高等數學 課件【ch08】多元微分學

多元微分學第八章高等數學高等職業(yè)教育數字課程改革創(chuàng)新系列教材01多元函數的基本概念多元函數的基本概念在前面已經討論了含有一個自變量的函數（一元函數），但在自然科學和工程技術中，經常會遇到含有兩個及兩個以上自變量的函數，即多元函數。二元函數與一元函數有許多相似之處，但在某些方面存在本質區(qū)別，學習時應注意它們的聯系與區(qū)別。一、平面區(qū)域平面上由幾條曲線圍成的部分平面稱為平面區(qū)域，一般用D表示。圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界線。多元函數的基本概念多元函數的基本概念它們對應的平面區(qū)域見圖8-1～圖8-4。多元函數的基本概念它們對應的平面區(qū)域見圖8-1～圖8-4。多元函數的基本概念它們對應的平面區(qū)域見圖8-1～圖8-4。多元函數的基本概念它們對應的平面區(qū)域見圖8-1～圖8-4。二、多元函數的概念多元函數的基本概念上面兩個例子，雖然是來自不同領域的問題，但是都說明了三個變量之間的關系。這種關系給出了一個變量與兩個變量之間的對應法則。依照這個法則，當這兩個變量在允許的范圍內取定一組數時，另一個變量有唯一確定值與之對應。多元函數的基本概念類似地，可以定義三元函數、四元函數等。二元及二元以上的函數，統(tǒng)稱為多元函數。多元函數的定義域、函數值和對應法則的求法與一元函數的定義域、函數值和對應法則的求法基本相似。多元函數的基本概念【例1】（1）如圖8-5所示。多元函數的基本概念【例1】（2）如圖8-6所示。多元函數的基本概念【例1】（3）如圖8-7所示。多元函數的基本概念以坐標原點為球心、以4為半徑的上半球面，如圖8-8所示。多元函數的基本概念三、二元函數的極限點（x，y）趨于點（x0，y0）的方式是任意的（見圖8-9）。四、二元函數的連續(xù)多元函數的基本概念根據極限四則運算法則及有關復合函數的極限定理，可以證明，二元連續(xù)函數的和、差、積、商（分母不為零）及復合函數都是連續(xù)的。由此可以得出，二元初等函數在其有定義的區(qū)域內是連續(xù)的。有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數也有類似于一元連續(xù)函數在閉區(qū)間上的性質。02偏導數偏導數一、偏導數的概念在一元函數微分學中，我們研究過函數y=f（x）的導數，即函數y對于自變量x的變化率。對于多元函數，我們也常常需要研究它對某個自變量的變化率的問題，這就有了偏導數的概念。根據以上定義，可以發(fā)現：二元函數對x求偏導數，實際上就是將y看成常量，只把x看成變量的一元函數對x求導數。二元函數對求y偏導數，實際上就是將x看成常量，只把y看成變量的一元函數對y求導數。偏導數二、高階偏導數偏導數一元函數可導必連續(xù)，但對于二元函數，由本例和本章第一節(jié)的例5可知，即使兩個偏導數都存在（也稱可導）也不能保證二元函數的連續(xù)性。類似于一元函數高階導數的定義，可以定義二元函數的高階偏導數。03全微分全微分類似于一元函數微分的概念，引入二元函數全微分的概念。在一元函數中，可微與可導是等價的，但在多元函數里，這個結論并不成立。因此，兩個偏導數存在只是函數可微的必要條件。04多元復合函數與隱函數的微分法一、多元復合函數的求導法則在第二章里，我們學過一元函數復合函數的求導法則。多元函數的復合函數求導問題比較復雜，我們先從一種特殊情況開始討論。多元復合函數與隱函數的微分法多元復合函數與隱函數的微分法為方便記住復合函數的求導公式，可以先畫出各變量之間的關系圖，如式（8-8）中復合函數各個變量之間的依賴關系可用圖8-10表示。多元復合函數與隱函數的微分法（1）多元復合函數各變量之間的關系如圖8-11所示。多元復合函數與隱函數的微分法（2）多元復合函數各變量之間的關系如圖8-12所示。多元復合函數與隱函數的微分法式（8-7）中各變量之間的關系可用圖8-13表示。多元復合函數與隱函數的微分法二、隱函數的求導公式設方程

確定了函數

，則將它代入方程變?yōu)楹愕仁?/p>

。

兩端對x求導得

。05多元函數的極值和最值一、二元函數的極值定義

6設函數z=f（x，y）在點

處的某鄰域內有定義，對于該鄰域內異于點

的點P（x，y）。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點。多元函數的極值和最值多元函數的極值和最值定義

6，（見圖8-14）。多元函數的極值和最值

，如圖8-15。多元函數的極值和最值二、二元函數的最值由本章定理1可知，有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數一定有最大值和最小值。與一元函數類似，函數的最大值或最小值可能在區(qū)域D內部的駐點或是在一階偏導數中至少有一個不存在的點處取得，也可能在該區(qū)域的邊界上取得。多元函數的極值和最值因此，求有界閉區(qū)域上二元函數的最值的方法是：求出函數在區(qū)域D內的駐點、一階偏導數不存在的點處的函數值及該函數在區(qū)域邊界上的最大值和最小值。比較這些值，其中最大者就是該函數在閉區(qū)域D上的最大值，最小者就是該函數在閉區(qū)域D上的最小值。求多元函數的最值一般比較復雜，但是若根據問題的實際意義，已知函數在區(qū)域內存在最大值（最小值），又知函數在區(qū)域D內可微。且只有唯一的駐點，則該點處的函數值就是所求的最大值（最小值）。多元函數的極值和最值多元函