6類三角恒等變換解題技巧（拼湊思想、升（降）冪、三倍角、半角、萬能、正余弦平方差公式）-高考數(shù)學必考模型歸納（解析版）

題型106類三角恒等變換解題技巧

（拼湊思想、升（降）第、三倍角、半角、萬能、正余弦平方差公式）

I技法01拼湊思想的應(yīng)用及解題技巧

I技法02升（降）幕公式的應(yīng)用及解題技巧

I技法03三倍角公式的應(yīng)用及解題技巧

I技法04半角公式的應(yīng)用及解題技巧

|技法05萬能公式的應(yīng)用及解題技巧

I|_技_法__0_6_正_余_弦_平_方_差__公_式_的_應(yīng)_用_及_解_題_技_巧_________________________

技法01拼湊思想的應(yīng)用及解題技巧

喟3?常見題型解讀

在三角函數(shù)求值題目當中，常常會出現(xiàn)已知條件中給出兩個或者一個三角函數(shù)值，求問題中的三角函數(shù)

值，解決此類問題的關(guān)鍵在于用“已知角”來表示“未知角”

1、當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示兩個“已知角”的和與差的關(guān)系

2、當”已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和與差或倍數(shù)的關(guān)系，然后借助三角

恒等變換公式把“所求角”變成“已知角”

知識遷移

a=2-a=0-[0-a)a=+/?)+(?-/?)]

02

跟我學?解題思維剖析

例1-1.（全國?高考真題）tan255°=

A.-2—73B.—2+73c.2—GD.2+6

解題

技巧點撥o

tan45°+tan30°

【詳解】tan255°=tan(18O°+75°)=tan75°=tan(45°+3O°)』=2+#>.

1-tan45°tan30°A/3

3

例1-2.（2023?江蘇南京?南京市第一中學?？家荒＃┤?sin[a+]j=sin（a-￡j,則tan,一,卜（

)

A.5A/3+8B.3A/3-4

技巧點撥o

【詳解】由卜-弓71

2sin[a+1J=2sing+a~~—2,則

面[")/吟2一，$一6(6一⑹x(3一2⑹§&

1+tanL-^xtan715回3+2^9+2@(3-2⑹

I6J63

唁翁福?知識遷移強化

1.（2022?云南?云南民族大學附屬中學?？寄M預(yù)測）已知sine=2&,3（￡-夕）=巫，且0<。<苧，

7v754

377

O<J3<—,貝l]sin/=（）

4

A9A/15r11>/10「小NA/W

35353535

【答案】A

【解析】易知sin，=sin（（z-（口-6）），利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得cosa和sin（a-4），分別

在sin（a-0=孚和-率兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得sin夕，結(jié)合夕的范圍可確定最終結(jié)果.

【詳解】：sina=^^<—且。<a〈紅，:.0<a<—,cosa=71-sin2a=—.

72447

又0<,<t，<a-/3sin(a-/?)=土Jl-cos?(a-/?)=土.

當sin(a-/)=時，

sin==sintzcos((z-/?)-costzsin((z-/7)=x-—x

,??0＜尸＜2，，sin尸＞0,；.sin￡=_反不合題意，舍去;

435

當sin（a-￡）=-半，同理可求得5皿a=嚕，符合題意.

綜上所述：sinB=94^.

35

故選：A.

【點睛】易錯點睛：本題中求解cosa時，易忽略sine的值所確定的a的更小的范圍，從而誤認為cosa的

取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.

2.（2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知A為銳角，tanZAuJ0^,tan（A-8）=其叵，則tanB=（）

2-sinA'715

.V15R而r2岳n2工

17171717

【答案】A

【分析】由二倍角正切公式，同角關(guān)系化簡tan2A=/R,求sinA,再求tanA,再由兩角差的正切公式

2-sinA

求tanB.

sin2AcosA

【詳解】因為tan2A=-，---所---以---

2-sinAcos2A2-sinA

2sinAcosAcosA

所以

l-2sin2A_2-sinA

又A為銳角，cosA＞0,

所以2sinA(2-sinA)=l-2sin2A,

解得s*,

因為A為銳角，所以cosA=WtanA=^

415

又tan（A-B）=智

y/152V15

tanA-tan(A-A/15

所以tan3=tan[A-(A-3)]=

1+tanAtan(A-B)]十^?義2A/15~n~

故選：A.

3.(2023?湖南湘潭?統(tǒng)考二模)已知0<1<方<],(：052。+以)52月+1=2(：05(。一月)+85(。+尸)，則()

c兀c兀

A.6Z+=~B.cc/3=—

c兀c兀

C.—cc=—D.P—cc=—

【答案】D

【分析】直接利用三角函數(shù)恒等變換進行湊角化簡，再根據(jù)a,6的范圍即可求出結(jié)果.

[詳解]由已知可將2a=(0+6)+(1_6)，2尸=9+分)_(°_4)，

貝|Jcos[(cr+尸)+(a—,)]+cos[(6r+0)-(a-/?)]+1=2cos(a-/?)+cos(a+/?),

2cos(cr+p)cos(cr-/?)-2cos(cr-P)-cos(a+/?)+1=0,

[cos(a+/?)—l][2cos(a-/?)-l]=0,即cos(a+/?)=1或cos(a-/3)=—,

ITTT

又0<a</<5，所以0<a+分<7i,-5<a—月vO,

所以cos(a+4)wl,所以選項A,B錯誤，

1jrTT

即cos(a—/?)=],則a—4二—§,所以4—a=§.則C錯，D對，

故選：D

技法02升（降）塞公式的應(yīng)用及解題技巧

喟露?常見題型解讀

在三角恒等變換的倍角考查中，升幕公式及降幕公式極其重要，需靈活掌握，在高考中也是高頻考點,

要強加練習

知識遷移

升毒公式：cos2tz=1-2sin2a-cos2tz=2cos2(z-1

1-cos2a1+cos2a

降幕公式：sin2?=------------,cos2a=------------

22

02

跟我學?解題思維剖析

例2-1.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知sin1%+F)=g,貝!Jcos(g—2rl=()

2

D.

9

2

3

例2-2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知sin(a-尸)=」,cosasin/?=L則cos(2o+2/7)=().

36

117

B.-C.——D.——

999

技巧點撥o

【詳解】因為sin(a—￡)=sinacos/?—cosasin/=!,而cosasin/?=，,因此sinacosp=，,

362

2

貝ljsin(a+/?)=sinacos/3+coscrsin=—,

2i

所以cos(2cr+2/3)=cos2(a+0=1-2sin?(a+尸)=1-2x(—)2=—.

片篇i?知識遷移強化

31

1.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知85(。+齊)=M5缶。$1口尸二二，則cos(2a—20=()

2323

A.1B.-1C.——D.——

2525

【答案】A

4

【分析】根據(jù)題意，求得cosacos/?=w，再求得cos(a-6)=1,結(jié)合倍角公式，即可求解.

31

【詳解】因為cos(a+0=cosacos分一sinasin分=—,且sinasin/=-，

55

4

所以cosacos=—,可得cos(a-7?)=cosacos/?+sincrsinJ3=1,

所以cos(2a-2/7)=cos2(a-6)=2cos2(6r-/?)-1=1.

故選：A.

2.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知《?1+瓜強=辿,則cos(2a+9)=()

33

2211

A.——B.-C.——D.-

3333

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的條件，利用輔助角公式求出sing+今，再利用二倍角的余弦公式計算即得.

o

【詳解】由cosa+退sina=,得sin(6Z+—)=,

23"63

所以cos(2cr+—)=cos2(a+—)=l-2sin2(cif+—)=l-2x(^-)2=--.

36633

故選：C

2

3.(2023?全國?模擬預(yù)測)若sin(a+/7)+cos(a+m=2(sina-cosa)sin/7=],則sin(2a-20=()

【答案】A

【分析】利用輔助角公式及兩角和差的正弦公式化簡，再根據(jù)sin(2a-26)=2sin2(a-4+?J-1計算可得.

21

【詳解】由已知得sin(a+0+cos(a+/7)="(sina-cosa)sin/=§,

所以sin(a+￡)+cos(a+Q)=^2sinya+P+j=^/5sin]a+￡卜osp+^2cos-sin4=§，

因為0cos(or+—Isin=(cosa-sina)sin0=--,

孝,

所以sin|cr+^-cos"=cos")sin^=_#,

貝!Isin[a-￡+?)sin[a+?)cos￡—cos[e+?)sinA=￥，

所以sin(2a-2￡)=2sin21a-￡+?]-l=2x言-1=1.

故選：A.

4.(2023?四川成都?石室中學?？家荒?已知2sina-sin/=VL2cos2-cosA=l,則cos(2a-2〃)=()

1J1517

A.—B.-----C.—D.----

8448

【答案】D

【分析】先對兩式進行平方，進而可求出COS的值，根據(jù)二倍角公式求出結(jié)論.

【詳解】解：因為2sina—sin尸=6，2coscr—cos#=1,

所以平方得，(2sina-sin/?)2=3,(2coscr-cos/?)2=1,

BP4sin26r-4sin6/sin/?+sin2/?=3,4cos2cif-4cosacos/?+cos2/7=1,

兩式相加可得4-4sinasin/?-4cosacos#+l=4,

即cosacos用+sinasin分=；,

故cos(a—/7)=；,

i7

cos(2a-2尸)=2cos之(a-尸)-l=2x記-1=--.

故選：D.

技法03三倍角公式的應(yīng)用及解題技巧

喟露?常見題型解讀

在三角函數(shù)或解三角形的一些問題中,會出現(xiàn)三倍角，解決起來需要把三倍角轉(zhuǎn)化成一倍角與二倍角的和,

化簡起來會多些步驟，而知道三倍角公式，我們可以更快的得出結(jié)果

知識遷移

sin3a=3sina—4sin3a3tan(z—tan3a

tan3a=--------------=tancrtan——n:tan—+cr

cos3a=—3cosa+4cos3a1—3tan2cr13，、3

02

跟我學?解題思維剖析

例3.已知在△ABC中，角/、8、C的對邊依次為a、b、c,a=6,4sinB=5sinC,A=2C,求b、c邊

長。

技巧點撥o

【解析】

B=Ti—(Z+C)=7i—3c

4sinB=5sinC

=>4sin(7r—3C)=4sin3C=5sinC

=>4(3sinC—4sin3C)=5sinC

=4(3-4sin2c)=5

V73

=>12—16sin92C=5=sinC=—=cosC=-

44

ac

____—____4—

sin/sinC'

CLCCl

--------------==>c=---------=4

2sinCcosCsinC---------2cosC

4sinB=5sinC=>4b=5cnb=5

吃魯i?知識遷移強化

2

1.函數(shù)/(%)=4sin%—sin%+2(sin：—cos：)的最小正周期為().

A.27TB.-C.—D.n

23

解析：根據(jù)三倍角公式：sin3a=3sina-4sin3q,化簡得/(x)=-sin3x+2,則函數(shù)/(x)的最小正周期

為y.C選項正確.

2.已知2ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若4=2民且4為銳角，貝!J^+上的最小值為()

bcosZ

A.2V2+1B.3C.2V2+2D.4

A=2B,???sinC=sin(3B)=3sinB—4sin3B

c3sinB—4sin3^.

???-=--------------------=3-4sin2B

bsmB

=2cos/+1

vA為銳角??.COSTI>0,則

c11廠

7+——-=28s4+--+1>2V2+1

bcosAcosA

當且僅當234=」7,即COS4=￥時，等號成立，.??：+」7的最小值為2a+L

C0Si42bcos?l

技法04半角公式的應(yīng)用及解題技巧

喘;考?常見題型解讀

半角公式是三角函數(shù)的一個重要知識點，也是高考重要考點，我們需要知道什么是半角公式及半角公式

的考查形式

知識遷移

a/1—cosaa/1+coscza/1—cosasina1—cosa

sin=±cos=±

2V—2一＞2A/—'tan2±\/i+cosa1+cosasina'

02

跟我學?解題思維剖析

例4.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知。為銳角，cosa=H^5,貝

Jsin—=().

42

-l+?

3-非R-1+^5r3-A/5「

884,4

技巧點撥O

【詳解】因為cosa=l-2sin24=^5,而。為銳角，

24

所以sin￡=J（/T）2非-1.

片篇i?知識遷移強化

°

1.（2021?黑龍江?黑龍江實驗中學?？寄M預(yù)測）已知cosOr+，）=g,若。是第二象限角，則tan==()

2

).如

A.2A/2B.0C.-72t

2

【答案】B

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求出COS。，再利用平方關(guān)系可求Sind,然后利用公式tan4=匕呼=/吟即可求

2sina1+cos8

解.

【詳解】解：因為cos”r+e）=',所以cosO=-[,

33

又。是第二象限角，所以sin，=逑，

3

81-cos0nr

所以tan—=—；-=v2.

2sin”

故選：B.

2.（2022?江西上饒?上饒市第一中學校聯(lián)考二模）已知aegj,sinc=1,則cos卜-?=（）

AMRVior3Mn3M

10101010

【答案】A

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及半角的余弦公式，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.

【詳解】由ae（m，7r）,sina=1,得

71itaTia八

?/一<av兀,—v—<2,cos—>0,

2422

故選：A.

COSa=；，則cosa7i

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知。是銳角,—+—()

26

A14b14顯na6

C.u.------------

~6r26

【答案】D

【分析】根據(jù)倍角公式的變形求出嗚耳,cos%=星,再由兩角和的余弦公式求解.

23

（yTT

【詳解】因為，是銳角，所以。

因為.2al-coscrQ1,a1+coscrQ2,

sm—=-----------=——-=-cos2—=------------=——-=—

22232223

.a百a<6

JTTbAsm—=—,cos—=——，

2323

(171、a7i.?.7tv6v3A/31v2v3

月rr斤H以lcos——i■一=cos—cos——sin—sin—=——x-----------x—=------------.

l262626323226

故選：D.

技法05萬能公式的應(yīng)用及解題技巧

喟1?常見題型解讀

理論上上所有公式都是萬能公式。但是真正提起萬能公式的時候，是指三角函數(shù)中的正切半角公式，或

稱以切表弦公式。這組公式可以將角的正弦、余弦、正切這幾個三角函數(shù)統(tǒng)一用半角的正切值來表示，

實現(xiàn)化簡的目的。

知識遷移

一九

1-tan2—2tan—

2

sinx=----------cosX=-----------tanx=---------

1+tan2”1+t,an2X1-tan2”

222

02

跟我學?解題思維剖析

例5.在4ABC中，tanf=3tan|,則高+高的最小值為

A.4B.2V5C.4V5D.16

解題

技巧點撥o

26

sin4sinC

26

=---------A~+.............-

2tanZtan］

AC

1+tan221+tan2之

1+tan223(1+tan2%

=~+c

tan2tan

1A3C

=-----j+tan—H------7T+3tan—

tan2tan7

143A

=-----j+tan-d---------T+3-3tan—

tanJz3tan^z

/2

=10tan-+—

_tan2

>2V20=4V5.

最小值為4西

唁4福?知識遷移強化

1.（2023?山東?山東省五蓮縣第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知AABC內(nèi)角分別為A,民C,且滿足

cos與+2sinW=0,則三+—J的最小值為_____.

22sinAsmC

【答案】16

ArAC

【分析】由三角形內(nèi)角和性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、和差角正弦公式可得3sinqcos]=cos，sin],進而有

.「2tan—2tan—416A

3tan；=tan=>0,結(jié)合sinA=---------sinC=-----------------0將目標式化為丁二萬，應(yīng)用基本不等

221+tan2-1+tan2-tanI

22

式求最小值即可.

.、斗上口K'H./兀-A+C.A—C.A+C.A—C

［詳解］由題設(shè)cos(------------)+2sm-------=sin--------+2sin--------=0,

22222

.ACA.CACA..C?

所以sin—cos——Feos-sm——F2(sin-cos-----cos—sin一)=0,

22222222

.ACA.CAC小兀、口AC?

fyf以3sin—cos—=cos—sin—,—,—G(U,-)即3tan—=tan—>0,

222222222

cAcC

2tan—2tan—

又sinA=---------,sinC=-------------0

1+tan—1+tan—

22

、a5(1+tan29(1+tan24+16tan2-4A“

24，仆A>2-------16tan——=16

貝!］上一+——=--------乙-+---------1-------+lotan—A9

sinAsinC.AC+A2tan—

2otan—2tan—tan—2

222

4“AA1

當且僅當下=16tan，ntan，=5時取等號,

tan—

2

5Q

所以告+作的最小值為16.

sinAsinC

故答案為：16

AC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用三角恒等變換將條件化為3tan?=tan=>0,再應(yīng)用萬能公式用正切表示正弦