專題19 合理建系 優(yōu)化坐標(biāo)【一題一專題 技巧全突破】 熱點(diǎn)題型 專項(xiàng)突破（解析版）

合理建系優(yōu)化坐標(biāo)高考定位空間向量是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，作為工具性作用，尤其在立體幾何中的應(yīng)用是最為典型的，主要體現(xiàn)在三方面：確定空間中的位置關(guān)系，求解空間角，解決立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)變量問題.用好這個(gè)工具的第一步：建立適當(dāng)坐標(biāo)系和標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)。專題解析（1）在斜棱柱中的建系與標(biāo)點(diǎn)（2）在棱錐中的建系與標(biāo)點(diǎn)（3）在棱臺(tái)中的建系與標(biāo)點(diǎn)（4）在多面體中的建系與標(biāo)點(diǎn)（5）動(dòng)點(diǎn)的設(shè)法專項(xiàng)突破類型一、棱柱中建坐標(biāo)系例1-1．如圖，在三棱柱中點(diǎn)，在棱上，點(diǎn)F在棱CC1上，且點(diǎn)均不是棱的端點(diǎn)，平面且四邊形與四邊形的面積相等.（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；（2）【分析】（1）由平面AEF，知平面AEF，求得，由四邊形與四邊形面積相等知，，則，故，結(jié)合，從而有四邊形為矩形.（2）證得平面，取BC的中點(diǎn)H，以G點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面AEF和平面ABC的一個(gè)法向量，利用向量夾角求得二面角的正弦值.【詳解】（1）在三棱柱中，，則由平面AEF，知平面AEF，故，，，從而，由四邊形與四邊形面積相等知，又，則，故結(jié)合，知四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為矩形.（2）取EF的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)AG，由（1）知，且平面，則平面平面，又平面平面，則平面，取BC的中點(diǎn)H，以G點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由知，為正三角形，故，故，，，，，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為則，故，取，則，因?yàn)槠矫鍭EF的一個(gè)法向量為則則二面角的余弦值為，故二面角的正弦值為練、在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，BC=BB1=4，，且∠BCC1=60°.（1）求證：平面ABC1⊥平面BCC1B1：（2）設(shè)二面角C-AC1-B的大小為θ，求sinθ的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）勾股定理證明結(jié)合證明即可證明；（2）建立空間坐標(biāo)系求解【詳解】解：（1）在中，，所以，即因?yàn)?，所以所以，即又，所以平面又平面，所以平面平?（2）由題意知，四邊形為菱形，且，則為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，則以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)乎面的法向量為，且.由得取.由四邊形為菱形，得；又平面，所以；又，所以平面，所以平面的法向量為.所以.故.練.（2021南京二模T20）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，B1C＝eq\r(6)，且AB⊥B1C．（1）求證：平面ABB1A1⊥平面ABC；（2）若點(diǎn)P在棱BB1上且直線CP與平面ACC1A1所成角的正弦值為eq\s\do1(\f(4,5))，求BP的長．AA1（第20題圖）AC1BCB1解答：（1）證明：取AB中點(diǎn)D，連接CD，B1D．因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1的所有棱長都為2，所以AB⊥CD，CD＝eq\r(3)，BD＝1．又因?yàn)锳B⊥B1C，且CD∩B1C＝C，CD，B1C平面B1CD，所以AB⊥平面B1CD．又因?yàn)锽1D平面B1CD，所以AB⊥B1D． 2分在直角三角形B1BD中，BD＝1，B1B＝2，所以B1D＝eq\r(3)．在三角形B1CD中，CD＝eq\r(3)，B1D＝eq\r(3)，B1C＝eq\r(6)，所以CD2＋B1D2＝B1C2，所以CD⊥B1D． 4分又因?yàn)锳B⊥B1D，AB∩CD＝D，AB，CD平面ABC，所以B1D⊥平面ABC．又因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC． 6分（2）解：以DC，DA，DB1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，1，0)，B(0，－1，0)，C(eq\r(3)，0，0)，B1(0，0，eq\r(3))，因此eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(0，1，eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1，0)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(0，1，eq\r(3))．因?yàn)辄c(diǎn)P在棱BB1上，則設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))＝λ(0，1，eq\r(3))，其中0≤λ≤1．則eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋λeq\o(BB1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1＋λ，eq\r(3)λ)． 8分A1（第20題圖）AC1BCB1DPzxyA1（第20題圖）AC1BCB1DPzxy由eq\b\lc\{(\a\al(n·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{(\a\al(eq\r(3)x－y＝0，,y＋eq\r(3)z＝0．))取x＝1，y＝eq\r(3)，z＝－1，所以平面ACC1A1的一個(gè)法向量為n＝(1，eq\r(3)，－1)．……………………10分因?yàn)橹本€CP與平面ACC1A1所成角的正弦值為eq\s\do1(\f(4,5))，所以cos＜n，eq\o(CP,\s\up6(→))＞＝eq\f(n·eq\o(CP,\s\up6(→)),|n|×|eq\o(CP,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2eq\r(3),eq\r(5)×eq\r(3＋(λ－1)2＋3λ2))eq\f(,)＝－eq\s\do1(\f(4,5))，化簡(jiǎn)得16λ2－8λ＋1＝0，解得λ＝eq\s\do1(\f(1,4))，所以BP＝λBB1＝eq\s\do1(\f(1,2))． 12分練．（2021春?東湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，在三棱柱中，，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的正切值．【解答】（1）證明：，是的中點(diǎn)．，，，面，，，，，平面（2）解，如圖，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建系．則，易知，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，得又平面的法向量為，二面角的平面角的正切值．例1-2．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿足．（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【分析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的平面角.（1）因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，所以面.因?yàn)槊?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且滿足．所以，所以.因?yàn)?，所以，?所以.因?yàn)?面,面,所以平面.（2）∵面，∴直線與底面所成角為，即.因?yàn)?，所以，由?）知，，因?yàn)?，所以?如圖示，以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以，設(shè)，由得，，即.則.設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為，則，不妨令，則.因?yàn)槊妫悦娴囊粋€(gè)法向量為，記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.，所以,即.所以二面角的大小為.練、如圖，直四棱柱的底面是菱形，側(cè)面是正方形，，經(jīng)過對(duì)角線的平面和側(cè)棱相交于點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）延長和的延長線相交于點(diǎn)，連接，設(shè)四棱柱的棱長為，推導(dǎo)出，由四棱柱的性質(zhì)得平面，從而平面，由此能證明平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求解平面的法向量，利用向量夾角的計(jì)算公式求解即可.【詳解】（1）如圖所示，延長和的延長線相交于點(diǎn)，連接．設(shè)四棱柱的棱長為，因?yàn)椋?，所以．由，得，由余弦定理，得，．因?yàn)?，所以，．又是直四棱柱，故平面．又平面，所以．因?yàn)?，所以平面．又平面，所以平面平面．?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸、軸，平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨設(shè)，由（1）得，，平面的一個(gè)法向量為．設(shè)二面角的平面角為，則，且由題圖知為銳角，所以二面角的余弦值為．類型二、棱錐建系例2．中國是風(fēng)箏的故鄉(xiāng)，南方稱“鷂”，北方稱“鳶”，如圖，某種風(fēng)箏的骨架模型是四棱錐，其中于，，，平面．（1）求證：；（2）試驗(yàn)表明，當(dāng)時(shí)，風(fēng)箏表現(xiàn)最好，求此時(shí)直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）利用平面可得，再利用即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系即可求出；或利用等體積法也可.【詳解】（1）證明：∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面．∴．（2）解：法一：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)為平面的法向量，則，即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則．法二：如圖，在中，由得，在中，由得，在中，由得．在中，由得，在中，由，得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，設(shè)直線與平面所成的角為，則．練．（2021?邢臺(tái)月考）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形．（1）證明：平面平面．（2）求直線與平面所成角的正弦值．【解答】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫媲蚁嘟挥?，，又平面，所以平面，所以．又因?yàn)椋?，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，?）解：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，1，，，，，，，，0，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以．所以，則直線與平面所成角的正弦值為．練．在三棱錐B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點(diǎn)D到平面ABC的距離．【答案】.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC的一個(gè)法向量，利用空間距離的公式即可求出結(jié)果.【詳解】解如圖所示，以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)D，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，B，C，D，∴＝，＝，＝，設(shè)＝(x，y，z)為平面ABC的一個(gè)法向量，則，所以y＝－x，z＝－x，可?。?－，1，3)，代入d＝，得d＝＝，即點(diǎn)D到平面ABC的距離是.練．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點(diǎn)．（1）證明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接AC，菱形中易得，再由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，從而得，則可證得線面垂直，從而有線線垂直；（2）以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．（1）連接AC，因?yàn)樵凇鰽DC中，E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點(diǎn)，所以EF//AC，又因?yàn)樵诹庑蜛BCD中AC⊥BD，所以BD⊥EF；因?yàn)椤鱌AD為正三角形，E為AD中點(diǎn)，所以PE⊥AD；又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，平面，所以PE⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，所以PE⊥BD；因?yàn)镻E∩EF=E，平面PEF，所以BD⊥平面PEF，又PF?平面PEF，所以BD⊥PF；（2）連接BE，因?yàn)椤螧AD=60°，所以△ADB為等邊三角形，所以BE⊥AD；由（1）知，PE⊥平面ABCD，故以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AD=2，則則設(shè)平面PBD的法向量為，則，可取所以，故直線PC與平面PBD所成角的正弦值為．練．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．練．如圖，在四棱錐E-ABCD中，ABCE，AECD，，AB=3，CD=4，AD=2BC=10.（1）證明：∠AED是銳角；（2）若AE=10，求二面角A-BE-C的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）延長AB、DC交于點(diǎn)M，結(jié)合已知條件利用線面垂直判定定理和性質(zhì)證明平面，然后利用勾股定理和余弦定理即可證明；（2）結(jié)合已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，然后利用二面角的空間向量公式求解即可.（1）延長AB、DC交于點(diǎn)M，連接EM，如下圖所示：因?yàn)?，，所以為的中位線，從而，，，所以，故，又因?yàn)锳BCE，AECD，，，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，因?yàn)?，所以平面，令，則，，所以，所以是銳角.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系：由題意可知，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，從而，因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，由圖可知，二面角為鈍二面角，故，從而二面角A-BE-C的余弦值.練．如圖所示，在四棱錐中，平面，，四邊形為梯形，，，，，，，點(diǎn)在上，滿足.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）求出可得可得結(jié)合可證明面，再由面面垂直的判定定理即可求證；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，由空間向量夾角公式即可求解.（1）因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以面，因?yàn)槊?，所以平面平?（2）因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，，，如圖：以為原點(diǎn)，分別以，所在的直線為，軸，過點(diǎn)垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量，由，令，則，，所以設(shè)平面的法向量，由，令，則，，所以，所以.例2-2．在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，在平面內(nèi)作于點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）證明出平面，，可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.（1）證明：平面，平面，，，，平面，平面，，，、平面，，平面，平面，所以，平面平面，平面平面.（2），以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，由圖形可知，二面角的平面角為銳角，因此，二面角的余弦值為.練．如圖，在三棱錐中，底面是邊長2的等邊三角形，，點(diǎn)F在線段BC上，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：//平面；(Ⅱ)若二面角的平面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)取的中點(diǎn)，連接、，即可證明，，從而得到面面，即可得證；(Ⅱ)連接，為二面角的平面角，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值；【詳解】解：(Ⅰ)取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，又，所以，因?yàn)槊?，面，面，所以面，面，又，面，所以面面，因?yàn)槊?，所以平面?Ⅱ)連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L2的等邊三角形，，所以，，所以為二面角的平面角，即，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以故直線與平面所成角的正弦值為；練．如圖，和所在平面垂直，且，，則直線與平面所成角的正弦值為___________.【答案】【分析】設(shè)，在平面、平面內(nèi)分別作直線的垂線、分別交、于點(diǎn)、，證明出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】設(shè)，在平面、平面內(nèi)分別作直線的垂線、分別交、于點(diǎn)、，如下圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，平面，因?yàn)?，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，，易知平面的一個(gè)法向量為，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.類型三、旋轉(zhuǎn)體例3-1．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，，所以，又為等邊三角形，則，所以，，則，所以，同理，又，所以平面；（2）過O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫妫設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，則.練．用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面之間的幾何體稱為圓臺(tái)，也可稱為“截頭圓錐”．在如圖的圓臺(tái)中，上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為．（I）結(jié)合圓臺(tái)的定義，寫出截面的作圖過程；（II）圓臺(tái)截面與截面是兩個(gè)全等的梯形，若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（I）答案見解析；（II）.【解析】【分析】(I)由圓臺(tái)的定義，延長圓臺(tái)的軸與母線交于點(diǎn)，在底面圓上任取一點(diǎn)，作出圓錐的兩條母線，兩條母線與圓臺(tái)的上下底面相交，即可得到截面.(II)取的中點(diǎn)，連接．則可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．利用向量法求解二面角.【詳解】解：（I）延長圓臺(tái)的軸與母線交于點(diǎn)，在底面圓上任取一點(diǎn)，連接，交圓于點(diǎn)，連接，，在圓內(nèi)，以點(diǎn)為圓心畫弧，交圓于點(diǎn)，連接，，交圓于點(diǎn)，連接，，則四邊形即為截面．（II）取的中點(diǎn)，連接．由等邊中可得,由,可得所以，在圓臺(tái)中，平面，所以，，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，，，所以，則點(diǎn)，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，由，得，即令，得．設(shè)平面的法向量為．由，得，即，令，得，由圖易知二面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設(shè)、求、算、取1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒有三條垂線時(shí)需做輔助線；建立右手直角坐標(biāo)系，盡可能的使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi).2、設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需的向量坐標(biāo).3、求：求出所需平面的法向量4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，驗(yàn)證平行、垂直，利用線面角公式求線面角，或求出兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值5、?。焊鶕?jù)題意，或二面角的范圍，得出答案.例3-2．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為在母線上，且．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)線段上動(dòng)點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）1【分析】（1）設(shè)交于點(diǎn)連接，由，并結(jié)合可證得平面由此證得，再利用三角形相似證得從而證得平面進(jìn)而證得平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過向量和平面的法向量建立直線與平面所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值．（1）證明：如圖，設(shè)交于點(diǎn)連接，易知，又平面平面，又平面．又是底面圓的內(nèi)接正三角形，由，可得，．又，，即．又，，，即．又平面，，平面．又平面，平面平面．（2）易知．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．設(shè)，可得．設(shè)直線與平面所成的角為，則.令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，有最大值，于是當(dāng)時(shí)，有最大值為，的最大值為，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為．練、廣東省惠來縣第一中學(xué)2021屆高三下學(xué)期19．如圖所示，圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面積是底面積的2倍，線段為圓錐底面的直徑，在底面內(nèi)以線段為直徑作，點(diǎn)P為上異于點(diǎn)A，O的動(dòng)點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明平面平面；（2）設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，推導(dǎo)出，，，，以O(shè)為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：∵垂直于圓錐的底面，圓錐的底面，∴，∵為的直徑，∴，∵面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，∴圓錐的側(cè)面積，底面積，∴依題意，∴，∵，∴，則在中，，∴，如圖，在底面作的半徑，使得，∵，，∴以O(shè)為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，在三棱錐中，∵，∴面積最大時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，∵的半徑為1，∴，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖得為鈍角，∴，∴二面角的余弦值.【點(diǎn)晴】（1）證明面面垂直時(shí)，需先在這兩個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)平面內(nèi)找一條直線，證明這條直線垂直于另外一個(gè)平面，進(jìn)而證明兩個(gè)平面垂直；（2）第二問考利用空間向量求二面角的平面角，需先證明三條直線兩兩垂直，才能建立空間直角坐標(biāo)系，再利用公式計(jì)算即可，注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角的方法.練．如圖，已知圓柱的上，下底面圓心分別為是圓柱的軸截面，正方形ABCD內(nèi)接于下底面圓Q，．(1)當(dāng)k為何值時(shí)，點(diǎn)Q在平面PBC內(nèi)的射影恰好是△PBC的重心；(2)若，當(dāng)平面PAD與平面PBC所成的銳二面角最大時(shí)，求該銳二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）作輔助線，找到Q點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影,然后利用重心的性質(zhì)結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)計(jì)算，求得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面和平面的的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得結(jié)果.(1)取中點(diǎn)，連結(jié)，，，則，，又，所以平面，過作，交于，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，即是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影．因?yàn)榍『檬堑闹匦?，所以，在中，，，所以，，所以，即．所以?dāng)時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好是的重心．(2)以為原點(diǎn)，為軸，為軸，作，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量，則即取，得．設(shè)平面的法向量，則即取，得．．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，上式取得最小值，此時(shí)二面角最大，所以平面與平面所成銳二面角最大時(shí)，其余弦值為．類型四、棱臺(tái)例4-1.如圖，在四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中點(diǎn)．(1)求證：AA1⊥BD；(2)求二面角E－A1C1－C的余弦值．【解析】(1)證明因?yàn)镃1C⊥底面ABCD，所以C1C⊥BD.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以BD⊥AC.又AC∩CC1＝C，AC，CC1?平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.又AA1?平面ACC1A1，所以BD⊥AA1.(2)解如圖，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，依題意，A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以四邊形A1OCC1為平行四邊形，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1.所以A1O⊥底面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.則A(2eq\r(3)，0,0)，A1(0,0,4)，C1(－2eq\r(3)，0,4)，B(0,2,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，2,0)．由eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，得B1(－eq\r(3)，1,4)．因?yàn)镋是棱BB1的中點(diǎn)，所以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(3,2)，2))，所以eq\o(EA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(3,2)，2))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，0,0)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面EA1C1的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1C1,\s\up6(→))＝－2\r(3)x＝0，,n·\o(EA1,\s\up6(→))＝\f(\r(3),2)x－\f(3,2)y＋2z＝0，))取z＝3，得n＝(0,4,3)，取平面A1C1C的法向量m＝(0,1,0)，又由圖可知，二面角E－A1C1－C為銳二面角，設(shè)二面角E－A1C1－C的平面角為θ，則cosθ＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(4,5)，所以二面角E－A1C1－C的余弦值為eq\f(4,5).練．（2021?龍崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．【解答】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作，交與點(diǎn)，連接，由，，所以，由平面平面，平面平面，平面，故平面，又平面，所以，由，，則，又，，平面，所以平面，又平面，故；（2）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，0，，，1，，，2，，，0，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，故二面角的正弦值為．練（2021如皋3.5模T20）如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，CF⊥面DEF,AB⊥BC,AB=BC=EF=CF=2.（1)若,證明：面PDF⊥面CDE（2)求二面角A-CE-D的余弦值．注：（1）點(diǎn)P的位置（2）坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)標(biāo)法練．如圖，在三棱臺(tái)中，為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若二面角的大小為，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)M，連接，證明平面即可；（2）以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量和向量的坐標(biāo)，設(shè)直線與平面所成角為，由求解.(1)證明：如圖所示：取的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，平面，又平面.(2)由（1）知，二面角的平面角，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，，令，則，又，由，得，設(shè)直線與平面所成角為，則.練．如圖，在四棱臺(tái)中，底面為菱形，.，，，.(1)證明：；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出二面角的平面角的余弦值.(1)因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且，所以，，，又因?yàn)?，，所以在中由余弦定理可得，故為等腰直角三角形，且，設(shè)與的交點(diǎn)為O，連接，因?yàn)?，所以，故，又因?yàn)?，故平面，所?(2)由（1）可知，，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，連接，由棱臺(tái)的性質(zhì)可知，且，所以，即四邊形為正方形，故平面，所以，設(shè)，則由得，故，所以，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則有，，取，，故，所以二面角的平面角的余弦值為.類型五、多面體例5．如圖，在多面體中，均垂直于平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接易得為平行四邊形，即，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定即可證結(jié)論.（2）法一：過作于，延長至使，過作交于，連接，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定、平行四邊形的性質(zhì)證面，進(jìn)而確定線面角的平面角，即可求余弦值；法二：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，分別求出的方向向量和面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的余弦值.（1）連接，由且，∴四邊形為平行四邊形，即，由為等腰梯形，結(jié)合題設(shè)：，，則.由平面，平面，則，又，∴平面，故平面.（2）法一：過作于，延長至使，過作交于，連接，面，面，則，又，，面，即為平行四邊形，則四邊形為平行四邊形，面，則即為所求線面角，由題意：，，，.在梯形中，易得，所以，得，則，在中，易得，則.∴.法二：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，作軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，，，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，由，可得，記與面所成角為，，，即與面所成角的余弦值為.練.如圖，正方形所在平面與等邊所在平面成的銳二面角為，設(shè)平面與平面相交于直線．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線面平行的判定及線面平行的性質(zhì)來證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系解決線面角的正弦值.（1）因?yàn)镃D//AB，平面ABE，所以CD//平面ABE又面ABE平面CDE=l，所以l//CD（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=2，則所以A(1，0，0)，B(1，0，0)，E(0，，0)，C(1，1，)，D(1，1，)，所以=(1，，0)，=(0，1，)，設(shè)平面BCE的法向量為(x，y，z)，則取，則，故平面BCE的法向量為，又設(shè)直線DE與平面BCE所成角為，則練、（2021屆高三年級(jí)蘇州八校聯(lián)盟第三次適應(yīng)T19）如圖，多面體PQABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，，，，．（1）設(shè)點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，求證：對(duì)任意的正數(shù)a，四邊形PQFA為平面四邊形；(第19題圖)PBA(第19題圖)PBACDQ注：（1）四點(diǎn)共面（2）Q點(diǎn)坐標(biāo)難標(biāo)【解析】（1）方法1：設(shè)在平面內(nèi)的射影為E，由QC=QD可得EC=ED，所以點(diǎn)E在CD的垂直平分線上．．．．．．．．．．．．2分由ABCD是菱形，且，故直線AE與CD的交點(diǎn)即為CD的中點(diǎn)F．．．．．4分因?yàn)镻A⊥平面ABCD，QE⊥平面ABCD，所以，從而PA，QE共面，因此PQ，F(xiàn)A共面，所以PQFA為平面四邊形．．．．．．．．．．．．．6分方法2：證明CD⊥平面AFQ，．．．．．．．．．．．．2分再證明CD⊥平面PAF．．．．．．．．．．．．．4分由AFQ與平面PAF均過點(diǎn)A可得平面AFQ與平面PAF重合．即P、Q、F、A共面，F(xiàn)PBACDQPFPBACDQPBACDQxyzF（2）分別以AB、AF、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，當(dāng)時(shí)，由可得,所以Q的坐標(biāo)為，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分可求平面的一個(gè)法向量為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分設(shè)直線與平面所成角為，則，從而直線與平面所成角的正弦值為．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分練．某人設(shè)計(jì)了一個(gè)工作臺(tái)，如圖所示，工作臺(tái)的下半部分是個(gè)正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面邊長為4，高為1，工作臺(tái)的上半部分是一個(gè)底面半徑為的圓柱體的四分之一．（1）當(dāng)圓弧E2F2（包括端點(diǎn)）上的點(diǎn)P與B1的最短距離為5時(shí)，證明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．當(dāng)點(diǎn)P在圓弧E2E2（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范圍．【答案】（1）見解析，（2）【分析】（1）以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得，從而可證DB1⊥平面D2EF；（2）設(shè)，則，所以，求出平面的法向量，而平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，則先求出，從而可得，再由可得的范圍.【詳解】（1）證明：作平面于，則在圓弧上，因?yàn)?，所以?dāng)取最小值時(shí)，最小，由圓的對(duì)稱性可知，的最小值為，所以,如圖，以為原點(diǎn)，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，,因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫?，平面?所以DB1⊥平面D2EF，（2）解：若D1D2＝3，由（1）知,設(shè)，因?yàn)?，設(shè)所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，取平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，顯然是鈍角，則，，則，所以二面角的正切值的取值范圍為.練．如圖，是的直徑，是圓周上不同于、的任意一點(diǎn)，垂直所在的平面，四邊形為平行四邊形．(1)求證：平面平面；(2)若，，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件容易證明平面,又由于∥,則平面,平面,即可證得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量和直線的方向向量，用法向量法求直線與平面所成的角的正弦.(1)∵是的直徑，∴,∵垂直所在的平面，∴平面，又∵四邊形為平行四邊形，∴∥，∴平面，∴，又∵，∴平面,∵∥，∴平面，又∵平面，且,∴平面平面．(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知，則，，,，，，,設(shè)平面的法向量為,由,,可得，令，則，，∴，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．類型五、設(shè)動(dòng)點(diǎn)例5-1.如圖，在棱長為1的正方體AC1中，E，F(xiàn)分別為A1D1和A1B1的中點(diǎn)．(1)求異面直線AE和BF所成的角的余弦值；(2)求平面BDD1與平面BFC1所成的銳二面角的余弦值；(3)若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上，且EP∥平面BFC1，求EP的最大值和最小值．解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(1)∴．(2)平面BDD1的一個(gè)法向量為=(1，-1，0)．設(shè)平面BFC1的法向量為n=(x，y，z)．由解得取z=1得平面BFC1的一個(gè)法向量n=(1，2，1)．，∴所求的余弦值為(3)設(shè)P(x，y，0)(0≤x≤1，0≤y≤1)，則．由·n=0，得，即．∵0≤x≤1，∴0≤≤1，∴≤y≤．∴∵≤y≤，∴當(dāng)y=時(shí)，；當(dāng)時(shí)，練．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在側(cè)面的射影為正方形的中心M，且,,E為的中點(diǎn)．（1）求證：║平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在正方形（包括邊界）內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明過程相見解析；（2）；（3）存在點(diǎn)滿足條件，長度為．【解析】【詳解】試題分析：（1）已知//，由直線與平面平行的判定定理易知結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出平面與平面的法向量，從而利用法向量夾角與二面角的關(guān)系求出二面角的大?。?）設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后由與平面的法向量平行求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后求出CF的長即可．試題解析：（1）連接EM，在中，//且平面//平面（2）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則在中，,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，二面角的正弦值為（3），中點(diǎn)設(shè)，則平面，//即，且在正方形內(nèi)，所以存在點(diǎn)滿足條件，長度為考點(diǎn)：?證明直線與平面平行；?求二面角的大??；?存在性問題．練．在①OH//平面，②平面PAB⊥平面OHC，③OH⊥PC這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題．問題：如圖，在三棱錐P?ABC中，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，AC=16，PA=PC=10，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界）．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若__________，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）123417；（2）【解析】（1）利用等體積，轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，求其法向量，表示出線面角的正弦值，按照求值域的思路適當(dāng)換元求范圍即可.【詳解】（1）在三棱錐P?ABC中，連接，，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，PA=PC，為中點(diǎn)，所以，OB⊥OC又平面平面，平面平面ABC=OC，平面∴平面又平面∴∴，OC，兩兩垂直.∴V又S∴d=∴點(diǎn)到平面的距離為123417.（2）與平面所成角的正弦值的取值范圍為35，3以選條件①為例（亦可使用綜合法、綜合與向量混用法）在三棱錐P?ABC中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，則O0,0,0，P0,0,6，A0,?8,0，C設(shè)Hx,y,z，則OH=x,y,z，PHPB=8,0,?6設(shè)平面的法向量為，則n1?PA=0n不妨令y1=?3同理可求得平面的法向量n2（選條件①）因?yàn)镺H//平面，PH?平面∴OH?n即z=3?34又0≤x≤80≤3?34x≤6又平面，∴n3=0,0,1是平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成角為，則sin令t=x4+1，∴sin令f1t∴f1t在∴f1t∈17∴直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為35,3選條件②，條件③結(jié)果相同.【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在表示出正弦值后值域的求法，可以適當(dāng)換元，借助導(dǎo)數(shù)工具求解.練．幾何特征與圓柱類似，底面為橢圓面的幾何體叫做“橢圓柱”，如圖所示的“橢圓柱”中，、和、分別是上下底面兩橢圓的長軸和中心，、是下底面橢圓的焦點(diǎn)，其中長軸的長度為，短軸的長度為2，兩中心、之間的距離為，若、分別是上、下底面橢圓的短軸端點(diǎn)，且位于平面的兩側(cè).（1）求證：∥平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)是下底面橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是點(diǎn)在上底面的投影，且、與下底面所成的角分別為、，試求出的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)“橢圓柱”定義及為上下橢圓短軸端點(diǎn)可知，得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，由線面平行判定定理證得結(jié)論；（2）由對(duì)稱性得：；由三線合一性質(zhì)得，從而求得，利用體積橋可構(gòu)造關(guān)于所求距離的方程求得結(jié)果；（3）根據(jù)線面角的定義可知，；設(shè)，由橢圓定義知，表示出后，利用兩角和差正切公式可將表示為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得所求的取值范圍.【詳解】（1）連接分別為上下橢圓的短軸端點(diǎn)

四邊形為平行四邊形

平面，平面

平面（2）連接由“橢圓柱”定義可知平面平面

由對(duì)稱性可知：又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則解得：，即點(diǎn)到平面的距離為（3）連接由題意知：平面，即為與下底面所成角；即為與下底面所成角即，設(shè)，由橢圓定義知：∴tanα=∴∵m∈[2?1,∴【點(diǎn)睛】本題考查與立體幾何有關(guān)的新定義運(yùn)算的問題，涉及到線面平行的證明、點(diǎn)到面距離的求解、立體幾何中取值范圍的求解問題；求解所求量的取值范圍的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺罅勘硎緸殛P(guān)于某一變量的函數(shù)，通過函數(shù)最值的求解方法求得結(jié)果.練．已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，E?F分別為棱(1)作出該正方體過點(diǎn)E?F且和直線BD1垂直的截面，并證明該截面和直線(2)求出△EFP繞直線EF旋轉(zhuǎn)而成的幾何體體積的最小值；(3)若動(dòng)點(diǎn)M在直線EF上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N在平面上運(yùn)動(dòng)，求PM+PN的最小值.【答案】(1)見解析；(2)2π(3)a.【解析】【分析】(1)取DD1中點(diǎn)為G，連接FG、EG，則BD1⊥平面(2)由(1)知BD1⊥平面EFG，設(shè)由圖可知此時(shí)△EFP的高為PH，且此時(shí)