2024-2025學(xué)年北京市平谷區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2025北京平谷初三(上)期末

數(shù)學(xué)

2025年1月

一,選擇題(本題共16分,每小題2分)

下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.

1.在RtA4BC中,NC=90°,AC=4AB=5,則sinA的值是

2.如圖，直線直線/415被直線/1,/以3所截，截得的線段分別為

AB,BC,DE,EF,若A8=4,BC=6,Z)E=3,則EF的長是

992

(A)—(B)—(C)—(D)4

243

3.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=2x2先向左平移3個(gè)單位長度，再向下平

移4個(gè)單位長度后所得到的拋物線的表達(dá)式為

A.y=2(x-3了+4B.y=2(x-3)2-4

C.y=2(x+3)2+4D.y=2(x+3>-4

4.如圖，點(diǎn)A,B,C為。O上三點(diǎn),44CB=30°42=3,弧AB的長是

3萬

A.71B.—71C.—D.2萬

42

5.如圖，已知正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn),CE=2,以CE為一邊作正方

形CEMN,連接AM交CD于點(diǎn)H,則DH的長為

4,2

A.-B.1C.3D.一

33

6.點(diǎn)A(Iji),B(3,9)是反比例函數(shù)y=-邁圖象上的兩點(diǎn)，那么yij2的大小關(guān)系

是()

A.y\>yiB.y\=yiC.y\<yiD.不能確定

7.加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在一定條件下，可以

食用率P與加工時(shí)間t(分鐘)滿足的函數(shù)關(guān)系式為：。=。產(chǎn)+初+。3/°),如霽:

圖記錄了三次相同條件下實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最

0.5-

佳加工時(shí)間為

A.3.5分鐘B.3.75分鐘一

C.4分鐘D.4.25分鐘

o1234567*/

8.如圖,等邊4ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合），連接AD,以AD為邊作等邊4AED.給出如

下三個(gè)結(jié)論：

3S

①BE=DC;②△DBEs/XADC,③一＜-

4S&ABC

上述結(jié)論一定正確的是

（A）①⑻①③

（C）②③（D）①②③

二,填空題（本題共16分,每小題2分）

9.函數(shù)y=j2x—4的自變量尤的取值范圍是.

,,m22m

10.若一=一，則---=.

n3m+n

11.如圖，身高1.6米的小林從一盞路燈下8處向前走了8米到達(dá)點(diǎn)C處時(shí),發(fā)現(xiàn)自

己在地面上的影子CE長2米，則路燈的高A8為米.

12.如圖，在。O中,AB是。O的直徑,C,D,E是。O上的點(diǎn)，如果/A0C+NE0D=180

,0D=5,DE=6,那么AC的長為.

13.若拋物線丁=a+2%—1的頂點(diǎn)在x軸上，則左的值為.

14.如圖，點(diǎn)在雙曲線、,=工上，過點(diǎn)A作ACLx軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作BD，y軸于點(diǎn)D,連接0人,€?,設(shè)4

x

OBD的面積為Si,設(shè)△OAC的面積為S2,則Si_S2（填“＞,＜，或="）.

15.中國古代建筑中的斜脊結(jié)構(gòu)，既有利于排水,又有利于保溫，是古代工匠智慧的體現(xiàn).如圖，房屋的屋頂截面

結(jié)構(gòu)為等腰三角形,若斜脊AB的坡度i為1：2,房子側(cè)寬BC為12米,則斜脊AB的長為一米.

16.周末，明明要去科技館參觀,該科技館共有A,B,C,D,E,F六個(gè)展館,各展館參觀所需要的時(shí)間如下表,其

中展館B和展館E設(shè)有特定時(shí)間段的專業(yè)講解，若明明準(zhǔn)備9：00進(jìn)科技館,12：00離開（各展館之間轉(zhuǎn)換

時(shí)間忽略不計(jì)）.

（1）若不考慮專業(yè)講解的情況下，明明最多可以參觀完一個(gè)展館.

（2）若B,E展館必須參觀且正好趕上專業(yè)講解，本著不浪費(fèi)時(shí)間的原則，請給出最合理的參觀順序.

展館ABCDEF

專業(yè)講解無9：30-11：00每半小時(shí)一場，無無10：00-12：00每1小時(shí)一場，無

共3場共2場

參觀所需時(shí)間（分603045156090

鐘）

三、解答題（本題共68分，第17,18,19,20,21,22題,每小題5分，第23,24,25,26題,每小題6分，第27,28

題,每小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.

17.計(jì)算：2sin45°+［；j+］應(yīng)一1卜炳.

18.如圖,四邊形A2CD是平行四邊形,于點(diǎn)瓦點(diǎn)E恰為中點(diǎn),C尸，于點(diǎn)F,當(dāng)2/=24）=6時(shí),

求AB的長.

19.已知：如圖,ZvlBC中5AB=AC,AB>BC.

求作：線段BD,使得點(diǎn)。在線段AC上，且ZBAC.

2

作法：①以點(diǎn)A為圓心,長為半徑畫圓.

②以點(diǎn)C為圓心,8C長為半徑畫弧，交。A于點(diǎn)P

（不與點(diǎn)8重合）.

③連接2尸交AC于點(diǎn)D

線段BD就是所求作的線段.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）.

（2）完成下面的證明.

證明：連接PC

\"AB=AC.

...點(diǎn)C在0A上.

:點(diǎn)尸在。A上.

：.ZCPB=2-ZBAC()(填推理的依據(jù)).

,:BC=PC.

：.ZCBD=.

ZCBD=-ZBAC.

2

20.已知二次函數(shù)幾組x與y的對應(yīng)值如下表:

???-i01234???

y???830-10m???

（1）直接寫出m的值,m=.

（2）求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

21.唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船,是近代航行模式之先導(dǎo).如圖,某槳輪船的輪子被

水面截得的弦AB,過O作半徑OCJ_弦AB于點(diǎn)D,若輪子的半徑為5米，弦長為8米，依題意補(bǔ)全圖形，并

求輪子的吃水深度CO為多少米.

22.湖光塔坐落在平谷區(qū)金海湖中心島的山頂，七層八角形樓閣式建筑掛滿風(fēng)鈴，微風(fēng)吹過，玲聲悠揚(yáng)，是金海湖

景區(qū)的主要景觀之一.某校組織九年級(jí)學(xué)生到金海湖景區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)最初的目標(biāo)是

測量湖光塔的高度,但是他們通過網(wǎng)絡(luò)搜索發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)上可以查到湖光塔的塔高為30米，所以他們把任務(wù)確定為

測量湖光塔所在的中心島小山的高度，數(shù)學(xué)小組設(shè)計(jì)的方案如圖所示，他們在點(diǎn)C處用測角儀測得塔頂A的

仰角為45。,此時(shí)，由于樹木的遮擋，看不清塔底，他們延水平方向向后走64米在點(diǎn)。處用測角儀測得塔底B的

仰角為26.5。.請根據(jù)他們網(wǎng)上查到的數(shù)據(jù)和測量數(shù)據(jù)求中心島小山BE的高度約為多少米.（參考數(shù)據(jù)：

sin26.5°?0.45;cos26.5°?0.89;tan26.5°?0.50;）

23.在平面直角坐標(biāo)系尤2y中直線y=^+KkHO)與雙曲線y=9(x>0)的交點(diǎn)是4a,3).

(1)求a和女的值.

(2)當(dāng)x>3時(shí)對于x的每個(gè)值，函數(shù)y=mx(m^O)既大于函數(shù)y=—(x>0)的值，又小于函數(shù)y=Ax+1的

x

值，直接寫出m的取值范圍.

24.如圖，已知△ABC中42=BC,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連

接AD,以AD為直徑畫。O,與AB邊交于點(diǎn)E,與AC邊交

于點(diǎn)F,EF=AF,連接DE.

(1)求證：BC是。。的切線.

3

(2)若8C=10,cos4SE=g，求a。的長.

25.某客運(yùn)站為了了解早高峰時(shí)間段運(yùn)營情況，有效的緩解

該時(shí)段乘客的等待時(shí)間,對早上6:00-8:00時(shí)間段內(nèi)，客運(yùn)站累計(jì)候車人數(shù)和累計(jì)承載人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，為了便于

記錄,將早上6:00開始每10分鐘記作一個(gè)單位時(shí)間，記為時(shí)間x(0Wx<12)，累計(jì)候車人數(shù)記為yi.累計(jì)承載

人數(shù)記為y2..

下面是他們的調(diào)查過程,請補(bǔ)充完整：

(1)他們調(diào)取了客運(yùn)站該時(shí)段內(nèi)累計(jì)候車人數(shù)yi與累計(jì)承載人數(shù)y2隨x的變化而變化的有關(guān)數(shù)據(jù):

時(shí)間段0123456789101112

累計(jì)候車人數(shù)yi(萬人)0.51.11.62.22.93.64.25.15.76.06.36.56.6

累計(jì)承載人數(shù)丫2(萬人)0.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5m6.5

(1)補(bǔ)全表格,m的值為.

(2)通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫yi與x?2與x的關(guān)系，在給出的平面直角坐標(biāo)系中，補(bǔ)全表中各對對

應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象.

(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題：

①大約一點(diǎn)一分時(shí)，客運(yùn)站滯留人數(shù)最多.

②客運(yùn)站將在滯留乘客人數(shù)達(dá)到0.5萬人及以上的時(shí)間段增派車次緩解供需壓力,公司約在一點(diǎn)—分至

點(diǎn)—分時(shí)間段增派車次更合理.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知二次函數(shù)y=x2-2>wc+nr-4.

(1)當(dāng)m=l時(shí)，求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

(2)將拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折，其余部分保持不變，得到的新函數(shù)記為G,若點(diǎn)A(xiji),B

(無2?2)是函數(shù)G圖象上的兩點(diǎn)，若對于任意的-2<V1<-1U2=-L都有求m的取值范圍.

27.RtAABC43,ZACB=90°NB=a，點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合)，連接

DE,將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a，得到線段DF,連接EF,AF.

(1)如圖1,若a=30°,點(diǎn)F剛好落在BC邊上,BE=1,則AF=_,AC=_.

(2)判斷AF,BE和BC的數(shù)量關(guān)系，從圖2,圖3中任選一種情況進(jìn)行證明.

E2

28.我們給出如下定義：在平面內(nèi),已知點(diǎn)M和圖形G,點(diǎn)M到圖形G上所有點(diǎn)的距離的最小值稱作點(diǎn)M到

圖形G的距離.

(1)平面直角坐標(biāo)系下,已知點(diǎn)P(0,3),以0為圓心,1為半徑畫圓，則點(diǎn)P到。。的距離為.

(2)平面直角坐標(biāo)系下,已知點(diǎn)P(0,3),在平面內(nèi)有一個(gè)矩形ABC。,A(-2,1),B(2,1),D(-2,-1).

①當(dāng)矩形繞著點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P到矩形的距離d的取值范圍為.

②若M為矩形ABCD上一點(diǎn)，連接OM,以0M為直徑畫圓,記作圓G,則點(diǎn)P到圓G的距離d的取值范圍為

參考答案

一,選擇題（本題共16分,每小題2分）

題號(hào)12345678

答案DADACCBB

二、填空題（本題共16分,每小題2分）

題號(hào)910111213141516

答案x>2488—13A/54;F-B-E

5

三,解答題（本題共68分，第17-22題,每小題5分，第23-26題,每小題6分，第27,28題,每小題7分）解答應(yīng)寫出

文字說明，演算步驟或證明過程.

17.解:

=2x—+3+72-1-3^...........................................................................................................4

2

=2-y/2..............................................................................................................................................5

18.解：,?,四邊形A8C0是平行四邊形

ZD=ZB,AD=BC,AB=DC......................................................................................................1

?.?CE1ADCF±AB

；?NCED=NCFB=900..................................................................................................................2

???ACDE?ACBF

................3

.CDDE

19.

...............................................................................................................................................................2

圓周角定理....................................................................4

ZCPB..................................................................................................................................................5

20.解：

(1)3..................................................................................................................................................1

(2)由表中數(shù)據(jù)可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),

.2

???設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2>-l(awO)

....................................................................................................................................3

???拋物線過點(diǎn)(3,0),

Aa(3-2)2-1=0

....................................................................................................................................4

解得a=l,

，拋物線的解析式為y=(x-2y-1.

...............................................................................................................................................................5

法2：

(2)由表中數(shù)據(jù)可知拋物線與y軸交點(diǎn)為(0,3),

*,?設(shè)拋物線的解析式為y=ax?+bx+3(aH0)

....................................................................................................................................3

???拋物線過點(diǎn)(-L8),(1,0)

.a—b+3=8

[a+b+3=0

....................................................................................................................................4

解得a=l,b=-4.

，拋物線的解析式為y=x?-4x+3.

5

21.依題意補(bǔ)全圖形1

---------ee-------------

解：：半徑OC，弦AB于點(diǎn)D,AB=8

；.BD=4.......................................................................................................................................2

連接OB...............................................................................................................................................3

VOB=5

由勾股定理OD=3.............................................................................................................................4

；.CD=5-3=2........................................................................................................................................5

；?吃水深度為2米.

22.解:

由題意,NAED=90°,ZACE=45°,ZBDE=26.5°,AB=30,CD=64...........................................1

設(shè)BE=x，則EC=x+30.........................................................................................................................2

?.'tan26.5?！?.50

-------------~0.50....................................................................................................4

x+30+64

解得x標(biāo)94...............................................................................................................5

答：小山高度約為94米.

23.(1)；雙曲線y=g(x>0)過點(diǎn)A(a,3)

X

Aa=2..............................................................................................................................................1

*.*直線y=kx+\過點(diǎn)A(2,3)

：.k=l..............................................................................................................................................2

2

(2)-#m1..................................................................................................................................6

3

(一個(gè)界值1分,符號(hào)完全正確滿分)

24.(1)證明

TAD為。。的直徑.

AZAED=90°....................................................................................................................1

VBA=BC

???ZBAC=ZBCA

VEF=AF

???ZBAC=ZFEA.....................................

???ZBCA=ZFEA

ZDEF=ZDAC

???ZDAC+ZBCA=ZDEA+ZAEF=90

AADXBC

???BC為。。的切線..................................3

(2)TBC為。O的切線

JZADE+ZBDE=90°

??.NB+NBDE=90°

???ZB=ZADE

3

*.*cosZAFE=—

5

3

cosZB=—

5

?BD_3

**AB-5

.BD_3

^~L0~~5

ABD=6.....................................................................................................................................4

由勾股,AD二8

VBC=10

ADC=10-6=4...................................................................................................................5

由勾股

AC=475......................................................................................................................6

25.(1)6..............................................1

(3)①7點(diǎn)20分.......................................4

②6點(diǎn)45分至7點(diǎn)45分

.......................................................................................................6

26.解：

(1)當(dāng)m=l時(shí),y=/-2x-3

令y=0,得y=Y_2x-3

解得無1=3,尤2=-1

.??拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)(3,0)和(-1,0)

...................................................................................................................................................2

(2)由y=/―2mx+m2-4=(%-m)2-4

.,?拋物線的頂點(diǎn)為(m,-4),

拋物線的對稱軸為x=m.

.......................................................................................................................................