阿基米德三角形專項訓(xùn)練 （解析版）

阿基米德三角形專項訓(xùn)練一、單選題1．拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，稱△PAB為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下特征：①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PF丄AB.若經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點P的縱坐標(biāo)為4，則直線AB的方程為()C．x+2y-1=0D．2x-y-2=02．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點的兩切線所圍成的三角形他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于△PAB面積的).若拋物線方程為y2=2px(p>0)，且直線x=與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則p=()3．阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，△PAB為阿基米德三角形.拋物線x2=2py(p>0)上有兩個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2)，以A，B為切點的拋物線的切線PA,PB相交于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為()（1）若弦AB過焦點，則△ABP為直角三角形且上APB=90。；（2）點P的坐標(biāo)是（3）△PAB的邊AB所在的直線方程為(x1+x2)x-2py-x1x2=0；（4）△PAB的邊AB上的中線與y軸平行（或重合）.A234）B12）C123）D134）4．過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作拋物線的弦與拋物線交于A、B兩點，M為AB的中點，分別過A、B兩點作拋物線的切線l1、l2相交于點P.△PAB又常被稱作阿基米德三角形.下面關(guān)于△PAB的描述：①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；③設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則△PAB的面積S的最小值為；⑤PM平行于x軸.其中正確的個數(shù)是()5．我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的三角形△PAB（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；已知直線l:y=k(x-1)與拋物線y2=4x交于A，B點，若AB=8，則拋物線的“阿基米德三角形”△PAB的面積為() 6．過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點，分別過A，B兩點作拋物線的切線l1，l2相交于點P，△PAB又常被稱作阿基米德三角形.△PAB的面積S的最小值為()A．B．C．p2D．p27．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ為.A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．隨Q位置變化前三種情況都有可能關(guān)系8．我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的三角形△PAB（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”，拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PA丄PB；③PF丄AB.已知直線l：y=k(x-1)與拋物線C：y2=4x交于A，B點，若AB=8，記此時拋物線C的“阿基米德三角形”為△PAB，則P點為()C．(-1,-2)9．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號．拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，稱三角形PAB為“阿 基米德三角形”.已知拋物線C：x2=8y的焦點為F，過A，B兩點的直線的方程為3x-3y+6=0，關(guān)于“阿基米德三角形”△PAB，下列結(jié)論不正確的是()C．PF丄AB10．圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.過拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A、B兩點，分別過A、B兩點做拋物線的切線l1，l2相交于P點，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；②△PAB為直角三角形，且上APB為直角；③PF⊥AB.已知P為拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上一點，則阿基米德三角形PAB的面積的最小值為()二、多選題11．過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點，M為AB的中點，分別過A，B兩點作拋物線的切線l1，l2相交于點P，△PAB又常被稱作阿基米德三角形．下面關(guān)于△PAB的描述其中正確的是()A．P點必在拋物線的準(zhǔn)線上；B．設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則△PAB的面積S的最小值為；D．PM平行于x軸.12．阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號．拋物線上任意兩點A、B處的切線交于點P，稱△PAB為“阿基米德三角形”．已知拋物線C：x2=8y的焦點為F，過A、B兩點的直線的方程為3x-3y+6=0，關(guān)于“阿基米德三角形”△PAB，下列結(jié)論正確的是()13．阿基米德是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號．若拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，則稱△PAB為“阿基米德三角形”．已知拋物線x2=8y的焦點為F，過拋物線上兩點A，B的直線的方程為x-y+2=0，弦AB的中點為C，則關(guān)于“阿基米德三角形”△PAB，下列結(jié)論正確的是() 14．阿基米德是偉大的物理學(xué)家，更是偉大的數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)對高中教材中的拋物線做過系統(tǒng)而深入的研究，定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線C：y=x2上兩個不同點A,B橫坐標(biāo)分別為x1，x2，以A,B為切點的切線交于P點.則關(guān)于阿基米德三角形PAB的說法正確的有()A．若AB過拋物線的焦點，則P點一定在拋物線的準(zhǔn)線上B．若阿基米德三角形PAB為正三角形，則其面積為C．若阿基米德三角形PAB為直角三角形，則其面積有最小值D．一般情況下，阿基米德三角形PAB的面積15．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過焦點F，△ABQ為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是()A．存在點Q，使得QA.QBD.△ABQ面積的最小值為p216．阿基米德的“平衡法”體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，他用平衡法求得拋物線弓形（拋物線與其弦AB所在直線圍成的圖形）面積等于此弓形的內(nèi)接三角形（內(nèi)接三角形ABC的頂點C在拋物線上，且在過弦AB的中點與拋物線對稱軸平行或重合的直線上）面積的.現(xiàn)已知直線y=-x+與拋物線E:y2=2px(p>0)交于A，B兩點，且A為第一象限的點，E在A處的切線為l，線段AB的中點為D，直線DC//x軸所在的直線交E于點C，下列說法正確的是()A．若拋物線弓形面積為8，則其內(nèi)接三角形的面積為6B．切線l的方程為2x-2y+p=0三、填空題17．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德是這樣求拋物弓形面積的：以拋物弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點作弓形的內(nèi)接三角形；在以該內(nèi)接三角形兩腰為弦的兩個拋物線弓形內(nèi)用同樣的方法作出內(nèi)接三角形，等等．從第二次開始，每次作出的內(nèi)接三角形面積之和是前一次所作出的內(nèi)接三角形面積和的．若第一次所作的內(nèi)接三角形面積為1，則第三次所作的內(nèi)接三角形面積和為.18．被譽為“數(shù)學(xué)之神”之稱的阿基米德（前287—前212是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他最早利用逼近的思想證明了如下結(jié)論：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二．這個結(jié)論就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被稱為阿基米德三角形．在平面直角坐標(biāo)系心中，已知直線l：y＝4與拋物線C：y=x2交于A，B兩點，則弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為.19．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因為阿基米德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的．已知A(-2,1),B(2,1)為拋物線C:x2=4y上兩點，則在A點處拋物線C的切線的斜率為；弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為.四、解答題20．已知橢圓且經(jīng)過中的三點，拋物線:y2=2px(p>0)，橢圓C1的右焦點是拋物線C2的焦點.(1)求曲線C1，C2的方程；(2)點P是橢圓C1的點，且過點P可以作拋物線C2的兩條切線，切點為A，B，求三角形PAB面積的最大值.21．已知線段AB是拋物線y2=4x的弦，且過拋物線焦點F.(1)過點B作直線與拋物線對稱軸平行，交拋物線的準(zhǔn)線于點E，求證：A、O、E三點共線(O為坐標(biāo)原點)；(2)設(shè)M是拋物線準(zhǔn)線上一點，過M作拋物線的切線，切點為A1、B1.求證i）兩切線互相垂直；（ii）直線A1B1過定點，請求出該定點坐標(biāo).22．如圖，過點P(m,n)作拋物線C:x2=2py(p>0)的兩條切線PA，PB，切點分別是A，B，動點Q為拋物線C上在A，B之間部分上的任意一點，拋物線C在點Q處的切線分別交PA，PB于點M，N.S(2)若分別記△PMN，△ABQ的面積為S1，S2，求SEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(1),2)的值.23．過拋物線的一條弦的中點作平行于拋物線對稱軸的平行線（或與對稱軸重合交拋物線于一點，稱以該點及弦的端點為頂點的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡稱阿氏三角形）.現(xiàn)有拋物線M:y=ax2，直線l：y=bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，且a>0直線l交拋物線M于A，B兩點，設(shè)弦AB的阿氏三角形是△ABC.（1）指出拋物線M的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）求△ABC的面積（用a，b，c表示（3）稱AB的阿氏△ABC為一階的；AC、BC的阿氏△ACD、△BCE為二階的；AD、DC、CE、EB的阿氏三角形為三階的；??,由此進行下去，記所有的k(k∈N*)階阿氏三角形的面積之和為Sk，探索Sk與limSklim2n參考答案：【分析】由△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，得到點P(-1,4)，進而得到直線PF的斜率，再由PF丄AB，得到直線AB的斜率即可.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，由題意可知，拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=-1，因為△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，所以點P必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點P(-1,4)，:直線PF的斜率為.又因為PF丄AB，所以直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為y-0=，即x-2y-1=0，故選：A.【分析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)過焦點的弦垂直于x軸時，即x=時，S△PAB=p2=6，即p=3，故選：D.設(shè)A，x1<x2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率，利用焦點弦性質(zhì)得kPA.kPB==-1，正確；寫出切線方程，聯(lián)立求出P點坐標(biāo)，得（2）錯誤；用A,B兩點坐標(biāo)表示出kAB，寫出直線AB方程，并化簡可得（3）正確；設(shè)N為拋物線弦AB的中點，立即得（4）正確；2，由x2=2py，得，則y,=故（1）正確；2以點A為切點的切線方程為，以點B為切點的切線方程為聯(lián)立消去y得x=，將代入y-得所以，故錯誤；設(shè)N為拋物線弦AB的中點，N的橫坐標(biāo)為因此則直線PN平行于y軸，即平x2x1 -行于拋物線的對稱軸，故（4）正確；設(shè)直線AB的斜率為故直線AB的方程為化簡得(x1+x2)x-2py-x1x2=0，故（3）正確，故選：D..【點睛】本題考查直線與拋物線相交，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，焦點弦性質(zhì)，考查學(xué)生的推理論證能力，屬于中檔題.【解析】作出圖形，設(shè)點A(x1,y1)、B(x2,y2)，設(shè)直線AB的方程為x=my+將直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出直線l1、l2的方程，求出點P的坐標(biāo)，可判斷①的正誤；利用直線PA、PB斜率的關(guān)系可判斷②的正誤；計算出△PAB的面積S的表達式，可判斷③的正誤；利用直線PF、AB的斜率關(guān)系可判斷④的正誤；求出直線PM的斜率，可判斷⑤的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】先證明出拋物線y2=2px(p>0)在其上一點(x0,y0)處的切線方程為y0y=px+px0.證明如下：由于點(x0,y0)在拋物線y2=2px上，則yEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),0)=2px0，聯(lián)立+px0，可得2y0y=y2+2px0，即y2-2y0y+y=0，Δ=0，所以，拋物線y2=2px(p>0)在其上一點(x0,y0)處的切線方程為y0y=px+px0.如下圖所示：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，設(shè)直線AB的方程為x=my+聯(lián)立，消去x得y2-2mpy-p2=0，由韋達定理可得y1y2=-p2，y1+y2=2mp，對于命題①,拋物線y2=2px在點A處的切線方程為y1y=px+px1，即y1y=px+，同理可知，拋物線y2=2px在點B處的切線方程為y2y=px+聯(lián)立解得所以點P的橫坐標(biāo)為-，即點P在拋物線的準(zhǔn)線上，①正確；對于命題②,直線l1的斜率為，直線l2的斜率為，:k1k2=，對于命題④,當(dāng)AB垂直于x軸時，由拋物線的對稱性可知，點P為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點，此時PF丄AB；當(dāng)AB不與x軸垂直時，直線AB的斜率為kAB=直線PF的斜率為kPF==-m，:kAB.kPF=-1，則PF丄AB.綜上，PF丄AB，④正確；.y1y2所以，S△PAB=2AB.PF=2..2p22p222y1當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ坼e誤；對于命題⑤,當(dāng)AB垂直于x軸時，由拋物線的對稱性可知，點P為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點，此時直線PM與x軸重合，⑤錯誤.故選：B.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查了拋物線的焦點弦的幾何性質(zhì)以及韋達定理法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.【分析】根據(jù)給定條件求出直線PF方程，進而求出點P坐標(biāo)及PF長即可求出△PAB的面積.依題意，k≠0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，22當(dāng)k=1時，因△PAB為“阿基米德三角形”，則直線PF斜率kPF=—1，直線PF方程為：又PF丄AB，于是得S△PAB=×8×2 所以△PAB的面積是82.故選：A【解析】設(shè)出直線AB的方程，利用弦長公式求出弦長，求出兩條切線的方程得出點P的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可得S△PAB=p2(1+m2≥p2.【詳解】設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由題意可得直線AB的斜率不為0,因為直線AB過焦點所以設(shè)直線AB的方程x=my+由拋物線的性質(zhì)可得過點A(x1,y1)，B(x2,y2)的拋物線的切線方程為：yy1),yy22)，點P到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時取到最小值.故選：C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合韋達定理求解弦長，根據(jù)點到直線的距離求出三角形的高，根據(jù)面積公式的特點求出最值，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【分析】本題首先可根據(jù)題意繪出圖像，然后設(shè)出直線AB，與拋物線方程聯(lián)立得出y1y2=p2，再然后設(shè)出過點A的切線，與拋物線方程聯(lián)立得出pk1=y1，用同樣的方式設(shè)出過點B的切線，得出pk2=y2，最后根據(jù)k1k2=—1即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，結(jié)合題意繪出圖像：設(shè)A(x1,y1)，B(x1,y2)，則yEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),1)=2px1，yEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),2)=2px2，設(shè)過點A的切線為EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up4(2),1)則Δ=(2pk1)24(2pk1y1yEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1))=0，即pk1=y1，設(shè)過點B的切線為同理可得pk2=y2，則p2k1k2=y1y2=p2，即k1k2=1故△ABQ是直角三角形，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與拋物線的相關(guān)問題的求解，考查韋達定理和判別式的應(yīng)用，考查學(xué)生對“阿基米德三角形”的理解，若兩條直線的斜率乘積為—1，則這兩條直線互相垂直，考查計算能力，是中檔題.【分析】設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，求出過A,B點的切線方程，兩方程聯(lián)立方程組解得P點坐標(biāo)，直線AB的方程y=k(x-1)代入拋物線方程，應(yīng)用韋達定理得x1+x2,x1x2，由焦點弦長公式求得k，從而可得P點坐標(biāo).【詳解】設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，過A點的切線方程為y-y1=m(x-x1)，切線方程為y-y1=化簡得yy1=2x+2x1，同理過B點的切線方程是yy2=2x+2x2，由，得k2x2-x+k2=0，x2直線AB過焦點F(1,0)，2,y2異號，所以y1y2=-4，=-1，故選：A.【分析】聯(lián)立方程可解得則AB=，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得kA x-y-6=0，聯(lián)立求再求kPF=-，可判斷PF丄AB.【詳解】聯(lián)立方程=0，消去x得：3y2-20y+12=0，解得或y2=6=8y，即y=,y,= 同理可得在點B的切線方程為3x-y-6=0故選：D.【分析】設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立拋物線求得x1x2=-4，通過PF⊥AB求得x0=進而得到M為AB中點，由S△PAB=S△PAM+S△PBM表示出三角形PAB的面積，結(jié)合基本不等式求出最小值即可.【詳解】易知，焦點F(0,1)，準(zhǔn)線方程y=-1，直線AB斜率必然存在，設(shè)AB:y=kx+1，2244A(x1,x1),B(x2,x2),x1>0,x2<0，P(x0,-1)，聯(lián)立x2=4y化簡得x2-4kx-4=44x2=-4；又PF⊥AB可得=0，即化簡得,過P作PM/軸交AB于M點，可得M為AB中點，故M故當(dāng)且僅當(dāng)x1=-x2=2時取等.故三角形PAB的面積的最小值為4.故選：C.11．ACD【分析】利用拋物線的性質(zhì)及幾何意義和直線與拋物線的位置關(guān)系逐項判斷即可；【詳解】解：設(shè)A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)(y2<0)，則過A，B的切線方程分別為yy1=px+px1，yy2=px+px2，設(shè)直線AB為x=my+n，與拋物線聯(lián)立得y2-2pmy-2pn=0，所以y1+y2=2pm，y1y2=-2pn，直線AB過焦點即所以y1y2=-p2，所以所以P點必在拋物線的準(zhǔn)線上，且PM平行于x軸，所以AD正確；設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的投影為A1，B1，-y2y12=2pm，y1y2=-p2當(dāng)AB丄x軸時，取等號，所以B錯誤；當(dāng)AB斜率不存在時，易知PF丄AB；故選：ACD.【分析】由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，解得A,B兩點的坐標(biāo)，計算線段AB的長判斷A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，由切線斜率關(guān)系判斷B，兩切線方程聯(lián)立求得交點P的坐標(biāo)判斷C，由直線PF,AB的斜率關(guān)系判斷D.【詳解】設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立可得3x2-8x-48=0，解得x=4或，故項正確；又因為所以故直線PA的斜率為，直線PA的方程為y-6=即y=x-6，聯(lián)立可得故點P的坐標(biāo)為項錯誤；PF故選：ABD.【分析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消元后利用韋達定理結(jié)合導(dǎo)數(shù)逐項計算后可得正確的選項.由消y可得x2-8x-16=0令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=8,x1x2=-16，解得，A錯.kPFAB故選：BCD.【分析】設(shè)出直線AB的斜截式方程、點A,B的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線PA,PB的方程，進而求出點P的坐標(biāo)，將直線AB的方程和拋物線方程聯(lián)立，得到一元二次方程以及該方程兩根的和、積的關(guān)系.A：把拋物線焦點的坐標(biāo)代入直線AB的斜截式方程中，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程進行判斷即B：根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合正三角形的面積公式進行判斷即可；C：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的面積公式進行判斷即可；D：根據(jù)點到直線距離公式、兩點間距離公式進行求解判斷即可..【詳解】由題意可知：直線AB一定存在斜率，所以設(shè)直線AB的方程為：y=kx+m，由題意可知：點A(x1,xEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),1)),B(x2,xEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),2))，不妨設(shè)x1<0<x2，由y=x2Ty'=2x，所以直線切線PA,PB的方程分別為：y-xEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1)=2x1(x-x1),y-xEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),2)=2x2(x-x2)，兩方程聯(lián)立得解得所以P點坐標(biāo)為直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立得：EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(x),2)A：拋物線C：y=x2的焦點坐標(biāo)為(0,)，準(zhǔn)線方程為因為AB過拋物線的焦點，所以m=，而x1x2=-m=-，顯然P點一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故本選項說法正確；B：因為阿基米德三角形PAB為正三角形，所以有|PA|=|PB|，2，所以化簡得：x1=-x2，此時A(x1,xEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1)),B(-x1,xEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1))，P點坐標(biāo)為：(0,-xEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1))，因為阿基米德三角形PAB為正三角形，所以有|PA|=|AB|，因此正三角形PAB的邊長為，22故本選項說法正確；C：阿基米德三角形PAB為直角三角形，當(dāng)PA丄PB時，直線AB的方程為：y=kx+所以P點坐標(biāo)為到直線AB的距離為：(x1-x2)2+(xEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),1)-xEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),2))2(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，取等號，顯然其面積有最小值，故本說法正確；D：因為x1+x2=k,x1x2=-m，所以點P到直線AB的距離為：故本選項說法不正確.故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵就是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的整體代換應(yīng)用，本題重點考查了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的應(yīng)用.【分析】關(guān)于阿基米德三角形△ABQ的結(jié)論，需要逐個選項去判斷，對于A，.kQB==-1，:=0.對于B，可得A,B處的切線方程分別為：y1y=p(x+x1)，y2y=p(x+x2)，可以得出Q的坐標(biāo)進而可以驗證，對于C選項，設(shè)AB的中點為H，利用平行關(guān)系可以做出判斷.對于D，如圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為M，利用三角形面積公式可以判斷是正確的.【詳解】由題意畫圖如下：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).設(shè)直線AB:x=my+聯(lián)立，化為y2-2pmy-p2=0，得到y(tǒng)1+y2=2pm，y1y2=-p2.設(shè)過點A的切線為(y-y1)=k(x-x1)，同理可得過點B的切線斜率為，對于A，:kQA.kQB==-1，:=0，故A錯；對于B，可得A，B處的切線方程分別為：y1y=p(x+x1)，y2y=p(x+x2)，可得Q(-，)，當(dāng)m=0時，:kQF=-=0，直線AB斜率不存在，兩直線垂直，:AB丄QF，:AQ2=AF.ABEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(–),A)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up8(–),A)2=AF.AB.故B正確；當(dāng)m≠0，又因為直線AB的斜率為，:AB丄QF，:AQ2=AF.AB=AF.AB．故B正確；對于C，設(shè)AB的中點為H，則由yH=，:QH//x軸，對于D，如圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為M，△ABQ面積的AB.QF，當(dāng)AB最短時（最短為2p)，QF也最短，最短為MF，△ABQ面積的最小值為p2，故正確.故選：BCD.【分析】A選項直接通過題目中給出的條件進行判斷；B選項聯(lián)立直線拋物線求出A點坐標(biāo)，求導(dǎo)確定斜率，寫出切線方程進行判斷；C選項令n=2，進行判斷；D選項根據(jù)條件依次求出各點坐標(biāo)，分別計算三角形的面積進行判斷.【詳解】A選項：內(nèi)接三角形的面積正確；B選項：p，解得為第一象限的點，:A(|(,p,)，=1，故切線方程為y-p=x-，即2x-2y+p=0，正確；所以不等式不成立，錯誤；，，確.故選：ABD.【點睛】本題需要依次判斷四個選項，A選項直接利用定義判斷，B選項關(guān)鍵在于按照切線方程的通用求法進行求解，C選項通過特殊值進行排除即可，D選項關(guān)鍵在于求出各點坐標(biāo)，再求三角形面積進行判斷.【分析】根據(jù)題意得到等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項公式進行計算【詳解】由題意得：每一次作出的內(nèi)接三角形面積和為等比數(shù)列，首項為1，公比為，故第三次所作的內(nèi)接三角形面積和為故答案為：【分析】先求出A，B兩點的坐標(biāo)，然后再求出過A，B兩點的切線方程，從而可求出直線l與兩條切線所圍成的三角形的面積，進而可求出弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積不妨設(shè)A(4，4)，B(﹣4，4)，由x2得y'=所以過點A，B的切線的斜率分別為2,-2所以在該兩點處的拋物線的切線方程分別y＝2x﹣4，y=﹣2x﹣4，從而拋物線的弦與經(jīng)過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形面積為×8×8=32，故弦與拋物線C所圍成的封閉圖形的面積為.故答案為：【點睛】此題考查拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查曲線的切線的求法，屬于基礎(chǔ)題.【分析】由y=x2，求得y’=x，則k=y’(-2)，寫出在A點處和B點處拋物線C的切線方程，求得交點，再求得阿基米德三角形面積，再根據(jù)弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積與阿基米德三角形面積的關(guān)系求解.2【詳解】因為y=4x2所以y’=x，所以k=y'|x=-2=)=所以在A點處拋物線C的切線的斜率為-1，切線方程為：y-1=-(x+2)，即y=-x-1，同理在B點處拋物線CD切線方程y=x-1，由{，解得{，由{，解得{，lly=x-1ly=-1所以兩切線的交點為P(0,-1)，故答案為：-1，222:y243 (2)82【分析】（1）根據(jù)對稱性可得橢圓上的三個點，利用待定系數(shù)法可求橢圓的方程，從而可求拋物線的方程.（2）設(shè)點P(x0,y0)，PA:x=t1(y-y0)+x0，PB:x=t2(y-y0)+x0，其中t1≠t2，聯(lián)立直線方程和拋物線線方程，消元后利用判別式可得諸變量之間的關(guān)系，從而可得AB的中點M滿足PM平行于x軸并可用x0,y0表示三角形PAB的面積，從而可求其最大值. 設(shè)點P(x0,y0)，PA:x=t1(y-y0)+x00可得y2=4整理得到：y2-4t1y+4t1y0-4x0=0，所以Δ=16tEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),1)-16t1y0+16x0=0，故tEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),1)-t1y0+x0=0，故t1,t2為方程t2-ty0+x0=0的兩個根，故t1+t2=y0,t1t2=x0，而AB的中點M的縱坐標(biāo)為=y0，故PM平行于x軸， =yEQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up4(2),0)-4x0×221．(1)證明見解析(2)證明見解析.【分析】（1）由題知拋物線y2=4x的焦點F(1,0)，準(zhǔn)線為x=-1，故設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，進而得E(-1,y2)，再結(jié)合韋達定理證明kOA=kOE即可；（2）(i)設(shè)M(-1,y0)，過M(-1,y0)作拋物線的切線，斜率為k(k≠0)，則方程為y-y0=k(x+1),切線MA1,MB1的切線斜率分別為k1,k2，進而結(jié)合韋達定理即可得k1k2=-1，進而證明；整理即可得進而得定點坐標(biāo).解：由題知拋物線y2=4x的焦點F(1,0)，準(zhǔn)線為x=-1，所以，設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，ly=4x所以，聯(lián)立方程{2得yly=4x設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=4m,y1y2=-4，因為過點B作直線與拋物線對稱軸平行，交拋物線的準(zhǔn)線于點E，所以E(-1,y2)所以EQ\*jc3\*hps11\o\al(\s\up5(2),1)4 -4y244 -4y24y1y12y114-y2,2，所以，kOA=kOE，即A、O、E三點共線.解i）設(shè)M(-1,y0)，所以，設(shè)過M(-1,y0)作拋物線的切線，斜率為k(k≠0)，則方程為y-y0=k(x+1)，所以，{EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(〔y),ly)2-EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up3(0=),4x)k(x+1)得ky2-4y+4y0+4k=0，設(shè)切線MA1,MB1的切線斜率分別為k1,k2，則k1,k2為方程k2+ky0-1=0的實數(shù)根，所以，兩切線互相垂直.(ii)由（i）知ky2-4y+4y0+4k=0，k2+ky0-1=0，所以，k2y2-4ky+4ky0+4k2=0，即k2y2-4ky+4=(ky-2)2=0，(12)(12)kEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up2(2),2)2,，所以，直線A1B1的方程為所以，直線A1B1過定點(1,0).22．(1)證明見解析；【分析】（1）設(shè)直線AB方程，點A(x1,y1),B(x2,y2)，聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程可得x1x2=-2pb，再求出拋物線C在點A，B處切線斜率推理得證.（2）由（1）求出PA，PB的方程，進而求出直線AB方程，設(shè)點Q(x0,y0)得MN的方程，再求出弦AB，MN長，點Q，P分別到直線AB，MN距離即可計算作答.(1