專題04 全等模型-半角模型（原卷版）

專題04全等模型-半角模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就半角模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。半角模型概念：過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。思想方法：通過旋轉(zhuǎn)（或截長補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化。解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結(jié)論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結(jié)論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·重慶南川·九年級期中）如圖，正方形中，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、或它們的延長線于點(diǎn)、．(1)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖，證明：；(2)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)如圖，求證：；(3)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖位置時(shí)，線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．例2．（2022·遼寧·沈陽八年級階段練習(xí)）定義：如圖1，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，AN，BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM＝3，MN＝5，求BN的長；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)M，N在斜邊AB上，∠MCN＝45°，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？（直接回答：“是”或“不是”）若是說明理由，當(dāng)AM＝2，MN＝4，則BN＝．例3．（2023·廣東廣州·九年級校考期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN＝MN．（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（3）若正方形的邊長為4，當(dāng)N運(yùn)動(dòng)到DC邊的中點(diǎn)處時(shí)，求BM的長．例4．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結(jié)論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。2）等邊三角形半角模型（60°-30°型）例1．（2022·綿陽市八年級期中）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（1）問的結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由．(3)如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．例2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點(diǎn)使．若，，，則以為邊長的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定例3．（2022·廣東深圳·八年級期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)．點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)，且CE＝2，AB＝，∠DAE＝60°，則DE的長為______．例4．（2023秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知是邊長為4的等邊三角形，是頂角為120°的等腰三角形，動(dòng)點(diǎn)、分別在邊、上，且，則的周長是（

）A．12 B．10 C．8 D．6模型3.半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結(jié)論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1.（2023.上海七年級期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結(jié)AC，若，求度數(shù).例2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：___________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．例3．（2022秋·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.例4.（2023.山東八年級期中）綜合與實(shí)踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點(diǎn)M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點(diǎn)M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在邊長為的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，則的長為（）A． B． C． D．22．（2023·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在線段BC、CD上運(yùn)動(dòng)，且滿足∠EAF＝45°，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N，下列說法中：①BE+DF＝EF；②點(diǎn)A到線段EF的距離一定等于正方形的邊長；③BE＝2，DF＝3，則S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，則MN＝5．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．4．（2022·重慶綦江·九年級期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM．若AE＝2，則MF的長為_______．5.（2022.浙江八年級期中）在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足為H，若M、N分別在邊CB、DC的延長線上移動(dòng)．①試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系．②求證：AB＝AH．6．（2023·河南·模擬預(yù)測）（1）在中，，，，且點(diǎn)D，E為邊BC上的點(diǎn)（分別不與點(diǎn)B，C重合，且點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)）．①初步探究：如圖1，若，，，試探究BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．下面是小東的探究過程（不完整），請補(bǔ)充完整．解：∵，，∴，，．∴．如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到，連接GE．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，∴，，．∴，．∴為等邊三角形．（依據(jù)：_________________）∴____________．∵，，∴，又∵，∴．∴．∴．②類比探究如圖2，若，，，請寫出BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由．（2）問題解決：如圖3，在中，，于點(diǎn)M，，，點(diǎn)N為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N為BC的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫出AN的長．7．（2023·遼寧沈陽·八年級?？计谥校┰诘冗吶切蜛BC中．(1)如圖1，D、E是邊BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且∠DAE=30°，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，得到△ACF，連接DF；①求證：△AED≌△AFD；②當(dāng)BE=2，CE=5時(shí)，求DE的長；(2)如圖2，點(diǎn)D是等邊三角形ABC的邊BC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接CE，當(dāng)BD=2，BC=6時(shí)，CE的長為________．8．（2022秋·福建龍巖·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△AC，連接E．(1)當(dāng)∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時(shí)，求證：DE＝E；(2)當(dāng)DE＝E時(shí)，∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出，并說明理由．(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)∠BAC＝90°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△EC是等腰直角三角形？（直接寫出結(jié)論，不必證明）9．（2022·河北邢臺·九年級期末）學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：“如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE＋DF．”小明同學(xué)的思路：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，然后證明，從而可得．，從而使問題得證．(1)【探究】請你參考小明的解題思路解決下面問題：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接寫出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．(2)【應(yīng)用】如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求證：EF＝BE＋DF．10．（2022·山東聊城·九年級期末）（1）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，連接，求證：，試說明理由．（2）類比引申：如圖，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，∠EAF=45°，若、都不是直角，則當(dāng)與滿足等量關(guān)系______時(shí)，仍有，試說明理由．（3）聯(lián)想拓展：如圖，在△中，，，點(diǎn)，均在邊上，且∠DAE=45，若，，求的長．11．（2022·福建龍巖·九年級期中）閱讀下列材料：數(shù)學(xué)課上老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖，等腰的直角頂點(diǎn)在正方形的邊上，斜邊交于點(diǎn)，連接，求證：．某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過思考，交流了自己的想法：利用現(xiàn)在所學(xué)的旋轉(zhuǎn)知識，可將旋轉(zhuǎn)到，然后通過證明全等三角形來完成證明．（1）（問題解決）請你根據(jù)他們的想法寫出證明過程；（2）（學(xué)以致用）如圖，若等腰的直角頂點(diǎn)在正方形的邊的延長線上，斜邊的延長線交的延長線于點(diǎn)，連接，猜想線段，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）（思維拓展）等腰直角中，，為內(nèi)部一點(diǎn)，若，則的最小值______．12．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）在四邊形中，，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，在探究圖1中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系過程中．(1)你嘗試添加了怎樣的輔助線？成功了嗎？（真實(shí)大膽作答即可得分）(2)小亮同學(xué)認(rèn)為：延長到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，即可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系是．(3)如圖3，在四邊形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立？并證明；(4)如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以70海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)，處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．13．（2023·浙江·八年級專題練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：如圖1，在正方形中，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．易證得．大致證明思路：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，由可得、、三點(diǎn)共線，，進(jìn)而可證明，故．任務(wù)：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)的，、與、邊分別交于、兩點(diǎn)．請參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．14．（2022春·山東聊城