河北省張家口市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)張家口市2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期高三年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)2025.1注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集定義計(jì)算即可得.【詳解】由、，，故.故選：B.2.已知是一個(gè)平面，是兩條不同的直線(xiàn)，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理及空間中直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，結(jié)合充分條件與必要條件定義判定即可得.【詳解】若，由，則；若，則與可能垂直、可能相交也可能平行，還有可能平面；故是的充分不必要條件.故選：A.3.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算可得點(diǎn)在橢圓上，再可結(jié)合橢圓定義及橢圓方程求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)即可得.【詳解】由橢圓可得其長(zhǎng)軸長(zhǎng)，由，故點(diǎn)在橢圓上，則由橢圓定義可得.故選：D.4.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足且，則（）A.5 B. C. D.10【答案】B【解析】分析】設(shè)，則可得，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算可得，再計(jì)算出后結(jié)合模長(zhǎng)定義計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)，則，即，則，則，則.故選：B.5.已知單位向量與的夾角為，若，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】借助單位向量定義與數(shù)量積公式計(jì)算可得，再結(jié)合模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得解.【詳解】由，則，解得，則.故選：A.6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則取最大值時(shí)的值是（）A.4 B.5 C.6 D.10【答案】B【解析】【分析】設(shè)出公差，結(jié)合等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得，再用與表示出后，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，化簡(jiǎn)得，即，則，由，則當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，則函數(shù)在區(qū)間上（）A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減C.最大值為 D.最小值為【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，，則有，，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得在區(qū)間上的單調(diào)性及其最值.【詳解】由，，則，，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，故，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，，，即，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.8.已知函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A.有最大值，沒(méi)有最小值 B.有最小值，沒(méi)有最大值C.既有最大值，也有最小值 D.既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值【答案】A【解析】【分析】當(dāng)，可得在時(shí)無(wú)零點(diǎn)，則需在時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，則可得且；當(dāng)時(shí)，可得在時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，則需在時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，則可得，即可得的取值范圍，即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)在時(shí)無(wú)零點(diǎn)，則需在時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，令，則或，則、且，解得且，即且符合要求；當(dāng)時(shí)，令，則，即在時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，則需在時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，令，則或，由，則，故需滿(mǎn)足，解得，即時(shí)，符合要求；綜上所述，，故實(shí)數(shù)有最大值，沒(méi)有最小值.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于分及進(jìn)行討論，即可得分別在及時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可討論出的取值范圍.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某企業(yè)有兩條生產(chǎn)線(xiàn)，現(xiàn)對(duì)這兩條生產(chǎn)線(xiàn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值進(jìn)行分析，得到如下數(shù)據(jù)：生產(chǎn)線(xiàn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值，生產(chǎn)線(xiàn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值.已知生產(chǎn)線(xiàn)的產(chǎn)量是生產(chǎn)線(xiàn)的倍，則（）A.生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值高于生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值B.該企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值是C.生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差低于生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差D.，兩條生產(chǎn)線(xiàn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值低于的概率相同【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合正態(tài)分布定義可得A、C；借助均值定義計(jì)算可得B；借助正態(tài)分布的原則可得D.【詳解】對(duì)A：生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值為，生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值為，故生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值高于生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值，故A正確；對(duì)B：該企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的均值是，故B正確；對(duì)C：生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差為，生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差為，故生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差高于生產(chǎn)線(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，，故，兩條生產(chǎn)線(xiàn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值低于的概率相同，故D正確.故選：ABD.10.已知圓柱的軸截面為矩形為下底面圓的直徑，點(diǎn)在下底面圓周上，為的中點(diǎn)，，則（）A.該圓柱的體積為B.該圓柱的表面積為C.直線(xiàn)與平面所成角為D.二面角為【答案】D【解析】【分析】由幾何關(guān)系結(jié)合圓柱的體積公式可得A錯(cuò)誤；由圓柱的表面積公式可得B錯(cuò)誤；由線(xiàn)面垂直得到線(xiàn)面角，再由正弦值可得C錯(cuò)誤；由二面角的概念得到為二面角的平面角，再求其值可得D正確；【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以平面，即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為等腰直角三角形，所以，又，為底面圓的直徑，所以，所以該圓柱的體積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A可得該圓柱的表面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榈酌妫酌?，所以，又，平面，所以平面，所以直線(xiàn)與平面所成角，因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C可得為二面角的平面角，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以，即二面角為，故D正確；故選：D.11.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，且，，都有，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用賦值法判斷A，利用的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性分析得其周期性，再結(jié)合賦值法可判斷BC，利用的周期性，結(jié)合一個(gè)周期內(nèi)的相應(yīng)函數(shù)值之和即可得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，都有，所以，即，則，又，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，則，即，又，則，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，，則，所以，故B正確；對(duì)于C，，即，則，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以又，即是周期為的周期函?shù)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問(wèn)題，常見(jiàn)結(jié)論：（1）關(guān)于對(duì)稱(chēng)：若函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)，則，若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第一象限，角的終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是_____.【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的定義可得出的值，再利用誘導(dǎo)公式可得出的值，即為所求.【詳解】由題意可得，則角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo).故答案為：.13.雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的離心率為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】由交點(diǎn)的縱坐標(biāo)可得其橫坐標(biāo)的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)可得，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得與、有關(guān)齊次式，結(jié)合離心率定義計(jì)算即可得解.【詳解】由的縱坐標(biāo)為，則，即，由點(diǎn)在以為直徑的圓上，故，即有，化簡(jiǎn)得，即，又，故，即.故答案：.14.若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列.若數(shù)列為遞增數(shù)列，則_____；若數(shù)列滿(mǎn)足，且，則_____.【答案】①.②.【解析】【分析】結(jié)合所給定義與遞增數(shù)列的性質(zhì)可得，利用累加法計(jì)算即可得空一；依題意的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，從而可得當(dāng)時(shí)，有，再證明相鄰兩項(xiàng)不可能同時(shí)為非負(fù)數(shù)，從而可得，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由為遞增數(shù)列，則，故，則，，，，則即，又，則，故；由，故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，依題意，可得，或，由，故，故或，則或或或，由，故，又，則，故，故當(dāng)時(shí)，有，下面證明數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)不可能同時(shí)為非負(fù)數(shù)：假設(shè)數(shù)列中存在同時(shí)為非負(fù)數(shù)，因?yàn)?，若，則有，與條件矛盾；若，則有，與條件矛盾；即假設(shè)不存在，即對(duì)任意正整數(shù)，中至少有一個(gè)小于；由，對(duì)成立，故時(shí)，，，即，故，故，即，，又，所以數(shù)列是，公差為1的等差數(shù)列，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：空二的關(guān)鍵點(diǎn)在于考慮每項(xiàng)前后的兩項(xiàng)數(shù)列正負(fù)，并根據(jù)累加可得.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知6位同學(xué)中有3位女生，3位男生，現(xiàn)將這6位同學(xué)隨機(jī)平均分成，兩組，進(jìn)行比賽.（1）求組中女生的人數(shù)的分布列.（2）記事件:女生不都在同一組，事件:女生甲在組.判斷事件是否相互獨(dú)立，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）相互獨(dú)立，證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）依題意求出組中女生的人數(shù)，根據(jù)概率公式求出分布列；（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式驗(yàn)證相互獨(dú)立.【小問(wèn)1詳解】組中女生的人數(shù)可能為0，1，2，3，故的可能取值為0，1，2，3，，，，所以組中女生的人數(shù)的分布列為0123

【小問(wèn)2詳解】事件相互獨(dú)立，證明如下：事件:女生不都在同一組，概率，事件:女生甲在組，概率，，，所以事件相互獨(dú)立.16.已知為的角所對(duì)的邊，且滿(mǎn)足,為的中點(diǎn).（1）求角;（2）若，求AD的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)變形可求得角；（2）利用數(shù)量積公式計(jì)算求得，由平面向量加法的平行四邊形法則可得，計(jì)算出的值，即可求得的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】,由正弦定理得，，，∴，，，當(dāng)時(shí)，，，∴，，∵，.【小問(wèn)2詳解】，∴，又∵，由余弦定理得，∴.由平面向量加法的平行四邊形法則可得，所以，，，即的長(zhǎng)為．17.如圖，平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，將沿翻折至，使得平面平面，是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）證明：平面；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）借助折疊性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)可得，再借助面面垂直的性質(zhì)定理可得線(xiàn)面垂直從而可得線(xiàn)線(xiàn)垂直，借助相似三角形的性質(zhì)亦可得到線(xiàn)線(xiàn)垂直，最后利用線(xiàn)面垂直判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，取使最小的點(diǎn)，再求出平面與平面的法向量后借助空間向量夾角公式計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】由，為的中點(diǎn)，則，則，又平面平面，平面平面，平面，故平面，又平面，故，由，，則，，，由，則，則，又，故與相似，故，則，故，又，，、平面，故平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得、、兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、D0,1,0、P0,0,1，則、、，設(shè)，，則，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，由，故則當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小時(shí)，的面積最小，此時(shí)，則，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則有，取，則，，即，由軸平面，故平面的法向量可為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.18.直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方)，點(diǎn)（，且）在軸上，直線(xiàn)，分別與交于點(diǎn)，，記直線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）若直線(xiàn)垂直于軸，求直線(xiàn)的方程.（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意可得，則可計(jì)算出點(diǎn)、坐標(biāo)，結(jié)合坐標(biāo)即可得、坐標(biāo)，即可得直線(xiàn)的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)，可得與交點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合坐標(biāo)則可表示出、坐標(biāo)，即可得直線(xiàn)的方程，再令即可得，最后借助放縮并裂項(xiàng)相消法求和即可得證.【小問(wèn)1詳解】由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，若直線(xiàn)垂直于軸，則，令，則、，，則，即，，即，聯(lián)立，解得或，即，聯(lián)立，解得或，即，故直線(xiàn)的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立，則有，故，，由，則，，聯(lián)立，則，故，即，同理可得，則，，則，令，即有，又，則，則，故，由，故，即得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足:對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱(chēng)為函數(shù)的上界，最小的稱(chēng)為函數(shù)的上確界，記作.與之對(duì)應(yīng)，若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足:對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱(chēng)為函數(shù)的下界，最大的稱(chēng)為函數(shù)的下確界，記作.（1）若有下確界，則一定是的最小值嗎?請(qǐng)舉例說(shuō)明.（2）已知函數(shù)，其中.(i)若，證明:有下確界，沒(méi)有上確界.(ii)若函數(shù)有下確界，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明