黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(卷后帶答案解析)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則a的值為（

）A． B．1 C． D．22．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．3 D．93．已知等比數(shù)列中，，則的值為（

）A． B． C． D．4．已知是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．若銳角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)，對(duì)任意的,,，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)是兩個(gè)非零向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．在方向上的投影向量的模為10．已知函數(shù)，其中，且．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱B．在上單調(diào)遞增C．直線是的一條切線D．若在區(qū)間上的圖象與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為11．廣東汕頭海灣大橋被譽(yù)為“中國(guó)第一座大跨度現(xiàn)代懸索橋”，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線，其方程為（為參數(shù)，）．當(dāng)時(shí)，該方程是雙曲余弦函數(shù)，類似的函數(shù)還有雙曲正弦函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．，B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值C．，D．，三、填空題12．已知集合，則的所有元素之和為．13．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與C交于M，N兩點(diǎn)，且．若四邊形的周長(zhǎng)為，則C的離心率為．14．在正四棱臺(tái)中，，則該正四棱臺(tái)的高為；若點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．四、解答題15．在中，．(1)求B；(2)求函數(shù)在上的最大值．16．已知函數(shù)在處取得極值．(1)求a的值；(2)若存在使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．17．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．18．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，O是AD的中點(diǎn)，平面ABCD，，平面平面．(1)求證：；(2)如圖，且，求點(diǎn)M到平面PBC的距離；(3)設(shè)四棱錐的外接球球心為Q，在線段PB上是否存在點(diǎn)E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．已知曲線，點(diǎn)在曲線W上．(1)求曲線W在點(diǎn)Q處的切線方程；(2)如圖1，過曲線W外一點(diǎn)A（不在y軸上）作W的兩條切線AB，AC，切點(diǎn)為B，C，過曲線W上一點(diǎn)M的切線交AB，AC于點(diǎn)，且，把這樣的叫做“外切三角形”．①連接AM交BC于點(diǎn)E，求證：A，M，E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；②如圖2，從點(diǎn)A出發(fā)做出的第一個(gè)外切三角形是再過點(diǎn)分別做出2個(gè)“外切三角形”，即和；繼續(xù)過點(diǎn)分別做出4個(gè)“外切三角形”以此類推，依次做出1，2，4，8，…，個(gè)外切三角形．設(shè)的面積為S，求這些“外切三角形”的面積之和T，并證明．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《黑龍江省大慶市2025屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ABDBCACBACDAC題號(hào)11答案BCD1．A【分析】由復(fù)數(shù)乘法及純虛數(shù)定義可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】由題，，又為純虛數(shù)，.故選：A．2．B【分析】根據(jù)給定條件，求出冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)值.【詳解】設(shè)，則即，故選：B．3．D【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)列式計(jì)算得解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D4．B【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系的有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則m，n可能平行或異面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則m垂直于內(nèi)的任意直線，，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則m，n可能平行或相交或異面，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則或，所以D錯(cuò)誤.故選：B5．C【分析】設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出兩直線的斜率，直接由斜率之積是列式化簡(jiǎn).【詳解】設(shè)，則由已知得化簡(jiǎn)得，故選：C．6．A【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合二倍角正弦得出，再應(yīng)用二倍角余弦公式得出，最后得出正切即可.【詳解】且平方得，又，故選：A．7．C【分析】根據(jù)題意，把要求解不等式,化為,利用函數(shù)的單調(diào)性，即可解得不等式.【詳解】設(shè),由為奇函數(shù)可知為偶函數(shù)因?yàn)槿我獾?,，都有所以時(shí),單調(diào)遞減,由對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋匀?則化為,即,由單調(diào)性可知．若，則化為，即，由單調(diào)性可得．綜上,．故選:C8．B【分析】設(shè)數(shù)列公差為d，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式分析可知直線過定點(diǎn)，再根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)最小，進(jìn)而運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，設(shè)數(shù)列公差為d，則直線可化為，即．令，解得，可知直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，此時(shí)最?。忠?yàn)椋瑒t，可知，則．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時(shí)要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．9．ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的定義，即可判斷正誤；對(duì)于B，利用向量相等的條件，即可求解；對(duì)于C，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，可得，即可求解；對(duì)于D，利用投向量及模長(zhǎng)的定義，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由可知，當(dāng)時(shí)，，所以．所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由可知，與共線，不一定是．所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由，得，即，所以，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由投影向量定義可知，在方向上的投影向量為，所以其模長(zhǎng)為，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．10．AC【分析】根據(jù)已知條件求出，再根據(jù)對(duì)稱性，單調(diào)性，判定AB；結(jié)合導(dǎo)數(shù)判定C；結(jié)合零點(diǎn)知識(shí)判定D.【詳解】由且，都有同號(hào)可知，,又，由得，由知關(guān)于對(duì)稱，故A正確．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)先增后減，故B錯(cuò)誤．．令得或，其中，時(shí)在處得切線為，故C正確．由得．由正弦函數(shù)圖象知道，得．故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．BCD【分析】利用指數(shù)運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最小值，可判斷B選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)比較、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；令，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，則，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)．設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，又，當(dāng)時(shí)，，所以，在上單調(diào)遞增，所以，．故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)．當(dāng)時(shí)，則，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減．設(shè)，可在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，則，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正確故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設(shè)元作差變形判斷符號(hào)得出結(jié)論；（2）圖象法：如果函數(shù)是以圖象的形式給出或者函數(shù)的圖象易作出，結(jié)合圖象可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）導(dǎo)數(shù)法：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）復(fù)合函數(shù)法：先將函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，再討論這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)法“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判定.12．/2.5【分析】先利用指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)集合B，再利用集合的并集運(yùn)算求解即可.【詳解】,即,的所有元素之和為．故答案為：.13．【分析】由雙曲線對(duì)稱性結(jié)合題意可得四邊形為矩形，設(shè)，由雙曲線定義及題意可得，據(jù)此可得答案.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，可知四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為矩形，設(shè)，則，兩個(gè)方程平方后相加得，在直角三角形中，所以，化簡(jiǎn)得，由得．故答案為：14．【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知條件計(jì)算出高，再判斷確定點(diǎn)的軌跡，再應(yīng)用弧長(zhǎng)公式求出軌跡長(zhǎng)度.【詳解】

取正方形的中心為，正方形ABCD的中心為O，連接，則平面ABCD．過點(diǎn)作于點(diǎn)H，則，所以平面ABCD，且四邊形為矩形，，．在中，，即該正四棱臺(tái)的高為．

連接PH，在中，，點(diǎn)P的軌跡為以H為圓心，為半徑的圓在正方形ABCD內(nèi)的部分，即．過點(diǎn)H作于點(diǎn)E，過H作于點(diǎn)F，則．在中，．同理，，的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：；.15．(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用正弦定理計(jì)算正弦值，進(jìn)而得到角度；（2）將其轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，后求值域即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得或．又為鈍角.（2）由（1）可知．∴當(dāng)，即時(shí)．16．(1)(2)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)求得的值，驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性可知的值符合題意.（2）問題等價(jià)于存在使得，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值即可求得的取值范圍.【詳解】（1），由已知，又當(dāng)時(shí)，令得，且當(dāng)時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．在處取得極大值.綜上，.（2）問題等價(jià)于存在使得．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，故m的范圍是．17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，再根據(jù)得到，接著用“累乘法”可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）分為偶數(shù)與奇數(shù)兩種情況，表示出，結(jié)合作差法比較與的大小.【詳解】（1）由題意得，

①，當(dāng)時(shí)，

②由①②得：，即．又時(shí)，滿足.（2）由得，.①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，此時(shí)，，故②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上，當(dāng)時(shí)，．18．(1)證明見解析(2)(3)存在點(diǎn)E為PB上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)【分析】（1）由題可證平面PCD，再由線面平行性質(zhì)可完成證明；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題可得平面PBC的法向量，然后結(jié)合空間向量知識(shí)可得答案；（3）由球心定義可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，然后設(shè)，由空間向量知識(shí)可得平面AEC的一個(gè)法向量，及PQ與平面AEC所成的角的正弦值關(guān)于的表達(dá)式，據(jù)此可得答案.【詳解】（1）證明：四邊形ABCD為正方形又平面PCD，平面PCD平面PCD又平面PAB，平面平面（2）取BC中點(diǎn)N，連接ON，則平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA，ON，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為則，得，取點(diǎn)M到平面PBC的距離為（3）存在點(diǎn)E，使得直線PQ與平面AEC所成的角的正弦值為，，且平面ABCD為正方形，點(diǎn)Q在平面上的射影是ABCD的中心，可設(shè)則，解得．即設(shè)，，設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，則得，取設(shè)直線PQ與平面AEC所成的角為化簡(jiǎn)得，即或（舍）．∴存在點(diǎn)E為PB上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn)，使得直線PQ與平面AEC所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于外接球問題關(guān)鍵在于確定球心位置，可先找某一平面外接圓圓心，則球心在過圓心所在平面的垂線上；對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題，常設(shè)邊長(zhǎng)比例為參數(shù)，再用參數(shù)表示已知量，求解相關(guān)方程或不等式.19．(1)(2)①證明見解析；②，證明見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得切線在點(diǎn)Q處切線斜率，即可得答案；（2）①由（1）結(jié)合A在AB上，同時(shí)A在AC上可得BC方程，再由，可得直線AM方程，據(jù)此可找到A，M，E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系，可完成證明；②由（1）結(jié)合幾何知識(shí)可得每一次所做“外切三角形”面積之和都是上一次“外切三角形”面積之和的，然后可由等比數(shù)列求和公式完成證明.【詳解】（1）由題可得，則，，，故點(diǎn)Q處的切線方程為即．（2）①則由（1）可知直線AB為直線AC為，由A在AB上，同時(shí)A在AC，可知直線BC的方程為，即，，又由（1）可知直線的斜率為，又，