高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第八章　8.2　立體圖形的直觀圖含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第八章8.2立體圖形的直觀圖含答案8.2立體圖形的直觀圖【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解“斜二測(cè)畫法”的概念,掌握斜二測(cè)畫法的步驟.2.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形、柱、錐、臺(tái)以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖.3.會(huì)根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算一、直觀圖1.直觀圖觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.2.用斜二測(cè)畫法畫水平放置平面圖形的直觀圖的步驟.【教材挖掘】(P109)相等的線段在直觀圖中仍然相等嗎?提示:不一定相等,如正方形的邊長(zhǎng)相等,但是它的直觀圖是平行四邊形,相鄰兩邊邊長(zhǎng)不相等.【版本交融】(北師大版P215思考交流)互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然垂直嗎?提示:不一定.也可能成45°或135°角.二、用斜二測(cè)畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟1.畫軸:與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個(gè)z軸,直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是z'軸.2.畫底面:平面x'O'y'表示水平平面,平面y'O'z'和x'O'z'表示豎直平面.3.畫側(cè)棱:已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段,在其直觀圖中平行性和長(zhǎng)度都不變.4.成圖:去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線.【教材挖掘】(P110)空間幾何體的直觀圖唯一嗎?提示:不唯一.作直觀圖時(shí),由于選軸的不同,畫出的直觀圖也不同.【版本交融】(人教B版P58想一想)有人將斜二測(cè)畫法總結(jié)為:“平行依舊垂改斜,橫等縱半豎不變;眼見(jiàn)為實(shí)遮為虛,空間觀感好體現(xiàn).”你能說(shuō)出其中的確切含義嗎?提示:立體圖形中平行的直線在直觀圖中仍然平行,立體圖形中垂直的直線在x'O'y'平面上畫為45°(或135°)角;平行于x軸、z軸的線段長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半;為了保證直觀圖的立體感,把能看到的線畫為實(shí)線,被擋住的線畫為虛線.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)相等的角,在直觀圖中仍相等.(×)提示:相等的角在直觀圖中不一定相等,如矩形的四個(gè)直角.(2)水平放置的正方形的直觀圖可能是梯形.(×)提示:水平放置的正方形的直觀圖可能是平行四邊形,不可能是梯形.(3)兩條相交直線的直觀圖不可能平行.(√)提示:兩條相交直線的交點(diǎn)在直觀圖中仍然是公共點(diǎn),故不可能是平行的.(4)斜二測(cè)畫法中“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段,在直觀圖中均與x'軸成45°.(×)提示:45°或135°.類型一畫水平放置的平面圖形的直觀圖(直觀想象)【典例1】用斜二測(cè)畫法畫出圖中五邊形ABCDE的直觀圖.【解析】過(guò)點(diǎn)A作AO⊥CD,建立平面直角坐標(biāo)系如圖,作BF⊥x軸,EG⊥x軸,垂足分別為F,G,(1)作坐標(biāo)系x'O'y',使∠x'O'y'=45°;(2)在x'軸上取點(diǎn)C',D',F',G'使O'C'=OC,O'D'=OD,O'F'=OF,O'G'=OG;(3)在y'軸上取點(diǎn)A',使O'A'=12OA,作F'B'∥y'軸,使F'B'=12FB,作G'E'∥y'軸,使G'E'=1(4)連接A'B',B'C',D'E',E'A';(5)擦去輔助線,所得五邊形A'B'C'D'E'就是五邊形ABCDE的直觀圖.【總結(jié)升華】關(guān)于斜二測(cè)畫法作圖(1)在原圖中建立直角坐標(biāo)系,一般采用對(duì)稱建系,或盡可能將圖形中的邊、頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.(2)建立斜二測(cè)坐標(biāo)系,先作坐標(biāo)軸上的點(diǎn)、與坐標(biāo)軸平行的線段,原則是“橫不變,縱減半”.(3)對(duì)于不與坐標(biāo)軸平行的線段,可通過(guò)在原圖中作輔助線的方法確定在直觀圖中的位置.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.用斜二測(cè)畫法畫出圖中等腰梯形ABCD的直觀圖.(其中O,E分別為線段AB,DC的中點(diǎn))【解析】(1)畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.(2)以O(shè)'為中點(diǎn)在x'軸上取A'B'=AB,在y'軸上取O'E'=12OE,以E'為中點(diǎn)畫C'D'∥x'軸,并使C'D'=(3)連接B'C',D'A',所得的四邊形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖.2.如圖所示,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,∠DAB=30°,AD=3,試畫出它的直觀圖.【解析】畫法步驟:(1)如圖甲所示,在梯形ABCD中,以邊AB所在的直線為x軸,點(diǎn)A為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系xAy.如圖乙所示,畫出對(duì)應(yīng)的x'軸,y'軸,使∠x'A'y'=45°.(2)在圖甲中,過(guò)D點(diǎn)作DE⊥x軸,垂足為E.在x'軸上取A'B'=AB=4,A'E'=AE;過(guò)點(diǎn)E'作E'D'∥y'軸,使E'D'=12ED,再過(guò)點(diǎn)D'作D'C'∥x'軸,且使D'C'=DC=2(3)連接A'D',B'C',并擦去x'軸與y'軸及其他一些輔助線,如圖丙所示,則四邊形A'B'C'D'就是所求作的直觀圖.類型二畫空間幾何體的直觀圖(直觀想象)【典例2】(教材P112T7改編)由如圖所示幾何體的三視圖畫出該幾何體的直觀圖.【解析】(1)畫軸.如圖①,畫出x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)畫底面.作水平放置的三角形(俯視圖)的直觀圖△ABC.(3)畫側(cè)棱.過(guò)A,B,C各點(diǎn)分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取線段AA',BB',CC',且AA'=BB'=CC',如圖①.(4)成圖,順次連接A',B',C',并加以整理(擦去輔助線,將遮擋部分用虛線表示),得到的圖形就是所求的幾何體的直觀圖,如圖②.【總結(jié)升華】關(guān)于幾何體直觀圖的畫法畫幾何體的直觀圖時(shí),先畫出水平放置的底面的直觀圖,再在坐標(biāo)系的原點(diǎn)處畫出z軸,并確定豎直方向上的頂點(diǎn),將頂點(diǎn)連線得到立體圖形.提醒:與z軸平行的線段的長(zhǎng)度不變.【補(bǔ)償訓(xùn)練】一個(gè)機(jī)器部件,它的下面是一個(gè)圓柱,上面是一個(gè)圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合,圓柱的底面直徑為3cm,高為3cm,圓錐的高為3cm,畫出此機(jī)器部件的直觀圖.【解析】(1)如圖①,畫x軸,y軸,z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)畫圓柱的兩底面.在xOy平面上畫出底面圓O,使直徑為3cm,在z軸上截取OO',使OO'=3cm,過(guò)O'作Ox的平行線O'x',Oy的平行線O'y',利用O'x'與O'y'畫出底面圓O',使其直徑為3cm.(3)畫圓錐的頂點(diǎn).在z軸上畫出點(diǎn)P,使PO'等于圓錐的高3cm.(4)成圖.連接A'A,B'B,PA',PB',擦去輔助線,將被遮擋的部分改為虛線,得到此幾何體(機(jī)器部件)的直觀圖,如圖②.類型三斜二測(cè)畫法的應(yīng)用(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1直觀圖還原平面圖形【典例3】水平放置的△ABC,有一邊在水平線上,用斜二測(cè)畫法得到它的直觀圖是正三角形A'B'C',則△ABC是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.任意三角形【解析】選C.如圖,直觀圖還原為平面圖形,故△ABC是鈍角三角形.【總結(jié)升華】直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x'軸、y'軸平行的直線或線段,且平行于x'軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變,平行于y'軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍,由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn),順次連接即可.【即學(xué)即練】如圖所示,矩形O'A'B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,其中O'A'=6cm,C'D'=2cm,則原圖形是__________(填四邊形的形狀).

【解析】如圖所示,在原圖形OABC中,應(yīng)有OA=O'A'=6cm,OD=2O'D'=2×22=42(cm),CD=C'D'=2cm,所以O(shè)C=OD2+所以O(shè)A=OC,又OA∥BC,OA=BC,故原圖形OABC是菱形.答案:菱形角度2與直觀圖有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【典例4】(1)(2024·北京高一檢測(cè))一個(gè)水平放置的平面圖形△OAB用斜二測(cè)畫法作出的直觀圖是如圖所示的等腰直角△O'A'B',其中A'B'=10,則平面圖形△OAB的面積為()A.52 B.102 C.105 D.55【解析】選B.因?yàn)樵谥庇^圖中,O'A'=A'B'=10,所以O(shè)'B'=10+10=25,所以如圖,原圖形是一個(gè)底邊長(zhǎng)為10,高為2×25=45的直角三角形,故原圖形的面積為12×10×45=102(2)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°,腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形,則這個(gè)平面圖形的面積是__________.

【解析】方法一:如圖(1)所示,由直觀圖是一個(gè)底角為45°的等腰梯形O'D'C'B'可知,原圖形是直角梯形(如圖(2)所示),根據(jù)題意,易知原圖形上底長(zhǎng)為1,下底長(zhǎng)為1+2,高為2,故這個(gè)平面圖形的面積是12×(1+1+2)×2=2+2方法二:直觀圖是上底長(zhǎng)為1,高為22,下底長(zhǎng)為1+2×22的梯形,故原平面圖形的面積為12×1+1+2×22×22×4答案:2+2【總結(jié)升華】直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S',則有S'=24S或S=22S'.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積【即學(xué)即練】已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么由斜二測(cè)畫法得到的△ABC的平面直觀圖△A'B'C'的面積為()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.【解析】選D.方法一:建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖②所示,建立對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,應(yīng)有A'B'=AB=a,O'C'=12OC=3過(guò)點(diǎn)C'作C'D'⊥O'B'于點(diǎn)D',則C'D'=22O'C'=6所以△A'B'C'的面積是S=12·A'B'·C'D'=12·a·68a=6方法二:因?yàn)镾△ABC=34a2,所以S△A'B'C'=24S△ABC=24×34a2=8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)求棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積.2.能利用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式求體積,理解它們之間的關(guān)系.3.能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算一、多面體的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和.二、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積項(xiàng)目高體積棱柱兩底面之間的距離,即從一底面上任意一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線,這點(diǎn)與垂足之間的距離V=Sh,其中S是底面面積,h是高棱錐從頂點(diǎn)向底面作垂線,頂點(diǎn)與垂足之間的距離V=13Sh,其中S是底面面積,h棱臺(tái)兩底面之間的距離,即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線,這點(diǎn)與垂足之間的距離V=13h(S'+S'S+S),其中棱臺(tái)的上、下底面面積分別是S',【教材挖掘】1.(P115思考)觀察棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式,它們之間有什么關(guān)系?你能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來(lái)解釋這種關(guān)系嗎?提示:棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積之間的關(guān)系2.簡(jiǎn)單組合體分割成幾個(gè)幾何體,其表面積與體積有何變化?提示:表面積變大了而體積不變.【版本交融】(人BP83嘗試與發(fā)現(xiàn))等底面面積且等高的兩個(gè)棱柱體積什么關(guān)系?提示:相等.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和.(√)(2)一個(gè)棱柱的體積是與其等底等高的棱錐體積的2倍.(×)提示:三倍.(3)棱臺(tái)的表面積可由產(chǎn)生它的兩個(gè)棱錐的表面積求差得出.(×)提示:少了小棱錐的底面面積.(4)多面體的表面積越大,體積就越大.(×)提示:多面體的表面積與體積不成正比.類型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)(教材P116T1改編)正三棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別是a和2a,高為12a,則正三棱臺(tái)的側(cè)面積為(A.a2 B.12a2 C.92a2 D.3【解析】選D.如圖,O1,O分別為上、下底面的中心,D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn),在直角梯形ODD1O1中,OD=13×32×2a=33a,O1D1=13×32所以DE=OD-O1D1=36在Rt△DED1中,D1E=a2則D1D=(36a)

2所以S棱臺(tái)側(cè)=3×12(a+2a)×33a=33(2)如圖組合體下面是一個(gè)直三棱柱.△A1B1C1為等腰直角三角形,BC=CE=2.上面是一個(gè)三棱錐,且三棱錐的高AE=3,三棱柱的高A1E=3,則組合體的表面積為_(kāi)___________.

【解析】下面是一個(gè)直三棱柱,由題意可知S底=12×2×2=2,S側(cè)面=3×2+3×2+3×22+22=12+62;上面是一個(gè)三棱錐,除底面BCE外的表面積S1=12×3×2+12×3×22+12×2×13=3+32+13,所以S表=S底+S側(cè)面答案:17+92+13【總結(jié)升華】求棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積的關(guān)注點(diǎn)(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和.(2)求棱錐、棱臺(tái)的表面積的關(guān)鍵是求出側(cè)面三角形、梯形的高.(3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.【即學(xué)即練】1.已知正六棱柱的高為6,底面邊長(zhǎng)為4,則它的表面積為()A.48(3+3) B.48(3+23)C.24(6+2) D.144【解析】選A.由題意知,側(cè)面積為6×6×4=144,兩底面積之和為2×34×42×6=483,所以表面積S=48(3+3)2.(教材P116T3改編)如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的表面積為_(kāi)_______.

【解析】由題圖可知該幾何體由兩個(gè)相同的正四棱錐底面相扣構(gòu)成,此幾何體的表面積等于兩個(gè)相同的正四棱錐的側(cè)面積相加,即為八個(gè)全等的正三角形的面積之和.因?yàn)檎切蔚倪呴L(zhǎng)為2,所以S表=34×(2)2×8=43答案:43類型二棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)(2024·天津高一期中)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為a,且其體積為163,則a=()A.2 B.23 C.4 D.43【解析】選C.因?yàn)檎庵鵄BC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為a,且其體積為163,則S△ABC=12a2sin60°=34a2,所以VABC-A1B1C1=S△ABC·AA1(2)如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E為線段B1C上的一點(diǎn),則三棱錐A-DED1的體積為_(kāi)_________.

【解析】VA-DED1=VE-答案:1【總結(jié)升華】求幾何體體積的常用方法【即學(xué)即練】1.棱臺(tái)的上、下底面面積分別是2,4,高為3,則該棱臺(tái)的體積是()A.18+62 B.6+22C.24 D.18【解析】選B.V=13h(S+S'S+S')=13×3×(2+22.在四面體ABCD中三組對(duì)棱分別相等,AB=CD=13,BC=AD=25,BD=AC=5,則四面體ABCD的體積為_(kāi)_______.

【解析】以四面體的各棱為對(duì)角線還原為長(zhǎng)方體,如圖.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z,則x2+因?yàn)閂D-ABE=13DE·S△ABE=16V同理VC-ABF=VD-ACG=V所以V四面體ABCD=V長(zhǎng)方體-4×16V長(zhǎng)方體=13V而V長(zhǎng)方體=2×3×4=24,所以V四面體ABCD=8.答