高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十二講 解三角形四大考向（原卷版）

第十二講解三角形（四大考向)一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對解三角形的考查，重點是（1）掌握正弦定理、余弦定理及其變形。（2）能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。（3）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。正余弦定理解三角形、三角形面積公式2024新高考Ⅰ卷·152022新高考Ⅱ卷·182024新高考Ⅱ卷·15解三角形結(jié)合基本不等式2022新高考Ⅰ卷·18解三角形結(jié)合三角形的中線問題2023新高考Ⅱ卷·17解三角形結(jié)合三角形的垂線問題2023新高考Ⅰ卷·17二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷都考查了解三角形，主要知識點就是使用正余弦定理及其變形來解三角形，其中也蘊含了三角函數(shù)的知識，例如輔助角公式等，難度是屬于較易和一般的。其實解三角形主要以考查正余弦定理的應(yīng)用和面積公式為主，它側(cè)重基礎(chǔ)，主要考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算求解能力。預(yù)計2025年主要還是考查正余弦定理解三角形，但是考生務(wù)必注意，不能只把精力放在大題的練習(xí)中，小題也需要兼顧練習(xí)。三：試題精講一、解答題1．（2024新高考Ⅰ卷·15）記內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．2．（2024新高考Ⅱ卷·15）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．高考真題練一、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·18）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．2．（2023新高考Ⅰ卷·17）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．3．（2022新高考Ⅱ卷·18）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．4．（2023新高考Ⅱ卷·17）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．知識點總結(jié)一、基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式；；．常見變形（1），，；（2），，；；；．（2）面積公式：（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R，r．）二、相關(guān)應(yīng)用（1）正弦定理的應(yīng)用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對大角大角對大邊=3\*GB3③合分比：（2）內(nèi)角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．三、實際應(yīng)用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．①北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向（如圖③）．②北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向．③南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．②坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．【解三角形常用結(jié)論】1、方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個數(shù)一解兩解一解一解無解2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．名校模擬練一、單選題1．（2024·貴州六盤水·三模）在中，，，，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．2．（2024·河南·三模）在中，，且交于點，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2024·山西太原·三模）已知中，是的中點，且，則面積的最大值（

）A． B． C．1 D．25．（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．4二、多選題6．（2024·安徽·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，，，，則（

）A．B．的外接圓面積為C．若，，則D．若，，則7．（2024·浙江·三模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．當時，為直角三角形D．若為銳角三角形，則的取值范圍是8．（2024·河北·三模）已知內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，，則（

）A． B．的最小值為3C．若為銳角三角形，則 D．若，，則三、填空題9．（2024·新疆·三模）在中，，.則.10．（2024·江西南昌·三模）在中，，則.11．（2024·重慶九龍坡·三模）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為，已知，.則；的最大值為.12．（2024·四川自貢·三模）如圖，D為的邊AC上一點，，，，則的最小值為.13．（2024·湖南邵陽·三模）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，則；若，，，，則的取值范圍是．四、解答題14．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）在中，記角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)已知點在邊上，且，，，求的面積．15．（2024·山東青島·三模）設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對邊分別為、、且．(1)求角的大小；(2)若，邊上的高為，求三角形的周長．16．（2024·天津濱海新·三模）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，．(1)求角的大?。?2)求的值；(3)求的值．17．（2024·天津河西·三模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)．（ⅰ）求的定義域和最小正周期；（ⅱ）求的值．18．（2024·上?！と＃┮阎膬?nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．19．（2024·湖南衡陽·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a、b、c，且．(1)求A；(2)如圖所示，D為平面上一點，與構(gòu)成一個四邊形ABDC，且，若，求AD的最大值．20．（2024·四川攀枝花·三模）請在①，②，③三個條件中選擇一個，補充在下面的問題中，所對的邊分別是，已知_____．(1)求角；(2)若，點在邊上，為的平分線，求邊長的值．21．（2024·江蘇蘇州·三模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若，求的面積;(2)若，求使得恒成立時，實數(shù)的最小值