第七章 復(fù)數(shù)全章綜合測(cè)試卷（提高篇）（人教A版2019必修第二冊(cè)）【含答案解析】

第七章復(fù)數(shù)全章綜合測(cè)試卷（提高篇）參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（2024高一下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）下列命題：①若a∈R，則a+1②若a，b∈R，且a>b，則a+③若x2?4+④實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.其中正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④【解題思路】對(duì)于①，當(dāng)a=?1時(shí)，即可判斷；對(duì)于②，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小；對(duì)于③，當(dāng)x=?2時(shí)，即可判斷；對(duì)于④，由復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集的關(guān)系即可判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于①，若a=?1，則a+1i對(duì)于②，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，則②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若x=?2，則x2?4=0，x2對(duì)于④，由復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集的關(guān)系可知，實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集，則④正確.故選：D.2．（5分）（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足1?iz=3+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】先求等式右邊復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，然后由復(fù)數(shù)的除法求出z，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)得到z，然后由復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷.【解答過(guò)程】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，3+則1?iz=2，故z=2根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)是(1,?1)，在第四象限.故選：D.3．（5分）（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z?1=1，則z+2+4i（i是虛數(shù)單位）的最小值為（A．17?1 B．4 C．17+1【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】設(shè)z=x+yi，則由z?1所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)在1,0為圓心，1為半徑的圓上，如下圖所示：而z+2+4i即求復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)x,y到?2,?4距離的最小值，由圓的幾何性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)x,y位于?2,?4與圓心1,0點(diǎn)連線(xiàn)交點(diǎn)時(shí)，取到最小值，即?2?1故選：B.4．（5分）（23-24高一下·福建福州·期中）已知復(fù)數(shù)z1=1+3i，z2=3+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)題意，求得z1【解答過(guò)程】由復(fù)數(shù)z1=1+3i，z則復(fù)數(shù)z1?z故選：B.5．（5分）（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·期末）已知i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）A．i+B．若z1+i=2，則zC．若z∈C，則D．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足1<z<2，則復(fù)數(shù)z【解題思路】根據(jù)虛數(shù)i運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的分類(lèi)，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，可判定C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合圓的面積公式，可判定D正確.【解答過(guò)程】對(duì)于A中，由i+對(duì)于B中，由z1+i=2因?yàn)??i所以z不是方程x2對(duì)于C中，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,a,b∈所以z2又由z2=(對(duì)于D中，設(shè)z=x+yi,x,y∈R，由所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為一個(gè)圓環(huán)，其中小圓的半徑為1，大圓的半徑為2，其面積為S=π故選：C.6．（5分）（24-25高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z?z=4且z+z+2A．?21976 B．?23952 C．【解題思路】首先根據(jù)條件求得復(fù)數(shù)z，再利用三角函數(shù)表示復(fù)數(shù)，以及結(jié)合歐拉公式，計(jì)算復(fù)數(shù)的值.【解答過(guò)程】設(shè)z=x+yi（x,y∈R）z?z=x+yz+z+2∵x2+當(dāng)z=?2z=2?則z1931+2021=23952當(dāng)z=?2z=?222+=23952故選：D.7．（5分）（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z=1．則z+1z?i取最大值時(shí)，在復(fù)平面上以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，A．等邊三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【解題思路】假設(shè)z=cosθ+isinθ，根據(jù)模長(zhǎng)公式構(gòu)造關(guān)于f(z)的函數(shù)，從而可確定當(dāng)f(z)取最大值時(shí)，【解答過(guò)程】因?yàn)閦=1，所以可設(shè)z所以(z+1)(z?i)=(cosθ+isin所以f(z)=(cosθ+當(dāng)sin(θ+π4即當(dāng)θ+π4=π2此時(shí)z=2所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(2所以|ZA|2=|AB|所以|ZA|=|ZB|,|ZA|所以該圖形為等腰三角形.故選：D.8．（5分）（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1748年提出了著名的歐拉公式：eix=cosx+isinxA．eπ2B．復(fù)數(shù)eπC．sinD．若z1=eπ3i【解題思路】代入x=π2即可判斷A；代入x=π【解答過(guò)程】對(duì)于A，eπ對(duì)于B，eπ4i對(duì)于C，e=cos對(duì)于D，z1=eOZ1=因此△OZ1Z2的面積為：12故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）（23-24高一下·江蘇徐州·期末）設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（A．若z1是純虛數(shù)，則B．若z12C．若z1=D．若z1=【解題思路】對(duì)于A代入z1=ai對(duì)于C設(shè)z1=a+bi，求得z【解答過(guò)程】A.z1=aiB.當(dāng)z1=i,zC.設(shè)z1=a+bi，則z1=D.設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,故z1故選：ACD.10．（6分）（23-24高一下·重慶九龍坡·期中）已知復(fù)數(shù)z=?12+A．1z=z B．復(fù)數(shù)C．z2=z2 D．復(fù)數(shù)w滿(mǎn)足【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、乘方運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷A正確，B錯(cuò)誤，C正確，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可求得D正確.【解答過(guò)程】對(duì)于A，由z=?12+而z=?12對(duì)于B，z4+1=?對(duì)于C，z2對(duì)于D，設(shè)w=x+yi,x,y∈R，則由w?z所以復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以?1因此w=x2故選：ACD.11．（6分）（23-24高一下·云南曲靖·期末）歐拉公式exi=cosA．2eπ4C．e4i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限 【解題思路】對(duì)于A，B，由exi=cosx+isinx【解答過(guò)程】對(duì)于A：由題意得：2e對(duì)于B：由題意得：e3πi對(duì)于C：由題意得：e4i=∵4∈π,3π2∴e4i對(duì)于D：由題意可得：2=22cosx+5故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（23-24高一下·廣東惠州·期中）在復(fù)平面內(nèi)，把與復(fù)數(shù)3?3i對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后，則所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為?【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合三角形計(jì)算即可.【解答過(guò)程】如圖所示，復(fù)數(shù)3?3i對(duì)應(yīng)的向量OA=3,?3繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得向量OB,則∠BOD=60°,則向量OB=?3故答案為：?313．（5分）（23-24高一下·廣東東莞·期中）復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)Z1,Z2分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2，它們滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①z2=z1?2【解題思路】設(shè)z1=a+bi(a,b∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及集合意義可得點(diǎn)Z1,Z【解答過(guò)程】設(shè)z1則z2所以點(diǎn)Z1,又兩點(diǎn)Z1,Z∴a?2b2∴O又O∴OZ1?故答案為：20.14．（5分）（23-24高二上·上海楊浦·期末）已知復(fù)數(shù)z1?z2滿(mǎn)足z1=3,z2=1，若z1和z【解題思路】分別設(shè)z1=3cosθ1+isinθ1，z2=【解答過(guò)程】因?yàn)閦1=3,z2=1所以z=3cosθ1cosθ2當(dāng)θ1?θz1當(dāng)θ1?θz1綜上所述：z1故答案為：9113四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（23-24高一下·全國(guó)·課堂例題）復(fù)數(shù)z=m2?2m+(1)z是實(shí)數(shù)；(2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)．【解題思路】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，列出方程，解方程即可得解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)，列出方程，解方程即可得出答案；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，列出方程，解方程即可得出答案.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，所以m2?2m?8m=0，即所以m=4或m=?2時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù).（2）因?yàn)閦為虛數(shù)，則m2?2m?8m≠0，解得m≠4且所以m≠4且m≠?2且m≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).（3）因?yàn)閦為純虛數(shù)，則m2?2m=0m所以m=2時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).16．（15分）（23-24高一下·山西·期中）已知m∈R，復(fù)數(shù)z1=(m(1)若z1?z(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B（不與O重合），若OA?【解題思路】（1）求出z1（2）利用復(fù)數(shù)的向量表示，結(jié)合給定數(shù)量積求出m，進(jìn)而求出z1，z【解答過(guò)程】（1）依題意，z1?z則m2?m<0m所以m的取值范圍為(0,1).（2）依題意，OA=(m2由OA?OB=0，得2m(m2而m=?1時(shí)，A(0,0)為原點(diǎn)，不符合題意，因此m=12，z1=3所以|z17．（15分）（23-24高一下·上海楊浦·期中）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2(1)若復(fù)數(shù)z是該方程的一個(gè)虛根，且z+z=4?2(2)記方程的兩根為x1和x2，若x1【解題思路】（1）利用z2（2）分討論方程的兩根為實(shí)根還是虛數(shù)根兩種情況討論，結(jié)合韋達(dá)定理可求解.【解答過(guò)程】（1）解：因?yàn)閦2=z?z=9，所以z=3所以z=1+22i，由韋達(dá)定理可得?m=z+z（2）解：若方程的兩根為實(shí)數(shù)根，則x1解得m=±43若方程的兩根為虛數(shù)根，則設(shè)x1=a+bi，x則x1=a+3i，x2=a?3由韋達(dá)定理可得?m=x1+此時(shí)Δ=綜上，m=±26或±418．（17分）（24-25高一下·上海奉賢·階段練習(xí)）設(shè)虛數(shù)z1、z2滿(mǎn)足(1)若z1、z2又是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，求z1(2)把（1）中虛部大于零的根記作ω，對(duì)任意整數(shù)m，計(jì)算ωm(3)若z1=1+ki(i為虛數(shù)單位，k為實(shí)數(shù)），z【解題思路】（1）設(shè)出z1（2）利用復(fù)數(shù)的加減及乘法運(yùn)算計(jì)算作答.（3）根據(jù)給定條件，求出k2的范圍，再將λ表示為k【解答過(guò)程】（1）設(shè)z1=a+bi,a,b∈R，則z因?yàn)閦1、z2是一個(gè)實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，則z1因此a2?b所以z1=?12?32（2）由（1）知，ω=?12+對(duì)任意整數(shù)m，ωm（3）由z1=1+ki知k∈R,k≠0，又zλ=z所以|λ|=(4?19．（17分）（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）已知：①任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成rcosθ+isinθ的形式.其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在射線(xiàn)（射線(xiàn)OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角，rcosθ+isin(1)求證：r1(2)設(shè)ω=?12+(3)試求出所有滿(mǎn)足方程x6=1的復(fù)數(shù)【解題思路】（1）根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算代入計(jì)