高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第九章　9.1　9.1.2　分層隨機(jī)抽樣含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第九章9.19.1.2分層隨機(jī)抽樣含答案9.1.2分層隨機(jī)抽樣【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解分層隨機(jī)抽樣的概念.2.掌握用分層隨機(jī)抽樣從總體中抽取樣本的方法.3.掌握兩種抽樣的區(qū)別與聯(lián)系【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析一、分層隨機(jī)抽樣1.分層隨機(jī)抽樣的定義:一般地,按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體,每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體,在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣,每一個(gè)子總體稱為層.2.比例分配:在分層隨機(jī)抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.【版本交融】(人BP61)分層隨機(jī)抽樣為什么比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣更具有代表性,可以更好地反映總體的特征?提示:因?yàn)閷觾?nèi)個(gè)體相對(duì)同質(zhì)而層間差異較大.【版本交融】(蘇教P232)若按比例計(jì)算所得的個(gè)體數(shù)不是整數(shù)怎么處理?提示:可作適當(dāng)?shù)慕铺幚?比如,將結(jié)果取成整數(shù)等.二、用分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)項(xiàng)目1層2層層個(gè)體數(shù)MN層樣本量mn層個(gè)體變量值X1,X2,…,XMY1,Y2,…,YN層樣本的個(gè)體變量值x1,x2,…,xmy1,y2,…,yn層總體平均數(shù)X=X=1M∑Y=Y=1N∑層樣本平均數(shù)x=x=1m∑y=y=1n∑總體平均數(shù)W=∑樣本平均數(shù)w=∑【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中,每層被抽到的個(gè)體數(shù)是一樣的.(×)提示:在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中,每層被抽到的個(gè)體數(shù)由每層個(gè)體數(shù)占總體容量的比例確定,所以每層抽到的個(gè)體數(shù)不一定一樣.(2)比例分配的分層隨機(jī)抽樣中,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不一樣.(×)提示:比例分配的分層隨機(jī)抽樣中,每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是一樣的.類型一分層隨機(jī)抽樣的概念(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】(1)某政府機(jī)關(guān)在編人員共100人,其中副處級(jí)以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上級(jí)部門為了了解該機(jī)關(guān)對(duì)政府機(jī)構(gòu)改革的意見(jiàn),要從中抽取20人,用下列哪種方法最合適()A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法C.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 D.分層隨機(jī)抽樣【解析】選D.總體由差異明顯的三部分構(gòu)成,應(yīng)選用分層隨機(jī)抽樣.(2)(2024·洛陽(yáng)高一檢測(cè))分層隨機(jī)抽樣適合的總體是()A.總體容量較多 B.樣本量較多C.總體中個(gè)體有差異 D.任何總體【解析】選C.當(dāng)總體中個(gè)體有差異,采用分層隨機(jī)抽樣.【備選例題】1.現(xiàn)要完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查:①?gòu)?0盒餅干中抽取4盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查;②某中學(xué)共有360名教職工,其中教師280名,行政人員55名,后勤人員25名,為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開(kāi)方面的意見(jiàn),擬抽取一個(gè)容量為72的樣本.較為合理的抽樣方法是()A.①采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,②采用分層隨機(jī)抽樣B.①采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,②采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣C.①采用分層隨機(jī)抽樣,②采用分層隨機(jī)抽樣D.①采用分層隨機(jī)抽樣,②采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣【解析】選A.①中總體的個(gè)數(shù)較少,宜用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;②中總體由差異明顯的幾部分組成,宜用分層隨機(jī)抽樣.2.某中學(xué)有老年教師20人,中年教師65人,青年教師95人,為了調(diào)查他們的健康狀況,需從他們中抽取一個(gè)樣本容量為36的樣本,則合適的抽樣方法是()A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法C.分層隨機(jī)抽樣 D.其他抽樣方法【解析】選C.由于老年教師、中年教師和青年教師的健康狀況會(huì)有明顯的差異,所以要用分層隨機(jī)抽樣.【總結(jié)升華】分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況;(2)更充分地反映了總體的情況;(3)等概率抽樣,每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等.【即學(xué)即練】下列問(wèn)題中,最適合用分層隨機(jī)抽樣抽取樣本的是()A.從10名同學(xué)中抽取3人參加座談會(huì)B.某高速公路有300個(gè)太陽(yáng)能標(biāo)志燈,其中進(jìn)口的有30個(gè),聯(lián)合研制的有75個(gè),國(guó)產(chǎn)的有195個(gè),為了掌握每個(gè)標(biāo)志燈的使用情況,要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本C.從1000名工人中,抽取100名調(diào)查上班途中所用時(shí)間D.從生產(chǎn)流水線上,抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量【解析】選B.A中總體的個(gè)體無(wú)明顯差異且個(gè)數(shù)較少,適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;C和D中總體的個(gè)體無(wú)明顯差異,不適合用分層隨機(jī)抽樣;B中總體的個(gè)體差異明顯,適合用分層隨機(jī)抽樣.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn),公司為了調(diào)查產(chǎn)品的銷售情況,需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本,記這項(xiàng)調(diào)查為①;在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn),要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況,記這項(xiàng)調(diào)查為②,完成這兩項(xiàng)調(diào)查宜分別采用什么方法?【解析】調(diào)查①:總體中個(gè)體差異明顯,適合用分層隨機(jī)抽樣;調(diào)查②:總體中個(gè)體無(wú)明顯差異且個(gè)數(shù)較少,適合用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.類型二分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)(2024·廣州高一檢測(cè))某田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56人,女運(yùn)動(dòng)員42人,若采用分層隨機(jī)抽樣的方法在這支田徑隊(duì)中抽取28人進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試,則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為()A.16 B.14 C.12 D.10【解析】選A.男運(yùn)動(dòng)員56人,女運(yùn)動(dòng)員42人,則男運(yùn)動(dòng)員占總體的比例為5656+42=47,則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為28×4(2)某學(xué)校有在職人員160人,其中行政人員有16人,教師有112人,后勤人員有32人.教育部門為了了解在職人員對(duì)學(xué)校機(jī)構(gòu)改革的意見(jiàn),要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本,應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣,并寫出具體過(guò)程.【解析】用分層隨機(jī)抽樣來(lái)抽取樣本,步驟如下:第一步,分層,按工作性質(zhì)將學(xué)校在職人員分為三層:行政人員、教師、后勤人員.第二步,確定抽樣比,樣本量與總體的個(gè)體數(shù)的比為20160=1第三步,確定分別從每層中抽取的人數(shù),從行政人員中抽取16×18從教師中抽取112×18從后勤人員中抽取32×18=4(人)第四步,采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,抽取行政人員2人,教師14人,后勤人員4人.第五步,把抽取的個(gè)體組合在一起構(gòu)成所需樣本.【總結(jié)升華】分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)計(jì)算常用到的兩個(gè)關(guān)系(1)樣本量n總體的個(gè)數(shù)N(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比.【即學(xué)即練】(2024·南昌高二檢測(cè))某市電視臺(tái)準(zhǔn)備在該電視臺(tái)舉辦的《我愛(ài)背唐詩(shī)》前三屆參加總決賽的120名選手(假設(shè)每位選手只參加其中一屆總決賽)中隨機(jī)抽取24名參加一個(gè)唐詩(shī)交流會(huì),若按前三屆參加總決賽的人數(shù)比例分層隨機(jī)抽樣,則第一屆抽取6人;若按性別比例分層隨機(jī)抽樣,則女選手抽取15人.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.樣本量是24B.第二屆與第三屆參加總決賽的選手共有90人C.120名選手中男選手有50人D.第一屆參加總決賽的女選手最多有30人【解析】選C.對(duì)于A,由樣本量定義,可知樣本量為24,A正確;對(duì)于B,第一屆參加總決賽的選手有624×120=30(人),則第二屆與第三屆參加總決賽的選手共有120-30=90(人),B正確;對(duì)于C,參加總決賽的女選手共有1524類型三用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)(數(shù)據(jù)分析)【典例3】(1)某校高一年級(jí)有女生504人,男生596人.學(xué)校想通過(guò)抽樣的方法估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生的平均體重,從高一女生和男生中分別隨機(jī)抽取50人和60人,經(jīng)計(jì)算這50名女生的平均體重為49kg,60名男生的平均體重為57kg.依據(jù)以上條件,估計(jì)該校高一年級(jí)全體學(xué)生的平均體重最合理的計(jì)算方法為()A.49+57B.501100×49+60C.50110×49+60D.5041100×49+596【解析】選D.由題意得高一年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為504+596=1100.從高一年級(jí)的女生和男生中分別隨機(jī)抽取50人和60人,沒(méi)有按照性別比例分配的方式進(jìn)行抽樣,不能直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù),需要按照女生和男生在總?cè)藬?shù)中的比例計(jì)算總體的平均體重,即5041100×49+(2)(2024·廣州高一檢測(cè))已知樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,樣本y1,y2,…,ym的平均數(shù)為y(y≠x).若樣本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均數(shù)z=ax+(1-a)y,其中12<a<1,則n,m(n,m∈N*)的大小關(guān)系為(A.n=m B.n≤mC.n>m D.n<m【解析】選C.因?yàn)闃颖緓1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,樣本y1,y2,…,ym的平均數(shù)為y(y≠x),所以這m+n個(gè)數(shù)的平均數(shù)為:nx+mym+n=nm+nx+mm因?yàn)?2<a<1,所以12<因?yàn)閚,m∈N*,所以m+n<2n,所以n>m.【總結(jié)升華】樣本的平均數(shù)和各層的樣本平均數(shù)的關(guān)系ω=mm+nx+nm【即學(xué)即練】高二年級(jí)有男生490人,女生510人,按男生、女生進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣,得到男生、女生的平均身高分別為170.2cm和160.8cm.則下列論述錯(cuò)誤的是()A.若各層按比例分配抽取樣本量為100的樣本,可以用49100×170.2+51100×160.8≈165B.若從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70,可以用30100×170.2+70100×160.8≈163C.若從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70,則總體的均值為30100×170.2+70100×160.8≈163D.如果僅根據(jù)男生、女生的樣本均值,無(wú)法計(jì)算出總體的均值【解析】選C.由分層隨機(jī)抽樣的概念可得樣本平均值為49100×170.2+51100×160.8≈165.4(cm),由此可以估計(jì)總體平均值約為165由平均數(shù)的計(jì)算公式可得,樣本平均值為30100×170.2+70100×160.8≈163.6(cm),由此可以估計(jì)總體平均值約為163由B可知,163.6為樣本平均值,我們可以由此估計(jì)出總體平均值,而不是確定的總體平均值,故C錯(cuò)誤;如果僅根據(jù)男生、女生的樣本均值,可以估計(jì)出總體的均值,不能計(jì)算出準(zhǔn)確的總體均值,故D正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某校有初中、高中兩個(gè)部門,其中初中有學(xué)生850人,高中有學(xué)生650人,小軍想要進(jìn)行一個(gè)視力調(diào)查,對(duì)學(xué)校按部門進(jìn)行按比例分配分層隨機(jī)抽樣,得到初中生、高中生平均視力分別為1.0,0.8,其中樣本量為60,則在初中部、高中部分別抽取多少人?整個(gè)學(xué)校的平均視力是多少?【解析】初中部抽取的人數(shù)為60×850850+650=34,高中部抽取的人數(shù)為60×650850+650=26,整個(gè)學(xué)校平均視力為3460×1.0+2660×0所以在初中部、高中部分別抽取34,26人,整個(gè)學(xué)校的平均視力約為0.91.9.2用樣本估計(jì)總體9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)第1課時(shí)總體取值規(guī)律的估計(jì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握頻率分布表的作法以及頻率分布直方圖的畫法.2.掌握用頻率分布直方圖估計(jì)總體.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運(yùn)算一、頻率分布直方圖的相關(guān)概念1.從頻數(shù)到頻率(1)頻率表示頻數(shù)與總數(shù)的比值.(2)頻率反映了相對(duì)總數(shù)而言的相對(duì)強(qiáng)度,其所攜帶的總體信息遠(yuǎn)超過(guò)頻數(shù).在實(shí)際問(wèn)題中,如果總體容量比較小,頻數(shù)也可以較客觀地反映總體分布;當(dāng)總體容量較大時(shí),頻率就更能客觀地反映總體分布.2.頻率分布直方圖(1)定義:頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的底邊長(zhǎng)是該組的組距,每個(gè)小長(zhǎng)方形的高是該組的頻率與組距的比,從而每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于該組的頻率,即每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積=組距×頻率組距=頻率.我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖(2)頻率分布直方圖與頻率的關(guān)系頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小.(3)頻率分布直方圖的優(yōu)點(diǎn)①能清楚直觀地顯示各組頻率分布情況及各組頻率之間的差別.②當(dāng)考慮數(shù)據(jù)落在若干個(gè)組內(nèi)的頻率之和時(shí),可以用相應(yīng)長(zhǎng)方形面積之和來(lái)表示.二、頻率分布直方圖的繪制步驟【教材深化】組距的選擇應(yīng)力求“取整”,如果極差不利于分組(如不能被組數(shù)整除),可適當(dāng)增大極差,如在左、右兩端各增加適當(dāng)范圍(盡量使兩端增加的量相同).三、總體取值規(guī)律的估計(jì)1.從頻率分布表可以看出,樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的比例大小.2.從頻率分布直方圖可以看出,樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù)分布對(duì)稱情況、左右高低情況、數(shù)據(jù)集中情況、從左到右的變化趨勢(shì)等.【教材深化】總體分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律,由于總體分布不易知道,因此我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個(gè)體數(shù).(×)提示:頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率.(2)頻率分布直方圖中所有小長(zhǎng)方形面積之和可以大于1.(×)提示:頻率分布直方圖中所有小長(zhǎng)方形面積之和等于1.(3)樣本量越大,用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的頻率分布就越準(zhǔn)確.(√)類型一頻率分布直方圖的繪制(數(shù)據(jù)分析)【典例1】從某校高三學(xué)生中抽取50名參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,成績(jī)分組(單位:分)及各組的頻數(shù)如下:[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.(1)列出樣本的頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)估計(jì)成績(jī)?cè)赱60,90)的學(xué)生比例.【解析】(1)頻率分布表如圖:成績(jī)分組頻數(shù)頻率頻率/組距[40,50)20.040.004[50,60)30.060.006[60,70)100.20.02[70,80)150.30.03[80,90)120.240.024[90,100]80.160.016合計(jì)501.000.1(2)頻率分布直方圖如圖所示.(3)學(xué)生成績(jī)?cè)赱60,90)的頻率為0.2+0.3+0.24=0.74=74%,所以估計(jì)成績(jī)?cè)赱60,90)的學(xué)生比例為74%.【備選例題】為了解九年級(jí)學(xué)生中女生的身高(單位:cm)情況,某中學(xué)對(duì)九年級(jí)部分女生身高進(jìn)行了一次測(cè)量,所得數(shù)據(jù)整理后列出頻率分布表如表.分組頻數(shù)頻率[145.5,149.5)10.02[149.5,153.5)40.08[153.5,157.5)200.40[157.5,161.5)150.30[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]mn合計(jì)MN(1)求出表中m,n,M,N的值;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)全體女生中身高在哪組范圍內(nèi)的人數(shù)最多?估計(jì)九年級(jí)學(xué)生中女生的身高在161.5cm及以上的頻率.【解析】(1)方法一N=1.00,n=1-(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,m0.04解得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50.方法二M=10.02=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1.00,n=mM=2(2)畫出頻率分布直方圖,如圖所示.(3)由頻率分布直方圖可知,樣本中身高在[153.5,157.5)范圍內(nèi)的人數(shù)最多,且身高在161.5cm及以上的頻率為0.16+0.04=0.20,由此可估計(jì)全體女生中身高在[153.5,157.5)范圍內(nèi)的人數(shù)最多,九年級(jí)學(xué)生中女生的身高在161.5cm及以上的頻率約為0.20.【總結(jié)升華】在繪制出頻率分布表以后,畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小長(zhǎng)方形的高.一般地,頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是不一致的,合理的定高方法是“以一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯挝婚L(zhǎng)度”(沒(méi)有統(tǒng)一規(guī)定),然后以各組的“頻率組距”所占的比例來(lái)定高【即學(xué)即練】為了解學(xué)校高一年級(jí)男生的身高情況,選取一個(gè)容量為60的樣本(60名男生的身高),分組情況如下(單位:cm):分組[147.5,155.5)[155.5,163.5)[163.5,171.5)[171.5,179.5]頻數(shù)62127m頻率a0.1(1)求出表中a,m的值;(2)畫出頻率分布直方圖.【解析】(1)依題意得6+21+27+m=60,則m=6,a=2760=0.45(2)根據(jù)頻率分布表,可求第一組、第二組的頻率分別為660=0.1,2160=0.畫出頻率分布直方圖如圖所示.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某中學(xué)從高一年級(jí)隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行智力測(cè)驗(yàn),其得分如下(單位:分):4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根據(jù)上面的數(shù)據(jù),回答下列問(wèn)題:(1)這次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的最高分和最低分分別是多少?(2)將區(qū)間[30,100]平均分成7個(gè)小區(qū)間,試列出這50名學(xué)生智力測(cè)驗(yàn)成績(jī)的頻率分布表,進(jìn)而畫出頻率分布直方圖.【解析】(1)這次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的最低分是32分,最高分是97分.(2)根據(jù)題意,列出樣本的頻率分布表如表:分組頻數(shù)頻率[30,40)10.02[40,50)60.12[50,60)120.24[60,70)140.28[70,80)90.18[80,90)60.12[90,100]20.04合計(jì)501.00頻率分布直方圖如圖所示.類型二頻率分布直方圖的相關(guān)計(jì)算與應(yīng)用(數(shù)據(jù)分析)【典例2】志愿者的服務(wù)工作對(duì)亞運(yùn)會(huì)的舉辦十分重要.某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī),并分成五組:第一組[45,55),第二組[55,65),第三組[65