數(shù)學(xué)必修二測試題及答案

數(shù)學(xué)必修二測試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$在$x=1$處的切線斜率為______。

A.-2B.-1C.0D.1

2.若函數(shù)$y=2^x$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)值為______。

A.0B.1C.2D.3

3.若直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$k$的取值為______。

A.$\pm1$B.$\pm\sqrt{2}$C.$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，則$f'(x)=______$。

A.$-\frac{1}{x^2}$B.$\frac{1}{x^2}$C.$\frac{1}{x}$D.$-\frac{1}{x}$

5.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=2ax+b$，則$f(x)$在$x=0$處的切線斜率為______。

A.$2a$B.$b$C.$a+b$D.$a-b$

二、填空題（每題5分，共25分）

6.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，則$f'(0)=______$。

7.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f''(x)=______$。

8.若直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則$k$的值為______。

9.函數(shù)$f(x)=e^x$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=______$。

10.若函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x}$，則$f'(x)=______$。

三、解答題（共30分）

11.（15分）求函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的單調(diào)區(qū)間。

12.（15分）求函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$在區(qū)間$(0,2)$上的極值。

四、解答題（共30分）

13.（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求函數(shù)的極值點(diǎn)及相應(yīng)的極值。

14.（15分）求函數(shù)$g(x)=\frac{x}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)$g'(x)$，并求出函數(shù)在$x=2$處的切線方程。

五、證明題（共20分）

15.（10分）證明：若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(0)$存在，則該函數(shù)在$x=0$處可導(dǎo)。

16.（10分）證明：若函數(shù)$f(x)=e^x$和$g(x)=\lnx$都是可導(dǎo)的，則它們的復(fù)合函數(shù)$h(x)=f(g(x))=e^{\lnx}=x$也是可導(dǎo)的。

六、綜合題（共25分）

17.（10分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+b$在$x=a$處取得極大值，求實(shí)數(shù)$a$和$b$的值。

18.（10分）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x-1}{x-1}$，求函數(shù)的極值點(diǎn)及相應(yīng)的極值。

19.（5分）若函數(shù)$f(x)=\sqrt{4-x^2}$在$x=0$處的切線斜率為$k$，求$k$的值。

20.（5分）求函數(shù)$F(x)=x^3-6x^2+9x+1$的導(dǎo)數(shù)$F'(x)$，并求出函數(shù)在$x=1$處的切線方程。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題3分，共15分）

1.B

解析思路：由$f(x)=x^2-4x+4$可得$f'(x)=2x-4$，將$x=1$代入得$f'(1)=-2$。

2.B

解析思路：由$y=2^x$可得$y'=\frac{dy}{dx}=2^x\ln2$，將$x=0$代入得$y'(0)=2^0\ln2=1$。

3.D

解析思路：圓的方程為$x^2+y^2=1$，圓心在原點(diǎn)$(0,0)$，半徑$r=1$。直線$y=kx+1$到圓心的距離$d=\frac{|k\cdot0+1\cdot0-1|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得$k=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$。

4.A

解析思路：由$f(x)=\frac{1}{x}$可得$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$。

5.B

解析思路：由$f(x)=ax^2+bx+c$可得$f'(x)=2ax+b$，在$x=0$處的切線斜率為$f'(0)=b$。

二、填空題（每題5分，共25分）

6.1

解析思路：由$f(x)=\sqrt{x^2+1}$可得$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，將$x=0$代入得$f'(0)=\frac{0}{\sqrt{0^2+1}}=0$。

7.$\frac{1}{x^2}$

解析思路：由$f(x)=\lnx$可得$f'(x)=\frac{1}{x}$，再求二階導(dǎo)數(shù)得$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$。

8.$\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$

解析思路：直線$y=kx+1$到圓心的距離$d=\frac{|k\cdot0+1\cdot0-1|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得$k=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$。

9.$e^x$

解析思路：由$f(x)=e^x$可得$f'(x)=\frac{df}{dx}=e^x$。

10.$x-1-\frac{1}{x}$

解析思路：由$f(x)=\frac{x^2-1}{x}$可得$f'(x)=\frac{(x^2-1)'x-x(x^2-1)'}{x^2}=\frac{2x-x^2+1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}-\frac{1}{x}$。

三、解答題（共30分）

11.（15分）

解析思路：由$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$可得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。當(dāng)$x<\frac{2}{3}$或$x>1$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$\frac{2}{3}<x<1$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)在$x=\frac{2}{3}$處取得極大值$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{27}$，在$x=1$處取得極小值$f(1)=1$。

12.（15分）

解析思路：由$f(x)=\ln(x+1)$可得$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，令$f'(x)=0$解得$x=-1$。由于$x=-1$不在定義域內(nèi)，故不存在極值點(diǎn)。又因?yàn)楫?dāng)$x\in(0,2)$時(shí)，$f'(x)>0$，所以函數(shù)在$(0,2)$上單調(diào)遞增，無極值。

四、解答題（共30分）

13.（15分）

解析思路：由$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$可得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。當(dāng)$x<\frac{2}{3}$或$x>1$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$\frac{2}{3}<x<1$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)在$x=\frac{2}{3}$處取得極大值$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{27}$，在$x=1$處取得極小值$f(1)=1$。

14.（15分）

解析思路：由$g(x)=\frac{x}{x-1}$可得$g'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=-\frac{1}{(x-1)^2}$，切線斜率$k=g'(2)=-\frac{1}{(2-1)^2}=-1$。又因?yàn)榍悬c(diǎn)為$(2,2)$，所以切線方程為$y-2=-1(x-2)$，即$y=-x+4$。

五、證明題（共20分）

15.（10分）

解析思路：由導(dǎo)數(shù)的定義，若$f'(0)$存在，則$\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$存在。因此，$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$，即函數(shù)在$x=0$處連續(xù)。又因?yàn)?f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)，故存在$\lim_{x\to0}f'(x)$，即$f'(0)$存在。

16.（10分）

解析思路：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，$h'(x)=f'(g(x))\cdotg'(x)$。因?yàn)?f(x)=e^x$和$g(x)=\lnx$都是可導(dǎo)的，所以$h(x)=f(g(x))=e^{\lnx}=x$也是可導(dǎo)的。

六、綜合題（共25分）

17.（10分）

解析思路：由$f(x)=x^2-2ax+b$可得$f'(x)=2x-2a$，令$f'(x)=0$解得$x=a$。由于函數(shù)在$x=a$處取得極大值，故$f''(a)=0$，即$2>0$，$f''(x)=2>0$。因此，$a=0$，$f(x)=x^2+b$。由于$f(x)$在$x=a$處取得極大值，故$b=1$。

18.（10分）

解析思路：由$f(x)=\frac{x^3-3x^2+4x-1}{x-1}$可得$f'(x)=\frac{(x^3-3x^2+4x-1)'(x-1)-(x^3-3x^2+4x-1)(x-1)'}{(x-1)^2}$。令$f'(x)=0$解得$x=1$或$x=2$。當(dāng)$x<1$或$x>2$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$1<x<2$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)在$x=1$處取得極大值$f(1)=0$，在$x=2$處取得極小值$f(2)=-1$。

19.（5分）

解析思路：由$f(x)=\sq