2023-2024學(xué)年人教版高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點（?？碱} 考題猜想19種題型）

專題01高二下期末真題精選（?？碱}考題猜想，19種題型）

駁型大集合

>兩個計數(shù)原理綜合（共3小題）>系數(shù)和，系數(shù)最值（共8小題）

>排列數(shù)與組合數(shù)的計算（共4小題）>兩個二項展開式，三項展開式系數(shù)問題（共6

>組合數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用（共4小題）小題）

>相鄰與不相鄰問題（共5小題）>條件概率（共5小題）

全概率公式和貝葉斯公式（共6小題）

>特殊元素（位置）優(yōu)先（共5小題）

二項分布和超幾何分布（共7小題）

>間接法（共4小題）

正態(tài)分布（共9小題）

>分配問題（共4小題）

十七.一元線性回歸模型（共6小題）

>涂色問題（共4小題）

十八.相關(guān)系數(shù)（共6小題）

>二項展開式的第左項（共4小題）十九.獨立性檢驗（共6小題）

>二項式系數(shù)（和）（共4小題）

強型大通關(guān)

兩個計數(shù)原理綜合（共3小題）

1.（23-24高二上?遼寧朝陽?期末）如圖，已知每條線路僅含一條通路，當(dāng)一條電路從M處到N處接通

時，不同的線路可以有（）

A.5條B.6條C.7條D.8條

2.（23-24高二上?遼寧遼陽?期末）同一個宿舍的8名同學(xué)被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都

去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（）

A.32種B.128種C.64種D.256種

3.（23-24高二上?江西?期末）從0~6這7個數(shù)字中取出4個數(shù)字，試問：

（1）能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？

（2）能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

--排列數(shù)與組合數(shù)的計算（共4小題）

1.（23-24高二下?山東棗莊?期中）下列公式錯誤的是（）

A*An=(n-m)!B，Cn=ml(n-m)!C，C〃+i=C〃+C〃

D-C"冷：；

2.（23-24高二下.廣東清遠.期中）不等式A：＜6A/的解集為.

3.（23-24高二下?湖北武漢?期中）關(guān)于”的方程C［；=gA：+］的解是

4.（20-21高二下?安徽滁州?期末）求解下列問題：

28+74

（1）計算:

履-6

（2）解方程：應(yīng)包=140用.

三.組合數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用（共4小題）

1.（23-24高二下?湖北?期中）已知C：J=C浮，則”=（）

A.3或9B.9C.3D.6

2.（23-24高二下.河北.期中）若C；；=C『，貝|Jc；+C；++C：的值為（）

A.35B.34C.56D.55

3.（23-24高二下?上海浦東新?期中）已知C3=C：+C：（weN*）,則”=.

4.（23-24高二下?湖北?期中）若?；尸=5丁+（：：1，則正整數(shù)尤的值為.

四.相鄰與不相鄰問題（共5小題）

1.（23-24高二下?湖南?期中）王大爺養(yǎng)了3只雞和2只兔子，晚上關(guān)在同一間房子里，清晨打開房門，

這些雞和兔子隨機逐一向外走，則2只兔子相鄰走出房子的不同方法數(shù)有（）

A.120種B.72種C.48種D.36種

2.（23-24高二下?甘肅白銀?期中）甲游客盤中有肉灌湯包、龍井肉包、蝦仁肉包、御膳肉包、胡蘿卜素

包、韭菜素包各一個，甲游客每次吃一個，全部吃完，若要求甲游客吃兩個素包的順序不相鄰，則不同的

吃法共有（）

A.480種B.360種C.240種D.600種

3.（23-24高二下?河北石家莊?期中）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦方計劃利用暑期開設(shè)

“禮”、“樂”、“射”、“御”、“書”，“數(shù)”六門體驗課程，每周一門,連續(xù)開設(shè)六周，則課程“御”“書”“數(shù)”排在

不相鄰的三周，共有種排法.

4.（23-24高二下.上海?期中）記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位

老人不相鄰，不同的排法共有種

5.（23-24高二下.山東泰安?期中）從甲、乙、丙等7人中選出5人排成一排.（以下問題均用數(shù)字作答）

（1）甲、乙、丙三人恰有兩人在內(nèi)，有多少種排法？

（2）甲、乙、丙三人全在內(nèi)，且甲在乙、丙之間（可以不相鄰）有多少種排法？

（3）甲、乙、丙都在內(nèi)，且甲、乙必須相鄰，甲、丙不相鄰，有多少種排法？

五.特殊元素（位置）優(yōu)先（共5小題）

1.（23-24高二下.河北張家口?期中）某天要排語文、數(shù)學(xué)、體育、計算機、物理、化學(xué)六節(jié)課，上午四

節(jié)下午兩節(jié)，其中體育不排在上午第一節(jié)和下午第一節(jié)，那么這天課程表的不同排法共有（）

A.120種B.240種C.360種D.480種

2.（23-24高二下?湖北武漢?期中）學(xué)校將從4男4名女中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四

辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，女生乙不適合擔(dān)任四辯手.要求甲乙同時入選或同時不入選.不同

組隊形式有（）種.

A.480B.360C.570D.540

3.（23-24高二上?天津濱海新?期中）從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復(fù)的三位偶數(shù)，

這樣的數(shù)有個.

4.（23-24高二下?四川南充?期中）分別從0,2,4和1,3,5中各任取2個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的四位

數(shù)，這樣的四位數(shù)共有個.

5.（23-24高二下?貴州遵義?期中）杭州亞運會秉持“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦賽理念，本次亞運會

火炬?zhèn)鬟f線路的籌劃聚焦簡約、規(guī)模適度.某路段的傳遞活動由A,B,C,D,E,尸共六名火炬手分五棒

完成，若第一棒火炬手只能從43中產(chǎn)生，最后一棒由兩名火炬手共同完成，且4C兩名火炬手不能共

同完成最后一棒，則不同的傳遞方案種數(shù)為.

六.間接法（共4小題）

1.（23-24高二下.安徽蚌埠?期中）為了迎接期中考試，某同學(xué)要在5月1日安排6個學(xué)科的復(fù)習(xí)任務(wù)，

上午安排3科，下午安排2科，晚上安排1科，為了提高學(xué)習(xí)效率，數(shù)學(xué)學(xué)科的復(fù)習(xí)時間不安排在早晨第

一科，并且語文和英語兩科的復(fù)習(xí)時間不連在一起（上午最后一節(jié)和下午第一節(jié)不算連在一起，下午最后

一節(jié)和晚上也不算連在一起），那么6個學(xué)科復(fù)習(xí)的順序安排總共有（）種.

A.240B.480C.540D.696

2.（23-24高二下?浙江麗水?期中）截至目前，聯(lián)合國共設(shè)5個常任理事國，10個非常任理事國，現(xiàn)從這

15個國家中選取3個國家，且至少包含一個常任理事國，則共有的選法種數(shù)為（）

A.120B.410C.335D.455

3.（23-24高二下?湖北?期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行恩施高中2022級數(shù)學(xué)競賽決賽，決出

第1名到第5名的名次，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺域，你沒有獲得冠軍對乙說：“你當(dāng)

然不會是最差的.”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有（）種不同的情況.

A.54B.72C.78D.84

4.（23-24高二下.上海.期中）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙至少一人

入選的選法有種

七.分配問題（共4小題）

1.（2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）2025年第9屆亞冬會將在哈爾濱舉辦，某校的五位同學(xué)準備前往哈爾

濱冰雪文化博物館、群力音樂公園、哈爾濱極地公園三個著名景點進行打卡，已知每個景點至少有一位同

學(xué)前往，并且每位同學(xué)只能選擇其中一個景點，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須選同一個景點，則不同的選法種數(shù)

是（）

A.18B.36C.54D.72

2.（2024?安徽馬鞍山?三模）甲、乙等5名學(xué)生參加學(xué)校運動會志愿者服務(wù)，每個人從“檢錄組”“計分

組，，“宣傳組，，三個崗位中隨機選擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的

概率為（）

.3c9c6r12

A.—B.—C.—D.—

20502525

3.（23-24高二下?山東泰安?期中）為了落實五育并舉，全面發(fā)展學(xué)生素質(zhì)，學(xué)校準備組建書法、音樂、

美術(shù)、體育社團，現(xiàn)將6名同學(xué)分配到這4個社團進行培訓(xùn)，每名同學(xué)只分配到1個社團，每個社團至少

分配1名同學(xué)，則不同的分配方案的種數(shù)為（）

A.1200B.1560C.2640D.4800

4.（23-24高二下?浙江寧波?期中）甲、乙等6人去A,B,C三個不同的景區(qū)游覽，每個人去一個景區(qū)，每

個景區(qū)都有人游覽，若甲、乙兩人不去同一景區(qū)游覽，則不同的游覽方法的種數(shù)為.

八.涂色問題（共4小題）

1.（23-24高二下?重慶?期中）給正六邊形ABCDEF的六條邊涂色，現(xiàn)有3種不同的顏色可以選擇，要求

相鄰兩條邊顏色不同，則不同的涂法有（）種

A.99B.96C.66D.60

2.（23-24高二下?重慶?期中）某市的5個區(qū)縣A,B,C,D,E地理位置如圖所示，給這五個區(qū)域染

色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有

3.（23-24高二下.天津?期中）一個長方形，被分為A、B、C、D、E五個區(qū)域，現(xiàn)對其進行涂色，有紅、

黃、藍、綠四種顏色可用，要求相鄰兩區(qū)域（兩個區(qū)域有公共頂點就算相鄰）涂色不相同，則不同的涂色

4.（23-24高二下?浙江寧波?期中）某景區(qū)內(nèi)有如圖所示的一個花壇，此花壇有9個區(qū)域需栽種植物，要

求同一區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物，且圓環(huán)的3個區(qū)域種植綠色植物，中間的6個扇

形區(qū)域種植鮮花.現(xiàn)有3種不同的綠色植物和3種不同的鮮花可供選擇，則不同的栽種方案共有

九.二項展開式的第左項（共4小題）

1.（22-23高三上?北京通州?期末）設(shè)”為正整數(shù),的展開式中存在常數(shù)項，貝I"的最小值為

A.2B.3C.4D.5

2.（20-21高二下?江蘇連云港?期末）若（近-的展開式中第4項是常數(shù)項，則〃的值為（）

A.14B.16C.18D.20

3.（23-24高三上?湖北?期中）口一*:的展開式中的常數(shù)項為（用數(shù)字作答），

4.（23-24高三上.內(nèi)蒙古呼和浩特.期末）+的展開式中常數(shù)項為.

十.二項式系數(shù)（和）（共4小題）

1.（多選）（22-23高二下.貴州安順.期末）在（計咪的展開式中，則（）

A.所有項的二項式系數(shù)和為64B.所有項的系數(shù)和為0

C.常數(shù)項為-1D.二項式系數(shù)最大的項為第3項

2.（22-23高二下?天津?期末）在，2的展開式中，二項式系數(shù)和是32,x的系數(shù)為.

3.（23-24高三上?浙江紹興?期末）若的展開式中二項式系數(shù)之和為32,則展開式中的含爐的

項的系數(shù)為1

6

4.（23-24高三上?河北邢臺?期末）已知（2二2一天3）”展開式的二項式系數(shù)之和為256,則其展開式中工的

系數(shù)為（用數(shù)字作答）

十一.系數(shù)和，系數(shù)最值（共8小題）

1.（多選）（23-24高二上?河南駐馬店?期末）已知（1-2尤）5=旬+叱+七工2++火三，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.%=80B.a4>|a;|（z=0,1,-,5）

C.同+同+同+同+聞=242D.?+$+號+崇=。

2.（多選）（22-23高二下?河北唐山?期末）關(guān)于（x-y/的說法正確的是（）.

A.展開式中二項式系數(shù)之和為1024B.展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大

C.展開式中只有第6項的系數(shù)最小D.展開式中第5項和第6項的二項式系數(shù)最大

3.（23-24高二下?北京?期中）設(shè)（1+2x）5=4+4尤++4尤4+%/，貝。

%—Q]+%—。3+“4—〃5=；%+%+〃4=.

4.（23-24高二上.安徽亳州?期末）（1）求46除以15的余數(shù);

827s

（2）^（2%-1）-1=a0+aIx+a2xH-----Fa7%+asx,求出+&+4+。8的值;

（3）求展開式中系數(shù)最大的項.

已知“I

5.(22-23高二下?湖南邵陽?期中)的展開式中倒數(shù)第三項的二項式系數(shù)為45.

⑴求展開式的第7項；

(2)求所有偶數(shù)項的系數(shù)和.

45

6.(22-23高二下?四川眉山?期中)設(shè)(21—I)，=%+〃/+a2/++a4x+a5x求；

⑴%+%+〃2++〃4

(2)(%+%+。4)-(%+生+。5)(

7.(23-24高二下?山東泰安?期中)已知-融)的展開式中，所有項的系數(shù)之和是512.

(1)求展開式中有理項有幾項；

(2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項是第幾項.

8.(23-24高二下?安徽六安?期中)已知在：尤2-玄的展開式中，第9項為常數(shù)項?求:

(1)”的值：

(2)展開式中V的系數(shù)；

(3)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項.

十二.兩個二項展開式，三項展開式系數(shù)問題（共6小題）

1.（23-24高二下.重慶?期中）1-2?+1了的展開式中，V的系數(shù)為（）

A.20B.15C.6D.3

2.（23-24高二下.江蘇無錫?期中）（x+y—2＞展開式中/曠的系數(shù)為（）

A.60B.-60C.30D.-30

3.（22-23高二下?山東青島?期末）在（a+26+3c）5的展開式中，含的系數(shù)為.

4.（23-24高二上?河南駐馬店?期末）已知（如-1），+：］的展開式中常數(shù)項為-10,則機=.

5.（23-24高二上.山東青島?期末）（1+￡|。+4的展開式中⑶的系數(shù)為.（用數(shù)字作

答）.

十三.條件概率（共5小題）

1.（23-24高二上.江西.期末）已知事件A與事件8相互獨立，P（B）=1,則P（同A）=（）

A.-B.-C.-D.-

5445

2.（23-24高二下?江蘇連云港?期中）甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“五局三勝”制，甲

在每局比賽中獲勝的概率均為f,且各局比賽結(jié)果相互獨立.在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了五局的

概率為（）

A.-B.—C.-D.-

48135

3.（23-24高二下?廣西柳州?期中）2023年3月13日第十四屆全國人民代表大會第一次會議在北京勝利閉

幕.某中學(xué)為了貫徹學(xué)習(xí)“兩會”精神，舉辦“學(xué)兩會，知國事”知識競賽.高二學(xué)生代表隊由A,B,C,

D,E,P共6名成員組成，現(xiàn)從這6名成員中隨機抽選3名參加學(xué)校決賽，在學(xué)生A被抽到的條件下，學(xué)

生8也被抽到的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5538

4.（23-24高二上?河南駐馬店?期末）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗

艙.假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙、丁4名航天員開展實驗，每名航天員只能去一個艙，每個艙至少安排

一個人，則甲被安排在天和核心艙的條件下，乙也被安排在天和核心艙的概率為.

5.（23-24高二下?上海浦東新?期中）先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點數(shù)分別為x,y,將

事件“1。叫叫了為整數(shù)”記為A，將事件，+丫為偶數(shù)”記為B，將事件“尤+2》為奇數(shù)”記為C；

(1)試判斷事件8與事件C是否相互獨立？并說明理由;

⑵求「(A|C)的值.

十四.全概率公式和貝葉斯公式(共6小題)

1.(22-23高二上?江西南昌?期末)設(shè)某廠有甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別

占全廠產(chǎn)量的20%,30%,50%,并且各車間的次品率依次為5%,2%,3%,現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一

件.

(1)求取到次品的概率；

(2)若取到的是次品，則此次品是由乙車間生產(chǎn)的概率為多少？

2.(22-23高二下?福建三明?期末)某廠有甲，乙，丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這三個車間的產(chǎn)量分別

占總產(chǎn)量的百分比及所生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率如下表所示：

車間甲車間乙車間丙車間

產(chǎn)量占比25%35%40%

不合格率0.050.040.02

設(shè)事件A=“從該廠產(chǎn)品中任取一件，恰好取到不合格品”

(1)求事件A的概率；

(2)有一用戶買了該廠一件產(chǎn)品，經(jīng)檢驗是不合格品，但該產(chǎn)品是哪個車間生產(chǎn)的標(biāo)志已經(jīng)脫落，判斷該產(chǎn)

品來自哪個車間的可能性最大，并說明理由.

3.(23-24高二下?湖北?期中)編號為1,2,3的三個除編號外完全相同的盒子里，分別裝有3個紅球，2個

白球；3個黃球，3個白球；4個黑球，5個白球.(所有球除顏色外完全相同)

(1)現(xiàn)隨機從某個盒子里摸2個球，則在選到2號盒子的條件下，摸出的兩個球都是白球的概率是多少？

(2)現(xiàn)隨機從某個盒子里摸1個球，若摸出的球是白色，則這個球來自2號盒子的概率是多少？

4.(23-24高二下?黑龍江大慶?期中)工廠有甲，乙，丙三個車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別

占全廠產(chǎn)量的25%,35%,40%,并且各車間的次品率依次為5%,4%,2%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一

件.

(1)求取到次品的概率；

(2)若取到的是次品，則此次品由甲車間生產(chǎn)的概率是多少？

5.(23-24高二下.江蘇常州.期中)為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對所有學(xué)生開放圖書借閱，可借閱的

圖書分為“期刊雜志”與“文獻書籍”兩類，已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機選擇一類圖

書借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜志”，則下次也選擇借閱“期刊雜志”的概率為:，若前一次選擇借閱“文

3

獻書籍”，則下次選擇借閱“期刊雜志”的概率為g.

(D求小明同學(xué)在兩次借閱過程中恰有一次借閱“期刊雜志”的概率；

(2)求小明同學(xué)在兩次借閱過程中，第二次借閱的是“文獻書籍”的概率.

6.(23-24高二下?河北張家口?期中)現(xiàn)有12個球，其中6個球由甲工廠生產(chǎn)，4個球由乙工廠生產(chǎn)，2

個球由丙工廠生產(chǎn).這三個工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的次品率依次是7%,8%,9%、現(xiàn)從這12個球中任取1個

球，設(shè)事件2為“取得的球是次品“，事件A，A,Aj分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的”,

⑴求手⑷,i=l,2,3,

(2)若取出的球是次品，求該球是甲工廠生產(chǎn)的概率.(用分數(shù)作答)

十五.二項分布和超幾何分布(共7小題)

1.(21-22高二下?全國?期末)在某詩詞大會的“個人追逐賽”環(huán)節(jié)中，參賽選手應(yīng)從8個不同的題目中隨

機抽取3個題目進行作答.已知這8個題目中，選手甲只能正確作答其中的6個，而選手乙正確作答每個

題目的概率均為0.8,且甲、乙兩位選手對每個題目作答都是相互獨立的.

(1)求選手甲恰好正確作答2個題目的概率；

(2)記選手乙正確作答的題目個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)如果在抽取的3個題目中答對2個題目就可以晉級，你認為甲、乙兩位選手誰晉級的可能性更大？請說

明理由.

2.(20-21高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中)已知某單位招聘程序分兩步：第一步是筆試，筆試合格才能進入第

二步面試；面試合格才算通過該單位的招聘.現(xiàn)有A,B,C三位畢業(yè)生應(yīng)聘該單位，假設(shè)A,B,C三位

畢業(yè)生筆試合格的概率分別是。，7；面試合格的概率分別是:，

3z4/33

(1)求A,8兩位畢業(yè)生中有且只有一位通過招聘的概率；

(2)記隨機變量X為A,B,C三位畢業(yè)生中通過招聘的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

3.(23-24高二下?重慶?期中)奉節(jié)臍橙，是重慶市奉節(jié)縣特產(chǎn)，中國地理標(biāo)志產(chǎn)品.奉節(jié)臍橙的栽培技

術(shù)始于漢代，歷史悠久，產(chǎn)區(qū)位于三峽庫區(qū)，所產(chǎn)臍橙肉質(zhì)細嫩化渣，酸甜適度，汁多爽口，余味清香，

深受廣大群眾的喜愛.某果園從一批(個數(shù)很多)成熟的臍橙中隨機抽取了100個，按質(zhì)量(單位：g)

將它們分類如下：質(zhì)量在［300,400)的為二級果，質(zhì)量在［400,500)的為一級果，質(zhì)量在［500,600］的為特級

果，個數(shù)分別為30個，40個，30個.

(1)從這100個臍橙中任取2個，求2個果都為一級果的概率；

(2)按照比例分配的分層隨機抽樣，在樣本中從二級果，一級果，特級果中抽取10個臍橙進行檢測，再從

10個臍橙中抽取3個臍橙作進一步檢測，這3個臍橙中特級果的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)若這批臍橙的質(zhì)量都在［300,600］內(nèi)，用樣本估計總體，從該批臍橙中任取4個，求4個臍橙中二級果的

個數(shù)丫的期望與方差.

4.(23-24高二下.安徽安慶?期中)某中學(xué)為了解本校高二年級學(xué)生閱讀水平現(xiàn)狀，從該年級學(xué)生中隨機

抽取100人進行一般現(xiàn)代文閱讀速度的測試，以每位學(xué)生平均每分鐘閱讀的字數(shù)作為該學(xué)生的閱讀速度，

將測試結(jié)果整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)若該校高二年級有1500人，試估計閱讀速度達到620字/分鐘及以上的人數(shù)；

(2)用頻率估計概率，從該校高二學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人

數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若某班有10名學(xué)生參加測試，他們的閱讀速度如下：506,516,553,592,617,632,667,693,

723,776,從這10名學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中閱讀速度達到540字/分鐘及以上的人數(shù)為y,試

判斷數(shù)學(xué)期望E(y)與(2)中的E(x)的大小.

5.(22-23高二下?廣東東莞?期中)某學(xué)校參加某項競賽僅有一個名額，結(jié)合平時訓(xùn)練成績，甲、乙兩名

學(xué)生進入最后選拔，學(xué)校為此設(shè)計了如下選拔方案：設(shè)計6道題進行測試，若這6道題中，甲能正確解答

其中的4道，乙能正確解答每個題目的概率均為：，假設(shè)甲、乙兩名學(xué)生解答每道測試題都相互獨立、互

不影響，現(xiàn)甲、乙從這6道測試題中分別隨機抽取3題進行解答

(1)求甲、乙共答對2道題目的概率；

(2)設(shè)甲答對題數(shù)為隨機變量X,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；

(3)從數(shù)學(xué)期望和方差的角度分析，應(yīng)選拔哪個學(xué)生代表學(xué)校參加競賽？

6.(23-24高二上仞川涼山?期中)某中學(xué)舉行一次知識競賽，比賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，

小組兩人分別答兩道題，若答對題數(shù)不少于3題，被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，且同

學(xué)甲和同學(xué)乙答對每道題的概率分為P”P2.

(1)若P]=：，P2=§,則在第一輪競賽中，求他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；

(2)當(dāng)A+P2=|;且每輪比賽互不影響，如果甲乙同學(xué)在此次競賽活動中要想獲得“優(yōu)秀小組''的次數(shù)為9

次，那么理論上至少要進行多少輪競賽?

7.（22-23高二下?山東臨沂?期中）甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為：應(yīng)聘者從7道備選題

中一次性隨機抽取3道題，按照答對題目的個數(shù)為標(biāo)準進行篩選.已知7道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正

4

確完成，3道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是,，且每題正確完成與否互不影響.

（1）分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列；

（2）請從均值和方差的角度分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大？

十六.正態(tài)分布（共9小題）

1.（23-24高二上?陜西渭南?期末）已知隨機變量J服從正態(tài)分布N（2,〃），且尸?<3）=0.6,則

P（2<J<3）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

2.（23-24高三上?浙江金華?期末）某次數(shù)學(xué)聯(lián)考成績的數(shù)據(jù)分析，20000名考生成績服從正態(tài)分布

N（72,8?）,則80分以上的人數(shù)大約是（）

參考數(shù)據(jù)：若則p（〃一b4X4〃+b）20.6827

A.3173B.6346C.6827D.13654

3.（23-24高三上.海南?期末）若隨機變量X且p（x<0）=尸（X>4）=0.2,貝lj

尸（〃-2<X<〃）=.

4.（23-24高三上?黑龍江牡丹江?期末）某學(xué)?？荚嚁?shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N（95,CT2）,且

P（X<70）=Q16,則成績在［70,120］的概率為.

5.（23-24高二上.江西?期末）某市高二年級期末統(tǒng)考的物理成績近似服從正態(tài)分布N（60,100）,規(guī)定：分

數(shù)高于80分為優(yōu)秀.

（1）估計物理成績優(yōu)秀的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；

（2）若該市有40000名高二年級的考生，估計全市物理成績在（50,80］內(nèi)的學(xué)生人數(shù).

參考數(shù)據(jù)：若則尸（〃-b<Xr〃+b）=0.6826,尸（〃一2cr<XV〃+2b）=0.9544,

3b<XW〃+3b）=0.9974.

6.(22-23高三上?江蘇無錫?期末)天和核心艙是我國目前研制的最大航天器，同時也是我國空間站的重

要組成部分.為了能順利的完成航天任務(wù)，挑選航天員的要求非常嚴格.經(jīng)過統(tǒng)計，在挑選航天員的過程

中有一項必檢的身體指標(biāo)J服從正態(tài)分布N(90,100),航天員在此項指標(biāo)中的要求為。2H0.某學(xué)校共有

2000名學(xué)生.為了宣傳這一航天盛事，特意在本校舉辦了航天員的模擬選拔活動.學(xué)生首先要進行上述指標(biāo)

的篩查，對于符合要求的學(xué)生再進行4個環(huán)節(jié)選拔，且僅在通過一個環(huán)節(jié)后，才能進行到下一個環(huán)節(jié)的選

拔.假設(shè)學(xué)生通過每個環(huán)節(jié)的概率均為:，且相互獨立.

4

參考數(shù)據(jù)：P(/J-(7<X<//+<7)=0.6826,尸(〃-2cr<XW〃+2cr)=0.9545,

(1)設(shè)學(xué)生甲通過篩查后在后續(xù)的4個環(huán)節(jié)中參與的環(huán)節(jié)數(shù)量為X,請計算X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)請估計符合該項指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)(四舍五入結(jié)果取整數(shù)).以該人數(shù)為參加航天員選拔活動的名額，請計

算最終通過學(xué)校選拔的人數(shù)丫的期望值.

7.(22-23高二下.山西大同?期末)十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要

求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步，農(nóng)民年收入

也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統(tǒng)計了2019年50位農(nóng)民的年

收入并制成如下頻率分布直方圖：

o6

o5

os.o3

o2

o.

0.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)民的年平均收入了(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的

中點值表示)；

(2)由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布%(〃,/),其中〃近似為年平均收入

元，/近似為樣本方差52,經(jīng)計算得S2=6.92,利用該正態(tài)分布，求：

①在扶貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準，則最低

年收入大約為多少千元？

②為了調(diào)研“精準扶貧，不落一人”的政策要求落實情況，扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年

收入互相獨立，記這1000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為4,求E(4).

附參考數(shù)據(jù)：^/6^2?2.63,

若隨機變量X服從正態(tài)分布則

P("—<T<X<//+cr)?0.6827,

P("—2b<X<JLI+2b)h0.9545,

一3b4XK〃+3b)e0.9973.

8.(23-24高二下?江蘇泰州?期中)為深入推進傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，依靠創(chuàng)新引領(lǐng)產(chǎn)業(yè)升級，某設(shè)備生

產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進行技術(shù)攻堅突破.設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X(單位：nm).

(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件有10個，其中直徑大于10nm的有2個.現(xiàn)從這10個零件中隨機抽取3個.記

4表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個數(shù)，求J的分布列及數(shù)學(xué)期望E(J)；

(2)技術(shù)攻堅突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為每個零件是否合格相互獨立.現(xiàn)任取4個零件進行檢

4

測，若合格的零件數(shù)〃超過半數(shù)，則可認為技術(shù)攻堅成功.求技術(shù)攻堅成功的概率及〃的方差；

(3)若技術(shù)攻堅后新設(shè)備生產(chǎn)的零件直徑XN(10,0.04),從生產(chǎn)的零件中隨機取出10個，求至少有一個

零件直徑大于10.4nm的概率.

參考數(shù)據(jù)：若XN(〃02),則尸(|X—“Wb卜0.6827,P(|X-z/|<2cr)?0.9545,

P(|X-//|<3o-)?0.9973,0.977251°?0.7944,O.954510?0.6277.

9.(23-24高三下.江西贛州?期中)某藥廠生產(chǎn)的一種藥品，聲稱對某疾病的有效率為80%.若該藥對患有

該疾病的病人有效，病人服用該藥一個療程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性沒有治愈；若該藥對

患有該疾病的病人無效，病人服用該藥一個療程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性沒有自愈.

(D若該藥廠聲稱的有效率是真實的，利用該藥治療3個患有該疾病的病人，記一個療程內(nèi)康復(fù)的人數(shù)為

X,求隨機變量X的分布列和期望；

(2)一般地，當(dāng)〃比較大時，離散型的二項分布可以近似地看成連續(xù)型的正態(tài)分布，若X則X

可以近似看成隨機變量乙y其中〃=秋，〃=np(i-p),對整數(shù)*k2m,

PkXWk2kp(%-0.5<Y<k2+0.5).現(xiàn)為了檢驗此藥的有效率，任意抽取100個此種病患者進行藥物

臨床試驗，如果一個療程內(nèi)至少有七人康復(fù)，則此藥通過檢驗.現(xiàn)要求：若此藥的實際有效率為80%,通過

檢驗的概率不低于0.9772,求整數(shù)上的最大值.(參考數(shù)據(jù)：若X則

P(〃-cr<X卜0.6826,P(〃-2cr<XW〃+2cr卜0.9544,P(〃-3cr<X■卜0.9974)

十七.一元線性回歸模型(共6小題)

1.(23-24高二上?江西?期末)根據(jù)3對數(shù)據(jù)41,7),8(3,加)，C(5,16)繪制的散點圖知，樣本點呈直線趨

勢，且線性回歸方程為y=2.25X+4.25,則〃?=（）

A.11B.10C.9D.8

2.（22-23高二下?上海松江?期末）某蛋糕店對某新品種蛋糕進行試銷，根據(jù)試銷情況，得到銷售單價x

（單位：元/個）與每天的銷量》（單位：個）的數(shù)據(jù)，如下表所示.已知該新品種蛋糕的銷量y關(guān)于銷售單

價x的經(jīng)驗回歸方程為y=-17x+〃z,則.

單價X（元/個）

56789

銷量y/個10080705030

3.（23-24高二上?江西南昌?期末）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要

貢獻.某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產(chǎn)品收益,（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如

下：

研發(fā)投入X（億元）12345

產(chǎn)品收益y（億元）3791011

（1）計算的相關(guān)系數(shù)廠，并判斷是否可以認為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若

0.3<|r|<0.75,則線性相關(guān)程度一般，若舊>。75,則線性相關(guān)程度較高）

（2）求出〉關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測若想收益超過50（億元）則需研發(fā)投入至少多少億元？（結(jié)果保

留一位小數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：力（%-刃2=40,力?y=139；

Z=11=1

￡（%一元）（％一》）

r，=1i=1

附：相關(guān)系數(shù)公式：=I?=InI?;

jf（xT）2tL）2Jfx；-困忠才一沖2

Vi=l1=1Vi=lVi=l

回歸直線方程的斜率i>=上―-----——=-----—,a=y-bx.

i=\i=\

4.（23-24高三上?浙江寧波?期末）某企業(yè)對2023年上半年的月利潤情況進行調(diào)查統(tǒng)計，得到數(shù)據(jù)如下:

月份X123456

凈利潤y（萬元）510265096195

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖

⑴根據(jù)散點圖判斷，＞=。*與＞=。+法（a,b,c,d均為大于零的常數(shù)）哪一個更適宜作為描述y與X關(guān)

系的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于X的回歸方程；

（3）已知該企業(yè)的產(chǎn)品合格率為90%,現(xiàn)隨機抽取9件產(chǎn)品進行檢測，則這9件產(chǎn)品中合格的件數(shù)最有可能

是多少？

參考數(shù)據(jù)：

6666

￡（當(dāng)一司2之?-而）2

XCD￡（%一可（用一萬）2（%-于）（%-9）

，=1Z=1Z=1i=\

3.5063.673.4917.509.4912.95519.01

其中g(shù)=Iny.

參考公式：用最小二乘法求經(jīng)驗回歸直線方程9=意+4的系數(shù)公式為,

b=a=y-bx.

七（x"

Z=1

5.（23-24高二上.江蘇常州.期末）某公司為了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單

位：億元）的影響.對公司近12年的年研發(fā)資金投入量七和年銷售額%的數(shù)據(jù)，進行了對比分析，建立了

兩個模型：①9=6+②￡=/加，其中P，A,f均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，并得到一些

統(tǒng)計量的值.令v,.=lnZ.,(z=l,2,3,…，12),經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：

￡12(士-可2122

X7￡(x-y)uV

i=li=l

22667724605

1212￡12(匕-琦12

￡(%-為y^(x,.-x)(v,.-v)

Z=1Z=1i=lZ=1

312502203.0814

(D請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好?

(2)根據(jù)(1)的分析及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程.

-可(%-刃

附：(1)相關(guān)系數(shù)r=I,2“；(2)線性回歸方程9=3+加中6,5的計算公式分別

、ta-可這(%-寸

V4=11=1

nn

八2(七一元)(%-刃^x^-nx-y

為：另=『-----------=上匕----------，a=y-bx.

E(x/-^)2一行2

1=1i=l

6.(23-24高三上?四川內(nèi)江?階段練習(xí))2020年是具有里程碑意義的一年，我們將全面建成小康社會，實

現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo).2020年也是脫貧攻堅決戰(zhàn)決勝之年(總書記2020年新年賀詞).某貧困地區(qū)截

至2019年底，按照農(nóng)村家庭人均年純收入8000元的小康標(biāo)準，該地區(qū)僅剩部分家庭尚未實現(xiàn)小康.現(xiàn)從

這些尚未實現(xiàn)小康的家庭中隨機抽取50戶，得到這50戶家庭2019年的家庭人均年純收入的頻率分布直

（1）求出頻率分布直方圖中的a的值，并求出這50戶家庭人均年純收入的平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間

的中點值作代表）

（2）2020年1月，統(tǒng)計了該地的一個家庭2019年7~12月的該家庭人均月純收入如下表：

月份/2019（時間代碼x）123456

人均月純收入入了（元）275365415450470485

由散點圖發(fā)現(xiàn)：家庭人均月純收入y與時間代碼x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程；并

估計2020年3月份（即時間代碼x取9）該家庭人均月純收入為多少元？

〃__

662%/一6了

參考數(shù)據(jù)：?>J=9310；Zy=2460；線性回歸方程5=標(biāo)+4中，3=號--------，a=y-bx.

i=12

曰￡x；-rix

i=l

十八.相關(guān)系數(shù)（共6小題）

1.（22-23高二下?廣東佛山?期末）已知成對樣本數(shù)據(jù)（為,珀，（王2，%），…，（X"，%）（〃22）中看，

巧，…，x“不全相等，且所有樣本點(%,%)(7=1,2,川者B在直線y=-2x+l上，則這組成對樣本數(shù)據(jù)的

樣本相關(guān)系數(shù)廠=.

2.(21-22高二下.廣東廣州?期末)已知變量X與￥相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為

(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),變