向量的數(shù)量積

6.2.4向量的數(shù)量積【題型歸納】TOC\o"12"\h\u題型1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 5考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的簡單計(jì)算 5考點(diǎn)2平面幾何圖形中的向量數(shù)量積的計(jì)算 5題型2向量的投影 6題型3利用平面向量數(shù)量積求向量的模 7題型4利用平面向量數(shù)量積求向量的夾角 7題型5向量的垂直問題 8題型6利用平面向量數(shù)量積判斷三角形的形狀 8題型7利用平面向量數(shù)量積求最值 9考點(diǎn)1求向量數(shù)量積的最值問題 9考點(diǎn)2求向量模有關(guān)的最值問題 11考點(diǎn)3求向量夾角有關(guān)的最值問題 11鞏固提升訓(xùn)練 12知識點(diǎn)一向量的數(shù)量積1．向量數(shù)量積的物理背景如圖，一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，且力與位移的夾角為，那么力所做的功.其中是在物體位移方向上的分量的數(shù)量，也就是力在物體位移方向上正投影的數(shù)量.我們知道力和位移都是矢量，而功是一個(gè)標(biāo)量(數(shù)量).這說明兩個(gè)矢量也可以進(jìn)行運(yùn)算，并且這個(gè)運(yùn)算明顯不同于向量的數(shù)乘運(yùn)算，因?yàn)閿?shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而這個(gè)運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量.2．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量，，如圖所示，是平面上的任意一點(diǎn)，作，，則叫做向量與的夾角，也常用表示.向量夾角的取值范圍為.向量夾角的特殊情形，如圖(1)(2)(3)所示，當(dāng)時(shí)，向量，共線且同向；當(dāng)時(shí)，向量，相互垂直，記作；當(dāng)時(shí)，向量，共線且反向.3．兩個(gè)向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.注：(1)在書寫數(shù)量積時(shí)，與之間用實(shí)心圓點(diǎn)“”連接，而不能用“”連接，更不能不寫.(2)向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長度及其夾角有關(guān)，符號由夾角的余弦值的符號決定.(3)設(shè)兩個(gè)非零向量與的夾角為，則當(dāng)時(shí)，，;當(dāng)為銳角時(shí)，，且;當(dāng)為直角時(shí)，，;當(dāng)為鈍角時(shí)，，且;當(dāng)時(shí)，，.(4)在運(yùn)用數(shù)量積公式時(shí)，一定要注意向量夾角的范圍是4．向量的投影如圖(1)，設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.如圖(2)，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，.過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.顯然，在上的投影向量(與向量共線)與在上的投影向量(與向量共線)是不同的.5．向量數(shù)量積的幾何意義如圖，稱為向量在向量上的投影的數(shù)量，可以表示為向量的數(shù)量積的幾何意義：的長度與在上的投影的數(shù)量的乘積(如圖)；或的長度與在上的投影的數(shù)量的乘積.注：(1)在上的投影向量可能與同向，可能反向，也可能為，它的方向取決于角的范圍.具體情況，我們可以借助下面的圖形進(jìn)行分析：的范圍圖形在上的投影向量與同向與同向與反向與反向(2)由，得當(dāng)為銳角時(shí)，，且；當(dāng)為鈍角時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，.知識點(diǎn)二向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律1．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則(1).(2).(3)當(dāng)與同向時(shí)，;當(dāng)與反向時(shí)，.特別地，或(4)，當(dāng)且僅當(dāng)向量，共線，即時(shí)，等號成立.(5)2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立：對于向量，，和實(shí)數(shù)，有(1)交換律:；(2)數(shù)乘結(jié)合律:；(3)分配律:.知識點(diǎn)三向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)；(2)；(3)；(4)；(5)，當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號成立，與反向共線時(shí)左邊等號成立.以上結(jié)論可作為公式使用.【題型歸納】題型1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的簡單計(jì)算1．（2425高一下·全國·課堂例題）已知等邊的邊長為1，求：(1)；(2)；(3).2．（2425高一上長上?！ふn后作業(yè)）已知，，按下列條件分別求：(1)向量、的夾角為；(2)；(3).3．（2324高一下·全國·課后作業(yè)）已知，，與的夾角為，求：(1)；(2)；(3)．考點(diǎn)2平面幾何圖形中的向量數(shù)量積的計(jì)算4．（2324高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知是邊長為的正三角形.(1)求的值；(2)設(shè)，，求的值.5．（2425高三上·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為.6．（2425高三上·遼寧·期中）等邊的邊長為1，，分別是邊和上的點(diǎn)，且，，與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．（2324高一下·江蘇·階段練習(xí)）在直角梯形中，已知，點(diǎn)F是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD邊上一個(gè)動點(diǎn)．(1)若E是CD邊的中點(diǎn)．①試用和表示；②若，求的值；(2)求的取值范圍．題型2向量的投影8．（2425高一下·全國·隨堂練習(xí)）已知，，與的夾角為，則向量在方向上的投影數(shù)量為（

）A．4 B． C．2 D．9．（2324高一下·江蘇·階段練習(xí)）在矩形ABCD中，，E為BC的中點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．10．（2324高一下·吉林·期末）已知向量與向量夾角為，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．11．（2324高一下·湖北·期中）已知的外接圓的圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．12．（2324高一下·云南昭通·階段練習(xí)）已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則（

）A． B． C．2 D．4題型3利用平面向量數(shù)量積求向量的模13．（2324高一下·云南昭通·階段練習(xí)）若向量滿足，若，間的夾角為，則為（

）A． B． C． D．14．（2425高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夾角為120°，，則（

）A． B． C．7 D．1315．（2425高一上·北京西城·期末）已知正方形的邊長為，點(diǎn)滿足，則．題型4利用平面向量數(shù)量積求向量的夾角16．（2324高一上·福建福州·階段練習(xí)）已知向量滿足，則與的夾角為．17．已知平面向量的夾角為，且，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．18．（2425高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．19．（2425高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）已知非零向量，滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．題型5向量的垂直問題20．（2324高一下·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）已知平面向量、滿足，，與的夾角為．(1)求；(2)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，．21．（2324高一下·山東·期中）已知非零向量，滿足，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．22．已知與是非零向量，則是與垂直的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件23．（2324高一下·湖北咸寧·期末）在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別滿足，設(shè)，若，則（

）A． B． C． D．題型6利用平面向量數(shù)量積判斷三角形的形狀24．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知O為平面內(nèi)的定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若，則是（

）A．以AB為底邊的等腰三角形 B．以BC為底邊的等腰三角形C．以AB為斜邊的直角三角形 D．以BC為斜邊的直角三角形25．（2425高一下·全國·課后作業(yè)）已知是非零向量且滿足，，則的形狀為（

）A．等腰（非直角）三角形 B．等邊三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形26．（2324高一下·北京大興·期中）已知非零向量滿足，且，則是（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形27．（2324高一下·天津·階段練習(xí)）在中，若且，則為（

）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形28．（2324高一下·天津河北·期中）已知在所在平面內(nèi)，滿足，，且，則點(diǎn)依次是的（

）A．外心，重心，內(nèi)心 B．重心，外心，垂心C．重心，外心，內(nèi)心 D．外心，重心，垂心29．（2324高一下·北京東城·階段練習(xí)）在三角形中，點(diǎn)是三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角的對邊分別是，則下列給出的命題：①若，則點(diǎn)是三角形的垂心；②若向量，則點(diǎn)的軌跡通過的重心；③若，則點(diǎn)是三角形的內(nèi)心；④若，則點(diǎn)是三角形的內(nèi)心．其中正確的命題是：填寫正確結(jié)論的編號題型7利用平面向量數(shù)量積求最值考點(diǎn)1求向量數(shù)量積的最值問題30．已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則的值是；的最大值.31．（2324高一下·浙江·期中）已知點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心的圓上，且，則的最大值是．32．已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．33．如圖所示，邊長為1的正，以的中點(diǎn)為圓心，為直徑在點(diǎn)的另一側(cè)作半圓弧，點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動，則的取值范圍（

）

A． B． C． D．34．（2324高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知，為?。ê它c(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的范圍為（

）A． B． C． D．35．（2324高一下·陜西西安·階段練習(xí)）（多選）如圖，在四邊形中，，，，且，，則（

）A． B．實(shí)數(shù)的值為C．四邊形是梯形 D．若，是線段上的動點(diǎn)，且，則的最小值為考點(diǎn)2求向量模有關(guān)的最值問題36．（2425高一上·北京延慶·期末）已知，，則的最大值為，最小值為.37．（2425高一上·浙江杭州·期中）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．438．設(shè)非零向量與的夾角是，且，則的最小值為A． B． C． D．1考點(diǎn)3求向量夾角有關(guān)的最值問題39．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）非零向量，滿足，，則與的夾角的最小值是．40．（2324高一下·重慶·階段練習(xí)）設(shè)向量、滿足，，且、的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.41．（2324高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知向量都為非零向量，若實(shí)數(shù)在上任意變化時(shí)，的最小值為，則（

）A． B． C．或 D．或42．（2425高一下·全國·課前預(yù)習(xí)）已知，且關(guān)于的方程有實(shí)根，則與的夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．43．（2324高一下·江蘇南京·期末）已知，，與的夾角為.(1)若與共線，求實(shí)數(shù)的值；(2)求的值；(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.鞏固提升訓(xùn)練一、單選題1．（2324高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）向量，滿足，，向量與的夾角為，則（

）A． B． C． D．2．（2223高一下·山東臨沂·期末）已知非零向量，滿足，且在方向的投影向量是，則與的夾角是（

）A． B． C． D．3．（2425高三上·湖南長沙·期中）已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則的值為（

）A．2 B．0 C． D．4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知△ABC是邊長為1的正三角形，是BN上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．15．（2223高一下·福建泉州·期中）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E滿足，點(diǎn)F滿足，且，則（

）A． B． C． D．96．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知在中，為的重心，為邊中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位向量，且，．若，存在最小值，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2324高一下·江蘇無錫·期末）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)：①若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)；②若，則點(diǎn)在邊的延長線上；③若，且，則是面積的一半；④若，則直線一定過的內(nèi)心．則上述說法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題9．（2324高一下·四川綿陽·期末）如圖，在中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C），，，，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．是在上的投影向量10．（2425高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．任意向量，，若，則或或B．若空間中點(diǎn)O，A，B，C滿足，則A，B，C三點(diǎn)共線C．空間中任意向量都滿足D．若，，則11．（2324高一下·四川瀘州·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．非零向量，，滿足且與同向，則B．若，則與的夾角θ的范圍是C．非零向量，，滿足，則與的夾角為30°D．在中，若，則為等腰三角形12．（2425高一上·河北保定·期中）已知點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，則以下說法正確的有（

）A．若，，分別表示，的面積，則B．若，則動點(diǎn)的軌跡一定通過的重心C．若，則點(diǎn)是的垂心D．若，，分別為，，的中點(diǎn)，且，，則的最大值為三、填空題13．（2324高一下·新疆烏魯木齊·期中）在中，，為邊的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).相交于點(diǎn).則的余弦值為.14．（2324高一下·北京·期中）已知非零平面向量，，，①若