2024-2025人教A版高二年級上冊期中數(shù)學(xué)模擬檢測試題（含解析）

2024-2025高二上期中數(shù)學(xué)人教A版)模擬檢測試題

【人教A版2019】范圍：第一章?第三章

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.圓久2+/-4%=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為()

A.(0.2),2B.(-2,0),4C.(2,0),2D.(2,0),4

【正確答案】C

【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此得到結(jié)果.

【詳解】圓的方程可化為：?！?a+/=4,.?.圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑r=2.

故選：C.

_3

2.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

2323

A.y=/B.y=一/

c.y=3xD.y=-3乂

【正確答案】D

【分析】求出P的值，可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由題意可知，拋物線的開口向左，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=-2px(p>0),

P_3_3

貝股=a,所以P=5,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=—3名

故選：D.

2

xy2_

3.雙曲線小―了一)的離心率為8，貝眄=()

A.1B.A/2C.A/3D.A/6

【正確答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的基本量關(guān)系求解即可.

舊+4_/—

【詳解】由題意，即。2+4=3。2,解得。=也

故選：B

------>—>>—>>—>------>

4.如圖，空間四邊形。/8C中，OA=a,OB=b,℃=c,點(diǎn)加在。4上，且°M=2M4,點(diǎn)

N為BC中點(diǎn)、,則麗=()

【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算，結(jié)合圖形分析可得.

【詳解】因?yàn)?M=2M4,點(diǎn)N為2C中點(diǎn)，

所以加=*，麗=猊，

故麗=涼+詬+麗=那+OB-OA+

=|a+b-a+|(OC-OB)=-|a+b+|(c-b)=-|a++|c

故選：B.

5.若兩異面直線％與%的方向向量分別是%=%=(0，-1，1),則直線.與％的夾角

為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【正確答案】B

設(shè)異面直線％與q所成的角為生根據(jù)c°s9=|cos伍拓即可求解.

【詳解】由題意，兩異面直線％與％的方向向量分別是%%=(°，-I1)，

可得瓦|="，瓦|=避，五?后=-1,

設(shè)異面直線舊2所成的角為%則C=如色，動(dòng)=*J

又因?yàn)閑e(0°,90°),所以8=60°,

即直線k與12的夾角為60°.

故選：B.

6.已知直線4a久+2y+4=0,直線4：x+(a+l)y+4=0,若“/%,則。與G的距離為

()

A."B.2*C.3*D.4/

【正確答案】C

【分析】

先由直線平行求得a的值，再利用平行直線間的距離公式即可得解.

【詳解】因?yàn)?：ax+2y+4=0,q：x+(a+l)y+4=0,且"/%,

1_a+l4

所以且；=工力4,解得a=-2,

則4：-2x+2y+4=0,即％_y_2=o,%：x-y+4=0,

,.1-2-41_萬

所以，國2的距離為

故選：C.

7.若直線依-y-2=°與曲線廣=*=久-1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，化簡曲線為0—1)2+3-1)2=1。21),再由直線恒過定點(diǎn)P(0,-2),

結(jié)合圖象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.

【詳解】由曲線J1—3—1)2=%-1,可得0-1)2+0—1)2=1(x21),

又由直線此一丫一2=0,可化為y=kx-2,直線恒過定點(diǎn)P(0,-2),

作出半圓與直線的圖象，如圖所示,

結(jié)合圖象，可得4(1,0),所以*4=1二]=2,

優(yōu)-3|=i4

當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，可得病中一,解得"=

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為W'2].

故選：A.

8.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心.垂心在同一

條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知△力BC的頂點(diǎn)A(-l,0),B(L0),C(l,l),若直線

l：ax+(a—3)y+1=。與△4BC的歐拉線垂直，則直線I與△4BC的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

()

c.6-1)

【正確答案】B

【分析】由題求出歐拉線方程，即可得直線/方程，后可得交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可知其重心為I—3—'3)=3).

注意到%B=°,直線8c斜率不存在，則△力BC為直角三角形，

11

y-1.1

—i=-T=y=~7X+5

則其垂心為其直角頂點(diǎn)8(L0),則△4BC歐拉線方程為：0-1-2.

因其與+(a-3)y+1=0土=毒—匚建直，則言=2=a=2

X=~

則l:y=2x+l,則直線/與△力BC的歐拉線的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足B=2"+1(y=-,即交

點(diǎn)為(一熱

故選：B

2.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）

—>—?—?-?—>—?—?―>—?

A.若三個(gè)非零空間向量仇c滿足alhblc,則有a〃c

B.若空間四個(gè)點(diǎn)P，4B,C,PC/P4+JB,則三點(diǎn)共線.

C.已知｛蒜力是空間的一組基底，若方==+乙則｛編，南也是空間的一組基底

3—、_、

D.已知向量之=（1，Lx）,石=（一3,羽9）,若久〈迅貝庶了）為鈍角.

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)向量的概念，空間向量的基本定理，以及空間向量基底的定義和空間向量

的數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.

—>—>—>―?—>—>—>—>—?

【詳解】對于A中，若非零空間向量a,hc滿足alhblc,不一定滿足a〃c,所以A不正確;

對于B中，因?yàn)樵?源+1而，則海一再=1方-河即北=3萬，

又因?yàn)槎c方有公共點(diǎn)，所以4B,C三點(diǎn)共線，所以B正確；

對于C中，由｛a%?是空間的一組基底，且送=2+",

->—>—>—>—>—>—?—>—>—>—>

令m=xa+yb,可得xa+yb=a+c,此時(shí)方程組無解，所以a,6,a+c不共面，

所以伍京府可以作為一個(gè)空間基底，所以c正確；

對于D中，若6,可為鈍角，則黑石<0,且之與書不共線，

由a,6=-3+x+9x<0,解得％<10,當(dāng)時(shí)a與6平行時(shí)，由-3一，一9,解得x=-3,

3一_

當(dāng)之與了不共線得久力一3,所以當(dāng)“<而且久力一3時(shí)，。，可為鈍角，所以D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.線k：x+3y+9=012：（a-2）x+ay+7—a=0,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)。時(shí)，％的傾斜角的范圍是1°給

B.若li〃k,則a=3

_1

C.若'l1%,則a=2

,,遮

D.當(dāng)a=3時(shí)，’1到’2的距離為2

【正確答案】BCD

【分析】求出直線％的斜率范圍判斷A；由兩直線平行求出a判斷B；由兩直線垂直求出

a判斷C；由平行線間距離公式計(jì)算判斷D.

,2—a2..

【詳解】對于A,當(dāng)a>。時(shí)，直線％的斜率"丁=11>一1,當(dāng)一l<k<0時(shí)，％的

傾斜角aC（不兀），

當(dāng)k20時(shí)，％的傾斜角戊［0*人錯(cuò)誤；

21

對于B,由4〃4,得ZT="，解得a=3,B正確；

對于C,由得（a—2）+3a=0,解得。=5,C正確；

|9-4|_yio

對于D,當(dāng)a=3時(shí)，力〃2,直線%：%+3y+4=0,k到4的距離為西花一丁，D正確.

故選：BCD

11.雙曲線一*=1的左、右焦點(diǎn)分別為片尸2,圓M:（久+2）2+/=1與雙曲線的漸近線

在第二、第三象限分別相切于點(diǎn)4B,則下列說法正確的是（）.

A.雙曲線的漸近線方程為丫一土石”

2yj3

B.雙曲線的離心率為亍

1

C.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3

D.△力、尸2的周長為避+2（1+28

【正確答案】ABD

【分析】

求出雙曲線的漸近線方程，借助圓的切線求出再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得結(jié)果.

2C-%2——=1

【詳解】圓加：（久+2）27+、2=1的圓心用（—2,0）,半徑7-=1,雙曲線’B的漸近線

方程為權(quán)士y=0,

萼==1h2--v-+鳥

依題意，,解得'-3,因此雙曲線的漸近線方程為'一土石久，A正確；

_I----2__2^/3

雙曲線C的實(shí)半軸長為1,則半焦距c=qi+b=亍，其離心率為e=c=可，B正確；

24道

雙曲線c的右焦點(diǎn)4（亍，°）,點(diǎn)尸2到漸近線X±V3y=°的距離為了京帝=T.C錯(cuò)誤；

由卜胃/建，解得x=-|,y=±g,即3/）鳳一|,-斗，\AB\=^,

回2戶小=mM）2+T）2=A^,所以的周長為避+

D正確.

故選：ABD

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線的勺方向向量為（2,犯1）,平面a的法向量為（112）,且〃/a,那么爪=

【正確答案】-8

【分析】根據(jù)題意，得到直線的方向向量與平面法向量互相垂直，結(jié)合向量的數(shù)量積列

出方程，即可求解.

【詳解】由直線］的方向向量為(2,私1),平面a的法向量為(L—2),

因?yàn)閘〃a,可得直線的方向向量與平面法向量互相垂直，所以2+96+2=°,

解得加=-8.

故-8

13.已知圓G%2+y2-4x-2y+l=0,圓C的弦力B被點(diǎn)尸(2,0)平分，則弦所在的直線方

程是.

【正確答案】y=0

【分析】

先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心。(2,1),由于圓C的弦4B被點(diǎn)P(2,0)平分，故

AB1PC,得到%B=°,由點(diǎn)斜式求解即可.

【詳解】因?yàn)閳AC：x2+y2-4x-2y+l=0,

所以化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(%—2)2+(y—1)2=4,所以圓心C(2,l).

又圓C的弦力B被點(diǎn)P(2,0)平分，故力B1PC,

而直線PC斜率不存在，所以呢8=°,

由于2B過點(diǎn)P(2,0),故直線4B的方程為：y=0.

故y=。.

14.己知點(diǎn)P(-3,0)在動(dòng)直線根久+ny-(m+3Ti)=。上的投影為點(diǎn)〃，若點(diǎn)",；，則|MN|的

最大值為.

11

【正確答案】彳/5?5

【分析】化簡直線為m(xT)+=(y—3)=0,得到恒過定點(diǎn)M'(l,3),根據(jù)題意,得到點(diǎn)

_5

M落在以PM為直徑的圓上，其中半徑為丁=2,結(jié)合即可求解.

【詳解】由直線山乂+九，一(爪+371)=°,可化為機(jī)(久一l)+n(y-3)=°,

(x—1=0,

由方程組卜一3=0,解得比=l,y=3,可得直線恒過定點(diǎn)面(1,3),

則\PM'\=J(i+3)2+(0-3)2=5,

因?yàn)镻在動(dòng)直線mx+ny-(m+3n)=0上的投影為點(diǎn)M,即PM1MM,

所以點(diǎn)M落在以PM為直徑的圓上，其中圓的半徑為,一2,

3

設(shè)PM'的中點(diǎn)為4可得“(一七)，

又因?yàn)镹(2，l),可得|川VI=3,所以|MN|的最大值為3+?=S

11

故

四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知直線?經(jīng)過兩條直線久+2y—5=0和3久-y—1=。的交點(diǎn).

⑴若直線嗚直線x-2y-3=0垂直，求直線/的方程；

(2)若直線I與直線久-2y-3=0平行，求直線的勺方程及此時(shí)直線1與直線/2丫-3=0的距

離.

【正確答案］⑴2x+y_4=o；

(2)x-2y+3=0,淄.

【分析】(1)求出兩條直線的交點(diǎn)得(1，2),再利用直線垂直設(shè)I的方程為

2無+y+Ci=0,把(1,2)代入方程即得.

(2)由直線平行設(shè)直線的勺方程為“一2'+。2=°管2十一3),把(1,2)代入方程即得，再

求出平行線間距離.

(x+2y—5=0(x=1

【詳解】(1)由13x-y-l=0,解得〔y=2,即直線x+2y-5=0和3x-y-1=0的交

點(diǎn)為(1,2),

由直線2與直線x-2y-3=。垂直，設(shè)直線的勺方程為2%+V+好=0,

把點(diǎn)。2)代入方程得2+2+Q=0,解得好=一4,

所以直線的勺方程為次+y-4=0.

(2)由直線/平行于直線尤-2y-3=0,設(shè)直線Z的方程為%一2〉+。2=0管27-3),

把點(diǎn)(1，2)代入方程得1-2X2+。2=。，解得。2=3,

d=13-(-3)1=Q何

所以直線I的方程為X—2y+3=o,直線I與直線工—2y—3=0的距離一環(huán)(=哥一.

?丫?=1

16.(15分)已知雙曲線4m.

(1)若瓶=5,求雙曲線E的焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；

(2)若雙曲線E的離心率ee(m,3),求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

【正確答案】(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(3,0).頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0).漸近線方程為

y=±

(2)(20,32)

【分析】(1)代入爪=5,求出。力￡的值以及雙曲線焦點(diǎn)的位置，即可得出答案；

_yjm4-4

(2)根據(jù)已知求出a,b,c的值，得出'=一］一,根據(jù)e的取值范圍，即可得出答案.

/y2

【詳解】(1)由已知可得，雙曲線的方程為了一匚=1,

所以，雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，且。2=4,b2=5,C2=a2+b2^9,

所以，a=2,b=器,c=3,

所以，雙曲線E的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(一3,0),(3,0).

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,0),(2,0)；

漸近線方程為y=±/=±彳￡

22222

(2)由已知可得，a=4,b=m>Otc=a+b=m+4,

所以，a=2,b=M,c=\m+4,

因?yàn)?/p>

所以有*<"二<3,即2m<皿+4<6,

整理可得，24<爪+4<36,

解得20<m<32

17.(15分)如圖，在四棱錐P一力BCD中，PAL^ABCD,ABLAD,AD//BC,

n

AP=AB=AD=1,且直線PB與CD所成角的大小為E.

⑴求BC的長；

⑵求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

【正確答案】(1)2

(2)3^

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出麗，利用直線PB與CD所成角的大小為

?求出BC的長即可；

(2)先求出平面的法向量，再根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式求出距離即可.

【詳解】(1)因?yàn)镻力,平面4BCD,^_ABLAD,

所以建立如圖分別以AB/D/P為%,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系,

則P(O,O,1),B(1,O,O),D(O,1,O),令BC=t,則

所以麗=(1,0-1),CD=(-1,1-1,0),

——>——>I麗?函1

cos<PB,CD>=—~~—=———/,

所以|PB|?|CD|"xj+(!-?,

7T----->---->1

因?yàn)橹本€P8與CD所成角的大小為E,所以cos<PB，CD>=%

1_1

即邸—5,解得t=o(舍)或者t=2,

所以BC的長為2；

(2)由(1)知P(0,0,l),B(l,0,0),D(0,L0),C(l,2,0),

令平面PBD的法向量為薪=(x,y,z),因?yàn)辂?(1,0,-1),麗=(0,1-1),

所以伉.訪=0\y-z=0,令x=l,則y=l,z=l,所以有=(1,1,1),

一d-E,函—2_2"

又CB=(0,—2,0),所以同W，

所以點(diǎn)C到平面PB。的距離為睇.

18.(17分)若圓M的方程為(x-l)2+(y—4尸=4,A4BC中，已知4(7,2),8(4,6),點(diǎn)C為圓

M上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求力C中點(diǎn)。的軌跡方程；

(2)求A4BC面積的最小值.

【正確答案】(1)(x—4)2+(y—3)2=1；⑵4

儼0=2%—7

(1)設(shè)“ay),CQo，yo),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出卜o=2y—2,由相關(guān)點(diǎn)法即可求出點(diǎn)

。的軌跡方程；

(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

X0+7_

x=---(xn=2x—7

_y0+2=y=2y-2

【詳解】(1)設(shè)DQ，y)，C(XoM^U=-1,

由(和_1)2+(劭-4)2=4得(2%一7—1)2+(2y—2—4)2=4,

即。點(diǎn)的軌跡方程為(*-4)2+(y—37=1

(2)計(jì)算得=5,直線4B為4x+3y—34=0,

點(diǎn)(1,4)到直線48的距離a=-5—=T

???點(diǎn)C到直線的最小距離為了一“一二

18

J，^LABC)min=2X5X5=4

本題考查了相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)的軌跡方程、點(diǎn)斜式方程、兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的

距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

19.（17分）如圖，已知廣（一W，。），&（四，。）分別是雙曲線￡：/一”―1（。＞°乃＞°）的

f2y/W

左、右焦點(diǎn),尸「丁，01是E上一點(diǎn).

⑴求E的方程.

（2）過直線/：刀=1上任意一點(diǎn)T作直線％%與￡的左、右兩支相交于4,8兩點(diǎn)，直線％關(guān)

于直線/對稱的直線為％（與"不重合），q與￡的左、右兩支相交于C,。兩點(diǎn).證明：

ZXBD=ZXCD.

【正確答案】⑴丁7

（2）證明見解析

pf_2A/IUy/6\

【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)以