高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第七章　復(fù)數(shù)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第七章復(fù)數(shù)含答案第七章復(fù)數(shù)【大銜接·進(jìn)階之梯】初中階段,我們認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)的分類及幾何意義,學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算,探討了實(shí)系數(shù)一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解的情況;高中階段,我們將引入復(fù)數(shù),學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的分類、表示、運(yùn)算及幾何意義,進(jìn)而研究實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解集.比較內(nèi)容學(xué)習(xí)要求初中階段實(shí)數(shù)的分類、幾何意義,實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算,實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)數(shù)解①理解實(shí)數(shù)的分類及幾何意義②熟悉實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算③會(huì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解實(shí)系數(shù)一元二次方程高中階段復(fù)數(shù)的分類、表示、幾何意義,復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,實(shí)系數(shù)一元二次方程的復(fù)數(shù)解①理解復(fù)數(shù)的分類、表示、幾何意義②熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算③會(huì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解實(shí)系數(shù)一元二次方程【大概念·串珠成鏈】【大策略·好學(xué)深思】1.“一條”主線:聯(lián)系性,本章將加強(qiáng)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、多項(xiàng)式、平面向量、三角函數(shù)之間的聯(lián)系.2.“兩個(gè)”思想:(1)數(shù)形結(jié)合:在復(fù)平面內(nèi),能作出與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量,能借助圖形,說出復(fù)數(shù)與點(diǎn)和向量之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系;會(huì)根據(jù)向量的模求復(fù)數(shù)的模;能用向量的加、減運(yùn)算來進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算.(2)化歸轉(zhuǎn)化:能將復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算;能將復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算;能將復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式和三角表示式進(jìn)行互化.3.“三種”能力:(1)推理論證:能類比有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)的過程和方法,研究實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充問題;能夠類比實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)得出復(fù)數(shù)的幾何意義;能類比實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的法則和運(yùn)算律得出復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的法則和運(yùn)算律.(2)運(yùn)算求解:能熟練利用復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算和運(yùn)算律進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算;會(huì)求復(fù)數(shù)的模.(3)直觀想象:能利用向量表示復(fù)數(shù);知道復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的加、減運(yùn)算和模可以轉(zhuǎn)化為向量的加、減運(yùn)算和模;能利用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義解決簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算問題.階段提升課題型一復(fù)數(shù)的概念1.問題類型:復(fù)數(shù)的相關(guān)概念,如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等.2.解題關(guān)鍵:掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念.3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.【典例1】(1)已知復(fù)數(shù)z滿足z-2z=1+3i,其中i是虛數(shù)單位,z為z的共軛復(fù)數(shù),則z=()A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i【解析】選C.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi,由于z-2z=1+3i,所以a+bi-2(a-bi)=1+3i,整理得-a+3bi=1+3i.所以由復(fù)數(shù)相等可知:a=-1,b=1,所以z=-1+i.(2)(2024·江門高一檢測(cè))已知m∈R,復(fù)數(shù)z=m(m+2)m-1+(①z是純虛數(shù)?②z=12【解析】①因?yàn)閦是純虛數(shù),所以m2+2m-3≠0m(m+2)m-②因?yàn)閦=12-4i,所以m2+2m-3=-4m(【總結(jié)升華】處理復(fù)數(shù)概念問題的注意點(diǎn)(1)當(dāng)復(fù)數(shù)不是a+bi(a,b∈R)的形式時(shí),要通過變形化為a+bi的形式,以便確定其實(shí)部和虛部.(2)復(fù)數(shù)的分類,要弄清復(fù)數(shù)類型的充要條件,若復(fù)數(shù)a+bi是實(shí)數(shù),則b=0;若復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù),則a=0且b≠0;若復(fù)數(shù)a+bi為零,則a=0且b=0;若復(fù)數(shù)a+bi是虛數(shù),則b≠0.(3)明確復(fù)數(shù)相等的條件、共軛復(fù)數(shù)的定義.【即學(xué)即練】1.(2024·安慶高一檢測(cè))已知a,b均為實(shí)數(shù),復(fù)數(shù):z=a2-b+(b-2a)i,其中i為虛數(shù)單位,若z<3,則a的取值范圍為()A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-∞,-3)∪(1,+∞)D.(-3,1)【解析】選A.因?yàn)閦=a2-b+(b-2a)i<3,所以z為實(shí)數(shù),即b-則有a2-2a-3<0,解得-1<a<3,即a的取值范圍為(-1,3).2.(2024·張家口高一檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z1=m2-2+(m+2)i(m∈R),z2=cos2θ+isinθ,若z1=z2,則實(shí)數(shù)m=__________.

答案:-1或-5【解析】若z1=z2,則m2又cos2θ=1-2sin2θ,則m2-2=1-2(m+2)2,解得m=-1或m=-53題型二復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義1.問題類型:復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)加減、復(fù)數(shù)差的模的幾何意義.2.解題關(guān)鍵:掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與幾何意義.3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的直觀想象能力.【典例2】(1)(2024·長(zhǎng)春高一檢測(cè))在如圖所示的復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2,z3對(duì)應(yīng)的向量分別是,,,則復(fù)數(shù)z32z1-3A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.根據(jù)題意z1=3+2i,z2=-2+2i,z3=1-2i,故z32z1-3z2=1-2i2則復(fù)數(shù)z32z1-3(2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則|z+5-12i|(i為虛數(shù)單位)的最大值為__________.

答案:14【解析】|z+5-12i|=|z-(-5+12i)|,記z=a+bi(a,b∈R),對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(a,b),-5+12i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q(-5,12),復(fù)平面原點(diǎn)為O(0,0),由|z|=1可知,點(diǎn)P在單位圓x2+y2=1上,由復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知,|z+5-12i|表示點(diǎn)P,Q的距離,易知,|OQ|-1≤|PQ|≤|OQ|+1,因?yàn)閨OQ|=(-5)2+122【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義(1)復(fù)數(shù)的幾何意義:復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)與向量=(a,b);(2)復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義:對(duì)應(yīng)向量的加、減運(yùn)算;(3)復(fù)數(shù)模的幾何意義:|z1-z2|表示復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z1和z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z2之間的距離.【即學(xué)即練】復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,求|z1-z2|的值.【解析】如圖,設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,Z2,=+;由已知,||=3+1=2=||=||,所以平行四邊形OZ1PZ2為菱形,且△OPZ1,△OPZ2都是正三角形,所以∠Z1OZ2=120°,||2=||2+||2-2||||cos120°=22+22-2×2×2×-12=12,所以|z1-z2|=||=23.題型三復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1.問題類型:復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.2.解題關(guān)鍵:掌握運(yùn)算法則與運(yùn)算律.3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【典例3】(2024·西安高一檢測(cè))計(jì)算下列各題:(1)(-12+32i)(32(2)3+2i2-3i(3)1+i2023【解析】(1)原式=(-34-14i+34i+3=(-32+12i)(1+i)=-32-32i+12i+12i2(2)原式=(=(6+9i+4i+6i2)(3)原式=1+i31-i+|3-【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)方法:應(yīng)用運(yùn)算法則結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算;(2)注意:將含有虛數(shù)單位i的看作一類,不含i的看作另一類,分別合并同類項(xiàng),最終要將i的冪化成最簡(jiǎn)形式.【即學(xué)即練】已知復(fù)數(shù)z1=15-5i(2+i)2,z2=a(1)若a=2,求z1·z2(2)若z=z1z2是純虛數(shù),求【解析】(1)由于z1=15-5i(2+i)2=15當(dāng)a=2時(shí),z2=2-3i,所以z1·z2=(1-3i)(2+3i)=2+3i-6i+9=11-3i(2)若z=z1z2=1-3ia-3i=(1-3i)題型四復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的根1.問題類型:復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解實(shí)系數(shù)一元二次方程.2.解題關(guān)鍵:掌握配方法與求根公式.3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的邏輯推理能力.【典例4】(2024·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))已知關(guān)于x的方程3x2-2ax+a=0,a∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí),在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求方程的解;(2)已知復(fù)數(shù)z=2a+i,若方程3x2-2ax+a=0有虛根,求z的模的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),方程為3x2-2x+1=0,配方可得,(x-13)2=-2兩邊開方可得,x-13=±2所以,方程的解為x=13±23(2)要使方程3x2-2ax+a=0有虛根,則Δ=(-2a)2-4×3a=4a2-12a<0,所以0<a<3,所以0<a2<9,又|z|2=4a2+1,所以1<|z|2<37,所以,1<|z|<37,所以|z|的取值范圍為(1,37).【總結(jié)升華】若實(shí)系數(shù)一元二次方程無實(shí)數(shù)根,此時(shí)方程的兩個(gè)虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù),可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求解相關(guān)問題.【即學(xué)即練】已知關(guān)于x的方程x2-px+25=0(p∈R)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根分別為x1,x2.(1)若p=8,求x1,x2;(2)若x1=3+4i,求p的值.【解析】(1)由題意得,Δ=p2-100=-36<0,所以x=8±-(82所以x1=4+3i,x2=4-3i.(2)已知關(guān)于x的方程x2-px+25=0(p∈R)的一個(gè)根為x1=3+4i,所以(3+4i)2-p(3+4i)+25=(18-3p)+(24-4p)i=0,所以18-3p=0,24-4p=0,解得p=6.【真題1】(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,則z-zA.-i B.i C.0 D.1【解析】選A.因?yàn)閦=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(【溯源】(教材P95T7)已知(1+2i)z=4+3i,求z及zz解設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=a-bi,所以(1+2i)(a-bi)=4+3i,所以(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,所以a+2所以a=2,b=1,所以z=2+i,所以z=2-i,所以zz=2+i2-i=(2+i)[點(diǎn)評(píng)]教材習(xí)題是已知一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),求這個(gè)復(fù)數(shù)及這個(gè)復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算;真題是已知一個(gè)復(fù)數(shù),求這個(gè)復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算;本質(zhì)均在考查共軛復(fù)數(shù)的求法及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.【真題2】(2023·新高考Ⅱ卷)在復(fù)平面內(nèi),(1+3i)(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.因?yàn)?1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.【溯源】(教材P95T