廣東省仲元中學(xué)、龍城高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁仲元中學(xué)-龍城高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量的定義即可求解.【詳解】由條件可得，解得.故選：D.2.橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立方程，解之即可求解.【詳解】由，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，，因?yàn)殚L軸長是短軸長的兩倍，所以，所以，得.故選：D.3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，其中，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】推導(dǎo)出，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，，由等比中?xiàng)的性質(zhì)可得，故.故選：C.4.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)對(duì)稱圓的圓心，解方程組即得圓心，然后代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【詳解】圓的圓心為，設(shè)對(duì)稱圓的圓心為，依題意得，解得，又圓的半徑與對(duì)稱圓的半徑相等都為2，所以對(duì)稱圓的方程為.故選：B.5.“”是“直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)代入計(jì)算，即可得到的取值，再由充分條件，必要條件的定義，即可得到結(jié)果.【詳解】聯(lián)立方程，整理可得，當(dāng)時(shí)，即，方程有一解，即只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，解得；所以直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或，所以“”是“直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充分不必要條件，故選：A6.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量基本定理將用，和表示出來，對(duì)照各項(xiàng)系數(shù)計(jì)算即得.【詳解】∵，∴，∴，則，，，故．故選:A.7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.當(dāng)時(shí)，最大 B.當(dāng)時(shí)，最小C.數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為 D.數(shù)列中存在最小項(xiàng)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，.對(duì)A：根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)分析判斷；對(duì)B：分類討論判斷與的大小關(guān)系；對(duì)C、D：根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及的正負(fù)性分析判斷.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，則，即，又∵，解得，對(duì)A：∵為等差數(shù)列，則可設(shè)，由二次函數(shù)可知不存在最大值，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，則有：當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，；故B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：∵，則數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以對(duì)，均有；對(duì)，均有0，所以中，最大，無最小項(xiàng)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.8.斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，交雙曲線兩條漸近線于兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)為中點(diǎn)，由可得，從而確定點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)差法探索雙曲線中，的關(guān)系，從而確定離心率.【詳解】如圖：取為中點(diǎn)，則由題意：，，則，.作軸于點(diǎn)，則，，.所以點(diǎn)坐標(biāo)為.再設(shè)，.由，且，，得：.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)是等腰三角形，從而得到垂直關(guān)系是問題的突破口.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，前項(xiàng)的積為，，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用遞推公式逐項(xiàng)計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)的值可判斷數(shù)列的周期性，可判斷B選項(xiàng)；利用數(shù)列的周期性計(jì)算可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，，，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，即對(duì)任意，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，且，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，D錯(cuò).故選：ABC.10.如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（）A.當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面所成角為B.存在點(diǎn)，使得C.對(duì)于任意點(diǎn)，均不成立D.三棱錐的體積是定值【答案】AC【解析】【分析】在正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A選項(xiàng)；利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷BC；利用點(diǎn)到平面距離的向量求法計(jì)算判斷D.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則、、、、、，所以，，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面所成角為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則點(diǎn)，，，若，則，必有，即與矛盾，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，其中，若，則，解得，不合乎題意，所以，對(duì)于任意點(diǎn)，均不成立，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，于是點(diǎn)到平面的距離，，則不是常數(shù)，又點(diǎn)、、是三個(gè)定點(diǎn)，面積是定值，因此三棱錐的體積不是定值，D錯(cuò).故選：AC.11.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，且四邊形為菱形，則（）A.準(zhǔn)線的方程為 B.C.為鈍角 D.為鈍角三角形【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由四邊形為菱形且，求出的值，得拋物線方程和準(zhǔn)線方程；由已知可得直線的傾斜角為，方程為，與拋物線方程聯(lián)立求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出判斷B選項(xiàng)，利用向量數(shù)量積判斷角的范圍驗(yàn)證CD選項(xiàng).【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖，對(duì)于A，由拋物線方程中的幾何意義可知，，四邊形為菱形，，為的中點(diǎn)，，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線的方程為，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，方法一：在中，，，直線的傾斜角為，，直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得方程組消去并整理，得，解得或則，，，，則，B正確，方法二：若直線過焦點(diǎn)，則有結(jié)論：，，，，，而，，B正確，對(duì)于C，方法一：易知，，，，，為銳角，C錯(cuò)誤，方法二：由拋物線的性質(zhì)可知，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，又直線的傾斜角為，切點(diǎn)不是點(diǎn)，則點(diǎn)在圓外，由圓的性質(zhì)可知，為銳角，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，在中，，，，，，為鈍角，則為鈍角三角形，D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線與間的距離是__________.【答案】##【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式計(jì)算可得答案.【詳解】由得，所以直線與間的距離是.故答案為：.13.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________．【答案】##【解析】【分析】先說明數(shù)列的公比不為，由條件結(jié)合等比數(shù)列求和公式證明，再結(jié)合求和公式求結(jié)論.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，矛盾，故．由題意，得，即，，所以．故答案為：14.橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知橢圓，、為其左、右焦點(diǎn).是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且的最大值為，則____________.動(dòng)直線為橢圓的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為____________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義可得出，可得出，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，可求出的值，進(jìn)而可得出，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得出點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)橢圓定義得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為射線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，則，解得，則.設(shè)切橢圓于點(diǎn)，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得、、三點(diǎn)共線，，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以，到直線的距離為，由圓的幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)到直線的距離最小值，最大值，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、．已知．（1）求角的大小；（2）設(shè)為邊的中點(diǎn)，若，，求的大?。敬鸢浮浚?）（2）2【解析】【分析】（1）用正弦定理將邊化角，再用兩角和的正弦公式化簡即可求出，進(jìn)而可得角的大??；（2）用余弦定理結(jié)合題目所給條件可求出及，再用向量即可求解.【小問1詳解】,,,,，.【小問2詳解】在中,由余弦定理得,,又因?yàn)?，所以，?lián)立解得，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以,所以，即，所以.16.已知關(guān)于x，y的方程.（1）若該方程表示圓C，求m的取值范圍；（2）若圓C與圓外切，求m的值；（3）若（2）中的圓C與經(jīng)過點(diǎn)的直線l相交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）4；（3）或.【解析】【分析】（1）化給定方程為，利用方程表示圓，即可求出范圍.（2）根據(jù)給定條件，利用兩圓相外切，列出方程，求出的值.（3）由（2）求出圓的方程，由圓的弦長公式求出圓心到直線l的距離，再按斜率存在與否分類求出方程.【小問1詳解】方程，變形得，由方程表示圓，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由圓，得，此圓圓心，半徑為，又圓的圓心，半徑，由圓與圓相外切，得，即，所以.【小問3詳解】由（2）知，圓的圓心，半徑，由圓的弦長，得圓心到直線的距離，圓心到直線的距離為，且直線過點(diǎn)，因此直線方程可以是；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，由，解得，直線的方程為，所以直線l的方程為或.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，并滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法可求得.【小問1詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，并滿足，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，故對(duì)任意的，.【小問2詳解】因?yàn)?，則，所以，，所以，，，上式下式可得，因此，.18.如圖，在三棱錐中，，，是線段上的點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若為線段中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；（3）若平面，為垂足，直線與平面的交點(diǎn)為，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；（3）設(shè)，設(shè)，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將三棱錐的體積表示為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式求出三棱錐體積的最大值，利用等號(hào)成立的條件求出的值，可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)，求出的坐標(biāo)，根據(jù)求出的值，即可得解.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋?，則，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，所以，，故當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】設(shè)，因?yàn)?，其中，所以，，可得，即點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，則點(diǎn)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積取最大值，此時(shí)，點(diǎn)，由（2）可知，此時(shí)，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，其中，則，因平面，則，所以，，解得，所以，，所以，即長為.19.17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)了多種圓錐曲線規(guī)，其中的一種如圖1所示.四根等長的桿用鉸鏈?zhǔn)孜叉溄?，?gòu)成菱形.帶槽桿長為4，點(diǎn)間的距離2，轉(zhuǎn)動(dòng)桿一周的過程中始終有.點(diǎn)在線段的延長線上，且.（1）以線段中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).記直線的斜率分別為，（i）證明：為定值；（ii）若直線的斜率為，點(diǎn)是軌跡上異于的點(diǎn)，且平分，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，確定a，b即可求解；（2）（i）設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，結(jié)合兩點(diǎn)表示斜率公式即可證明；（ii）根據(jù)三角形面積公式化簡可得，設(shè)，由（i）和平面向量的坐標(biāo)表示建立的方程，解之即可求解.【小問1詳解】，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，，，點(diǎn)的軌跡的方程為；【小問2詳解】（i）證明：設(shè)直線與橢圓的交