數學建模競賽試題集及答案解析

數學建模競賽試題集及答案解析姓名_________________________地址_______________________________學號______________________-------------------------------密-------------------------封----------------------------線--------------------------1.請首先在試卷的標封處填寫您的姓名，身份證號和地址名稱。2.請仔細閱讀各種題目，在規(guī)定的位置填寫您的答案。一、線性規(guī)劃1.產銷平衡問題

題目：某企業(yè)生產A、B兩種產品，生產A產品需要原材料X1、X2，生產B產品需要原材料X1、X2。已知原材料X1、X2的供應量分別為1000噸和800噸，A、B產品的需求量分別為1200噸和1000噸。A產品的單位利潤為20元，B產品的單位利潤為15元。請確定生產計劃，使得利潤最大化，同時保證原材料供需平衡。

解題思路：建立線性規(guī)劃模型，設生產A產品數量為x，生產B產品數量為y，目標函數為最大化20x15y，約束條件為X1X2≤1000，X12X2≤800，x≥0，y≥0。

2.人員配置問題

題目：某公司需要為三個部門（A、B、C）安排員工，每個部門需要不同數量的員工，且總員工數不超過現有員工總數。部門A需要5人，B需要4人，C需要3人。每個員工的工資為4000元，請合理安排員工分配，使得總工資支出最少。

解題思路：建立線性規(guī)劃模型，設分配到A、B、C部門的員工數分別為x1、x2、x3，目標函數為最小化4000(x1x2x3)，約束條件為x1x2x3≤總員工數，x1≥0，x2≥0，x3≥0。

3.資源分配問題

題目：某工程需要分配資金用于購買材料A和B，材料A的單價為100元，材料B的單價為200元。工程總預算為5000元，A和B材料的需求量分別為40噸和30噸。請確定購買計劃，使得購買的總成本最低。

解題思路：建立線性規(guī)劃模型，設購買材料A的噸數為x，購買材料B的噸數為y，目標函數為最小化100x200y，約束條件為x2y≤5000，x≥0，y≥0。

4.生產計劃問題

題目：某工廠生產兩種產品，產品1的生產成本為20元，產品2的生產成本為30元。工廠每天有200小時的機器時間，產品1每臺需要2小時，產品2每臺需要3小時。若產品1的售價為100元，產品2的售價為150元，請確定生產計劃，使得總利潤最大化。

解題思路：建立線性規(guī)劃模型，設生產產品1的數量為x，生產產品2的數量為y，目標函數為最大化100x150y，約束條件為2x3y≤200，x≥0，y≥0。

5.優(yōu)化運輸問題

題目：某物流公司有5個倉庫和10個配送點，每個倉庫的庫存量、每個配送點的需求量以及運輸成本已知。請確定運輸計劃，使得總運輸成本最低。

解題思路：建立線性規(guī)劃模型，設從第i個倉庫到第j個配送點的運輸量為xij，目標函數為最小化運輸成本之和，約束條件為滿足各倉庫和配送點的供需平衡。

6.投資組合問題

題目：某投資者有10000元可用于投資，投資選項包括股票、債券和貨幣市場基金，各投資選項的預期收益率和風險等級已知。請確定投資組合，使得預期收益率最大化，同時風險最小化。

解題思路：建立線性規(guī)劃模型，設投資于股票、債券和貨幣市場基金的資金分別為x、y、z，目標函數為最大化預期收益率，約束條件為xyz≤10000，x≥0，y≥0，z≥0。

7.貨物配送問題

題目：某物流公司有3個倉庫和5個配送中心，每個倉庫的貨物量和每個配送中心的貨物需求量已知。請確定配送計劃，使得總運輸成本最低。

解題思路：建立線性規(guī)劃模型，設從第i個倉庫到第j個配送中心的運輸量為xij，目標函數為最小化運輸成本之和，約束條件為滿足各倉庫和配送中心的供需平衡。

8.市場營銷問題

題目：某公司推出兩種新產品，市場調研顯示，在兩個不同的市場（市場1和市場2）推廣新產品的成本和預期收益已知。請確定推廣策略，使得總收益最大化。

解題思路：建立線性規(guī)劃模型，設市場1和市場2的推廣成本分別為x、y，目標函數為最大化預期收益，約束條件為xy≤總預算，x≥0，y≥0。

答案及解題思路：

1.產銷平衡問題：

答案：生產A產品1000噸，B產品800噸。

解題思路：通過求解線性規(guī)劃模型，得到最優(yōu)解。

2.人員配置問題：

答案：部門A分配5人，B分配4人，C分配3人。

解題思路：通過求解線性規(guī)劃模型，得到最小總工資支出的員工分配方案。

3.資源分配問題：

答案：購買材料A30噸，材料B20噸。

解題思路：通過求解線性規(guī)劃模型，得到最低總成本購買計劃。

4.生產計劃問題：

答案：生產產品150臺，產品233臺。

解題思路：通過求解線性規(guī)劃模型，得到最大總利潤的生產計劃。

5.優(yōu)化運輸問題：

答案：根據具體數據和模型，給出最優(yōu)運輸計劃。

解題思路：通過求解線性規(guī)劃模型，得到最低運輸成本計劃。

6.投資組合問題：

答案：根據具體數據和模型，給出最優(yōu)投資組合。

解題思路：通過求解線性規(guī)劃模型，得到最大預期收益和最小風險的投資組合。

7.貨物配送問題：

答案：根據具體數據和模型，給出最優(yōu)配送計劃。

解題思路：通過求解線性規(guī)劃模型，得到最低運輸成本配送計劃。

8.市場營銷問題：

答案：根據具體數據和模型，給出最優(yōu)推廣策略。

解題思路：通過求解線性規(guī)劃模型，得到最大總收益的推廣策略。二、非線性規(guī)劃1.多階段決策問題

題目：某公司計劃在未來五年內進行多階段投資，每個階段都有不同的投資選項和收益。請建立數學模型，考慮風險和回報，確定最優(yōu)的投資策略。

解題思路：使用動態(tài)規(guī)劃方法，將問題分解為多個階段，每個階段選擇最優(yōu)的投資方案，并保證整個投資過程中的總收益最大化。

2.靈敏度分析問題

題目：對于一個非線性規(guī)劃問題，已知目標函數和約束條件，要求分析目標函數中某個參數變化對最優(yōu)解的影響。

解題思路：通過改變目標函數中特定參數的值，觀察最優(yōu)解的變化，從而分析該參數對優(yōu)化結果的影響。

3.非線性方程求解問題

題目：求解非線性方程組\(f(x,y)=0\)和\(g(x,y)=0\)，其中\(zhòng)(f\)和\(g\)是非線性函數。

解題思路：采用數值方法，如牛頓法或割線法，逐步逼近方程組的解。

4.非線性不等式求解問題

題目：求解非線性不等式組\(h(x,y)\leq0\)和\(k(x,y)\leq0\)，其中\(zhòng)(h\)和\(k\)是非線性函數。

解題思路：使用非線性規(guī)劃方法，將不等式轉化為等式，并尋找滿足所有約束條件的解。

5.非線性規(guī)劃問題

題目：某工廠生產兩種產品，每種產品都有生產成本和銷售收益。請建立非線性規(guī)劃模型，確定生產數量以最大化總利潤。

解題思路：定義決策變量為每種產品的生產數量，構建目標函數為總利潤，并引入約束條件，如資源限制和市場需求。

6.隨機優(yōu)化問題

題目：考慮一個隨機優(yōu)化問題，其中目標函數和約束條件都包含隨機元素。要求建立數學模型，并找到期望值意義上的最優(yōu)解。

解題思路：使用隨機規(guī)劃方法，考慮隨機變量的概率分布，并使用期望值來評估目標函數。

7.優(yōu)化控制問題

題目：設計一個控制系統(tǒng)，使得系統(tǒng)狀態(tài)在給定時間內達到預設的目標值，同時滿足一定的約束條件。

解題思路：使用最優(yōu)控制理論，如龐特里亞金極大值原理，建立狀態(tài)方程和控制方程，求解最優(yōu)控制策略。

8.機器學習問題的

題目：使用機器學習算法（如支持向量機）對一組數據集進行分類，并評估模型的功能。

解題思路：選擇合適的機器學習算法，進行數據預處理，訓練模型，并通過交叉驗證等方法評估模型在測試集上的功能。

答案及解題思路：

答案：

1.使用動態(tài)規(guī)劃求解，得到每個階段的最優(yōu)投資方案。

2.通過改變參數值，觀察最優(yōu)解的變化，分析參數對優(yōu)化結果的影響。

3.使用牛頓法或割線法，逐步逼近方程組的解。

4.使用非線性規(guī)劃方法，將不等式轉化為等式，尋找滿足所有約束條件的解。

5.建立目標函數為總利潤，并引入約束條件，求解非線性規(guī)劃問題。

6.使用隨機規(guī)劃方法，考慮隨機變量的概率分布，求解期望值意義上的最優(yōu)解。

7.使用最優(yōu)控制理論，建立狀態(tài)方程和控制方程，求解最優(yōu)控制策略。

8.選擇支持向量機算法，進行數據預處理，訓練模型，評估模型功能。

解題思路簡要闡述：

1.對每個階段的投資方案進行動態(tài)規(guī)劃，保證整體投資收益最大化。

2.通過靈敏度分析，了解參數變化對優(yōu)化結果的影響，為決策提供依據。

3.采用數值方法逼近非線性方程組的解，保證解的準確性。

4.將非線性不等式轉化為等式，通過非線性規(guī)劃方法找到滿足所有約束條件的解。

5.通過構建目標函數和約束條件，求解非線性規(guī)劃問題，實現利潤最大化。

6.考慮隨機因素，使用隨機規(guī)劃方法找到期望值意義上的最優(yōu)解。

7.應用最優(yōu)控制理論，設計控制系統(tǒng)，使系統(tǒng)狀態(tài)達到預設目標。

8.使用支持向量機進行數據分類，并通過交叉驗證評估模型功能。三、整數規(guī)劃1.航班排班問題

題目：某航空公司需要為其航班安排機組人員，每個機組人員每周工作天數有限，且每個航班需要至少一名駕駛員和一名副駕駛員。請設計一個整數規(guī)劃模型，以優(yōu)化機組人員的排班，最小化總成本。

：

（1）定義決策變量和目標函數。

（2）列出約束條件。

（3）簡述求解模型的方法。

答案及解題思路：

答案：

決策變量：x_ij表示第i個機組人員在第j天工作。

目標函數：MinimizeZ=∑(i,j)c_ijx_ij，其中c_ij為第i個機組人員在第j天工作的成本。

約束條件：

每個機組人員每周工作天數不超過其限制。

每個航班至少有一名駕駛員和一名副駕駛員。

機組人員工作班次不能重疊。

解題思路：根據題目要求定義決策變量和目標函數，然后列出約束條件?？梢允褂梅种Фń绶?、割平面法等整數規(guī)劃求解方法來求解模型。

2.人力資源配置問題

題目：某企業(yè)需要為其不同部門分配員工，每個員工的工作時間有限，且每個部門需要滿足最小員工數量的要求。請設計一個整數規(guī)劃模型，以優(yōu)化員工在各部門的分配，最大化工作效率。

：

（1）定義決策變量和目標函數。

（2）列出約束條件。

（3）簡述求解模型的方法。

答案及解題思路：

答案：

決策變量：x_ij表示第i個員工在第j個部門工作的時間。

目標函數：MaximizeZ=∑(i,j)b_ijx_ij，其中b_ij為第i個員工在第j個部門工作的時間對公司效率的貢獻。

約束條件：

每個員工的總工作時間不超過其限制。

每個部門的最小員工數量要求。

解題思路：定義決策變量和目標函數后，列出約束條件?？梢圆捎谜麛狄?guī)劃求解方法，如動態(tài)規(guī)劃、分支定界法等。

3.產品組合問題

題目：某制造企業(yè)需要決定生產哪些產品，以最大化利潤。每個產品的生產成本和利潤已知，且生產一定數量的產品需要消耗特定的資源。請設計一個整數規(guī)劃模型，以確定最優(yōu)的產品組合。

：

（1）定義決策變量和目標函數。

（2）列出約束條件。

（3）簡述求解模型的方法。

答案及解題思路：

答案：

決策變量：x_i表示生產第i個產品的數量。

目標函數：MaximizeZ=∑(i)p_ix_i，其中p_i為第i個產品的利潤。

約束條件：

資源限制：∑(i)r_ijx_i≤R_j，其中r_ij為生產第i個產品所需的第j類資源，R_j為第j類資源的總量。

解題思路：根據題目要求定義決策變量和目標函數，列出約束條件?？梢圆捎谜麛狄?guī)劃求解方法，如單純形法、割平面法等。

4.庫存管理問題

題目：某超市需要為其不同商品進行庫存管理，每個商品的庫存成本和需求已知。請設計一個整數規(guī)劃模型，以確定最優(yōu)的訂貨數量，最小化總庫存成本。

：

（1）定義決策變量和目標函數。

（2）列出約束條件。

（3）簡述求解模型的方法。

答案及解題思路：

答案：

決策變量：x_i表示第i個商品的訂貨數量。

目標函數：MinimizeZ=∑(i)c_ix_i，其中c_i為第i個商品的訂貨成本。

約束條件：

每個商品的需求不超過其訂貨量。

庫存成本與訂貨數量成正比。

解題思路：定義決策變量和目標函數，列出約束條件。使用整數規(guī)劃求解方法，如動態(tài)規(guī)劃、分支定界法等。

5.資源分配問題

題目：某項目需要將有限資源分配給多個任務，以最大化項目完成效率。每個任務所需的資源量和完成效率已知。請設計一個整數規(guī)劃模型，以確定最優(yōu)的資源分配方案。

：

（1）定義決策變量和目標函數。

（2）列出約束條件。

（3）簡述求解模型的方法。

答案及解題思路：

答案：

決策變量：x_ij表示將第i個資源分配給第j個任務的量。

目標函數：MaximizeZ=∑(i,j)w_ijx_ij，其中w_ij為第i個資源分配給第j個任務的效率。

約束條件：

每個資源的總量不超過其限制。

每個任務所需資源量不超過其限制。

解題思路：定義決策變量和目標函數，列出約束條件。采用整數規(guī)劃求解方法，如動態(tài)規(guī)劃、分支定界法等。

6.電信網絡設計問題

題目：某電信公司需要設計一個網絡，以滿足用戶的需求，同時最小化建設成本。每個用戶的位置和需求已知，且網絡的建設成本與節(jié)點間的距離有關。請設計一個整數規(guī)劃模型，以確定最優(yōu)的網絡設計。

：

（1）定義決策變量和目標函數。

（2）列出約束條件。

（3）簡述求解模型的方法。

答案及解題思路：

答案：

決策變量：x_ij表示從節(jié)點i連接到節(jié)點j的線路。

目標函數：MinimizeZ=∑(i,j)c_ijx_ij，其中c_ij為從節(jié)點i連接到節(jié)點j的線路成本。

約束條件：

每個用戶的需求至少由一條線路滿足。

線路數量不超過網絡設計限制。

解題思路：定義決策變量和目標函數，列出約束條件。使用整數規(guī)劃求解方法，如分支定界法、割平面法等。

7.旅行商問題

題目：某旅行商需要訪問多個城市，每個城市的訪問費用已知，且旅行商只能訪問一次每個城市。請設計一個整數規(guī)劃模型，以確定最優(yōu)的旅行路線，最小化旅行總費用。

：

（1）定義決策變量和目標函數。

（2）列出約束條件。

（3）簡述求解模型的方法。

答案及解題思路：

答案：

決策變量：x_ij表示旅行商是否從城市i到城市j。

目標函數：MinimizeZ=∑(i,j)c_ijx_ij，其中c_ij為從城市i到城市j的旅行費用。

約束條件：

每個城市只能訪問一次。

旅行商必須從起點出發(fā)，最終回到起點。

解題思路：定義決策變量和目標函數，列出約束條件。采用整數規(guī)劃求解方法，如分支定界法、割平面法等。

8.路徑規(guī)劃問題

題目：某物流公司需要為其貨車規(guī)劃一條從起點到終點的最優(yōu)路徑，以最小化運輸成本。每個路段的長度和運輸成本已知，且貨車只能按照特定的路線行駛。請設計一個整數規(guī)劃模型，以確定最優(yōu)的路徑。

：

（1）定義決策變量和目標函數。

（2）列出約束條件。

（3）簡述求解模型的方法。

答案及解題思路：

答案：

決策變量：x_ij表示貨車是否從路段i行駛到路段j。

目標函數：MinimizeZ=∑(i,j)c_ijx_ij，其中c_ij為從路段i行駛到路段j的運輸成本。

約束條件：

貨車只能按照特定的路線行駛。

每個路段只能行駛一次。

解題思路：定義決策變量和目標函數，列出約束條件。使用整數規(guī)劃求解方法，如分支定界法、割平面法等。四、動態(tài)規(guī)劃1.資金時間價值問題

題目：某企業(yè)有一筆100萬元資金，預計在未來3年內進行投資。假設年利率為5%，請計算這筆資金3年后的價值。

2.項目評估問題

題目：某企業(yè)有兩個項目，項目A和項目B，預計收益

項目A：第1年收益30萬元，第2年收益40萬元，第3年收益50萬元。

項目B：第1年收益20萬元，第2年收益35萬元，第3年收益45萬元。

請使用動態(tài)規(guī)劃方法評估兩個項目的收益，并確定最優(yōu)投資策略。

3.生產調度問題

題目：某工廠有5臺機器，每天需要生產5種不同的產品，每種產品所需機器時間如下表所示：

產品機器1機器2機器3機器4機器5

產品12小時1小時3小時1小時2小時

產品21小時3小時1小時3小時1小時

產品33小時1小時2小時2小時3小時

產品42小時2小時1小時3小時2小時

產品51小時2小時2小時1小時3小時

請設計一個生產調度方案，使得總生產時間最小。

4.貨物運輸問題

題目：某物流公司需要將一批貨物從A地運送到B地，共有5個貨物，每個貨物的重量和體積如下表所示：

貨物重量（kg）體積（m3）

貨物12002

貨物21501

貨物33003

貨物42502

貨物51801.5

貨車的最大載重為1000kg，最大體積為8m3。請設計一個裝載方案，使得貨車的裝載效率最高。

5.機器維護問題

題目：某工廠有一臺機器，需要定期進行維護。維護周期

第1次維護：使用后立即進行，花費2小時。

第2次維護：使用后24小時進行，花費1小時。

第3次維護：使用后48小時進行，花費0.5小時。

機器的總使用時間為72小時，請設計一個維護方案，使得機器的停機時間最少。

6.股票投資問題

題目：某投資者有一筆100萬元資金，可以在A、B、C三個股票中進行投資。股票的預期收益率如下表所示：

股票預期收益率

A0.08

B0.10

C0.12

投資者希望在風險可控的情況下，實現收益最大化。請使用動態(tài)規(guī)劃方法設計投資策略。

7.貨幣兌換問題

題目：某人在甲國和乙國之間進行貨幣兌換，兌換比例

1甲國貨幣=1.5乙國貨幣

1乙國貨幣=0.5甲國貨幣

他在甲國有200甲國貨幣，請設計一個兌換方案，使得他擁有的乙國貨幣最多。

8.市場營銷問題

題目：某企業(yè)推出新產品，預計市場需求

第1年：100件

第2年：150件

第3年：200件

企業(yè)可以提前生產并存儲產品，存儲成本為每件5元。請設計一個生產計劃，使得總成本最小。

答案及解題思路：

答案及解題思路內容將在數學建模競賽試題集及答案解析中找到相應案例，具體內容涉及動態(tài)規(guī)劃的應用方法，如最優(yōu)子結構、狀態(tài)轉移方程等。請參考數學建模競賽試題集及答案解析中的具體案例進行解題。五、排隊論1.服務設施優(yōu)化問題

題目：

某餐廳共有10個就餐座位，顧客到達餐廳的平均間隔時間為10分鐘，每個顧客就餐平均時間為15分鐘。請設計一個排隊模型，優(yōu)化餐廳的服務設施，減少顧客等待時間。

解題思路：

建立顧客到達和就餐的隨機過程模型。

使用排隊論中的M/M/c模型進行描述，其中c為服務臺數（餐廳座位數）。

通過計算平均等待時間、平均排隊長度等指標，優(yōu)化餐廳座位數和服務策略。

2.貨物配送問題

題目：

某物流公司有5輛配送車輛，負責向10個不同的區(qū)域配送貨物。每個區(qū)域的需求量不同，配送時間也不一致。請建立一個排隊模型，優(yōu)化配送車輛的數量和配送路線，以減少配送總時間。

解題思路：

使用排隊論中的排隊系統(tǒng)模型，如M/M/1模型，來描述每個區(qū)域的貨物需求。

通過分析不同配送策略下的排隊長度和等待時間，優(yōu)化配送車輛數量和路線。

3.航班安排問題

題目：

某航空公司有10個航班，每天有不同數量的旅客需求。請建立一個排隊模型，以優(yōu)化航班安排，減少旅客等待時間和提高航班利用率。

解題思路：

使用排隊論中的排隊系統(tǒng)模型，如M/M/c模型，來描述旅客的到達和登機過程。

通過模擬不同航班安排下的排隊長度和等待時間，優(yōu)化航班安排策略。

4.人力資源配置問題

題目：

某醫(yī)院有100個床位，每天有不同數量的病人入院。請建立一個排隊模型，以優(yōu)化人力資源配置，減少病人等待時間和提高床位利用率。

解題思路：

使用排隊論中的排隊系統(tǒng)模型，如M/M/c模型，來描述病人的到達和入院過程。

通過分析不同人力資源配置下的排隊長度和等待時間，優(yōu)化人力資源配置。

5.電信網絡設計問題

題目：

某電信公司提供寬帶接入服務，每天有不同數量的用戶請求接入。請建立一個排隊模型，以優(yōu)化電信網絡設計，減少用戶等待時間和提高網絡利用率。

解題思路：

使用排隊論中的排隊系統(tǒng)模型，如M/M/1模型，來描述用戶的接入請求。

通過模擬不同網絡設計下的排隊長度和等待時間，優(yōu)化電信網絡設計。

6.資源分配問題

題目：

某工廠有3臺機器，每天有不同數量的訂單需要加工。請建立一個排隊模型，以優(yōu)化資源分配，減少訂單等待時間和提高機器利用率。

解題思路：

使用排隊論中的排隊系統(tǒng)模型，如M/M/c模型，來描述訂單的到達和加工過程。

通過分析不同資源分配下的排隊長度和等待時間，優(yōu)化資源分配。

7.庫存管理問題

題目：

某超市銷售某商品，每天有不同數量的顧客購買。請建立一個排隊模型，以優(yōu)化庫存管理，減少缺貨率和庫存成本。

解題思路：

使用排隊論中的排隊系統(tǒng)模型，如M/M/1模型，來描述商品的到達和銷售過程。

通過分析不同庫存管理策略下的排隊長度和等待時間，優(yōu)化庫存管理。

8.生產線調度問題

題目：

某生產線有5個加工站，每天有不同數量的產品需要加工。請建立一個排隊模型，以優(yōu)化生產線調度，減少產品等待時間和提高生產效率。

解題思路：

使用排隊論中的排隊系統(tǒng)模型，如M/M/c模型，來描述產品的到達和加工過程。

通過分析不同生產線調度策略下的排隊長度和等待時間，優(yōu)化生產線調度。

答案及解題思路：

1.服務設施優(yōu)化問題

答案：通過模擬分析，建議增加餐廳座位數至12個，并實施快速結賬服務以減少顧客等待時間。

解題思路：

建立排隊模型，模擬不同座位數下的等待時間和排隊長度。

分析快速結賬服務對減少等待時間的影響。

2.貨物配送問題

答案：建議根據區(qū)域需求量調整配送車輛數量，并優(yōu)化配送路線，以減少配送總時間。

解題思路：

建立排隊模型，模擬不同配送策略下的等待時間和排隊長度。

分析不同配送車輛數量和路線對總時間的影響。六、存貯論1.庫存控制問題

題目：某電商公司銷售一種電子產品，需求量為每月1000臺，采購成本為每臺200元，單位存儲成本為每臺每月10元，缺貨成本為每臺每月20元。假設市場需求穩(wěn)定，試建立數學模型，確定最優(yōu)的訂貨量和訂貨周期。

2.供應鏈優(yōu)化問題

題目：某供應鏈由供應商、制造商和分銷商組成。供應商每月供應能力為1000件產品，制造商每月生產能力為800件產品，分銷商每月需求量為600件產品。假設各環(huán)節(jié)的運輸成本和存儲成本分別為每件1元和0.5元，試建立數學模型，優(yōu)化整個供應鏈的成本。

3.資源分配問題

題目：某工廠有三種資源，分別為原材料、勞動力、設備，分別可以分配到A、B、C三條生產線。各生產線對三種資源的需要量如下表所示：

生產線原材料勞動力設備

A200150100

B100200150

C150100200

已知各資源的總供應量分別為：原材料500噸，勞動力300人，設備200臺。試建立數學模型，確定最優(yōu)的資源分配方案。

4.貨物配送問題

題目：某物流公司負責將100噸貨物從倉庫A配送至三個倉庫B、C、D。各倉庫之間的距離和運輸成本如下表所示：

倉庫ABACADBCBDCD

成本10元/噸15元/噸20元/噸5元/噸10元/噸15元/噸

試建立數學模型，確定最優(yōu)的貨物配送方案。

5.電信網絡設計問題

題目：某電信公司計劃建立一個覆蓋全國的網絡，現有100個基站可供選擇。每個基站的覆蓋范圍和建設成本如下表所示：

基站編號覆蓋范圍（公里）建設成本（萬元）

1100100

28080

1005050

試建立數學模型，確定最優(yōu)的基站選址方案，以最小化建設成本。

6.人力資源配置問題

題目：某公司有300名員工，分為研發(fā)、銷售、行政三個部門。各部門對員工數量的需求如下表所示：

部門需求人數

研發(fā)100

銷售150

行政50

試建立數學模型，確定最優(yōu)的人力資源配置方案。

7.生產計劃問題

題目：某制造企業(yè)生產一種產品，生產周期為一個月，市場需求量為1000件。企業(yè)每月可生產1200件產品，單位生產成本為50元，存儲成本為每件每月2元。試建立數學模型，確定最優(yōu)的生產計劃。

8.市場營銷問題

題目：某品牌手機市場占有率為10%，市場增長率為每年5%。公司計劃通過廣告投放提升市場占有率，廣告成本為每元廣告費用帶來0.1%的市場占有率提升。試建立數學模型，確定最優(yōu)的廣告投放策略。

答案及解題思路：

答案：

1.通過建立經濟訂貨批量模型（EOQ），可得最優(yōu)訂貨量為Q=√(2DS/H)，其中D為需求量，S為每次訂貨成本，H為單位存儲成本。代入數據計算得到Q。

2.建立線性規(guī)劃模型，目標函數為總成本最小化，約束條件為供應鏈各環(huán)節(jié)的生產能力、需求量和資源供應量。求解模型得到最優(yōu)解。

3.建立線性規(guī)劃模型，目標函數為總成本最小化，約束條件為資源供應量限制和生產線需求量。求解模型得到最優(yōu)解。

4.建立整數規(guī)劃模型，目標函數為總運輸成本最小化，約束條件為各倉庫的貨物需求和運輸能力。求解模型得到最優(yōu)解。

5.建立線性規(guī)劃模型，目標函數為總建設成本最小化，約束條件為基站覆蓋范圍和建設成本。求解模型得到最優(yōu)解。

6.建立線性規(guī)劃模型，目標函數為總成本最小化，約束條件為各部門需求量和員工總數。求解模型得到最優(yōu)解。

7.建立線性規(guī)劃模型，目標函數為總成本最小化，約束條件為市場需求量和生產能力。求解模型得到最優(yōu)解。

8.建立線性規(guī)劃模型，目標函數為市場占有率最大化，約束條件為廣告成本和市場增長率。求解模型得到最優(yōu)解。

解題思路：

1.分析問題，明確目標函數和約束條件。

2.建立相應的數學模型，如線性規(guī)劃、整數規(guī)劃等。

3.利用數學軟件求解模型，得到最優(yōu)解。

4.分析結果，驗證模型的可行性和有效性。七、概率論與數理統(tǒng)計1.抽樣調查問題

題目：

某城市居民對公共交通滿意度調查。隨機抽取1000名居民，調查結果顯示有600人表示對公共交通滿意。請根據此數據，估計該城市居民對公共交通滿意度的95%置信區(qū)間。

答案：

置信區(qū)間為（0.576，0.624）。

解題思路：

使用正態(tài)近似法計算置信區(qū)間。首先計算樣本比例的樣本標準誤，然后根據t分布查找對應于95%置信水平的t值，最后計算置信區(qū)間。

2.數據分析問題

題目：

某公司生產一批電子元件，隨機抽