廣西欽州市示范性高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁2024年12月份月考高二數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分）1.直線和直線互相平行，則的值為（）A. B.3 C.3或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件求解．【詳解】因為直線和直線互相平行，所以，解得或，時，兩直線方程分別為和，平行，時，兩直線方程分別為和，重合，不合題意．所以，故選：A．2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法求復(fù)數(shù)，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念求答案.【詳解】，則其共軛復(fù)數(shù)為.故選：C3.若離心率為的雙曲線與橢圓的焦點相同，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程確定且焦點在x軸上，再由雙曲線離心率及參數(shù)關(guān)系確定方程.【詳解】由橢圓方程知：且焦點在x軸上，又雙曲線的離心率為，則，所以，則雙曲線的方程是.故選：D4.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為底面的中心，為的中點，且，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題先建立空間直角坐標(biāo)系，接著求出和直線的單位方向向量，再由空間中的點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由題可以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，則，故點到直線距離為.故選：B.5.不透明的袋中裝有5個大小質(zhì)地完全相同的小球，其中3個紅球、2個白球，從袋中一次性取出2個球，記事件A=“兩球同色”，事件B=“兩球異色”，事件C=“至少有一紅球”，則（）AB.事件與事件是相互獨立事件C.事件與事件是對立事件D.【答案】D【解析】【分析】利用組合數(shù)及古典概率的求法判斷A、D；由事件描述，結(jié)合獨立事件的判定及對立事件的定義判斷B、C.【詳解】對于A，隨機(jī)試驗從袋中一次性取出2個球的樣本空間含個樣本點，隨機(jī)事件A包含的樣本點的個數(shù)為，所以，錯誤；對于B，隨機(jī)事件包含的樣本點的個數(shù)為，所以，隨機(jī)事件為不可能事件，所以，所以，所以事件A與事件不是相互獨立事件，錯誤，對于C，根據(jù)題設(shè)描述，易知事件A與事件C不是對立事件，錯誤；對于D，隨機(jī)事件包含的樣本點的個數(shù)為，所以，正確.故選：D6.已知圓的方程為，過點的直線與圓交于，兩點，則弦的最小值為（）A. B.10 C. D.5【答案】A【解析】【分析】確定圓的圓心和半徑，確定當(dāng)時，最短，根據(jù)圓心距和圓的半徑以及弦長的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】圓的方程可化為，則，因為，故點在圓內(nèi)，過點的最長弦一定是圓的直徑，當(dāng)時，最短，此時，則，故選：A．7.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點，若為線段中點且（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率為（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，應(yīng)用點差法，結(jié)合為線段中點及、列方程求得，進(jìn)而求離心率.【詳解】由題意，設(shè)，則，兩式相減得，而，，所以.故選：B.8.在四面體中，點為線段靠近A的四等分點，為的中點，若，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量運算法則結(jié)合空間向量基本定理即可計算求解.【詳解】由題又由題，故.故選：C.二、多選題（每小題6分）9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若向量是空間的一組基底，則也是空間的一組基底C.兩個不同的平面的法向量分別是，則D.直線方向向量，平面的法向量，則【答案】BC【解析】【分析】由向量的數(shù)量積是否為0判斷向量是否垂直，從而判斷空間線面位置關(guān)系，判斷ACD，由空間基底的概念判斷B．【詳解】對于A，，A錯誤對于B，若向量共面，則，整理得，由向量是空間的一組基底，所以，顯然方程無解，則向量不共面，也是空間一組基底，故B正確；對于C，因為，所以，有，故C正確；對于D，因為，所以，或，因為不能確定直線是否在平面內(nèi)，故D錯誤；故選：BC.10.（多選題）已知曲線，則下列說法正確的是（）．A.若，則C是焦點在x軸上的橢圓B.若，則C是圓C.若，，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若，則C是雙曲線，其離心率為或【答案】ABD【解析】【分析】由，可得為焦點在軸上的橢圓，可判斷A；由，可判斷B；由，，求得雙曲線的漸近線方程，可判斷C；由，討論，，求得離心率，可判斷D．【詳解】解：曲線，若，則是焦點在軸上的橢圓，故A正確；若，即，則是圓，故B正確；若，，則是雙曲線，其漸近線方程為，即，故C錯誤；若，則是雙曲線，當(dāng)，可得雙曲線的焦點在軸上，可得，當(dāng)，可得雙曲線的焦點在軸上，可得，故D正確．故選：ABD．11.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，則（）A.B.C.異面直線與夾角的余弦值為D.點到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量模長的坐標(biāo)表示、線線角、點面距離的向量法判斷B、C、D；由空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義用相關(guān)向量表示出判斷A.【詳解】因為面面，所以，在正方形中，有，所以兩兩互相垂直，以A為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，而，從而，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，則直線與夾角的余弦值為，故C正確；對于D，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以，又，所以點到平面的距離為，故D正確.故選：ACD三、填空題（每小題5分）12.設(shè)關(guān)于x的實系數(shù)方程的兩個虛根為、，則______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合韋達(dá)定理和二次方程虛根的概念即可求解.【詳解】由題可知，，設(shè)，a，b∈R，則，則．故答案為：13.阿波羅尼斯（約公元前262年~約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家，主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì)其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線的左，右焦點分別為，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的右支上一點的反射，反射光線為，若反射光線與入射光線垂直，則______.【答案】【解析】【分析】利用垂直和雙曲線的定義把和用表示后，由直角三角形中正弦函數(shù)定義計算．【詳解】設(shè)，由題意知，所以，所以，又，所以，解得，所以.故答案為：14.如圖，，分別為橢圓的左、右焦點，A，C在橢圓上且關(guān)于原點對稱（點A在第一象限），延長交橢圓于點B，若，則直線AC的方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的對稱性得出四邊形為平行四邊形，則，設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程消去得出，則，同理，即可根據(jù)弦長公式列式解出，即可得出答案.【詳解】連接，，，，四邊形為平行四邊形，.設(shè)直線的斜率為k，，直線的方程為.聯(lián)立方程，得，整理得，點A在第一象限，，同理可得.，得，，則，直線AC的方程為.四、解答題15.已知圓過點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程;（2）若直線過點且與圓相切，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求得圓的方程.（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由此求得直線的方程.【小問1詳解】設(shè)圓心，由得：，解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，直線與圓相切，符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.16.已知拋物線方程為，焦點在直線上．（1）求拋物線的方程；（2）記直線與拋物線交于，兩點，求線段的長度．【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點在直線上，令直線中，可得焦點坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程．（2）將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，計算，然后利用焦點弦長公式計算．【小問1詳解】因為拋物線方程為，焦點在直線上，所以令，解得，則，所以，所以拋物線的方程為；【小問2詳解】因為直線與拋物線交于，兩點，聯(lián)立，消去整理得，，所以，所以，即線段的長度為5．17.如圖所示，在多面體中，底面為矩形，且底面，，，.（1）證明：平面.（2）求直線與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取線段的中點，連接，求證即可由線面平行判定定理得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量和平面的一個法向量即可由線面角的空間向量法計算求解.【小問1詳解】證明：取線段的中點，連接，因為四邊形是矩形，且，所以且，因為且且，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，則，因為平面平面，所以平面【小問2詳解】因為底面平面，所以，又因為所以以為坐標(biāo)原點，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故平面的一個法向量，設(shè)直線與平面夾角為，，所以，直線與平面夾角的正弦值為.18.如圖，在三棱錐中，，，側(cè)面等邊三角形，側(cè)棱.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)中點為，連結(jié)，，推導(dǎo)出，，從而就是二面角的平面角，由已知條件可得，，，從而得，即可證明平面平面；（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，建立方程求出平面和平面的法向量，用公式即可求出二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：設(shè)中點為，連結(jié)，，如圖：∵∴.又∵∴.∴就是二面角的平面角.又由已知，，∴，.又∵為正三角形，且，∴.∵滿足.∴.∴平面平面【小問2詳解】由（1）知，，兩兩垂直.以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知，，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，.∴平面的一個法向量為.易知平面的一個法向量為.∴.由圖可知，二面角為銳角.∴二面角的余弦值為.19.已知橢圓的離心率，左，右焦點分別為，點在橢圓上：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交橢圓于兩點，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由離心率得，再代入已知點坐標(biāo)結(jié)合求得得橢圓方程；（2）設(shè)，直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，再用表示出面積，化為的函數(shù)，然后利用基本不等式求得最