立體幾何初步全章十一大壓軸題型歸納（拔尖篇）（人教A版2019必修第二冊）

專題8.11立體幾何初步全章十一大壓軸題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1組合體的結構特征1．（23-24高一下·廣東深圳·期中）如圖所示的幾何體是數(shù)學奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（

）A．一個球、一個四棱柱、一個圓臺構成B．一個球、一個長方體、一個棱臺構成C．一個球、一個四棱臺、一個圓臺構成D．一個球、一個五棱柱、一個棱臺構成2．（24-25高一下·河南商丘·階段練習）某廣場設置了一些石凳供大家休息，如圖，每個石凳都是由正方體截去八個相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結論不正確的是（

）

A．該幾何體的面是等邊三角形或正方形B．該幾何體恰有12個面C．該幾何體恰有24條棱D．該幾何體恰有12個頂點3．（24-25高一·全國·課堂例題）指出下圖中的空間圖形是由哪些簡單空間圖形割補而成的．

4．（2025高二上·上?！ｎ}練習）已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰（如圖）．分別以AB，BC，CD，DA為軸旋轉，試說明所得幾何體是由哪些簡單幾何體構成的？

題型2題型2多面體與球體內切外接問題1．（24-25高三上·甘肅張掖·期中）在三棱錐A?BCD中，AD⊥平面ABC，∠BAC=120°，AB=AD=AC=2，則該棱錐的外接球半徑為（A．5 B．6 C．3 D．42．（23-24高一下·浙江臺州·期中）已知圓錐的側面展開圖是一個圓心角為3π且半徑為2的扇形，記該圓錐的內切球半徑為R1，外接球半徑為R2，則RA．23?1 B．23+1 C．3．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知棱長為2cm的正方體容器內盛滿水，把半徑為1cm的鋼球放入水中，剛好被淹沒；然后放入一個鐵球，使它也淹沒于水中．要使流出的水量最多，這個鐵球的半徑應為多少？4．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在棱長為1的正方體內有兩個球相外切且分別與正方體內切，求兩球半徑之和.題型3題型3組合體的表面積與體積1．（24-25高三上·廣東深圳·期末）如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（

）A．325π12 B．76π3 C．2．（24-25高二上·云南昆明·期末）圖1是1963年在陜西寶雞賈村出口的一口“何尊”（西周青銅酒器），其高約40厘米，器口直徑約30厘米．何尊內底銘文中出現(xiàn)了“宅茲中國”四字（圖2），其形狀可視為一個圓柱和一個圓臺構成的組合體，圓柱的上底面與圓臺的上底面完全重合，且直徑為18厘米，圓柱的高為24厘米，則該組合體的體積約為（

）A．3576π B．3744π C．4296π D．4824π3．（24-25高二上·四川達州·期末）如圖所示的玻璃罩可以看成是由一個圓柱側面和一個半球球面組合而成，其中球面半徑為2分米，圓柱面高為4分米.（忽略玻璃厚度）(1)求該玻璃罩外壁的面積；(2)若將該玻璃罩倒置后裝水，求最多能裝多少升水？4．（23-24高二·上?！ふn堂例題）如圖，以正方體ABCD?A題型4題型4幾何體與球的切、接問題1．（24-25高三上·湖北武漢·階段練習）已知矩形ABCD的長為4，寬為3，將△ABC沿對角線AC翻折，得到三棱錐B?ACD，則三棱錐B?ACD的外接球的體積為（

）A．1256π B．256π C．2．（2024·天津和平·二模）如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的內切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個公共點）的體積為（

）A．94π B．92π C．3．（23-24高一下·北京大興·期中）如圖，四面體A?B1C(1)若四面體A?B1C(2)若AD1=3，AC=?4．（2024高三·全國·專題練習）已知正三棱錐P?ABC的高為2，AB=46(1)正三棱錐P?ABC的表面積；(2)正三棱錐P?ABC內切球的表面積與體積．題型5題型5空間中的點共線、點（線）共面問題1．（2024·湖南·二模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A．E,F,G,H四點共面 B．EF//GHC．EG,FH,AA1三線共點 2．（24-25高一下·湖北黃岡·階段練習）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G,H分別在BC，CD上，且BG:

①E，F(xiàn)，G，H四點共面；②EG//FH;③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，A．0 B．1 C．2 D．33．（24-25高二上·上?！るA段練習）如圖，在四面體ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2．(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)設EG與HF交于點P，求證：P、A、C三點共線．4．（24-25高二上·上?！卧獪y試）已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P、Q、(3)DE、BF、CC題型6題型6空間點、直線、平面之間的位置關系1．（24-25高三上·天津·期末）已知m,n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（A．若m⊥n，且n?α，B．若m//α，n//αC．若m//α，m⊥nD．若α⊥β，α∩β=c2．（2025·山西·一模）已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則（

）A．若m//α，n∥α，則m∥n B．若α∥β，m⊥α，n//β，則m⊥nC．若n∥α，m⊥n，則m⊥α D．若α⊥β，m//α，n//β，則m⊥n3．（24-25高一上·上?！て谥校┤鐖D，已知E,F,G,H分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB，BC，CC

(1)求證：點Q在直線DC上；(2)求證：EF與A14．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．(1)判斷直線EF與平面ABC的位置關系．(2)判斷直線EF與直線BD的位置關系．題型7題型7求線面角1．（23-24高一下·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，∠ACB=90°,PA⊥平面ABC,AC=BC=PA，M是PB的中點，則AM與平面PBC所成角的正弦值為（

）A．22 B．63 C．332．（23-24高一下·新疆·期末）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為線段A1C1A．66 B．55 C．333．（23-24高一下·甘肅蘭州·期末）如圖，在四棱錐B?PACQ中，BC⊥平面PAB，且在四邊形PACQ中，PQ∥AC，∠PAC=π2，二面角B?AP?Q的大小為π3(1)點E為BC的中點，證明：QE//平面PAB；(2)求直線BQ與平面PACQ所成角的正弦值．4．（23-24高一下·安徽安慶·期末）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是棱PB，PC的中點，Q是棱PA上一點，且AQ=3QP.(1)求證:NQ//平面MCD;(2)AB=14,BC=PB=PD=8,PA=PC=46，求直線PA與平面PBC題型8題型8求二面角1．（23-24高三上·河北滄州·期末）將兩個相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”.如圖，在正雙三棱錐P?ABC?Q中，PA,PB,PC兩兩互相垂直，則二面角P?AB?Q的余弦值為（

）A．?63 B．?33 C．2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正方體ABCD?A1B1C1D1邊長為1，點E,O分別在線段B1D1和BD上，EB1=4A．α>β>γ B．γ>β>αC．γ>α>β D．β>α>γ3．（23-24高一下·江蘇常州·期末）如圖，三棱柱ABC?A1B1C1所有棱長都為2，∠B1BC=60°，O(1)求證：CD//平面AOB(2)若直線DB1與平面AOB1所成角的正弦值為4．（23-24高一下·廣東廣州·期末）如圖，已知三棱臺ABC?A1B1C1，底面△ABC是以B為直角頂點的等腰直角三角形，體積為143(1)證明：BC⊥平面ABB(2)求點B到面ACC(3)在線段CC1上是否存在點F，使得二面角F?AB?C的大小為π6題型9題型9點、線、面的距離問題1．（2024·北京·三模）故宮角樓的屋頂是我國十字脊頂?shù)牡湫痛?，如圖1，它是由兩個完全相同的直三棱柱垂直交叉構成，將其抽象成幾何體如圖2所示.已知三樓柱ABF?CDE和BDG?ACH是兩個完全相同的直三棱柱，側棱EF與GH互相垂直平分，EF,GH交于點I，AF=BF=a，AF⊥BF，則點G到平面ACEF的距離是（

）

A．33a B．12a C．2．（23-24高三上·山東濟寧·階段練習）如圖1，某廣場上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的正三棱錐得到的，它的所有棱長均相同，數(shù)學上我們稱之為半正多面體（semiregularsolid），亦稱為阿基米德多面體，如圖2，設AB=1，則平面BCG與平面EMQ之間的距離是（

）A．2 B．66 C．63 3．（23-24高一下·山東泰安·期末）如圖，AE⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2，F(xiàn)為(1)求證：DF//平面EAB(2)求點C到平面BDE的距離．4．（23-24高二上·上海楊浦·期中）如圖,P為菱形ABCD外一點,PD⊥平面ABCD,∠BAD=60°,E為棱(1)求證:ED⊥平面PAD;(2)若PD=AD=2,求BC到平面PAD的距離.題型10題型10平行關系與垂直關系的綜合應用1．（23-24高一下·福建龍巖·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1中，A．若E∈BD1，F(xiàn)∈BDB．若E∈BD1，F(xiàn)∈BD，則平面BEF⊥C．若E∈AC，F(xiàn)∈CD1，則EF//D．若E∈AC，F(xiàn)∈CD12．（24-25高三上·浙江寧波·階段練習）如圖一，矩形ABCD中，BC=2AB,AM⊥BD交對角線BD于點O，交BC于點M，現(xiàn)將△ABD沿BD翻折至△A′BD的位置，如圖二，點NA．BD⊥CN B．A′O⊥C．CN//平面A′OM D．平面3．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥PC,CA=CB，M是AB的中點．點N在棱PC上，點D是BN的中點．求證：(1)MD//平面PAC；(2)平面ABN⊥平面PMC．4．（23-24高一下·山東菏澤·階段練習）在四棱錐P?ABCD中，O為AC與BD的交點，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，DC//AB，DA=DC=2AB.

(1)求異面直線PC和AB所成角的大?。?2)若點E為棱PA上一點，且OE//平面PBC，求AEPE(3)求證：平面PBC⊥平面PDC.題型11題型11立體幾何中的探索性問題1．（23-24高一下·云南昆明·階段練習）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=3，∠BCD=120°，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，BF=DE=3，點P在線段(1)求證：AD⊥BP；(2)是否存在點P，使得PB∥平面ACE？若存在，試求點P2．（23-24高一下·河北滄州·期中）如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E為AB的中點，沿DE將△ADE折起，使得點A到點P的位置，且PE⊥EB，M為PB的中點，N是BC上的動點（與點

(1)證明：平面EMN⊥平面PBC；(2)是否存在點N，使得二面角B?EN?M的正切值為17？若存在，確定N點的位置；若不存在，請說明理由．3．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，且PA=AD=2,AB=BC=1,PB=5,E為(1)求證：