新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四概率與統(tǒng)計(jì)第2講概率練習(xí)文新人教A版

PAGE1-第2講概率一、選擇題1．(2024·重慶市七校聯(lián)合考試)在區(qū)間[－3，4]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則滿意2x≥2的概率是()A.eq\f(2,7) B.eq\f(3,7)C.eq\f(4,7) D.eq\f(5,7)解析：選B.由2x≥2，得x≥1.又[－3，4]的區(qū)間長度是7，[1，4]的區(qū)間長度是3，所以所求概率P＝eq\f(3,7).故選B.2．(2024·高考全國卷Ⅲ)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選D.將兩位男同學(xué)分別記為A1，A2，兩位女同學(xué)分別記為B1，B2，則四位同學(xué)排成一列，狀況有A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24種，其中2名女同學(xué)相鄰的有12種，所以所求概率P＝eq\f(1,2)，故選D.3．某學(xué)校星期一至星期五每天上午共支配五節(jié)課，每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘，第一節(jié)課上課時(shí)間為7：50～8：30，課間休息10分鐘，某同學(xué)請假后返校，若他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽其次節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選B.他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長度為40，他聽其次節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘，則他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，區(qū)間長度為10，所以他在8：50～9：30之間隨機(jī)到達(dá)教室，則他聽其次節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率是eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).4．(2024·南昌市第一次模擬測試)2024年廣東新高考將實(shí)行3＋1＋2模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．今年高一的小明與小芳都打算選歷史與政治，假如他們都對后面三科沒有偏好，則他們選課相同的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,9)解析：選B.記地理、化學(xué)、生物分別為D，H，S，則小明與小芳的選課方案可能是(D，D)，(D，H)，(D，S)，(H，D)，(H，H)，(H，S)，(S，D)，(S，H)，(S，S)，共9種，小明與小芳選課方案相同的可能是(D，D)，(H，H)，(S，S)，共有3種狀況，所以他們選課相同的概率為eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，故選B.5．(2024·湖南省湘東六校聯(lián)考)如圖，一靶子是由三個(gè)全等的三角形和中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的大等邊三角形，其中3DF＝2BF，若向靶子隨機(jī)投鏢，則鏢落在小等邊三角形內(nèi)的概率是()A.eq\f(2,7) B.eq\f(4,49)C.eq\f(3,13) D.eq\f(3\r(13),13)解析：選B.因?yàn)?DF＝2BF，所以不妨設(shè)DF＝2，BF＝3，則DC＝3，∠BDC＝120°，由余弦定理可得BC＝eq\r(25＋9－2×5×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝7，所以鏢落在小等邊三角形內(nèi)的概率是eq\f(\f(1,2)×DF2×sin60°,\f(1,2)×BC2×sin60°)＝eq\f(4,49)，故選B.6．(2024·武漢市調(diào)研測試)為了提升全民身體素養(yǎng)，學(xué)校非常重視學(xué)生體育熬煉．某?；@球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí)，他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為eq\f(3,4)，他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為eq\f(1,4).若他第1球投進(jìn)的概率為eq\f(3,4)，則他第2球投進(jìn)的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,16)D.eq\f(9,16)解析：選B.設(shè)該籃球運(yùn)動(dòng)員投進(jìn)第n－1(n≥2，n∈N*)個(gè)球的概率為Pn－1，第n－1個(gè)球投不進(jìn)的概率為1－Pn－1，則他投進(jìn)第n個(gè)球的概率為Pn＝eq\f(3,4)Pn－1＋eq\f(1,4)(1－Pn－1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)Pn－1，所以Pn－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(1,2))).所以Pn－eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P1－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n＋1).所以Pn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n＋1)＋eq\f(1,2)(n∈N*)，所以P2＝eq\f(5,8).故選B.二、填空題7．一個(gè)三位自然數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)其中兩個(gè)數(shù)字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱為“有緣數(shù)”(如213，134等)．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率是________．解析：由1，2，3組成的三位自然數(shù)可能為123，132，213，231，312，321，共6個(gè)；同理，由1，2，4組成的三位自然數(shù)有6個(gè)，由1，3，4組成的三位自然數(shù)有6個(gè)，由2，3，4組成的三位自然數(shù)有6個(gè)，共24個(gè)三位自然數(shù)．由1，2，3或1，3，4組成的三位自然數(shù)為“有緣數(shù)”，共12個(gè)，所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的概率為eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2).8．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在三棱錐B1-A1BC1內(nèi)的概率為________．解析：由題意，本題是幾何概型，以體積為測度．因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長為a，所以三棱錐B1-A1BC1的體積eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·a·a·a＝eq\f(1,6)a3，正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為a3，所以在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M落在三棱錐B1-A1BC1內(nèi)的概率為eq\f(\f(1,6)a3,a3)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)9．折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段．已知在折疊“愛心”的過程中會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點(diǎn)，四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為________．解析：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則由題意，多邊形AEFGHID的面積為S正方形AGFE＋S正方形DGHI＋S△ADG＝(eq\r(5))2＋(eq\r(5))2＋eq\f(1,2)×2×2＝12，陰影部分的面積為2×eq\f(1,2)×2×2＝4，所以向多邊形AEFGHID中投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)三、解答題10．(2024·高考天津卷)2024年，我國施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除方法，涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除．某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受狀況．(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受狀況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪．員工項(xiàng)目ABCDEF子女教化○○×○×○接著教化××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．解：(1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采納分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人．(2)①從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種．②由表格知，符合題意的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種．所以，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(11,15).11．(2024·昆明市質(zhì)量檢測)某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的理念，激勵(lì)農(nóng)戶利用荒坡種植果樹．某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A，B，C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)覺，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B，C的自然成活率均為0.9.(1)若引種樹苗A，B，C各10棵．①估計(jì)自然成活的總棵數(shù)；②利用①中估計(jì)的結(jié)論，從沒有自然成活的樹苗中隨機(jī)抽取2棵，求抽到的2棵都是樹苗A的概率．(2)該農(nóng)戶確定引種B種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有75%的樹苗可經(jīng)過人工栽培技術(shù)處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活．若每棵樹苗最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農(nóng)戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種B種樹苗多少棵？解：(1)①依題意，10×0.8＋10×0.9＋10×0.9＝26，所以自然成活的總棵數(shù)約為26.②沒有自然成活的樹苗共4棵，其中2棵A種樹苗，1棵B種樹苗，1棵C種樹苗，分別設(shè)為a1，a2，b，c，從中隨機(jī)抽取2棵，可能的狀況有(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(b，c)，抽到的2棵都是樹苗A的概率為eq\f(1,6).(2)設(shè)該農(nóng)戶引種B種樹苗n棵，最終成活的棵數(shù)為0.9n＋(1－0.9)n×eq\f(3,4)×0.8＝0.96n，未能成活的棵數(shù)為n－0.96n＝0.04n，由題意知0.96n×300－0.04n×50≥200000，則n>699.所以該農(nóng)戶至少引種700棵B種樹苗，才可獲利不低于20萬元．12．(2024·洛陽尖子生其次次聯(lián)考)某港口有一個(gè)泊位，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位的?？繒r(shí)間(單位：小時(shí))，假如?？繒r(shí)間不足半小時(shí)按半小時(shí)計(jì)時(shí)，超過半小時(shí)不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)時(shí)，依此類推，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：?？繒r(shí)間2.533.544.555.56輪船數(shù)量12121720151383設(shè)該月這100艘輪船在該泊位的平均停靠時(shí)間為a小時(shí)．(1)求a的值；(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船須要在該泊位停靠a小時(shí)，且在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r(shí)必需等待的概率．解：(1)a＝eq\f(1,100