6類解三角形公式定理解題技巧（海倫、射影、角平分線、張角、倍角、恒等式）-高考數(shù)學必考模型歸納（解析版）

題型136類解三角形公式定理解題技巧

(海倫、射影、角平分線、張角、倍角、恒等式)

I技法01海倫公式的應用及解題技巧

|技法02射影定理的應用及解題技巧

|技法03角平分線定理的應用及解題技巧

|技法04張角定理的應用及解題技巧

|技法05倍角定理的應用及解題技巧

；技法0610類恒等式的應用及解題技巧

技法01海倫公式的應用及解題技巧

喟3?常見題型解讀

海倫-秦九韶公式能夠解決已知三邊的三角形的面積求解，是解三角形中必不可少的解題利器，也會作為

材料題在高考及?？贾谐霈F(xiàn)，需加以練習.

知識遷移

海倫-秦九韶公式

三角形的三邊分別是。、b、C,則三角形的面積為S=Jp(p—a)(p—b)(p—c)

a~I-h~i-c'

其中p=--------,這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。

2

我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式：

2

"a2+b2-c2>

S-a2b2-

4、2,

02

跟我學?解題思維剖析

例1.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把

這種方法稱為“三斜求積"，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是

5=；*_廣?,其中小人,。是三角形的三邊，S是三角形的面積.設某三角形的三邊

a=\/2,b=^3,c=2則該三角形的面積S=

技巧點撥o

【詳解】因為S=￡C——?。荩許=,4x2-［叱=1

故答案為：叵.

4

吃端卜知識遷移強化

1.(2022?全國,校聯(lián)考模擬預測)在古希臘數(shù)學家海倫的著作《測地術》中記載了著名的海倫公式，利用

三角形的三邊長求三角形的面積.若三角形的三邊分別為mb,c,則其面積S=Jp(p_a)(p_b)(p_c),

ci-\-hc

這里。=.已知在_ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a-6,b+c=10,則「.ABC

的面積最大值為().

A.6A/3B.80C.10D.12

【答案】D

【分析】根據(jù)給定信息列出關于6的函數(shù)關系，再借助二次函數(shù)計算作答.

［詳解1依題意，P="+：=8,貝I］S=58義2義(8—b)(b-2)=4A/-^2+10^-16=4,-色-5『+9,

所以6=5,5max=12,

所以一ABC的面積最大值是12.

故選：D

2.(2023上?河北石家莊?高三?？茧A段練習)海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長a,b,c直接求三角

形面積S的公式，表達式為：S=Jp(p_a)(p_b)(p_c)(其中p="|±￡)；它的特點是形式漂亮，便

于記憶.中國宋代的數(shù)學家秦九韶在1247年獨立提出了"三斜求積術”，但它與海倫公式完全等價，因此海

倫公式又譯作海倫-秦九韶公式.現(xiàn)在有周長為10+2近的“ABC滿足sinA:sin8:sinC=2:3:g',則用以上

給出的公式求得一ABC的面積為()

A.8近B.4幣C.673D.12

【答案】C

【分析】由正弦定理得三角形三邊之比，由周長求出三邊，代入公式即可.

【詳解】0sinA:sinB:sinC=2:3:A/7，Ela:b:c=2:3:J7，

0.ABC周長為1O+2J7,即a+b+c=10+2V7,

回“=4,b=6,c=2夕，回〃=4+6+26=5+0,

2

0ABC的面積S=J(5+⑺(1+4)(4_1)(5-⑺=6A/3.

故選：C.

3.(2023?海南?校聯(lián)考模擬預測)古希臘的數(shù)學家海倫在他的著作《測地術》中最早記錄了"海倫公式J

S=qP(p-a)(p-b)(p-c),其中°="+；,小b,c分別為ABC的三個內角A,B,C所對的邊，該

公式具有輪換對稱的特點.已知在‘ABC中，sinA:sin3:sinC=8:7:3,且一ABC的面積為126，則()

A.角A,B,C構成等差數(shù)列B..ABC的周長為36

C.ABC的內切圓面積為gD.8C邊上的中線長度為亞

【答案】ACD

【分析】利用正弦定理和余弦定理可知8=與，滿足A+C=]=2B,即A正確；根據(jù)海倫公式可得a=8立，

所以周長為18近，故B錯誤；由等面積法可知內切圓的半徑/=半，可知C正確，由利用余弦定理可得BC

邊上的中線長度為底，即D正確.

【詳解】對于A,由正弦定理可知。力:。=8:7:3,

設a=8左，b=7k,c=3k(k>0),

^22_/282+32-72_1

由余弦定理可得cosB=

lac2x8x32

所以3A+C=y=2B,故角A,B,。構成等差數(shù)列，故A正確;

對于B,根據(jù)海倫公式得〃=9左，S=49kxkx2kx6k=6?°=\2m,得k=血,

所以a=8直，b=1四,c=30，所以-1ABC的周長為18近，故B錯誤;

對于C,設“C內切圓的半徑為廠，則！xl8揚=12百，得r=述,

23

8幾

所以一ABC的內切圓面積為兀廠,故C正確；

對于D,設3C的中點為D,則3。=4近，

在ZXABD中，AD=^BEr+AB1-2ABXBDCOS60=726，故D正確.

故選：ACD

技法02射影定理的應用及解題技巧

喟線?常見題型解讀

三角形中隱藏著許多性質，比如三角形射影定理就能夠在解三角形中簡化計算過程，但是在考試中解答

題不能直接使用，需要推導。不少高考原題用射影定理可以快速化簡得出答案，在一些小題中，應用三

角形射影定理能夠快速得到答案，需強化練習

知識遷移

射影定理a=Z?cosC+ccos3,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA

02

例2.（全國?高考真題）AABC的內角A,民C的對邊分別為6,c,若2Z?cos3=acosC+ccosA,則8=

解題

在她5。中，acosC+ccosA=b,團條件等式變?yōu)?bcos5=。，［EcosB=^.

又0<B<n,

吃瓢?知識遷移強化

1.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模)在團ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c,5acosA=Z?cosC+ccosB,

貝!Jsin2A=.

【答案】幽

25

【分析】由正弦定理得到cosA=(,求出正弦，利用二倍角公式求出答案.

【詳解】5QCOSA=〃COSC+CCOS5,由正弦定理得5sinAcosA=sinjBcosC+sinCcos3=sin(jB+C)=sinA,

因為AE(0㈤，所以sinAwO,故cosA=(,

由于AG(0,TC),故sinA=Vl-cos2A=~~~，

貝1Jsin2A=2sinAcosA=2x—x?@=WE.

5525

故答案為：典

25

2.(全國?高考真題).ABC的內角4B,C的對邊分別為o,b,c.已知2cosc(acosB+bcosA)=c.

⑴求角C；⑵若""S"吟求MBC的周長.

【答案】(1)c=|(2)5+不

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)正弦定理把2cosc(〃cosB+Z?cosA)=c化成2cosc(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

利用和角公式可得cosC=《,從而求得角C；(2)根據(jù)三角形的面積和角C的值求得必=6,由余弦定理求

得邊，得到AABC的周長.

試題解析：(1)由已知可得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC

171

2cosCsin(A+B)=sinCncosC=—^>C=—

(2)~absinC~>\/3=~ab?ab=6

又二a2+b2—2abcosC=c2

a2+Z?2=13>.'.(a+b)2=25=>a+b=5

???AABC的周長為5+近

考點：正余弦定理解三角形.

3.(2023?全國,統(tǒng)考高考真題)記ABC的內角A,2,C的對邊分別為。，"c,已知」十。一。二2.

cosA

⑴求Ac；

,acosB-bcosAb〕…

⑵若——―r--二1，求4BC面積?

acosB+PCOSAc

【答案】（1）1

⑵且

4

【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；

（2）由（工）可知，只需求出sinA即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出.

【詳解】（1）因為a2=/+c2-26ccosA,所以〃+C?一片=26ccosA=2兒=2,解得：bc=l.

cosAcosA

,、〃cos5—bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

（2）由正弦定埋可得-----------------=-----------------------；一

acosB+bcosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

sin（A-B）sinBsin（A-B）-sinB】

sin（A+B）sin（A+B）sin（A+B）

變形可得：sin（A——sin（A+=sinB,即—2cosAsin3=sin3,

而。vsinBWl,所以cosA=—1,又OvAv兀，所以sinA=走，

22

故.ABC的面積為&ABC」）csinA=Llx^=^.

Ac2224

rA3

4.（上海虹口?高三上外附中?？计谥校┰贏ABC中，acos2—+CCOS2—=—Z?,貝!!（）

222

A.a,b,c依次成等差數(shù)列

B.b,a,c依次成等差數(shù)列

C.a,c,b依次成等差數(shù)列

D.a,b,。既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化簡可得出a+c=%,即可求

出。、b、c關系.

【詳解】設R是三角形AABC外接圓半徑，0?COS2-+CCOS2-=1/7,

222

〃（l+cosC）c（l+cosA）3Qrl,

[?]-------------+------------L=—b,EPI+QCOSC+C+CCOSA=3Z7,

222

即a+c+(^zcosC+ccosA)=3b即a+c+(〃cosC+ccosA)=2b+b

〃+c+2R(sinAcosC+sinCcosA)=2Z?+2RsinB

tz+c+27?sin(A+C)=2Z?+27?sinB

團A、B、。在三角形A5c中，

所以sin(A+C)=sin5,所以a+c+2Rsin(A+C)=2Z?+2Rsin3

得至!Ja+c=2Z?,

即〃，b,。成等差數(shù)列,

故選：A.

【點睛】本題主要考查學生對三角函數(shù)余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差數(shù)列性質的熟練掌握，解題

時要注重整體思想的運用，望同學們平常多加練習.

5.（2023?全國?高三專題練習）在中，三個內角A、B、。所對的邊分別為，、b、c,若」15。的

acosB+bcosA八八

面積5ABe=2A/5,a+b=6,--------------------=2cosC,則。=

c

【答案】2#>

【分析】由正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦公式化簡"8s'+6cos4=2cosC,由C的范圍特殊角的三

C

角函數(shù)值求出C,代入三角形的面積公式列出方程，利用余弦定理列出方程，變形后整體代入求出C的值.

acosB+bcosA口?%—一

［詳解］由-------------=2cos。可得<7cosB+Z7?cosA=2ccosC,

在「ABC中，由正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC

sin(A+B)=2sinCcosC,

A+B=乃一C,

sin(A+5)=sinC=2sinCcosC,

sinCw0,cos。=；，

jr

由0<Cv萬得，C=-

3

由S=2A/3得—ctbsinC—2y/3,

得"=8,

a+b=6,

團由余弦定理得/=?2+z?2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=36-16-S=12

解得c=2A/3，

故答案為：2道.

技法03角平分線定理的應用及解題技巧

需高N?常見題型解讀

在解三角形中，應用角平分線定理及其變形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的高頻考點,

需重點學習.

知識遷移

角平分線定理

4R

(1)在AABC中，4。為NBAC的角平分線，則有——

BD

,NBAC

2/?xcxcos------

(2)

AD=-------2_

b+c

(3)AD2=ABxAC-BDxCD(庫斯頓定理)

ABuABD

⑷IE°ACD

02

跟我學?解題思維剖析

例3.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）在抽。中，ABAC=60°,AB=2,BC=y/6,的角平分線交8c于

D,則位＞=

解題

技巧點撥

由余弦定理可得，22+ZJ2-2X2XZ，XCOS60=6,因為b>0,解得：b=l+0,

文NBAC

2Z?XCXCOS2計算即可，故答案為：2.

AD——

b+c

你來練?知識遷移強化

1.（2023?全國?高三專題練習）aABC中，邊3C內上有一點。，證明：AD是NA的角平分線的充要條件

【答案】證明見解析

【分析】證明兩個命題為真：一個是由AD是/A的角平分線證明#=黑，一個是由*=黑證明AD

ACDCAC/yCz

是ZA的角平分線.

【詳解】證明：設。：皿是々的角平分線,q；

如圖，過點6作助〃AC交AD的延長線與點E,

⑴充分性（1辦若N=2,則N=E,所以N2心，所以回的又△加盟3,所以嘉器,

由、1ABBD

所以法=而

AZ?RDDC,RD

(2)必要性(qnP)：反之，^―=-,則EI8E7/AC,0ABDE00CPA,0—=—,所以AB=3E,

ACDCACDC

所以N2=NE,又BE11AC,所以N1=NE,所以N1=N2.

ABBD

由（1）（2）可得，AD是-A的角平分線的充要條件是

ACDC

【點睛】本題考查充分必要條件的證明，要證明P是9的充要條件，必須證明兩個命題為真：即充分性：。oq,

必要性：qnp.

2.（2023春?寧夏銀川?高三?？茧A段練習）在中，角A的角平分線交3c于點。，且A8=4,AC=2,

則A。等于（）

59

A.-AC+-ABB.-AB——AC

3333

C.-AC--ABD.-AC+-AB

3333

【答案】D

【分析】利用角平分線定理以及平面向量的線性運算法則即可求解.

【詳解】因為AD是ABC的角平分線，所以=

ABBDAC_DC

所以由正弦定理得

sinZADBsinABADsinZADC~sinZCAD

又因為sinNADN=sin/ADC,sinZBAD=sinZCAD,

所以竺二生，即股=空二百=2,所以AD=A5+5D=AB+25c

BDDCDCAC23

r\-Ir\r\i

=AB+-（AC-AB\=-AB+-AC,upAD=-AC+-AB.

3、>3333

故選：D

3.（2023春?湖北?高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習）在ABC中，內角A,B,。所對的邊分別是b,c,

若從=亍，〃=7,b=3,則角A的角平分線AD=.

【分析】運用正弦定理和兩角和差公式求解.

正,ZA=芋,.都是銳角,

143

cosB=—,sinC=sin----B=sin—cosB-cos—sinB=------,

14I3J3314

sinZADC=sin（B+ZDAB）=

ADACsinC15

在ZW）。中，由正弦定理得:/.AD=AC?

sinCsinZADCsinZADCT

故答案為：-

O

4.（2023春?安徽滁州?高一統(tǒng)考期末）在二ABC中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c已知

asinA-bsinB-csinC-bsinC=O.

⑴求角A的大?。?/p>

（2）若AB=5,AC=3,是0ABe的角平分線，求A。的長.

【答案】⑴■

【分析】（1）先利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可得到答案;

（2）根據(jù)SABC=SABD+SAC"，再利用三角形面積公式得到關于AD的方程，解出即可.

【詳解】（1）由正弦定理可知〃-〃-。。=床.

由余弦定理可得cosA="ci-be_1

2bc2bc~~2

又Ae(CU),所以A=(.

(2)由題意知SABC=SAB0+SACD

]2冗17T1TT

所以一xABxACxsin——=—xABxADxsin—+—xACxADxsin—,

232323

LU—x5x3x^-=—x5xA￡)x^-+—x3xA￡)x^-,

222222

解得4。弋.

o

技法04張角定理的應用及解題技巧

叫曾考?常見題型解讀

在解三角形中，應用張角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的高頻考點，需重點學習.

知識遷移

張角定理則2+包吧=迦空0

ABACAD

02

跟我學?解題思維剖析

例4-1.(內蒙古呼和浩特?統(tǒng)考一模)如圖，已知AQ是AABC中/54c的角平分線，交3C邊于點￡>.

AB_BD

(1)用正弦定理證明:耘一而;

(2)若NB4c=120。，AB=2,AC=\,求AZ)的長.

［解題

技巧點撥o

9

先用面積之和來證明張角定理，然后直接由張角定理求得AD的長為冷.

o

例在中，角、B所對的邊分別為、b已知點。在邊上,

4-2.1tAA、Ca、c,

AD1AC,sinABAC=3紇AB=3屈,AD=3,則CD=

3--------------

解題

技巧點撥

sinZBACsinZBADsinZDAC

------=--------1--------

2后

丁

3A/2

2a-cosABAC1

9AC372

2V2__31

~9~~^C+3^2

AC=3近

.-.CD=^AD2+AC2=3石

你來練?知識遷移強化

1.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,c=4,zSXC=120°,ABAC的角平分線交邊

BC于點D,貝IAD=

解析由張角定理，得C0SNB4D制償+勻，即1=KT+T)!解得AD=i

2.在ABC中，角A、5、C所對的邊分別為。、反c,AD是ABAC的角平分線，若

ABAC=y,|AD|=273，則2b+c的最小值為.

【解析】如圖:

AD是N5AC的角平分線

171

/BAD=ZCAD=一ABAC=-

26

sinZBACsinZBADsinND4c

由張角定理得:---------------1---------------

ADACAB

.71.71.71

sin—sin—sm—

即=_6+6

2Gb

111

.??一+—=一

bc2

.,/I2c46/,.[2c4br.nr

2b+c=（26+c）—+—\x2=11-6>6+4J—x——=6+4^2

\bc）bc7bc

（當且僅當上=竺卸c=?時取"=”）

bc

3.（2023上?河南信陽?高二河南宋基信陽實驗中學?？计谀〢BC中，角A,B,C所對的邊分別為4瓦c,

ZABC=120°,即_13。交AC于點。，且3￡）=1,2a+c的最小值為（）

A.|B.卓C.8D.8.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意由面積關系可得,+2=追，再結合基本不等式運算求解.

ac

【詳解】由題意可知：ZABD=nO0,

因為SABC=ABD+SCBD，BP-acx^-=—xlxcx—+—xlxa，

22222

整理得4+2=退，

ac

當且僅當c=2〃=逑時，等號成立.

3

所以2a+c的最小值為鼠I.

3

故選：B.

技法05倍角定理的應用及解題技巧

?常見題型解讀

在解三角形中，應用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的重要考點，需重點學習.

知識遷移

倍角定理

在6ABC中，三個內角4B、C的對邊分別為。、b、c,

⑴如果A=25,則有:儲=/+兒，（2汝口果C=2A,則有:c?⑶如果3=2C,則有:〃=c?+ac

倍角定理的逆運用

在，ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,

⑴如果儲二尸+加,則有：A=26,（2）如果0?=儲+",則有:C=2A,（3）如果從=c2+ag則有：B=2C。

02

跟我學?解題思維剖析

例5.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若B=2A,a=l,b=V3,則c=

［解題

技巧點撥o

,?aB=24由倍角定理得：b2=a2+ac

2

即（百）=I2+1XC

??c=2

?知識遷移強化

1.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,己知8b=5c,C=2B,則cosC=

【解析】8b=5c,令b=5,c=8,,:C=2B

由倍角定理得：c2=b2+ab,即82=52+ax5

a2+b2-c2

???a=y,由余弦定理得：cosC=

2ab

管)2+52-82

2xx5

2.在4ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若A=2B,則的最小值為

【解析】vA=2B

由倍角定理得：a2=b2+be=b(b+c)

bb(b+c)

b+c

bc4b

=-1+

b+c4b

(當且僅當中￡=:時取“=”)

bb+c/

3.△48C中，角/、B、C所對的邊分別為a、b、c,若小—廬=兒,且sin/=gsmB,則角/=

【解析】??,a2—b2=be

???a2=b2+be

???A=2B

sinA=V^sinB

???sin2B=V3sinB

即2sinBcosB=y/3sinB

vsinBH0

V3

???cosB=——

2

0<B<7T

7T

:?B=—

6

n

A=2B=—

3

4.(2023?重慶,統(tǒng)考模擬預測)在銳角她中，角A,B,c所對的邊分別是a,b,c,滿足b2=c(c+a).

(1)證明：B=2C；

11

⑵求+3sinB的取值范圍.

tanCtanB

【答案】⑴證明見詳解

⑵6'J

【分析】(1)利用正余弦定理得sinA=sinC(2cos5+l),再利用兩角和與差的余弦公式化簡得

sin(B-C)=sinC,再根據(jù)反。范圍即可證明;

1

(2)根據(jù)三角恒等變換結合(1)中的結論化簡得丁=+3sinB,再求出5的范圍，從而得到sin3的范

sin3

圍，最后利用對勾函數(shù)的單調性即可得到答案.

【詳解】(1)由"=c?及〃之=4+/—2〃CCOS5得,〃=C(2COSB+1).

由正弦定理得sinA=sinC(2cosB+l),

又A+B+C=7i,

/.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB+sinC,

sini5cosc—cos5sinC=sinC,

/.sin(B-C)=sinC,

△81都是銳角,則8(€(0,5,8-(7€7171

2'2

:.B—C=C,B=2C,

11c.八cosCcosB「.「

(2)令y=——+3smB=------------------1-3sinB

tanCtanBsinCsinB

sinBcosC-cosBsinC_.,,sin(B-C)_.八

----------------；-------------+3sinB~--+3sinB,

si;nBsinCsinBs:inC

1

由(1)5=2。得y一+3sinB.

sinB

在銳角三角形A3C中,

71

0<A<-0<?！?5+C)<—

22

JT71c兀

0<B<~,即.?「0<B<-,—<B<一

232

0<C<-0<C<-

22

/.sinBe,1,.令/=sinBw

］上單調遞增,

根據(jù)對勾函數(shù)的性質知y=/?)=1+3,在1

I2)

11

???y=于(t)￡,4,即+3sinB的取值范圍是

tanCtanB

技法0610類恒等式的應用及解題技巧

喟線?常見題型解讀

在解三角形中，應用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的重要考點，需重點學習.

知識遷移

三角恒等式

在AABC中，

?sinA+sinB+sinC=4cos—cos—cos—；

222

ABC

?cosA+cosB+cosC=l+4sin-sin-sin一；

222

③sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

(4)cos2A+cos2B+cos2C=l-2cosAcosBcosC；

.2.2Btc.A.B.C

◎sin——I-sin——bsin一=l-2sin-sin-sin一；

222222

(6)cos2—+cos2—+cos2—=2+2sin—sin—sin—；

222222

?tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC；

⑧cotA-cotB+cotA-cotC+cotBcotC=l；

不ABCABC

⑨cot——I-cot——I-cot—=cot-cot-