高等數(shù)學(xué) 教案【ch08】多元微分學(xué)

《高等數(shù)學(xué)》課程教案課題：多元微分學(xué)教學(xué)目的：1．了解多元函數(shù)的基本概念。2．掌握偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算方法。3．會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。4．會(huì)求多元函數(shù)的極值。課型：新授課課時(shí)：本章安排8個(gè)課時(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算方法教學(xué)難點(diǎn)：難點(diǎn)：求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和多元函數(shù)的極值教學(xué)過程：教學(xué)形式：講授課，教學(xué)組織采用課堂整體講授和分組演示。教學(xué)媒體：采用啟發(fā)式教學(xué)、案例教學(xué)等教學(xué)方法。教學(xué)手段采用多媒體課件、視頻等媒體技術(shù)。板書設(shè)計(jì)：本課標(biāo)題多元微分學(xué)課次4授課方式理論課□討論課□習(xí)題課□其他□課時(shí)安排8學(xué)分共2分授課對(duì)象普通高等院校學(xué)生任課教師教材及參考資料1.《高等數(shù)學(xué)》；電子工業(yè)出版社。2.本教材配套視頻教程及學(xué)習(xí)檢查等資源。3.與本課程相關(guān)的其他資源。教學(xué)基本內(nèi)容教學(xué)方法及教學(xué)手段課程引入銜接導(dǎo)入在前面已經(jīng)討論了含有一個(gè)自變量的函數(shù)（一元函數(shù)），但在自然科學(xué)和工程技術(shù)中，經(jīng)常會(huì)遇到含有兩個(gè)及兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，即多元函數(shù)。本章將以二元函數(shù)為主討論多元函數(shù)的微分，多元函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可以類推。二元函數(shù)與一元函數(shù)有許多相似之處，但在某些方面存在本質(zhì)區(qū)別，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意它們的聯(lián)系與區(qū)別。參考以下形式：1.銜接導(dǎo)入2.懸念導(dǎo)入3.情景導(dǎo)入4.激疑導(dǎo)入5.演示導(dǎo)入6.實(shí)例導(dǎo)入7.其他形式本章基本知識(shí)匯總第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域平面上由幾條曲線圍成的部分平面稱為平面區(qū)域，一般用D表示。圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界線。如滿足（1）x2（2）x+y>0，（3）&x（4）y2的點(diǎn)集都是平面區(qū)域，它們對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域見下圖。212包括邊界線的平面區(qū)域稱為閉區(qū)域，如圖1和圖3所示；不包括邊界線的平面區(qū)域稱為開區(qū)域，如圖2和圖4所示。若一個(gè)區(qū)域可以被一個(gè)適當(dāng)大小的圓覆蓋，則稱該區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，如圖1和圖3所示；否則稱為無界區(qū)域，如圖2和圖4所示。二、多元函數(shù)的概念定義1（二元函數(shù)的定義）設(shè)有三個(gè)變量x、y和z，D是平面上的一個(gè)區(qū)域，若當(dāng)變量x、y取區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)(x,y)時(shí)，按照某一確定的對(duì)應(yīng)法則f，變量z總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱z=f(x,y)。區(qū)域D稱為該函數(shù)的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因變量，數(shù)集(x,y)對(duì)于定義域D內(nèi)的一點(diǎn)(x0,y0f(x0,類似地，可以定義三元函數(shù)、四元函數(shù)等。二元及二元以上的函數(shù)，統(tǒng)稱為多元函數(shù)。多元函數(shù)的定義域、函數(shù)值和對(duì)應(yīng)法則的求法與一元函數(shù)的定義域、函數(shù)值和對(duì)應(yīng)法則的求法基本相似。三、二元函數(shù)的極限z=f(x,y)(x,y)(x0,y0)f(x,y)Alim&x→x0&y→y四、二元函數(shù)的連續(xù)設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(xlim&x→x0則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x若函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)。二元連續(xù)函數(shù)的圖形是沒有空隙和裂縫的連續(xù)曲面。根據(jù)極限四則運(yùn)算法則及有關(guān)復(fù)合函數(shù)的極限定理，可以證明，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復(fù)合函數(shù)都是連續(xù)的。由此可以得出，二元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D上必存在最大值和最小值。設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，且z1和z2為D上兩個(gè)不同的函數(shù)值，若數(shù)C介于z1f(ξ,η)=C。第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們研究過函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)y對(duì)于自變量x的變化率。函數(shù)y=f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)是指當(dāng)自變量在x處有一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)的增量f(x+Δx)-f(x)與自變量的增量Δx的比值在自變量增量Δx→0時(shí)的極限，即dydx對(duì)于多元函數(shù)，我們也常常需要研究它對(duì)某個(gè)自變量的變化率的問題，這就有了偏導(dǎo)數(shù)的概念。設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量y保持定值y0不變，而自變量x在xΔz若極限lim存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,?z?x&x=x0&y=即fx類似地，可以定義z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,?z?y&x=x0&y=即fy'(若函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù)，此函數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作?z?x、?zx'或fx'(x,y)。類似地，可以定義函數(shù)z=f(x,y)根據(jù)以上定義，可以發(fā)現(xiàn)：二元函數(shù)對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是將y看成常量，只把x看成變量的一元函數(shù)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；二元函數(shù)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是將x看成常量，只把y看成變量的一元函數(shù)對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。類似地，可以定義多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，如三元函數(shù)u=f(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)有三個(gè)，分別為或?f?x、ux'、f二、高階偏導(dǎo)數(shù)類似于一元函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義，可以定義二元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)。若二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)fx'(x,y)和f ??x?z?x ??x?z?y其中，fxy″(x,y)用同樣的方法可以得到二階以上的偏導(dǎo)數(shù)。定理3若函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D上的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)fxy″(x,y)fxy由該定理可知，二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求偏導(dǎo)數(shù)的次序無關(guān)，且該定理對(duì)于多元函數(shù)的更高階的混合偏導(dǎo)數(shù)也成立。第三節(jié)全微分我們?cè)诘诙轮v過一元函數(shù)的微分，對(duì)于一元函數(shù)y=f(x)，如果自變量x在x0處有一個(gè)增量Δx，相應(yīng)的函數(shù)就有一個(gè)增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；若Δy可以表示成AΔx+o(Δx)（其中A與Δx無關(guān)，o(Δx)是Δx的高階無窮?。瑒t稱函數(shù)y=f(x)在x類似于一元函數(shù)微分的概念，引入二元函數(shù)全微分的概念?？聪旅娴睦?。設(shè)矩形的長和寬分別為x和y，則此矩形的面積S=xy。若在點(diǎn)(x0, ΔS=(x上式右端包含兩個(gè)部分：一部分是y0Δx+x0Δy，它是關(guān)于Δx和Δy的線性組合；另一部分是ΔxΔy，當(dāng)ρ=(Δx)2+(Δy)2定義5設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x、y在點(diǎn)(x0,y0)處分別有增量Δx、Δy時(shí)，其全增量Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)，若 dz(若函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的每點(diǎn)處都可微，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微。與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)也有如下定理。定理4若z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0證明:因?yàn)閦=f(x,y)在點(diǎn)(x Δz=f(x所以lim=定理

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說明，若f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處不連續(xù)，則f(x,y)在點(diǎn)(x0,定理5（可微的必要條件）若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，則函數(shù)A=?z證明:因?yàn)楹瘮?shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，所以在點(diǎn)(x0,y0)處的全增量可以表示為當(dāng)Δy=0時(shí)，全增量就轉(zhuǎn)化為偏增量Δx而ρ=Δx，從而Δlim=A+lim即A=?z?xxdzx與一元函數(shù)一樣，若自變量的增量等于自變量的微分，即Δx=dx、Δy=dy，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)dzx一般地，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分為 dz=?z?x在一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，但在多元函數(shù)里，這個(gè)結(jié)論并不成立。例如，由本章第一節(jié)例5及第二節(jié)例12可知，f(x,y)=&xyx2+y2，x2+y2定理6（可微的充分條件）若函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)?z?x、?z?y在點(diǎn)(x二元函數(shù)全微分的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)。例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)，若三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)?u?x du=?u?xdx+?u第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則在第二章里，我們學(xué)過一元函數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，即若函數(shù)y=f(u)對(duì)u可導(dǎo)，u=φ(x)對(duì)x可導(dǎo)，則dydx多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題比較復(fù)雜，我們先從一種特殊情況開始討論。定理7設(shè)一元函數(shù)u=φ(x)與v=ψ(x)在x處均可導(dǎo)，二元函數(shù)z=f(u,v)在x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u,v)處有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?z?u、?z?v，則復(fù)合函數(shù) dzdx=?z證明：設(shè)x的增量為Δx，則u、v有相應(yīng)的增量Δu、Δv，從而Δz=f(u+Δu,v+Δv)-f(u,v)，根據(jù)假設(shè)，z=f(u,v)在點(diǎn)(u,v)處的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而知其可微，所以Δz=?z

==因此limΔx→0dz==?z二、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)方程F(x,y)=0確定了函數(shù)y=y(x)，則將它代入方程變?yōu)楹愕仁紽x,y(x)兩端對(duì)x求導(dǎo)得Fx若Fy dydx這就是一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。8.設(shè)x3+y3+z39.設(shè)2sin?z?x第五節(jié)多元函數(shù)的極值和最值一、二元函數(shù)的極值定義

6設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于點(diǎn)P0(x0,y0)的點(diǎn)P(x,y)，若總有f(x,y)<f(x0,y0)，則稱函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。根據(jù)定義可知函數(shù)z=x2+y2在點(diǎn)(0,0)處有極小值0，因?yàn)閷?duì)于(0,0)函數(shù)z=-(x2+y2)在點(diǎn)(0,0)處有極大值0，因?yàn)閷?duì)于又如函數(shù)z=xy在點(diǎn)(0,0)處無極值，因?yàn)閷?duì)于(0,0)點(diǎn)周圍任何一點(diǎn)(x,y)≠(0,0)，都沒有f(x,y)>f(0,0)或f(x,y)<f(0,0)。同一元函數(shù)類似，可以利用偏導(dǎo)數(shù)求解二元函數(shù)的極值。定理8（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0&f證明：因?yàn)辄c(diǎn)P0(x0,y0)是函數(shù)z=f(x,y)的極值點(diǎn)，所以一元函數(shù)z=f(x,y0)&f同時(shí)滿足&fx'(x0,y0定理9（極值的充分條件）設(shè)點(diǎn)(x0,y0 A=f則：（1）當(dāng)Δ<0時(shí)f(x0,y0)是極值，且當(dāng)A<0時(shí)（2）當(dāng)Δ>0時(shí)f(x（3）當(dāng)Δ=0時(shí)f(x證明略。綜上所述，若函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，就可以按照下列步驟求該函數(shù)的極值：（1）先求偏導(dǎo)數(shù)fx（2）解方程組&f（3）分別求出每個(gè)駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的A、B、C及二、二元函數(shù)的最值由本章定理1可知，有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。與一元函數(shù)類似，函數(shù)的最大值或最小值可能在區(qū)域D內(nèi)部的駐點(diǎn)或是在一階偏導(dǎo)數(shù)中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)處取得，也可能在該區(qū)域的邊界上取得。因此，求有界閉區(qū)域D上二元函數(shù)的最值的方法是：求出函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的駐點(diǎn)、一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處的函數(shù)值及該函數(shù)在區(qū)域D的邊界上的最大值和最小值；比較這些值，其中最大者就是該函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值，最小者就是該函數(shù)在閉區(qū)域D上的最小值。求多元函數(shù)的最值一般比較復(fù)雜，但是若根據(jù)問題的實(shí)際意義，已知函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)存在最大值（最小值），又知函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可微，且只有唯一的駐點(diǎn)，則該點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最大值（最小值）。三、條件極值對(duì)于上例，若設(shè)長方體的長、寬、高分別為

x、y、z，則問題實(shí)際為求表面積函數(shù)S(x,y,z)=2(xy+xz+yz)在約束條件xyz=2下的最值。將這種對(duì)自變量有附加條件的極值問題稱為條件極值問題。在有些情況下，可將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題。例如，在上例中可以從條件xyz=2中解出z=2xy并代入目標(biāo)函數(shù)中，這樣就將條件極值問題轉(zhuǎn)化為了無條件極值問題。但在很多情況下，條件極值并不容易轉(zhuǎn)化為無條件極值，為此我們介紹一種直接求解條件極值的方法設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)和φ(x,y)在所考慮的區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)在約束條件φ(x,y)=0下的極值，可用以下步驟來求：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，該函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù)，λ稱為拉格朗日乘數(shù)；（2）解方程組&得可能的極值點(diǎn)(x,y)。在實(shí)際問題中，若求出的可能極值點(diǎn)只有一個(gè)，且根據(jù)問題的性質(zhì)判斷一定存在最大（小值點(diǎn)，則該點(diǎn)就是所求的最（小值點(diǎn)。拉格朗日乘數(shù)法可以推廣到二元以上的函數(shù)在一個(gè)或一個(gè)以上約束條件下的情況。1．教學(xué)以學(xué)生學(xué)習(xí)教材的基本內(nèi)容為主，系統(tǒng)全面地講解多元微分學(xué)。2．整個(gè)教學(xué)過程中，各教學(xué)點(diǎn)可根據(jù)實(shí)際