高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三講 平面向量四大考向(原卷版)

第三講平面向量（四大考向)一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計高考對平面向量的考查，一般為平面向量基本定理、坐標(biāo)運算、平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如平行、垂直、距離、夾角等問題的計算，難度一般不高。平面向量的線性運算2022·新高考Ⅰ卷，3平面向量垂直的坐標(biāo)運算2023·新高考Ⅰ卷，32024·新高考Ⅰ卷，3平面向量夾角的坐標(biāo)運算2022·新高考Ⅱ卷，4平面向量數(shù)量積的綜合運算2023·新高考Ⅱ卷，132024·新高考Ⅱ卷，3二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷都考查到了平面向量的垂直運算，Ⅱ卷還結(jié)合了數(shù)量積的綜合運算?？傮w上來說，平面向量知識點的考查難度依舊是較易的，掌握基本的知識點和擁有基本的運算能力即可。平面向量考查應(yīng)關(guān)注：平面向量基本定理、向量的坐標(biāo)運算、向量數(shù)量積、向量平行與垂直、向量模等知識點，體會數(shù)形結(jié)合思想，強化運算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸能力。預(yù)計2025年高考還是主要考查向量的數(shù)量積運算、向量的夾角、向量的模。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．22．（2024新高考Ⅱ卷·3）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1高考真題練一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·3）在中，點D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅰ卷·3）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3．（2022新高考Ⅱ卷·4）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6二、填空題1．（2023新高考Ⅱ卷·13）已知向量，滿足，，則．知識點總結(jié)一、向量的線性運算和向量共線定理（1）向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算（1）（2）當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，與的方向相同；當(dāng)時，二、平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．2、平面向量基本定理如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．3、線段定比分點的向量表達式如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB4、三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點共線存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在，使得．5、中線向量定理如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．DDACB三、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有向量向量點．（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)．（5）平面向量的直角坐標(biāo)運算①已知點，，則，②已知，，則，，，．，（5）、、三點共線，這是直線的向量式方程．四、數(shù)量積的坐標(biāo)運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）【平面向量常用結(jié)論】（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且．（2）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且（3）在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．（4）數(shù)量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．（5）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：，，等，所以平面向量數(shù)量積可以用來解決有關(guān)長度、角度、垂直的問題．名校模擬練一、單選題1．（2024·廣東深圳·三模）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點共線 B．、、三點共線C．、、三點共線 D．、、三點共線2．（2024·廣西·三模）已知向量，那么向量可以是（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江·三模）已知向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C．3 D．64．（2024·重慶·三模）已知向量，若，則（

）A．2 B．3 C． D．5．（2024·北京·三模）若，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．6．（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量，設(shè)與的夾角為，則（

）A． B． C． D．7．（2024·河北衡水·三模）已知是單位向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．8．（2024·浙江金華·三模）已知，，，則（

）A． B．16 C． D．99．（2024·陜西榆林·三模）在中，在邊上，且是邊上任意一點，與交于點，若，則（

）A． B． C．3 D．-310．（2024·江蘇蘇州·三模）已知，且在方向上的投影向量為單位向量，則（

）A．4 B． C． D．611．（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（

）A． B．C． D．12．（2023·黑龍江佳木斯·三模）已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．13．（2024·四川眉山·三模）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題14．（2024·安徽·三模）已知向量，則（

）A． B．C． D．在上的投影向量為15．（2024·福建廈門·三模）已知等邊的邊長為4，點D，E滿足，，與CD交于點，則（

）A． B．C． D．16．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說法正確的有（

）A．一定可以作為一個基底B．一定有最小值C．一定存在一個實數(shù)使得D．的夾角的取值范圍是17．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點P是△DEF內(nèi)部（包括邊界）的動點，則（

）A．B．C．若P為EF的中點，則在上的投影向量為D．的最大值為18．（2024·吉林·二模）已知平面向量，，，，，，且，則（

）A．與的夾角為B．的最大值為5C．的最小值為2D．若，則的取值范圍三、填空題19．（2024·四川·三模）若向量與向量是共線向量，則實數(shù)=．20．（2024·上?！と＃┮阎蛄?、滿足，，，則．21．（2024·遼寧沈陽·三模）已知向量滿足，，則.22．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知單位向量的夾角為，，則.23．（2024·重慶·三模）已知單