高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十九講 導(dǎo)數(shù)綜合五大考向（原卷版）

第十九講導(dǎo)數(shù)綜合（五大考向)一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考中，導(dǎo)數(shù)是必考內(nèi)容。難度、廣度和深度較大。常規(guī)基礎(chǔ)考查求導(dǎo)公式與幾何意義；中等難度考查求單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；壓軸題考查零點(diǎn)、不等式證明、恒成立或者存在問(wèn)題、分類討論求參數(shù)等，和數(shù)列、不等式、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值2022·新高考Ⅰ卷，22（1）2024·新高考Ⅰ卷，18（1）2024·新高考Ⅰ卷，18（3）2022·新高考Ⅱ卷，22（2）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)2022·新高考Ⅰ卷，22（2）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性2023·新高考Ⅰ卷，19（1）2022·新高考Ⅱ卷，22（1）導(dǎo)數(shù)與不等式證明2023·新高考Ⅰ卷，19（2）2022·新高考Ⅱ卷，22（3）2023·新高考Ⅱ卷，22（1）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值2023·新高考Ⅱ卷，22（2）2024·新高考Ⅱ卷，16（2）二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了導(dǎo)數(shù)中函數(shù)最值、函數(shù)的對(duì)稱性、恒成立問(wèn)題的綜合運(yùn)用，難度較難。Ⅱ卷考查了曲線的切線和函數(shù)的極值求參數(shù)，常規(guī)考查，難度適中。導(dǎo)數(shù)的高頻考點(diǎn)有：含參函數(shù)的參數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響；用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值；求曲線切線的方程；函數(shù)的零點(diǎn)討論；函數(shù)的圖像與函數(shù)的奇偶性結(jié)合考查等。導(dǎo)數(shù)中頻考點(diǎn)有：用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。焕煤瘮?shù)證明不等式或求不等式的解；求參數(shù)的取值范圍等。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查導(dǎo)數(shù)與切線及恒成立、求參問(wèn)題。三：試題精講一、解答題1．（2024新高考Ⅰ卷·18）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．2．（2024新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．高考真題練一、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．2．（2023新高考Ⅰ卷·19）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．3．（2022新高考Ⅱ卷·22）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．4．（2023新高考Ⅱ卷·22）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、恒成立和有解問(wèn)題思路一覽設(shè)函數(shù)的值域?yàn)榛颍蚧蛑兄环N，則①若恒成立（即無(wú)解），則；②若恒成立（即無(wú)解），則；③若有解（即存在使得成立），則；④若有解（即存在使得成立），則；⑤若有解（即無(wú)解），則；⑥若無(wú)解（即有解），則．【說(shuō)明】（1）一般來(lái)說(shuō)，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法．（2）取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號(hào)的取舍?。炊它c(diǎn)值的取舍）二、分離參數(shù)的方法①常規(guī)法分離參數(shù)：如；②倒數(shù)法分離參數(shù)：如；【當(dāng)?shù)闹涤锌赡苋〉?，而的值一定不?時(shí)，可用倒數(shù)法分離參數(shù)．】③討論法分離參數(shù)：如:④整體法分離參數(shù)：如； ⑤不完全分離參數(shù)法：如；⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù)．【注意】（1）分離參數(shù)后，問(wèn)題容易解決，就用分離參數(shù)法（大多數(shù)題可以使用此方法）．但如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問(wèn)題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時(shí)就用含參轉(zhuǎn)化法．（2）恒成立命題對(duì)自變量的范圍有時(shí)有一部分或端點(diǎn)是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點(diǎn)，再分離參數(shù)求解．【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問(wèn)題．】三、其他恒成立類型一①在上是增函數(shù)，則恒成立．(等號(hào)不能漏掉)．②在上是減函數(shù)，則恒成立．(等號(hào)不能漏掉)．③在上是單調(diào)函數(shù)，則分上述兩種情形討論；(常用方法)四、其他恒成立類型二①，使得方程成立．②，使得方程成．五、其他恒成立類型三①，；②，；③，；④，．六、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來(lái)求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.七、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下面是常見函數(shù)的變形模型1.對(duì)于，構(gòu)造模型2.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù).模型3.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型4.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型5.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型6.對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)拓展：對(duì)于不等式，構(gòu)造函數(shù)模型7.對(duì)于，分類討論：（1）若，則構(gòu)造（2）若，則構(gòu)造模型8.對(duì)于，構(gòu)造.模型9.對(duì)于，構(gòu)造.模型10.（1）對(duì)于，即，構(gòu)造．對(duì)于，構(gòu)造．模型11.（1）（2）名校模擬練一、解答題1．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與二次曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．2．（2024·河北張家口·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：．3．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．4．（2024·山西呂梁·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，使恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.5．（2024·廣西欽州·三模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，證明：在上有3個(gè)零點(diǎn).6．（2024·天津河西·三模）已知函數(shù)，，其中．(1)若，求實(shí)數(shù)a的值(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在使得不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．7．（2024·河北·三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若函數(shù)，試問(wèn)：函數(shù)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有相同的最大值，求的值.9．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求.10．（2024·北京·三模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：．（且）11．（2024·四川自貢·三模）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)在上的零點(diǎn)為．證明：．12．（2024·四川南充·三模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)①求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，設(shè)的極值點(diǎn)為，若.求證：13．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．14．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)；（?。┣笄€在點(diǎn)處的切線方程；（ⅱ）求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出a的一個(gè)值，使得不是的極值點(diǎn)，并證明.15．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若的最小值為0，(1)求的值;(2)若，證明:存在唯一的極大值點(diǎn)，且.16．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：．17．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，滿足.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：.18．（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜截式方程；(2)當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的所有零點(diǎn)；(3)證明：.19．（2024·北京順義·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求證：函數(shù)存在極小值；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).20．（2024·廣東茂名·一模）設(shè)函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）已知