2022年廣東省深圳市南山外國語學校文華學校中考數(shù)學一模試卷（解析版）

2022年廣東省深圳市南山外國語學校文華學校中考數(shù)學一模試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.下列實數(shù)中最小的數(shù)是（）A.2 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】正實數(shù)大于0，負實數(shù)小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，負實數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．【詳解】∵,∴所給實數(shù)中，最小的是-2．故選：D．【點睛】此題了考查了比較實數(shù)的大小，解此題的關(guān)鍵是明確，正實數(shù)>0>負實數(shù)，負實數(shù)絕對值大的反而?。?.世界衛(wèi)生組織2022年5月9日公布的最新數(shù)據(jù)顯示，全球累計新冠確診病例達5.17億，數(shù)據(jù)“5.17億”可用科學記數(shù)法表示為（）A.5.17×109 B.5.17×108 C.0.517×1010 D.0.517×109【答案】B【解析】【分析】科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時n是負數(shù)；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：億．故選：B．【點睛】本題主要考查了科學記數(shù)法，解題關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學記數(shù)法的定義．3.下列運算正確的是（）A.x·x2=x2 B.x2﹣y2=(x﹣y)2 C.(﹣2x2)3=﹣8x6 D.x2+x2=x4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則、平方差公式、積的乘方法則和合并同類項的知識逐項判斷即可．【詳解】A、，故該選項錯誤；B、，故該選項錯誤；C、，正確；D、，故該選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則、平方差公式、積的乘方法則和合并同類項的知識，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．4.如圖，點A的坐標為（1，3），點B在x軸上，把沿x軸向右平移到，若四邊形ABDC的面積為9，則點C的坐標為（）A.（1，4） B.（3，4） C.（3，3） D.（4，3）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出四邊形ABDC是平行四邊形，從而得A和C的縱坐標相同，根據(jù)四邊形ABDC的面積求得AC的長，即可求得C的坐標．【詳解】解：∵把△OAB沿x軸向右平移到△ECD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AC=BD，A和C的縱坐標相同，∵四邊形ABDC的面積為9，點A的坐標為（1，3），∴3AC=9，∴AC=3，∴C（4，3），故選：D．【點睛】本題考查了坐標與圖形的變換-平移，平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，求得平移的距離是解題的關(guān)鍵．5.已知一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得方程的判別式△=0，進而可得關(guān)于k的方程，解方程即得答案．【詳解】解：由題意，得：，解得：．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，屬于基礎(chǔ)題型，熟知一元二次方程的根的判別式與方程根的個數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6.如圖是一個小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有“迎”字一面的相對面上的字是（）A.百 B.黨 C.年 D.喜【答案】B【解析】【分析】正方體的表面展開圖“一四一”型，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點解答．【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方體，“迎”與“黨”是相對面，“建”與“百”是相對面，“喜”與“年”是相對面．故答案為：B．【點睛】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．7.已知點A（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函數(shù)y的圖象上，那么x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A.x1＞x2＞x3 B.x1＞x3＞x2 C.x3＞x2＞x1 D.x2＞x3＞x1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式算出三個點的橫坐標，再比較大?。驹斀狻拷猓骸唿cA（x1，﹣1），B（x2，2），C（x3，3）都在反比例函數(shù)y的圖象上，∴x1＝﹣1÷（﹣1）＝1，x2＝﹣1÷2，x3＝﹣1÷3．∴x1＞x3＞x2，故選：B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握根據(jù)函數(shù)析式，求點坐標．8.某班級開展活動共花費2300元，但有4位同學因時間沖突缺席，若總費用由實際參加的同學平均分攤，則每人比原來多支付4元，設(shè)原來有x人參加活動，由題意可列方程（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)原來有x人參加聚餐，則實際有（x-4）人參加聚餐，根據(jù)“總費用由實際參加的同學平均分攤，則每人比原來多支付4元”，列出方程即可解答．【詳解】解：設(shè)原來有x人參加聚餐，則實際有（x-4）人參加聚餐，根據(jù)題意得，故選：D．【點睛】本題考查由實際問題抽象出分式方程，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．9.已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（m，0），B（n，0）兩點，已知m+n＝4，且﹣4≤m≤﹣2．圖象與y軸的正半軸交點在（0，3）與（0，4）之間（含端點）．給出以下結(jié)論：①6≤n≤8；②對稱軸是直線x＝2；③當時，拋物線的開口最大；④二次函數(shù)的最大值可取到6．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）個A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)可得，再根據(jù)即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸是直線即可判斷②；先求出的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的交點位置可得的取值范圍，從而可得的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而可得的取值范圍，最后根據(jù)拋物線的開口大小與的值的關(guān)系即可判斷③；先求出當時，二次函數(shù)取得最大值，最大值為，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍，由此即可判斷④．【詳解】解：由得：，，，，，結(jié)論①正確；二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且，此二次函數(shù)的對稱軸是直線，結(jié)論②正確；，，，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交點在與之間（含端點），，，，又二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，，，，由二次函數(shù)圖象的開口向下得：，則的值越大，拋物線的開口越大，所以當時，拋物線的開口最小；當時，拋物線的開口最大，結(jié)論③正確；此二次函數(shù)的對稱軸是直線，當時，為最大值，且，最大值，由得：，又，，則二次函數(shù)的最大值不可取到6，結(jié)論④錯誤；綜上，正確結(jié)論的個數(shù)為3個，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10.如圖，正方形紙片ABCD，P為正方形AD邊上的一點（不與點A，點D重合）．將正方形紙片折疊，使點B落在點P處，點C落在點G處，PG交DC于點H，折痕為EF，連接BP，BH，BH交EF于點M，連接PM．下列結(jié)論：①BE＝PE；②BP＝EF；③PB平分∠APG；④PH＝AP+HC；⑤MH＝MF，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【詳解】①利用翻折不變性即可解決問題；②構(gòu)造全等三角形即可解決問題；③等腰三角形性質(zhì)，∠EBP＝∠EPB．根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠EPH＝∠EBC＝90°，利用余角性質(zhì)得出∠PBC＝∠BPH．再根據(jù)平行線性質(zhì)得出AD∥BC即可解決；④構(gòu)造全等三角形即可解決問題；⑤只要證明∠MPB＝45°，再利用反證法可解決問題．【解答】解：∵折痕為EF，∴四邊形EBCF與四邊形EPGF全等∴BE=PE，故①正確；如圖2，作FK⊥AB于K．設(shè)EF交BP于O．∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，∵FK⊥AB，∴∠FKB=90°，∴∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，∴四邊形BCFK是矩形，∴KF＝BC＝AB，∵EF為對稱軸，點B與點P為對稱點，∴EF⊥PB，∴∠BOE＝90°，∵∠ABP+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EFK＝90°，∴∠ABP＝∠EFK，在△ABP和△KFE中，，∴△ABP≌△KFE（ASA），∴EF＝BP，故②正確，∵BE=PE，∴∠EBP＝∠EPB．又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH﹣∠EPB＝∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC＝∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC．∴∠APB＝∠BPH．故③正確；如圖3，過B作BQ⊥PH，垂足Q．∴∠PQB=∠HQB=90°，由（1）知∠APB＝∠BPH，在△APB和△QPB中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP＝QP，AB=QB，又∵AB＝BC，∴BC＝BQ．∵∠HQB=90°，∠C=90°在Rt△BCH和Rt△BQH中，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH＝QH，∴QP+QH＝AP+CH，即PH＝AP+CH，故④正確；設(shè)EF與BP的交點為點N，如圖4，∵Rt△ABP≌Rt△QBP，△BCH≌△BQH，∴∠ABP＝∠QBP，∠CBH＝∠QBH，∴∠QBP+∠QBH＝∠ABP+∠CBH，即∠PBM＝45°，由折疊知，∠BPM＝∠PBM＝45°，∠EBM＝∠EPM，∠PNF＝∠BNF＝90°，∵AB∥CD，∴∠MHF＝∠EBM＝∠EPM＝45°+∠EPN，∵在四邊形DPNF中，∠D＝∠PNF＝90°，∴∠MFH+∠DPN＝180°，∵∠DPN+∠APN＝180°，∴∠APN＝∠MFH，假設(shè)MH=MF，∴∠MHF=∠MFH=∠APB，在△ABP和△CBH中，，∴△ABP≌△CBH（AAS），∴∠ABP=∠CBH，∵∠ABP+∠CBH=45°，∴∠ABP=∠CBH=22.5°，∵點P在AD上，∴0≤∠ABP≤45°，∴∠ABP=22.5°與0≤∠ABP≤45°相矛盾，∴假設(shè)不正確，故⑤錯誤．故選：B．【點睛】本題考查正方形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，角平分線判定，三角形全等判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等角的余角性質(zhì)，反證法，本題難度角度，綜合強，利用輔助線作出準確圖形是解題關(guān)鍵．二．填空題（共5小題，共15分）11.因式分解：_____.【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后根據(jù)平方差公式進行因式分解即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．12.二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+3的對稱軸是直線x=_____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式可以求得y=ax2﹣2ax+3的對稱軸，本題得以解決．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+3∴此拋物線的對稱軸為：，故答案為1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．13.若一個菱形的兩條對角線長分別為10和24，則這個菱形的邊長是________．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)對角線互相垂直且互相平分，再利用勾股定理AB＝即可得到菱形的邊長．【詳解】解：如圖，BD＝10，AC＝24，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，∴AB＝＝13．故答案為：13．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理的運用，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象如圖所示，當時，根據(jù)圖象寫出的取值范圍_____．【答案】【解析】【分析】利用一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象，進而結(jié)合其交點橫坐標得出時，的取值范圍．【詳解】解：當時，即一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的圖象的上面，可得的取值范圍是：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是正確利用函數(shù)的圖象得出正確信息．15.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∠D=30°，B、C、D在同一直線上，連接AD，若AB=，則sin∠CAD=____．【答案】【解析】【分析】先解等腰直角三角形ABC，得出BC=AB=，AC=AB=．再解Rt△ABD，得出AD=2AB=2，BD=AB=3，那么CD=BD﹣BC=3﹣．過C點作CE⊥AD于E．根據(jù)S△ACD=AD?CE=CD?AB，求出CE=，然后在Rt△AEC中利用正弦函數(shù)的定義即可求出sin∠CAD的值．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AB=，∴BC=AB=，AC=AB=．∵在Rt△ABD中，∠B=90°，∠D=30°，AB=，∴AD=2AB=2，BD=AB=3，∴CD=BD﹣BC=3﹣．過C點作CE⊥AD于E．∵S△ACD=AD?CE=CD?AB，∴CE==，∴sin∠CAD==．故答案為．【點睛】本題考查了解直角三角形，利用面積公式求出EC的長是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題有7題，共55分）16.計算：．【答案】【解析】【分析】先計算特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘法，最后計算加減即可．詳解】解：原式．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握各三角函數(shù)值及運算順序是解題的關(guān)鍵．17.解方程:【答案】;【解析】【詳解】試題分析：找出a，b，c的值，計算出根的判別式的值大于0，代入求根公式即可求出解．試題解析：∵a=2,b=3,c=-5△18.為了更好地宣傳“開車不喝酒，喝酒不開車”的駕車理念，某市一家報社設(shè)計了如下的調(diào)查問卷（單選）．在隨機調(diào)查了本市全部5000名司機中的部分司機后，整理相關(guān)數(shù)據(jù)并制作了右側(cè)兩個不完整的統(tǒng)計圖：克服酒駕﹣﹣你認為哪一種方式更好？A．司機酒駕，乘客有責，讓乘客幫助監(jiān)督B．在車上張貼“請勿喝酒”的提醒標志C．簽訂“永不酒駕”保證書D．希望交警加大檢查力度E．查出酒駕，追究就餐飯店的連帶責任根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）請補全條形統(tǒng)計圖，并直接寫出扇形統(tǒng)計圖中m=；（2）該市支持選項B的司機大約有多少人？（3）若要從該市支持選項B的司機中隨機抽取100名，給他們發(fā)放“請勿酒駕”的提醒標志，則支持該選項的司機小李被抽中的概率是多少？【答案】（1）12；（2）1350人；（3）【解析】【分析】（1）由選擇方式B的有81人，占總數(shù)的27%，即可求得總?cè)藬?shù)，利用總?cè)藬?shù)減去其它各組的人數(shù)即可求得選擇方式D的人數(shù)，作出直方圖，然后根據(jù)百分比的意義求得m的值；（2）利用總?cè)藬?shù)5000乘以對應的百分比即可求得；（3）利用概率公式即可求解【詳解】（1）調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：（人），則選擇D方式的人數(shù)（人），．補全條形統(tǒng)計圖如下：（2）該市支持選項B的司機大約有：（人）；（3）小李抽中的概率．【點睛】考點：1、條形統(tǒng)計圖；2、扇形統(tǒng)計圖；3、用樣本估計總體；4、概率19.如圖，已知矩形中，對角線、相交于點，過點作，交的延長線于點．（1）求證：；（2）若，，求矩形的面積．【答案】（1）證明見解析（2）12【解析】【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，欲求，證即可．通過已知條件求出四邊形為就可以證明．（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出長度，利用銳角三角函數(shù)求得長，再根據(jù)勾股定理求出長度，根據(jù)矩形的面積公式求出面積．【小問1詳解】證明：在矩形中，又四邊形為，又為矩形，，，故；【小問2詳解】為矩形，，，，，，在中，，，在中，，故答案為：12．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)和三角函數(shù)余弦值，涉及到的知識點有勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定．本題中是否能熟練掌握矩形的特殊性質(zhì)、能否通過等腰三角形的求出長度以及是否能掌握余弦值的定義是解題的關(guān)鍵，本題難度不大，但綜合性較強．20.某公司展銷如圖所示的長方形工藝品，該工藝品長60，寬40，中間鑲有寬度相同的三條絲綢花邊．（1）若絲綢花邊的面積(陰影面積)為650，求絲綢花邊的寬度；（2）已知該工藝品的成本是40元/件，如果以單價100元/件銷售，那么每天可售出200件，另每天還需支付各種費用2000元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，如果將銷售單價降低1元，每天可多售出20件，同時，為了完成銷售任務，該公司每天至少要銷售800件，那么該公司應該把銷售單價定為多少元，才能使每天所獲銷售利潤最大，最大利潤是多少．【答案】（1）5cm；（2）當售價70元時有最大利潤22000元【解析】【分析】（1）通過表示空白部分的面積建立等量關(guān)系求解；（2）設(shè)每件工藝品定價元出售，獲利元，根據(jù)題意得出二次函數(shù)關(guān)系，再將二次函數(shù)配方成頂點式，同時根據(jù)公司每天至少要銷售800件建立不等關(guān)系得出的取值范圍，然后根據(jù)增減性求最大值即可．【詳解】解：(1)設(shè)花邊的寬度為,根據(jù)題意得：解得:或(舍去)答：絲綢花邊的寬度為；(2)設(shè)每件工藝品定價元出售，獲利元，則根據(jù)題意可得：；銷售件數(shù)至少為800件，得到：解得：∴∵，開口向下，且對稱軸是直線∴當時，y隨x的增大而增大∴當時，有最大值，當售價為70元時有最大利潤22000元．【點睛】本題考查一元二次方程與二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．21.如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），點P是拋物線上的一個動點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，交直線BC于點D．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點Q的坐標；（3）如圖2，當點P位于直線BC上方的拋物線上時，過點P作PE⊥BC于點E，設(shè)△PDE的面積為S，求當S取得最大值時點P的坐標，并求S的最大值．【答案】（1）y=-x2+x+2；（2）Q點坐標為（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；（3）當P為（2，3）時，S有最大值，最大值為=．【解析】【分析】（1）把A、B、C三點的坐標代入可求得a、b、c的值，可得出函數(shù)表達式；（2）可先求得BC的解析式，設(shè)出Q點坐標，可表示出D點坐標和P點坐標，可表示出PD的長，由條件可得PD=OC=2，可求得P點坐標，則可得Q點的坐標；（3）可設(shè)出P的坐標，由PQ∥OC可表示出DQ、BD，由△PED∽△BQD可表示出PE和DE，則可表示出S，再結(jié)合P在直線BC上方，可求得S的最大值，可求得P點的坐標．【詳解】（1）∵二次函數(shù)與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），∴代入二次函數(shù)解析式可得，得，∴二次函數(shù)表達式為y=-x2+x+2；（2）設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，∵B（4，0），C（0，2），∴代入可得，解得，∴直線BC解析式為y=-x+2，設(shè)Q坐標為（m，0），則可知D點坐標為（m，-m+2），又∵P點在拋物線上，∴P點坐標為（m，-m2+m+2），當P、D、O、C為頂點的四邊形為平行四邊形時，則有PD=OC=2，即|-m2+m+2-（-m+2）|=2，即|-m2+2m|=2，當-m2+2m=2時，解得m=2，則Q坐標為（2，0），當-m2+2m=-2時，解得m=2±2，則Q坐標為（2+，0）或（2-，0），綜上可知Q點坐標為（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；（3）設(shè)Q點坐標為（n，0），由（2）可知D為（n，-n+2），P點坐標為（n，-n2+n+2），∴PD=-n2+2n=n（4-n），DQ=-n+2，又∵OB=4，∴BQ=4-n，在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=2，∵OQ∥OC，∴，即，解得BD=，∵PE