2024-2025學(xué)年北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)《二次函數(shù)》寒假鞏固提升訓(xùn)練題

2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊

《第2章二次函數(shù)》寒假鞏固提升訓(xùn)練題（附答案）

一、單選題

1.某工廠1月份的產(chǎn)值為500萬元，平均每月產(chǎn)值的增長率為無，則該工廠3月份的產(chǎn)值y與％之間的函數(shù)

解析式為（）

A.y=500（1+x）B.y=500（1+x）2C.y=x2+500%D.y=500x2+x

2.關(guān)于二次函數(shù)y=2024/的圖象的性質(zhì)下列說法中錯誤的是（）

A.圖象有最高點，最大值為0B.函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱

C.%<0時，y隨x的增大而減小D.x>0時，y隨x的增大而增大

3.已知拋物線y=/一bx+c與x軸交于點4（一1,0）,5（3,0）,則關(guān)于x的方程/一bx+c=0的解是（）

A.與=—1,x2=—3B.與=-1,x2=3

C?%1—1,%2=-3D.%1—1,%2=3

4.下列平移中，不能使二次函數(shù)y=/+2久—2經(jīng)過點（一1,1）的是（）

A.向左平移2個單位B.向右平移2個單位

C.向下平移3個單位D.向上平移4個單位

5.如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax+2（a羊0）與丫=-a/一2x（a乎0）的圖象可能是（）

水面寬4m,若水面下降2.5m,那么水面寬度為（）

A.5mB.6mC.8mD.9m

7.如圖，正方形。ABC的頂點B在拋物線y=/的第一象限的圖象上，若點B的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，點C

的橫坐標(biāo)為-1,則點4的橫坐標(biāo)為（）

A.3B.4C.3.5D.2

8.二次函數(shù)y=ax2++c（aK0）的圖像如圖，給出下列四個結(jié)論：①4ac-b2<0；②4a+c<26；

③3b+2c<0；（4）m（am+b）+b<a,⑤點（一4,%）,（1,%）都在拋物線上，則有y1<y2?其中正確的

結(jié)論其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.①③④B.②④⑤C.①③⑤D.②③④

二、填空題

9.若y=（巾+2）工/-4+3x—2是二次函數(shù)，則的值是.

10.拋物線丫=/-2%+3的對稱軸是,頂點坐標(biāo)是.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=尤2+2%-4的最小值為.

12.汽車剎車后行駛的距離s（單位：m）關(guān)于行駛的時間單位：s）的函數(shù)解析式是s=15t-6t2,則

汽車剎車后到停下來前進(jìn)了m.

13.已知拋物線y=a/+.+c中a>0,且與其軸交于點（一3,0）,（1,0）求當(dāng)y>0時，自變量x的取值范圍

是.

14.某養(yǎng)殖戶用80米長的隔離網(wǎng)在某湖泊中間圍成一個長方形養(yǎng)殖區(qū)域用來飼養(yǎng)某種大米蝦.如圖，該長

方形養(yǎng)殖區(qū)域中間有兩條隔離網(wǎng)，則圍成的養(yǎng)殖區(qū)域最大面積是一平方米.

2

15.如圖，直線%=mx+n與拋物線=x+bx+c交于4B兩點，其中點4（2,-3）,點B（5,0）,當(dāng)y1>y2

時，久的取值范圍是

16.如圖，已知拋物線y=—/—3x+4,點尸是拋物線上一動點.當(dāng)點尸在第二象限，NP82=45。時,

點P的坐標(biāo)是.

三、解答題

17.已知二次函數(shù)y=/+2x—3.

(1)將y=x2+2x-3化成y=a(x-h)2+k(a*0)的形式，并寫出其圖象的頂點坐標(biāo)；

⑵求此函數(shù)圖象與x軸交點的坐標(biāo).

18.已知：二次函數(shù)y=尢2—加久+7n—2.

⑴若圖象經(jīng)過原點，求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求證：無論m為任何實數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個交點.

19.如圖，二次函數(shù)y=(x+2)2+爪的圖象與y軸交于點C,點8在拋物線上，且與點c關(guān)于拋物線的對稱

軸對稱，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點2(-1,0)及點B.求二次函數(shù)與一次函

數(shù)的解析式.

20.中國元素遍布巴黎奧運(yùn)會的每一個角落.某特許商品專賣店銷售中國制造的紀(jì)念品，深受大家喜愛.自

奧運(yùn)會開賽以來，其銷量不斷增加，該商品銷售第x（l＜久〈20,且x為整數(shù)）天與該天銷售量y（單位，

件）之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下表所示.為回饋顧客，該商家將此紀(jì)念品的價格不斷下調(diào)，其銷售單價z（單

位：元）與第x（l〈xW20,且x為整數(shù)）天之間成一次函數(shù)關(guān)系且滿足z=-4x+100.已知該紀(jì)念品

的成本價為20元/件.

第X天1234567

銷售量W件220240260280300320340

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）求這20天中，第幾天的銷售利潤最大，并求出最大利潤；

⑶商店決定從第10天開始，每件商品的單價在原來價格變化的基礎(chǔ)上再降價。元銷售，銷售第x天與該天

的銷售量y之間仍然滿足原來的函數(shù)關(guān)系，問第幾天的銷售利潤取得最大值？

21.如圖，拋物線、=口*2+.+（:過點4（0,3）、B（l,0）、C（-l,8）,頂點為

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

⑵求頂點M的坐標(biāo)；

（3）x軸上是否存在一點尸，使得P4+PM的值最??？若點尸存在，求出點P的坐標(biāo).

（2）若點P是直線8C下方拋物線上一動點，連接PC,PB,當(dāng)APBC的面積最大時，求點尸的坐標(biāo)及面積的最

大值；

⑶在（2）的條件下，若點N是直線BC上的動點，在平面內(nèi)的是否存在點。，使得以PB為邊、以尸、B、N、

。為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出符合條件的所有。點的坐標(biāo):若不存在，請說明理由.

參考答案:

題號12345678

答案BABCDBAC

1.解：1月份產(chǎn)值是500萬元，增長率是x,則2月份產(chǎn)值是500(1+%)萬元，3月份產(chǎn)值

是500(1+無產(chǎn)萬元，

團(tuán)y=500(1+%)2.

故選:B.

2.解：團(tuán)二次函數(shù)解析式為y=2024/,2024>0,

團(tuán)二次函數(shù)開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標(biāo)為(0,0),

回函數(shù)圖像有最低點，最小值為0,函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，在對稱軸右側(cè)，y隨工的增大而增

大，在對稱軸左側(cè)y隨％的增大而減小，

以V0時，y隨％的增大而減小，%>0時，y隨％的增大而增大，

國四個選項中，只有A選項說法錯誤，符合題意，

故選：A.

3.解:回y=/一。=+>與尤軸交于點4(一1,0),8(3,0)兩點，

團(tuán)方程％2—bx+C=0的兩個根為%1=—1,x2=3,

故選：B.

4.C解：拋物線y=%2+2x—2=(%+I)2—3,

則當(dāng)向左平移2個單位，得到y(tǒng)=(%+1+2)2-3=(%+3乃一3,

當(dāng)％=-1時，y=l,拋物線經(jīng)過(一1,1),故此A不符合題意；

則當(dāng)向右平移2個單位，得到y(tǒng)=(x+1-2)2-3=(%-I)2-3,

當(dāng)久=-1時，y=1,拋物線經(jīng)過(一1,1),故此B不符合題意；

則當(dāng)向下平移3個單位，得到y(tǒng)=(%+1)2-3-3=(%+I/-6,

當(dāng)％=-1時，y=-6,拋物線不經(jīng)過(一1,1),故此C符合題意；

則當(dāng)向上平移4個單位，得到y(tǒng)=(x+I)2-3+4=(%+I)2+1,

當(dāng)汽=一1時，y=l,拋物線經(jīng)過(一1,1),故此D不符合題意；

故選：C.

5.角軍：y=ax+2,

:?b=2,

???一次函數(shù)圖象與y軸的正半軸相交，

①當(dāng)a>0時，

則二次函數(shù)y=-ax2-2x（a豐0）的圖象開口向下，經(jīng)過原點且對稱軸為直線x=—3=

-i<0,

a

②當(dāng)Q<0時，

則二次函數(shù)y=-ax2-2x（a。0）的圖象開口向上，經(jīng)過原點且對稱軸為直線式=-?=

—2a

1

-->0,

a

故D正確；

故選：D.

6.解：如圖，以4B中點。為原點建立平面直角坐標(biāo)系，

WA=OB=1AB=2m,

財（-2,0）,B（2,0）,

回。C=2m,

13c坐標(biāo)為（0,2）,

設(shè)拋物線解析式為y=a%2+2,

把4（一2,0）代入得0=4a+2,

解得：a=—

回拋物線解析式為y=-|x2+2,

當(dāng)水面下降2.5米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y=-2.5時，對應(yīng)的拋物線上兩

點之間的距離，

把y=—2.5代入拋物線解析式得出：—2.5=-|%2+2,

解得：x=±3,

回水面寬度為3-(-3)=6(m).

故選：B.

7.解：由題可得:設(shè)B82K)

團(tuán)點B在拋物線y=/的第一象限的圖象上，

0x2=2x

解得：%1=2或久2=0(舍去)，

站(2,4),

0OS=V22+42=2A/5,

回四邊形04BC為正方形，

回。a=oc=VTo,

過點C作CD1久軸于點D,過點4作AE1無軸于點E,

團(tuán)NCOO+"CO=90。，4COO+Z.AOE=90°,

回乙40E=LDCO,

團(tuán)OC=AO,(CDO=Z.OEA=90°,

[HACDO=△OEA,

團(tuán)CO=OE,

回點c的橫坐標(biāo)為-1,

回。O=1

團(tuán)在RtACD。中，CD=y/OC2-OD2=J(VlO)2-l2=3,

HOF=3,

點a的橫坐標(biāo)為3,

故選：A.

8.解：團(tuán)二次函數(shù)圖像與％軸有兩個交點，

團(tuán)對于方程a/+&%+c=。有兩個不相等的實數(shù)解，即有/—4ac>0,

[Mac-b2<0,故結(jié)論①正確；

回二次函數(shù)圖像對稱軸為％=-1,且當(dāng)久=0時，有y>0,

回由拋物線的對稱性質(zhì)可知，當(dāng)％=-2時，可有y=4a—2b+c>0,

04a+c>2b,故結(jié)論②不正確；

回二次函數(shù)圖像的對稱軸為x=-二=一1,

2a

M=2a,

又團(tuán)當(dāng)％=1時,可有y=a+b+c<0,

回2a+2b+2cVO,

回3b+2c<0,故結(jié)論③正確；

團(tuán)二次函數(shù)圖像的對稱軸為久=-1,且開口向下，

團(tuán)當(dāng)％=—1時，y取最大值，止匕時y=a—b+c,

令％=m(mH—1),可有y=am2+bm+c<a—h+c,

0am2+bm<a—b,

0m(am+b)+b<a,

而本結(jié)論中沒有說明血。-1,故結(jié)論④不正確；

團(tuán)二次函數(shù)圖像的對稱軸為％=-1,且開口向下，

回數(shù)軸上的點距離對稱軸越大，函數(shù)值y越小，

團(tuán)|—4—(—1)|=3>[1—(—1)|=2,

回、1<、2，故結(jié)論⑤正確?

綜上所述，結(jié)論正確的有①③⑤.

故選：C.

9.解：y=(m+2)xm2-4+3x—2是二次函數(shù)，

???TH+2H0,m2—4=2,

???mW—2,m=+V6,

故答案為：±6.

10.解：=%2—2%+3=(x—l)2+2,

團(tuán)拋物線對稱軸為直線％=1,頂點坐標(biāo)為(1,2).

故答案為：直線％=1；(1,2).

11.解：??,y=/+2%—4=(x+I)2—5,

當(dāng)％=-1時，取到最小值為：-5,

故答案為：-5.

12.解:根據(jù)二次函數(shù)解析式s=15t—6t2=—6(t—1f+g

當(dāng)t=：時，s取得最大值3

48

即汽車剎車后到停下來前進(jìn)的距離是

O

故答案為：

O

13.解：1拋物線y=ax2+Z?x+c中a>0,

???拋物線的圖象開口向上，

???拋物線y=ax2+b%+c與％軸交于點(一3,0),(1,0),如圖，

當(dāng)y>0時，二次函數(shù)圖象在x軸上方，

???x<—3或%>1,

故答案為：％V—3或%>1.

14.解：設(shè)養(yǎng)殖園的面積為S平方米，寬為萬米，則長為醫(yī)竺=(40-2%)米，

根據(jù)題意，得S=x(40-2x)

=-2x2+40%

=一2(久一10)2+200,

團(tuán)一2<0,

回開口向下，

團(tuán)當(dāng)x=10時，S最大，最大值為200.

即圍成養(yǎng)殖園的最大面積200平方米.

故答案為：200.

15.解：由題意知，當(dāng)yi>、2時，則力的取值范圍是拋物線圖象在直線圖象下方對應(yīng)的所有

的X的取值，

回圖象交于點4(2,-3),點B(5,0),

團(tuán)當(dāng)yi>丫2時，2cx<5,

故答案為：2<x<5.

16.解：如圖，連接PB,作PD_Lx軸于D,

在y=—/—3刀+4中，令y=0,則———3x+4=0,

解得：K1=—4,%2=1，

EB(l,0),

回點尸是拋物線上一動點，

回設(shè)P(m,—Hi?—36+4),貝UPO=—m?—3m+4,BD=1-m,

EINPBA=45°,

0APBD為等腰直角三角形，

SPD=BD,HP—m2—3m+4=1-m,

解得：m=-3或m=1,

回點尸在第二象限，

0m=-3,

El—m2—3m+4=—3)2—3X(—3)+4=4,

IBP(-3,4),

故答案為：(—3,4).

17.(1)解：由y=/+2x—3=(x+1)2—4,

回頂點坐標(biāo)為(一1,-4)；

(2)解：令y=0,即/+2%-3=0,

解得：K1=-3,久2=1，

回函數(shù)圖象與x軸交點的坐標(biāo)為(一3,0),(1,0).

18.(1)解：???拋物線經(jīng)過原點.

???把(0,0)代入y=x2—mx+m—2,

得：m—2=0,

解得TH=2,

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=%2-2x.

(2)證明：令y=0,則％2—+772—2=0.

A=(-771)2—4(771—2)

=m2—4m+8

=(m—2)2+4.

v(m—2>>0.

(m-2)2+4>0.

??.方程有兩個不相等的實數(shù)根.

??.無論m為任何實數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與%軸都有兩個交點.

19.解：團(tuán)二次函數(shù)y=(%+2尸+血的圖像過點4(一1,0),

團(tuán)0=(-1+2)2+771,

團(tuán)771=—1,

回二次函數(shù)的解析式為y=(%+2)2-1,

化成一般式為y=%2+4%+3,

當(dāng)汽=0時，得：y=3,

回C(0,3),

回點3在拋物線上，且與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

回點8、點C的縱坐標(biāo)相等，

團(tuán)當(dāng)y=3時，得：%2+4%+3=3,

解得：%=-4或%=0,

甌(-4,3),

團(tuán)一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點/(一1,0),8(-4,3),

(—k+b=0

t—4/c+5=3'

回一次函數(shù)的解析式為y=-x-1,

即：二次函數(shù)的解析式為y=/+4x+3,一次函數(shù)的解析式為y=1.

20.(1)解：由表格信息可得：每增加1天，銷量增加20件，可得y是x的一次函數(shù)，

設(shè)丫=k％+6,把x=l,y=220,x=2,y=240代入可得：

｛猊［=2黑，解得:M=20；

12k+b=2403=200

也關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=20%+200(1<%<20)；

(2)解：設(shè)總利潤為w元，則

w=y(z-20)

=(20%+200)(-4%+100-20)

=—80%2+800%+16000

=-80(%-5)2+18000；

回一80<0,

團(tuán)當(dāng)％=5時，w取得最大值，

所以，第5天利潤最大，最大利潤為：w=18000(元)；

(3)解：設(shè)第x天的銷售利潤為吻元，

當(dāng)49時，同(2)當(dāng)％=5時，Wi取得最大值，最大利潤為：w=18000元；

當(dāng)10<％〈20時，

Wi=(20%+200)(-4%+80—a)

=—80%2+(800—20a)%+200(80—a),

b800-20a40-a

以=---=----:——T=----------，

2a2x(-80)8

0-80<0,所以拋物線開口向下，又10WXW20,

40-a-

0%=-----<5,

8

回當(dāng)X>竽時，也隨尤的增大而減小，

8

當(dāng)％=10時有最大值，最大值為=-80X102+10X(800-20a)+200(80-a)=16000-

400a,

而16000-400a<18000,

綜上：第5天的銷售利潤取得最大值.

21.(1)解：依題意，

把4(0,3)、8(1,0)、C(-l,8)代入y=a/+bx+c

(c=3ra=1

得｛a+b+c=0，解得｛5=—4

(a—b+c=8(c=3

回拋物線的解析式為y=/一4%+3；

(2)(2)由(1)得y=——4%+3=(%—2)2—1,

團(tuán)頂點〃的坐標(biāo)為(2,-1).；

(3)解：存在.理由如下

如圖，連接與％軸交于點尸，即P/+PB的值最小.

設(shè)直線的解析式為y=kx+b

把4(0,3)和點M(2,-1)代入)/=入+6

(b=3

l2k+b=-l'

解得,廣一;■

Ib=3

回直線AM的解析式為y=-2%+3.

當(dāng)y=0時，由-2%+3=。得x=|,

回點P的坐標(biāo)為(|,0).

22.(1)解：ry=ax?+b久一4交x軸于點4(一2,0)和點B(4,0),

.C0=4a—2b—4

???b=16a+4b-4'

(a=-

???J2,

Lb=-1

.?.y=-1x^o—X—4.;

(2)解：當(dāng)x=0時，y=-4,

C(0,-4),

過點P作