高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時過程性評價專題突破練四含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時過程性評價專題突破練四含答案專題突破練四(時間:45分鐘分值:60分)1.(5分)若二次函數(shù)的圖象開口向上且關(guān)于直線x=1對稱,并過點(0,0),則此二次函數(shù)的解析式可能為()A.f(x)=x2-1 B.f(x)=-(x-1)2+1C.f(x)=(x-1)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1【解析】選D.設(shè)f(x)=a(x-1)2+b(a>0),由于點(0,0)在二次函數(shù)圖象上,所以a+b=0(a>0).只有D選項符合.2.(5分)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù),且f(x-1)=4x+3,則f(x)的解析式為()A.f(x)=4x-1 B.f(x)=4x+7C.f(x)=4x+1 D.f(x)=4x+3【解析】選B.設(shè)一次函數(shù)的解析式為f(x)=ax+b(a≠0),因為f(x-1)=4x+3,可得f(x-1)=a(x-1)+b=ax-a+b=4x+3,所以a=4-a+b=3,解得a=4,3.(5分)(多選)已知f(2x-1)=4x2,則下列結(jié)論中正確的是()A.f(3)=9 B.f(-3)=4C.f(x)=x2 D.f(x)=(x+1)2【解析】選BD.f(2x-1)=4x2=(2x-1)2+2(2x-1)+1,故f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,故選項C錯誤,選項D正確;f(3)=16,f(-3)=4,故選項A錯誤,選項B正確.4.(5分)已知f(x)滿足2f(x)+f(1x)=3x,則f(x)等于(A.-2x-1x B.-2x+C.2x+1x D.2x-【解析】選D.因為2f(x)+f(1x)=3x,所以2f(1x)+f(x)=3x.兩式聯(lián)立得3f(x)=6x-3x,即f(x)=25.(5分)(多選)若函數(shù)f(1-2x)=1-x2x2A.f(12B.f(2)=-3C.f(x)=4(x-D.f(1x)=4x2(x【解析】選AD.令1-2x=t(t≠1),則x=1-t2.由f(1-2x)=1-x2x2(x≠0),得f(t)=1-(1-t2)

2(1-t2)

2=4(t-1)2-1(t≠1),則f(x)=4(x-6.(5分)已知函數(shù)F(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函數(shù),g(x)是x的反比例函數(shù),且F(13)=16,F(1)=8,則F(x)的解析式為_________答案:F(x)=3x+5x(x【解析】設(shè)f(x)=bx(b≠0),g(x)=ax(a≠0,x則F(1因此F(x)=3x+5x(x≠0)7.(5分)已知f(1x)=1x+1,那么f(x答案:f(x)=x1+x(x≠-1且【解析】由f(1x)=1x+1可知,函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0且令t=1x,即x=1t,則f(t)=11故f(x)=x1+x(x≠-1且x8.(5分)已知f(2x-1)=12x+2x-1答案:x+1-x【解析】函數(shù)f(2x-1)的定義域為x|x≥12,令t=2x-1(t≥0),代入f得f(t)=1t+1+t(t≥0),所以f(x)=1x+1+x9.(10分)(1)已知函數(shù)f(x)對于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x).【解析】(1)由題意得,在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x,聯(lián)立f消去f(-x)可得f(x)=23x-1(2)已知函數(shù)f(x)=x2-bx+c且f(1)=0,f(2)=-3,求f(x).【解析】(2)由f(1)故f(x)=x2-6x+5.10.(10分)(1)已知f(x)是一次函數(shù),且滿足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求f(x)的解析式;【解析】(1)設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21,所以a=2,b=5,所以f(x)=2x+5.(2)已知f(x)為二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式;【解析】(2)因為f(x)為二次函數(shù),設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由f(0)=1,得c=1.又因為f(x-1)-f(x)=4x,所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x,整理,得-2ax+a-b=4x,求得a=-2,b=-2,所以f(x)=-2x2-2x+1.(3)已知f(x-1x)=x2+1x2+1,求f(【解析】(3)因為f(x-1x)=(x-1x)2+2+1=(x-1x)2+3,所以f(x)=x專題突破練五(時間:45分鐘分值:65分)1.(5分)函數(shù)y=x2-2x-2在區(qū)間[-2,3]上的最大值、最小值分別是()A.6,1 B.6,-3C.1,-3 D.以上都不對【解析】選B.f(x)=x2-2x-2=(x-1)2-3,對稱軸為x=1,如圖:f(x)min=f(1)=-3,f(x)max=f(-2)=6.2.(5分)已知f(x)=-x2-4x+c,當(dāng)x∈[-3,1]時的最大值為0,則c的值為()A.4 B.-4 C.-16 D.16【解析】選B.f(x)=-x2-4x+c=-(x+2)2+4+c,對稱軸為x=-2,因為x∈[-3,1]時的最大值為0,所以4+c=0,所以c=-4.3.(5分)當(dāng)x∈[a-1,a]時,f(x)=x2-4x+3的最小值為8,則a的值為()A.-1或5 B.0或6C.-1或6 D.0或5【解析】選C.當(dāng)f(x)=8時,有x2-4x+3=8,解得x1=-1,x2=5.因為當(dāng)a-1≤x≤a時,函數(shù)有最小值8,所以a-1=5或a=-1,所以a=6或a=-1.4.(5分)當(dāng)0≤x≤2時,a<-x2+2x恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1] B.(-∞,0]C.(-∞,0) D.(0,+∞)【解析】選C.令f(x)=-x2+2x,則f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.又因為x∈[0,2],所以f(x)min=f(0)=f(2)=0.所以a<0.5.(5分)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+2ax+1在[-3,2]上的最大值為9,則a的值是()A.1 B.8C.83或-8 D.【解析】選D.f(x)=ax2+2ax+1=a(x+1)2-a+1,對稱軸為x=-1,當(dāng)a>0時,開口向上,f(x)max=f(2)=4a+4a+1=9,解得a=1,當(dāng)a<0時,開口向下,f(x)max=f(-1)=-a+1=9,解得a=-8,綜上a的值為-8或1.6.(5分)(多選)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2,關(guān)于f(x)的最值有如下結(jié)論,正確的是()A.f(x)在區(qū)間[-1,0]上的最小值為1B.f(x)在區(qū)間[-1,2]上既有最小值,又有最大值C.f(x)在區(qū)間[2,3]上有最小值2,最大值5D.當(dāng)0<a<1時,f(x)在區(qū)間[0,a]上的最小值為f(a);當(dāng)a>1時,f(x)在區(qū)間[0,a]上的最小值為1【解析】選BCD.函數(shù)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的圖象開口向上,對稱軸為直線x=1.在選項A中,因為f(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[-1,0]上的最小值為f(0)=2,A錯誤;在選項B中,因為f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最小值為f(1)=1,又因為f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值為f(-1)=5,B正確;在選項C中,因為f(x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[2,3]上的最小值為f(2)=2,最大值為f(3)=5,C正確;在選項D中,當(dāng)0<a<1時,f(x)在區(qū)間[0,a]上單調(diào)遞減,所以f(x)的最小值為f(a),當(dāng)a>1時,因為f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,a]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,a]上的最小值為f(1)=1,D正確.7.(5分)已知函數(shù)f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,則f(x)的最大值為_______.

答案:1【解析】函數(shù)f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],且函數(shù)有最小值-2.故當(dāng)x=0時,函數(shù)有最小值,當(dāng)x=1時,函數(shù)有最大值.因為當(dāng)x=0時,f(0)=a=-2,所以f(x)=-x2+4x-2,所以當(dāng)x=1時,f(x)max=f(1)=-12+4×1-2=1.8.(5分)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+2在閉區(qū)間[0,m]上有最大值2,最小值1,則m的取值范圍為_______.

答案:[1,2]【解析】f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其圖象開口向上,對稱軸方程為x=1,且f(x)min=f(1)=1.令f(x)=x2-2x+2=2,解得x=0或x=2.由題意及圖象可知,1≤m≤2.即m的取值范圍是[1,2].9.(5分)若函數(shù)f(x)=-x2+2(a+1)x+3在區(qū)間(-∞,3]上的最大值為12,則實數(shù)a的值為_______.

答案:-4或2【解析】f(x)=-[x-(a+1)]2+(a+1)2+3,對稱軸為x=a+1,當(dāng)a+1>3,即a>2時,f(x)max=f(3)=-9+2×3(a+1)+3=12,解得a=2,不符合題意;當(dāng)a+1≤3,即a≤2時,f(x)max=f(a+1)=(a+1)2+3=12,解得a=-4或2,綜上a的值為-4或2.10.(10分)已知二次函數(shù)f(x)=x2-4x+5,分別求下列條件下函數(shù)的最小值:(1)x∈[-1,0];【解析】(1)因為二次函數(shù)f(x)=x2-4x+5的對稱軸為x=2且開口向上,所以二次函數(shù)在x∈[-1,0]上單調(diào)遞減.所以f(x)min=02-4×0+5=5.(2)x∈[a,a+1].【解析】(2)當(dāng)a≥2時,函數(shù)在[a,a+1]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(a)=a2-4a+5;當(dāng)a+1≤2即a≤1時,函數(shù)在[a,a+1]上單調(diào)遞減,f(x)min=f(a+1)=(a+1)2-4(a+1)+5=a2-2a+2;當(dāng)a<2<a+1即1<a<2時,f(x)min=f(2)=22-4×2+5=1.故函數(shù)的最小值為a11.(10分)已知函數(shù)f(x)=2x2-ax+1,x∈[-1,a],且f(x)的最大值為f(a),求實數(shù)a的取值范圍.【解析】f(x)=2(x-a4)2+1-a28的圖象關(guān)于x當(dāng)-1<a≤0時,f(x)在[-1,a]上單調(diào)遞減,則f(x)max=f(-1),不符合題意.當(dāng)a>0時,則a4∈[-1,a所以f(x)在[-1,a4在a4要使f(a)為最大值,則f(a)≥f(-1),即2a2-a2+1≥2+a+1,解得a≥2或a≤-1(舍).所以實數(shù)a的取值范圍為[2,+∞).專題突破練一(時間:45分鐘分值:60分)1.(5分)定義集合運算:A?B={z|z=xy,x∈A,y∈B},設(shè)A={0,1},B={2,3},則集合A?B的所有元素之和為()A.0 B.4 C.5 D.6【解析】選C.因為A?B={z|z=xy,x∈A,y∈B},又A={0,1},B={2,3},所以A?B={0,2,3},所以集合A?B的所有元素之和為0+2+3=5.2.(5分)定義集合P-Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},若集合P={4,5,6},Q={1,2,3},則集合P-Q的所有真子集的個數(shù)為()A.32 B.31 C.16 D.15【解析】選B.由題中所給定義,可知P-Q={1,2,3,4,5},所以P-Q的所有真子集的個數(shù)為25-1=31.3.(5分)當(dāng)x∈A時,若(x-1)?A且(x+1)?A,則稱x為A的一個“孤立元素”,所有“孤立元素”組成的集合稱為“孤星集”,則集合A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為()A.{1} B.{2} C.{3} D.{5}【解析】選D.由“孤立元素”的定義知,對任意x∈A,要成為A的“孤立元素”,必須是集合A中既沒有x-1,也沒有x+1,因此只需逐一排查A中的元素即可.0有1相伴,1,2則是前后的元素都有,3有2相伴,只有5是“孤立元素”,從而集合A={0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為{5}.4.(5分)對于任意兩個正整數(shù)m,n,定義某種運算“※”如下:當(dāng)m,n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時,m※n=m+n;當(dāng)m,n中一個為正偶數(shù),另一個為正奇數(shù)時,m※n=mn,則在此定義下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素個數(shù)是()A.18 B.17 C.16 D.15【解析】選B.因為1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,8+8=16,9+7=16,10+6=16,11+5=16,12+4=16,13+3=16,14+2=16,15+1=16,1×16=16,16×1=16,集合M中的元素是有序數(shù)對(a,b),所以集合M中的元素共有17個.5.(5分)(多選)若X是一個集合,τ是一個以X的某些子集為元素的集合,且滿足:①X屬于τ,空集?屬于τ;②τ中任意多個元素的并集屬于τ;③τ中任意多個元素的交集屬于τ.則稱τ是集合X上的一個拓撲.已知集合X={a,b,c},下面集合τ是集合X上的一個拓撲的是()A.τ={?,{a},{c},{a,b,c}}B.τ={?,,{c},{b,c},{a,b,c}}C.τ={?,{a},{a,b},{a,c}}D.τ={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}【解析】選BD.選項A,τ={?,{a},{c},{a,b,c}},因為{a}∪{c}={a,c}?τ,τ不是集合X上的拓撲;選項B,滿足集合X上的拓撲的定義;選項C,{a,b}∪{a,c}={a,b,c}?τ,τ不是集合X上的拓撲;選項D,滿足集合X上的拓撲的定義.6.(5分)定義集合運算:A?B={z|z=(x+y)×(x-y),x∈A,y∈B},設(shè)A={2,3},B={1,2},則集合A?B的真子集個數(shù)為_______.

答案:7【解析】由題意A={2,3},B={1,2},則A?B中的元素有(2+1)×(2-1)=1,(2+2)×(2-2)=0,(3+1)×(3-1)=2,(3+2)×(3-2)=1四種結(jié)果,則由集合中元素的互異性可知,集合A?B中有3個元素,故集合A?B真子集的個數(shù)為23-1=7.7.(5分)設(shè)集合U={2,3,4},對其子集引進“勢”的概念:①空集的“勢”最小;②非空子集的元素越多,其“勢”越大;③若兩個子集的元素個數(shù)相同,則子集中最大的元素越大,子集的“勢”就越大,最大的元素相同,則第二大的元素越大,子集的“勢”就越大,以此類推.若將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列,則排在第6位的子集是_______.

答案:{2,4}【解析】集合U={2,3,4},將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列,結(jié)果為:?,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{2,3,4},所以將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列,則排在第6位的子集是{2,4}.8.(5分)數(shù)集M={x}m≤x≤m+34},N={x|n-13≤x≤n},且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果b-a叫做集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“長度”,則集合M∩N的“長度”的最小值為答案:1【解析】由已知得m解得0≤m≤14,13≤n由題意知,當(dāng)集合M∩N的“長度”最小時,集合M與N的重合部分最少,因此m=0且n=1或n-13=0且m+34當(dāng)m=0且n=1時,可得M={x|0≤x≤34},N={x|23≤x所以M∩N={x|23≤x≤34此時集合M∩N的“長度”為34-23=當(dāng)m=14且n=13時,集合M∩N的“長度”同樣為9.(10分)給定數(shù)集A,若對于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,則稱集合A為閉集合.(1)判斷集合A={-4,-2,0,2,4},B={x|x=3k,k∈Z}是否為閉集合,并給出證明;【解析】(1)集合A不是,集合B是.證明如下:因為2∈A,4∈A,但2+4=6?A,所以A不是閉集合;任取a,b∈B,設(shè)a=3m,b=3n,m,n∈Z,則a+b=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z,所以a+b∈B,同理,a-b∈B,故B是閉集合.(2)若集合A,B為閉集合,則A∪B是否一定為閉集合?請說明理由.【解析】(2)不一定.理由:令A(yù)={x|x=2