高考數(shù)學(xué)高考中的分段函數(shù)（六大題型）（解析版）

特訓(xùn)15高考中的分段函數(shù)（六大題型）1.根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的值或解方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)分段函數(shù)各段的定義域分類討論，結(jié)合各段的函數(shù)解析式求解，要注意求出的自變量的值應(yīng)滿足解析式對(duì)應(yīng)的自變量的區(qū)域．2．分段函數(shù)的求值問題，應(yīng)首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，然后選定相應(yīng)的解析式代入求解．3．分段函數(shù)與方程、不等式的交匯問題，一般要根據(jù)分段函數(shù)的不同分段區(qū)間進(jìn)行分類討論，最后應(yīng)注意檢驗(yàn)所求參數(shù)值(范圍)是否適合相應(yīng)的分段區(qū)間．目錄：01分段函數(shù)02求參數(shù)范圍03解不等式04零點(diǎn)、方程根等問題05導(dǎo)數(shù)與分段函數(shù)06分段函數(shù)的綜合辨析01分段函數(shù)1．函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】分和兩種情況，結(jié)合冪函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求值域.【解析】解：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域?yàn)?，綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：2．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則等于（

）A． B．1 C．0 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出值即可.【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，則，而當(dāng)時(shí)，，因此，則，，當(dāng)時(shí)，，則，又，于是，，所以，所以.故選：C3．定義在上的函數(shù)滿足，則，.【答案】1【分析】由分段函數(shù)的性質(zhì)知，從而得到函數(shù)的周期為6，再計(jì)算相關(guān)值即可.【解析】因?yàn)?，所以，則，故，即函數(shù)的周期，則，.故答案為：1；.02求參數(shù)范圍4．若函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷上的單調(diào)性和值域，結(jié)合其區(qū)間單調(diào)性及分式型函數(shù)的性質(zhì)，討論參數(shù)確定參數(shù)范圍.【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且值域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)只需，即；綜上，.故選：A5．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則a的取值范圍是是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】?jī)啥魏瘮?shù)都要增，在1附近也要增，列不等式組求解即可.【解析】是R上的增函數(shù)，則要滿足：，解得.故選：B.6．已知，在R上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，當(dāng)時(shí)，得到，由題知在上恒成立，利用基本不等式，得到，從而有，再根據(jù)題設(shè)有，即可求解.【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，所以時(shí)，，即在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，由題知在?∞,1上恒成立，即在?∞,1又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，又由，得到，所以，故選：A.7．函數(shù)在R上單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)分別求解和時(shí)的單調(diào)性，再結(jié)合在上遞增，可得，即可求解.【解析】由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，依題需使恒成立，則；當(dāng)時(shí)，由在上遞增，需使在上恒成立，則，即；又由在上遞增，可得，解得.綜上可得，的取值范圍是.故選：C.8．已知函數(shù)（且），若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知當(dāng)時(shí)，，由題意可知當(dāng)時(shí)，則的值域包含，分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.【解析】當(dāng)時(shí)，則，且，所以，若函數(shù)的值域?yàn)?，可知?dāng)時(shí)，則的值域包含，若，則在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，不合題意；若，則在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，則，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.9．已知分段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間，轉(zhuǎn)化求解的取值范圍即可.【解析】分段函數(shù)的圖象如下：

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，，所以分段函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則或，解得：或，故選：D10．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，需在上單調(diào)遞增，且，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論可求的取值范圍.【解析】易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，由題意，需在上單調(diào)遞增，且，即．若，則，解得；若，則，滿足題意；若，則恒成立．綜上，的取值范圍是．故選：A.11．已知函數(shù)滿足：對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用增函數(shù)的定義并結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即可.【解析】對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.03解不等式12．已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】【分析】作出函數(shù)y=fx的圖象，從而得y=fx在R上單調(diào)遞增，令，可得上在R上單調(diào)遞增，將問題轉(zhuǎn)化為，即可得答案.【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，,當(dāng)時(shí)，，,又，綜上，為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以函數(shù)y=fx在R作出函數(shù)y=fx令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，則上在R上單調(diào)遞增，且，則將原不等式轉(zhuǎn)化為，解得,所以a的取值范圍是0,+∞故答案為：0,+∞13．已知且，則滿足不等式的x的取值范圍是．【答案】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，從而得出的單調(diào)性，再構(gòu)造判定其單調(diào)性，解不等式即可.【解析】易知，則時(shí)，，單調(diào)遞增，而，所以在上單調(diào)遞增，且，故有在R上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在R上單調(diào)遞減，令，則Fx在R上單調(diào)遞增，又，故．故答案為：.14．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性判斷分段函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求解.【解析】因?yàn)楫?dāng)x∈0,2時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)fx當(dāng)x∈2,+∞時(shí)，fx

所以是定義在0,+∞上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以若fa+1?f2a?1則a+1≥2a?1>0，解得.故答案為：04零點(diǎn)、方程根等問題15．已知，則方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由方程先求出或或，再解方程即可．【解析】解：①當(dāng)時(shí)，，解得，，或，或，故或；②若，則，或，或，若，則或，則或或；若，則或，則（舍去）或或，綜上所述，方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是7，故選：C．16．已函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】6【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系下畫出與的圖象，由此求出結(jié)果．【解析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，是周期為4的函數(shù)；當(dāng)時(shí)，；所以的圖象如圖所示，在同一坐標(biāo)系下畫出的圖象，因?yàn)?，所以兩函?shù)有6個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)．故答案為：6．

17．已知函數(shù)，若a，b，c，d互不相等，且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由分段函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，若，將問題轉(zhuǎn)化為曲線與直線的交點(diǎn)問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)的區(qū)間，結(jié)合絕對(duì)值函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，，，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求范圍即可．【解析】令，則或，令，則或，由解析式知：在上遞減且值域?yàn)?，在上遞增且值域?yàn)?，在上遞減且值域?yàn)椋谏线f增且值域?yàn)椋鞒龅牟輬D如下，令，不妨設(shè)，則，，，為曲線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由圖知：，且，則，由對(duì)勾函數(shù)可知在上遞減，故，故.故選：C18．已知函數(shù)是定義在R上偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)僅有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，然后把函數(shù)僅有4個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=fx與有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在R上偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱作出函數(shù)圖象：

因?yàn)楹瘮?shù)僅有4個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)y=fx與有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可知：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.19．已知函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則所有滿足條件的整數(shù)a的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出的圖象，由不等式的幾何意義：曲線上一點(diǎn)與連線的直線斜率小于0，結(jié)合圖象即可求得范圍.【解析】作出的函數(shù)圖象如圖所示：表示點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率，可得曲線上只有一個(gè)點(diǎn)（x為整數(shù)）和點(diǎn)所在直線的斜率小于0，而點(diǎn)在動(dòng)直線上運(yùn)動(dòng)，由，，，，且為整數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，至少有點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)滿足，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，只有點(diǎn)滿足，滿足題意；當(dāng)時(shí)，只有點(diǎn)滿足，滿足題意；當(dāng)時(shí)，至少有兩個(gè)點(diǎn)滿足，不滿足題意；綜上所述，由a為整數(shù)，可得a的取值集合為.故選：A.20．已知，若互不相等且，且，則的范圍是．【答案】【分析】畫出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)圖象知，，且，，再建立的函數(shù)并結(jié)合對(duì)勾函數(shù)求出范圍.【解析】函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，畫出的圖象，如圖，因?yàn)?，由，得，，，由，得，即，由，得，于是，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，在上遞增，則，所以的范圍是．故答案為：21．設(shè)函數(shù)，且關(guān)于x的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，()，則的取值范圍是．【答案】【分析】畫出的圖象，得到，，并解得，因?yàn)榈膬筛鶠楹?，所以，，故，換元后求出取值范圍.【解析】畫出函數(shù)的圖象，如下圖：因?yàn)殛P(guān)于x的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根()，則，，，所以或（舍去），又，即的兩根為和，所以，，，，，令，則，因?yàn)椋?，即，，?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，又或3時(shí)，，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡(jiǎn)化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對(duì)稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通常考慮圖象的對(duì)稱性進(jìn)行解決.05導(dǎo)數(shù)與分段函數(shù)22．設(shè)，滿足，則．【答案】2【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造同構(gòu)的形式，定義函數(shù)，判斷出在R上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，即可得到，即可求出結(jié)果.【解析】可化為，記，函數(shù)定義域?yàn)镽.因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞增.又，所以為奇函數(shù).所以由可得，所以.故答案為：2.23．若函數(shù)的圖象存在垂直于軸的切線，又，且有，則的最小值為.【答案】3【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得有解，由此求出的最小值，再由分段求出的值即可得解.【解析】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，由函數(shù)的圖象存在垂直于軸的切線，則存在，使得成立，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，即，則，所以的最小值為3.故答案為：306分段函數(shù)的綜合辨析24．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)總存在零點(diǎn)；②存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恒大于0；③對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)一定存在最小值；④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在上始終單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①④【分析】根據(jù)二次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解①，根據(jù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，以及時(shí)，由于，即可判斷②，根據(jù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解③，根據(jù)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④.【解析】令，則或，令，則，且和的圖象分別如下所示：當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)有和，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)有，故①正確，對(duì)于②,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，由于，不滿足恒大于0；故不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恒大于0，②錯(cuò)誤，對(duì)于③,當(dāng)時(shí)，的圖象如下所示：此時(shí)不存在最小值；故③錯(cuò)誤對(duì)于④，當(dāng)，圖象如下：函數(shù)在上始終單調(diào)遞減.故④正確故答案為：①④25．已知函數(shù)，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在m，使得沒有最值；②不存在m，使得有單調(diào)減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，若a，b，c互不相等，且，則的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】對(duì)于①，取畫出函數(shù)圖象可以判斷；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)圖象，判斷其與有多少個(gè)交點(diǎn)即可；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解范圍即可.【解析】對(duì)于①，取時(shí)，圖象如圖所示：

此時(shí)函數(shù)不存在最值，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，的圖象大致如下：

函數(shù)在上單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，圖象如圖所示：

此函數(shù)y=f(x)的圖象與只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，圖象如圖所示：

因?yàn)?不妨設(shè),則有,又因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以,所以,故④正確.故答案為：①③④26．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論.①若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為②關(guān)于x的方程有個(gè)不同的解③對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】分區(qū)間討論去掉絕對(duì)值號(hào)，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷①，特殊化取可判斷②，由數(shù)形結(jié)合判斷③，借助圖象歸納規(guī)律可判斷④.【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，則，；當(dāng)，則，；當(dāng)，則，；當(dāng)，則，；依次類推，作出函數(shù)的圖像：對(duì)于①，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，即與有4個(gè)交點(diǎn)，如圖，直線的斜率應(yīng)該在直線m，l的斜率之間，又，，，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)，與不符合，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，對(duì)于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，由圖知函數(shù)的每一個(gè)上頂點(diǎn)都在曲線上，故恒成立，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，由圖象可知：所求圖象為高為的三角形，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為，故④正確；故答案為：①③④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.27．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有個(gè)不等的實(shí)根，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為【答案】C【分析】令，求出方程的兩根，數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)得出關(guān)于的不等式組，求出的范圍，可判斷BD選項(xiàng)；利用二次函數(shù)的對(duì)稱性與對(duì)數(shù)運(yùn)算可判斷C選項(xiàng).【解析】令，則，，A.當(dāng)時(shí)，，，由有解，有4解，故，A錯(cuò)；B.當(dāng)時(shí)，則方程、各有一解，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由圖可得，解得，B錯(cuò)；C.當(dāng)時(shí)，如下圖所示：由圖象可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則，由圖可知，，，由可得，所以，，則，因此，，C對(duì)；D.當(dāng)時(shí)，有兩種情況：或，從而可得的范圍為，D錯(cuò).故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.一、單選題1．（2017·山西呂梁·一模）已知函數(shù)，則的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】考慮和兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合均值不等式計(jì)算得到答案.【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故函數(shù)值域?yàn)?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值域，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.2．（2018·江西南昌·一模）設(shè)函數(shù)，若是f(x)的最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，求得的范圍；再求得的單調(diào)性，討論，時(shí)函數(shù)在的最小值，即可得到所求范圍．【解析】解：函數(shù)，若，可得，由是的最小值，由于可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若，，則在處取得最小值，不符題意；若，，則在處取得最小值，且，解得，綜上可得的范圍是，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（2019·福建龍巖·三模）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性和單調(diào)性得出和距離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近關(guān)系，列不等式求出解集．【解析】解：函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象知，關(guān)于對(duì)稱，且在，上是單調(diào)減函數(shù)；，且恒成立，，即，當(dāng)時(shí)，不等式化為：，即，解得，即；當(dāng)時(shí)，不等式化為：，即，解得或，即或；綜上，時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)對(duì)稱性、單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，以及分類討論絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法，屬于中檔題．4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知且，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)進(jìn)行分類討論，可得答案.【解析】的值域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，則，為增函數(shù)，，而時(shí)，為增函數(shù)，此時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，則，為減函數(shù)，，而時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)，，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，，則，整理得，，解得；綜上，時(shí)滿足題意.故選：A5．（2020·浙江紹興·二模）已知函數(shù)若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】畫出函數(shù)圖像，討論，，三種情況，根據(jù)圖像得到或，解得答案.【解析】如圖所示，畫出函數(shù)圖像，當(dāng)時(shí)，，即，故，即，即；當(dāng)時(shí)，易知不滿足；當(dāng)時(shí)，，即，故，即.綜上所述：或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)不等式的整數(shù)解問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和分類討論能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.6．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）十九世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)，則下列實(shí)數(shù)不屬于函數(shù)值域的是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求出，利用分段函數(shù)分段處理及函數(shù)值域的定義即可求解.【解析】由題意可知所以，，，而無解.故選：C.7．（2017·河北衡水·一模）定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，，若任給，存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】求出在，上的值域，利用的性質(zhì)得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根據(jù)題意得出兩值域的包含關(guān)系，從而解出的范圍【解析】解：當(dāng)時(shí)，，可得在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在，上的值域?yàn)椋?，在上的值域?yàn)?，，在上的值域?yàn)椋?，，，在上的值域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，在，上的值域?yàn)椋?，，解得；?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，在，上的值域?yàn)椋?，，解得；?dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，值域?yàn)椋环项}意；綜上，的范圍是或．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的值域計(jì)算，集合的包含關(guān)系，對(duì)于不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．8．（2020·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù).設(shè)，定義函數(shù)，則下列說法正確的有（

）個(gè).①的定義域?yàn)椋虎谠O(shè)，，則；③；④，則M中至少含有8個(gè)元素.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先對(duì)分兩段和化簡(jiǎn)，再對(duì)各項(xiàng)分析判斷正誤：對(duì)①，由，分段解不等式，求得函數(shù)的定義域，判斷正誤；對(duì)②，由題中的對(duì)應(yīng)法則，求出集合，判斷正誤；對(duì)③，計(jì)算得到其周期性，計(jì)算得到，判斷正誤；對(duì)④，綜合①②③的分析，判斷正誤.【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則對(duì)①，有，則或，得，即定義域?yàn)?，故①正確；對(duì)②，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，成立，所以故②項(xiàng)正確。對(duì)③，，，，一般地即有故③錯(cuò)誤；對(duì)④，由①可知,所以則所以，由②知,對(duì)恒有所以則，由③知，對(duì)恒有所以綜上所述,，所以中至少含有8個(gè)元素，故④正確。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的概念及性質(zhì)的應(yīng)用，考查了新定義函數(shù)的理解與應(yīng)用，考查了學(xué)生分析理解能力，邏輯推理能力，難度較大.二、多選題9．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的值域?yàn)镃．是偶函數(shù) D．，【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.【解析】，，，A正確；，則的值域?yàn)?，B錯(cuò)誤；時(shí)，，，，所以，時(shí)，，，，，所以為偶函數(shù)，C正確；時(shí)，取，此時(shí)，，則，D錯(cuò)誤.故選：AC10．（2023·河北·一模）已知符號(hào)函數(shù)，偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用函數(shù)的周期性及給定函數(shù)，求出函數(shù)的值域，再結(jié)合符號(hào)函數(shù)逐項(xiàng)判斷作答.【解析】當(dāng)時(shí)，，而是偶函數(shù)，則當(dāng)，，因此當(dāng)時(shí)，，其取值集合為，又，即是周期為2的函數(shù)，于是函數(shù)的值域?yàn)?，的部分圖象，如圖，

當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，C正確；當(dāng)時(shí)，取，則，此時(shí)，D錯(cuò)誤.故選：ABD11．（2023·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測(cè)）已知是周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)也是周期函數(shù)B．函數(shù)的最大值為1C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象有對(duì)稱中心也有對(duì)稱軸【答案】BCD【分析】根據(jù)判斷判斷奇函數(shù)，判斷周期性，求出在的解析式，根據(jù)圖象平移寫出在上解析式并判斷奇偶性，進(jìn)而可得解析式，結(jié)合周期性判斷B、C，最后利用、判斷D.【解析】由，令，則，故；令，則，故；所以，綜上，一個(gè)周期內(nèi)，由，而，故不是奇函數(shù)，但周期為4，A錯(cuò)；所以，是將圖象右移一個(gè)單位，故在一個(gè)周期圖象如下：

由圖象平移知：，且為偶函數(shù)，所以，故的最大值為1，B對(duì)；由周期性知：在上單調(diào)性同區(qū)間，即單調(diào)遞減，C對(duì)；由，由，注意：根據(jù)周期性有、，綜上，關(guān)于中心對(duì)稱、關(guān)于軸對(duì)稱，D對(duì).故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用奇函數(shù)、周期性判斷的奇偶性、周期性，再應(yīng)用奇偶性求解析式，結(jié)合圖象寫出解析式，最后求出在一個(gè)周期內(nèi)的解析式關(guān)鍵.12．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且它的最小正周期是，已知，．下列四個(gè)判斷中，正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，的值只有0或B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)既有對(duì)稱軸又有對(duì)稱中心C．對(duì)于給定的正整數(shù)，存在，使得成立D．當(dāng)時(shí)，對(duì)于給定的正整數(shù)，不存在且，使得成立【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，，求出的值域?yàn)椋M(jìn)而得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當(dāng)時(shí)，，，推出關(guān)于軸對(duì)稱，結(jié)合為奇函數(shù)，得到關(guān)于對(duì)稱，同理可得也滿足要求，B正確；C選項(xiàng)，推出的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況，得到C正確；D選項(xiàng)，先得到函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，得到時(shí)，，此時(shí)，D錯(cuò)誤.【解析】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，的值域?yàn)?，又為奇函?shù)，故當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?，為平移得到，故的最小正周期也為，故函?shù)的最小正周期為，故函數(shù)值域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于為平移得到，故的最小正周期也為，故只需研究即可，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，由于為連續(xù)函數(shù)，故，故的圖象在上關(guān)于直線對(duì)稱，又為奇函數(shù)，最小正周期為，結(jié)合圖象可知，在圖象在R上關(guān)于直線對(duì)稱，所以，令，則，將用替換，有，故，所以關(guān)于軸對(duì)稱，又為奇函數(shù)，故，所以，又，故，故，故關(guān)于對(duì)稱，所以既有對(duì)稱軸，又有對(duì)稱中心，當(dāng)時(shí)，同理可得既有對(duì)稱軸，又有對(duì)稱中心，B正確；C選項(xiàng)，取，則，由于為奇函數(shù)，故，又的最小正周期為，故，即，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由B選項(xiàng)知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，C正確；D選項(xiàng)，由于，所以成立，，故，即，故在上，又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且最小正周期為，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，而成立，所以，故存在成立，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，三、填空題13．（2024·浙江·一模）若函數(shù)是R上的偶函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)是上的偶函數(shù)，利用特殊值可得答案.【解析】若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則有，即，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，符合題意，則.故答案為：1.14．（2021·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）已知①當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；②若，則x的取值范圍為．【答案】或【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求解值域；解不等式即可求x的取值范圍.【解析】①當(dāng)時(shí),,時(shí)，，時(shí)，，對(duì)稱軸為，所以，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)榛?②時(shí)，無解，因?yàn)?，時(shí)，恒成立，所以x的取值范圍為.故答案為:或；.15．（2020·天津·二模）已知，若對(duì)任意，不等式恒成立，則非零實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】.【分析】由分段函數(shù)得，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，，不等式恒成立，由的單調(diào)性得到，運(yùn)用參數(shù)分離，以及函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍．【解析】，，對(duì)任意，，不等式恒成立，即對(duì)任意，，不等式恒成立，在上是增函數(shù)，，即，又，，當(dāng)時(shí)，取最小值，，解得，又，即，故，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)及應(yīng)用、不等式的解法及恒成立問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意