2024-2025學(xué)年河南省濮陽(yáng)市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年河南省濮陽(yáng)市高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知直線的勺傾斜角為竽，且1經(jīng)過點(diǎn)(-1,2),貝〃的方程為()

A.%+y+3=0B.%+y—1—0C.2x—y+4=0D.2x+y=0

2.在空間直角坐標(biāo)系中，直線/過點(diǎn)4(1,0,-1)且以A=(3,2,4)為方向向量，M(x,y,z)為直線/上的任意一點(diǎn),

則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式是()

.x—1yz+1%+1yz—1

234324

-x-1yz+1cx-1yz+1

C--=2=-D--=4=^-

3.若圓C過P(l,4),Q(3,4)兩點(diǎn)，則當(dāng)圓C的半徑最小時(shí)，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-2)2+(y-4)2=4B.(%+2)2+(y+4)2=1

C.(x+2)2+(y+4)2=4D.(%—2)2+(y-4)2=1

4.在四面體中，M為棱CD的中點(diǎn)，E為線段的中點(diǎn)，若靛=+b麗+c瓦?，貝哈=()

A.~B.1C.2D.3

5.若直線Z：。%-"一4=0與圓。：/+丫2=4相離，則點(diǎn)P(q力)()

A.在圓。外B.在圓。內(nèi)C.在圓。上D.位置不確定

6.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)P(2,l),且與圓C：(%+1)2+3—2)2=9相交于4B兩點(diǎn),若=2,則直線珀勺方

程為()

A.x—y—1=0或7久+y—15=0B.x—2y=0或7%+y—15=0

C.4%+3y—11=0或3%+4y—10=0D.4x—3y—5=0或3%—4y—2=0

7.曲線%2+y2=41%|+4|y|的周長(zhǎng)為()

A.4”〃B.8也冗C.127rD.167r

第1頁(yè)，共9頁(yè)

8.如圖，在多面體EF-力BCD中，底面力BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，M為底面4BCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括邊界

),4E1底面ABC。，CF1底面ABC。，且4E=CF=2,則靛?標(biāo)的最小值與最大值分別為()

A.%4人

乙11*

/I!!*'\\

B.3,4/：：?

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求。

9.若值及工｝構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是()

一T—T

A.a,b,a+c

B.b—2c,c—2a,2。一，

C.a—b,b—cc—b-a

—>—>—>—>—>—>7

D.b—a—c,c—2a+2b,c

10.已知直線/的方程為a久一y-a=0,N(3,3),則下列結(jié)論正確的是()

A.點(diǎn)M不可能在直線，上

B.直線/恒過點(diǎn)(1,0)

C.若點(diǎn)M,N到直線Z的距離相等，則a=2

D,直線/上恒存在點(diǎn)Q,滿足麗-NQ=0

11.如圖，在三棱錐4-BCD中，BD1BC,AB_L平面BCD,AB=BC=BD=2,E,F,G,”分別為

AB,BD,BC,CD的中點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，N是線段GH上的動(dòng)點(diǎn)，貝lj()

A

A.存在a>0,b>0,使得'麗=癡+b族

/I

/I

B.不存在點(diǎn)M,N,使得MN1EH/;E\

C.|麗的最小值為弓/點(diǎn)廣"F

D.異面直線4G與EF所成角的余弦值為%

nL--

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在空間直角坐標(biāo)系。rvyz中，點(diǎn)P(a,0,26-3)與Q(a,0,b)關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

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13.若圓C：(久-2)2+(y—1)2=1關(guān)于直線5+2by+2=0對(duì)稱，則點(diǎn)(a,b)與圓心C的距離的最小值是

14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)

4(2力1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)2(-7,0),B為直線I：2久+y+3=0上的

動(dòng)點(diǎn)，P為圓C：Q—2)2+y2=9上的動(dòng)點(diǎn)，則伊用+3|P2|的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

己知圓C的圓心在直線y=2x和直線2久+y-4=0的交點(diǎn)上，且圓C過點(diǎn)(-1,1).

(1)求圓C的方程；

(2)若圓B的方程為久2+y2-4x+4y+3=0,判斷圓B與圓C的位置關(guān)系.

16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，四邊形力BCD是矩形.PA=AB=2,AD=4,PB=2^2,PD=2逆,N為CD的

中點(diǎn).

(1)證明：PA1BN；

(2)求直線4B與平面PBN所成角的正弦值.

17.(本小題12分)

已知直線/：x—y—1=0.

(1)若直線機(jī)與I平行，且小，/之間的距離為2避，求機(jī)的方程；

(n)P為1上一點(diǎn)，點(diǎn)M(l,-2),N(2,6),求|PN|—|PM|取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

18.(本小題12分)

如圖，在斜三棱柱ABC—&B1C1中，平面/MiCiC1平面2BC,△2BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，44i=①

C,。為"的中點(diǎn)，且41。=2,。為&C的中點(diǎn)，E為4D的中點(diǎn)，麗西.

(1)設(shè)向量五為平面ABC的法向量，證明：EF-a=0；

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⑵求點(diǎn)4到平面BCD的距離；

(3)求平面BCD與平面B1DC夾角的余弦值.

19.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(A,B)=max{\x1-x2],為兩點(diǎn)入。1，%)，了(久2)2)的“切比雪夫距

離”，又設(shè)點(diǎn)P及直線Lt任意一點(diǎn)Q,稱d(P,Q)的最小值為點(diǎn)P到的“切比雪夫距離”，記作d(P,?

(/)已知點(diǎn)P(3,l)和點(diǎn)R(—l,4),直線/：x=1,求d(P,R)和d(P1).

(II)已知圓C：x2+y2-2x-3=0和圓E：(x-a)2+(y-a+|尸=華.

(i)若兩圓心的切比雪夫距離d(C,E)=|,判斷圓C和圓E的位置關(guān)系；

(花)若a>0,圓E與％軸交于M,N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在圓C外，且d(M,N)=3,過點(diǎn)M任作一條斜率不為。的

直線與圓C交于4B兩點(diǎn),記直線2N為人，直線8N為L(zhǎng)證明：d(M,A)=d(M]2),

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參考答案

1.5

2.C

3.0

4.C

5.B

6.A

7.B

8.4

9.BD

1Q.ABD

ll.BCD

12.(0,0,1)

13.2#

14.38

15.解：(1)已知圓C的圓心在直線y=2x和直線2x+y-4=0的交點(diǎn)上,

聯(lián)立{/1=0，

得口

即圓心坐標(biāo)為(1,2),

又圓(7過點(diǎn)(-1,1),

所以J1-(-1)(+(2-1)2=75,

所以圓C的方程為(乂一1)2+(y-2尸=5.

(2)由(1)知，圓C的圓心為C(l,2),半徑阻=G,

圓B的方程式2+y2-4x+4y+3=0可化為(%-2)2+(y+2)2=5,

則圓8的圓心為B(2,—2),半徑「2=在.

因?yàn)閨CB|={(1-2)2+(2+2)2=y/17,

所以。=r1-r2<\CB\<r1+r2=2逆，

所以圓C與圓B相交.

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16.1?：(1)證明：PA=2,PD=2gAD=4,

PD2=PA2+AD2,

PA1AD,

■：PA=AB=2,PB=2語(yǔ)

???PB2=PA2+AB2,

PA1AB,

???ABCAD=A,AB,ADu平面力BCD,

.-.PA1平面力BCD,

又BNu平面4BCD,

PA1BN.

(2)?；四邊形力BCD是矩形，AB1AD,

???PA1平面力BCD,AB,ADu平面ABC。，

PA1AB,PA1AD,

以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB,AD,2P分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

貝必(0,0,0),5(2,0,0),N(l,4,0),P(0,0,2),

???AB=(2,0,0),麗=(-1,4,0),BP=(-2,0,2).

設(shè)平面PBN的法向量為元=(久,y,z),

?1BN-BN=—x+4y=0

則笈1薩貝ng?麗=—2x+2z=0，

令y=L可得尤=4,z=4,

平面PBN的一個(gè)法向量為：=(4,1,4).

設(shè)直線4B與平面PBN所成的角為仇

,12x4+°xi+°x4|_4用

AJSm0-\AB\\n\~2xW+N+42--才，

.-■直線48與平面PBN所成角的正弦值為續(xù)1

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17.解：(/)由直線m與I平行，設(shè)直線小的方程為久-y+C=0(C力-1),

由小，/之間的距離為2",得半:瀉5=2?解得C=—5或C=3,

所以直線ni的方程為x—y—5=0或無一丫+3=0；

(II)設(shè)點(diǎn)”(1,—2)關(guān)于直線/：x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為M'(a,6),

fa+1b-21

---------1=0

則2,解得a=—l,6=0,即"(—1,0),

----——1

.d—1

而|PN|—|PM|=\PN\-\PM'\<\NM'\,當(dāng)且僅當(dāng)P,M',N三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

直線NM'的方程為y—0=+1)，即2x—y+2=0,

將直線I的方程與直線NM'的方程聯(lián)立方程組，解得x=-3,y=-4,點(diǎn)P(-3,-4),

所以|PN|-|PM|取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(-3,-4).

18.解：(1)證明：如圖，連接8。，

,**AA?=j'''A.\O_LACi

,平面a&CiC_L平面4BC,平面4aleiCn平面ABC=AC,41。u平面aa?。，

.?.41。1平面力BC,

???△力BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

BO1AC,BO=平.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OB,OC,。公分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

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則。(0,0,0),X(0,-l,0),

B(居0,0),C(0,1,0)/1(002),2)刀(0,)1),E(0,一；［),

zq乙

兩=(0,0,2)是平面ABC的一個(gè)法向量，令之=西.

?兩=(0,1,2),二而=［西=,

???/(木曷)，,加=(避2,。)，

EF-a=^/3x0+-1x0+0x2=0.

(2)XC=(0,2,0),FC=(-73,1,0),CD=

設(shè)平面BCD的法向量為何=(%,y,z),

fmlBC(m-Jc=-^x+y=0,

人n“l(fā)方1CD,CD=-1y+z=0,

令久=2,可得2y/^,Z—道，

???平面BCD的一個(gè)法向量為m=(2,24,避)，

點(diǎn)2到平面BCD的距離為4=隼抖=1

\m\也2+(2炳2+(A/3)2

(3)西=(3,0,2),

設(shè)平面/DC的法向量為元=(a,b,c),

皿伍1兩皿8.㈤=+2c=0,

人“亮1CD，人“三,而=-如+c=0,

令a=2,可得b=—2-^/3,c=—避，

???平面BiDC的一個(gè)法向量為ri=(2,-2^/3,—A/3),

由(2)可知平面BCD的一個(gè)法向量為為=(2,23,避)，

設(shè)平面BCD與平面/DC的夾角為仇

川?:12X2-2J3義2x?3|_____________11

'C°S一|n||m|-J22+(-2,/3)2+(-73)2X+(2,/3)2+(V3)2-育

???平面BCD與平面/DC夾角的余弦值為總

19.解：(/)根據(jù)切比雪夫距離的定義，設(shè)2上任意一點(diǎn)為Q(-l,y),

d(P,R)=max［\l+1|,|1-4|)=max{2,3}=3.

則d(P,Q)=max{\l4-1|,|1-y|}=max{2,|1-y|}.

當(dāng)|1—y|22時(shí)，d(P,Q)=|l-y|>2；

第8頁(yè)，共9頁(yè)

當(dāng)|l-y|<2時(shí),d(P,Q)=2,

d(P,Q)的最小值為2,故d(P])=2.

(n)(i)由題可知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)2+y2=4,圓心為C(l,。)，半徑勺=2.由圓E的方程知圓心為

半徑「2=了

3

d(C,E)=max{\a-l\f\a--\].

當(dāng)|a—1|>la—即Q之3時(shí)，由d(C,E)=|a—1]=|>解得a=|>

???磯|,0).