上，是上不同的兩點（異于點），若直線，被圓：截得的弦長都為，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為點在拋物線：（）上，所以，解得，即的方程為，設，，所以直線的方程為，因為直線被圓：截得的弦長為，所以，整理得，即，即，同理可得，所以直線的方程為，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，，則【答案】BCD【解析】，時，或，A錯誤；若，，則，B正確；若，，由線面垂直性質(zhì)定理知，C正確；，，，如圖，過m作平面交于直線l，由得，同理過m作平面與交于直線p，得，所以，而，所以，又，，則，所以，D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)（），對任意，恒有，且在上單調(diào)遞增，則（）A.B.的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到C.奇函數(shù)D.在上的最大值為【答案】ACD【解析】由題意可知，，因為對，恒有，所以是函數(shù)的一個最值點，即，解得，，當時，，又函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以，，即解得，，當時，，此時，符合題意，所以，，故A正確；對于選項B：的圖象應由向右平移個單位長度得到，故B錯誤；對于選項C：，為奇函數(shù)，故C正確；對于選項D：由得，所以，即函數(shù)的最大值為，故D正確；故選：ACD.11.已知定義域為的函數(shù)滿足，且，，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.【答案】BCD【解析】令，，則，所以，令，，則，所以，令，，則，所以，故A錯誤；令，則，所以，則，令，則，所以，所以，所以為偶函數(shù)，故B正確；令，則，所以，則，所以，故C正確；由，得，所以4為的一個周期，由，得，，所以，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在正四棱臺中，，，則正四棱臺的體積為_________.【答案】或【解析】如圖，在正四棱臺中，，則，.過點作交于點E，過點作交于點F，則，又，所以，即正四棱臺的高，所以正四棱臺的體積.故答案為：13.在平面直角坐標系中，已知點，在橢圓：上，且直線，的斜率之積為，則中點的軌跡方程為_________.【答案】【解析】因為點，在橢圓：上，所以，兩式相加可得，即，又因為直線，的斜率之積為，所以，可得，所以，設中點為，則，，所以，即，即中點的軌跡方程為，故答案：14.若，，則_________.【答案】或【解析】因為，，所以，故，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.數(shù)列的前項和為，，當時，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的表達式；（2）設，求數(shù)列的最大項的值.（1）證明：當時，數(shù)列的前項和為，滿足，即，整理可得，因為，則，即，可得，假設當時，，則，所以對任意的，，在等式，兩邊同時除以可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且其首項為，公差為2，所以，得.（2）解：由（1）得，則，當時，；當時，，所以，故數(shù)列的最大項為，其值為.16.近些年天然氣使用逐漸普及，為了百姓能夠安全用氣，國務院辦公廳印發(fā)《城市燃氣管道等老化更新改造實施方案（2022―2025年）》.某市在實施管道老化更新的過程中，從本市某社區(qū)1000個家庭中隨機抽取了100個家庭燃氣使用情況進行調(diào)查，統(tǒng)計了這100個家庭一個月的燃氣使用量（單位：），得到如下頻數(shù)分布表：燃氣使用量(單位：)頻數(shù)614183016124（1）若采用分層抽樣的方法從燃氣使用量在和這兩組的家庭中隨機抽取8個家庭，市政府決定從這8個家庭中抽取4個跟蹤調(diào)查其使用情況，記隨機變量表示這4個家庭中燃氣使用量在內(nèi)的家庭個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）將這一個月燃氣使用量超過22的家庭定為“超標”家庭.若該社區(qū)這一個月燃氣使用量服從正態(tài)分布，其中近似為100個樣本家庭的平均值，估計該社區(qū)中“超標”家庭的戶數(shù).（結果四舍五入取整數(shù)）附：若X服從正態(tài)分布，則，，.解：（1）燃氣使用量在的家庭個數(shù)為：（個），在的家庭個數(shù)為：（個），則的所有可能取值有0，1，2，，，，則的分布列為012所以.（2）由題意知這100個樣本家庭的平均值，所以，又，估計該社區(qū)中“超標”家庭的戶數(shù)為159個.17.如圖，四邊形為矩形，，，以為折痕將折起，使點到達點的位置.（1）求三棱錐外接球的表面積；（2）當平面平面時，證明：，并求二面角的余弦值.（1）解：因為和均為以為斜邊的直角三角形，所以三棱錐的外接球球心即為的中點，半徑，所以外接球表面積.（2）證明：當平面平面時，因為，平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設P點坐標為（），由，，得解得，，即P點坐標為，，.設平面，所以所以令，得，易知為平面的一個法向量，所以，因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18.如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線E：（，）的兩條漸近線的方程分別為，，直線l是E的切線，l分別交直線，于A，B兩點（A，B分別在第一，四象限），且時，的面積為8.（1）若E的離心率為，求E的方程；（2）試探究：是否存在雙曲線E，使的面積恒為8？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，請說明理由.解：（1）雙曲線E的漸近線方程分別為，，由雙曲線E的離心率為，得，解得，當時，由對稱性知，直線l方程為，此時的面積為，則，所以雙曲線E的方程為.（2）由（1）知，當軸時，雙曲線E的方程為，若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程滿足條件，當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為，直線l與x軸交于點C，依題意，得或，則，記，.由得，同理得，由得，而，由直線l與雙曲線E相切，得，于是，即，因此，所以存在雙曲線E，使的面積恒為8，且E的方程為.19.一般地，對于給定的兩條直線：和：，把方程（（）為不全為0的實數(shù)）表示由和決定的直線系，當與相交時，是以與的交點為中心的中心直線系，當與平行時，該直線系稱為平行直線系.在數(shù)學中把這種具有某種共同性質(zhì)的直線的全體叫做直線系（或直線族）.記直線族（）為，直線族（）為.（1）分別判斷點，是否在直線族中的某條直線上，說明理由；（2）若對于給定的實數(shù)（），點不在直線族中的任何一條直線上，求的取值范圍；（3）直線族包絡被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上每一點處的切線都是該直線族中的某條直線，求的包絡.解：（1）將代入（），得，解得，所以直線方程為，故點在直線族中的直線上；將代入（），得，顯然，方程無解，所以點不在直線族中的任何一條直線上.（2）因為對于給定的實數(shù)（），點不在直線族中的任何一條直線上，則關于的方程在