2024-2025學年高二年級上冊期末數(shù)學模擬卷（含答案）

2024-2025學年高二數(shù)學上學期期末模擬卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本

試卷上無效。

3.測試范圍:人教A版2019選擇性必修第一冊+選擇性必修第二冊第4章（空間向量與立體幾何+直

線與圓+圓錐曲線+數(shù)列）。

4.難度系數(shù)：0.65。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.過點（1,0）和點（0,1）的傾斜角為（）

A.45°B.60°C.135°D.150°

2.數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，&5=14,<19=26,記$9是｛飆｝的前9項和,則（）

A.as=8,S9=154B.a3=5,S9=154C.a3=5,S9=126D.a3=8,S9=126

3.如圖，在直三棱柱ABC—4BiG中，分別為棱的中點.設(shè)國=a，麗=b,萬方=c，則

坊=（）

A.-1-a+b+-1-cB.-ya++cC.a++~^~cD.b+-1-c

4.在平面內(nèi)，A,B是兩個定點，。是動點，若Z3?月方=1,則點。的軌跡為（）

A.圓B.橢圓C.拋物線D.直線

5.閱讀下面材料:在空間直角坐標系Oxyz中，過點口如現(xiàn),為）且一個法向量為方=（a,b,c）的平面a的方

程為。（劣一g）+b（y—yo）+c（z—z0）=0,過點P（g,%,z（））且方向向量為日=（u,v,w）（uvw^O）的直線，

的方程為七殛=竺&=.根據(jù)上述材料，解決下面問題:直線I是兩個平面。-2夕+2=0與2c

UVW

—z+l=0的交線，則（）是，的一個方向向量.

A.（2,1,4）B.（1,3,5）C.（1,-2.0）D.（2,0,-1）

【數(shù)學試卷第1頁（共12頁）】

6.設(shè)F為拋物線。:靖=4c的焦點，點A在。上，點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=()

A.2B.272C.3D.3V2

7.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛aj滿足：5+CI2+<23+<24=4Q+ct6+07+a8=8,則Si6=()

A.60B.32C.15D.20

8.如圖,正方體ABCD-ABQQi的棱長為1,中心為O,屈昆，N商葉鼻丸則四面體OEBF的

體積為

1c]

D，96

24.48

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.已知雙曲線。:力—靖=1的實軸長是虛軸長的3倍,則下列關(guān)于雙曲線C的說法正確的是

m

D.離心率為2g

A.實軸長為6B.虛軸長為2C.焦距為22

1O已知數(shù)列｛%｝滿足?=3,3*1=2a”+2,則)

A-22

A.&3=瓦B.數(shù)列｛log￡an—2)｝是等差數(shù)列

3

C.數(shù)列+的最小項為4D.｛a?”｝的前n項和為—信)]+2n

n.在正三棱柱ABC—AB1G中，AB=441=1,點P滿足而=4熬+〃麗，其中ae[0,1],則

()

A.當4=1時，ZVLBF的周長為定值

B.當〃=1時,三棱錐P—4B。的體積為定值

C.當4號時，有且僅有一個點P,使得4PLBP

D.當〃■時，有且僅有一個點P,使得48,平面ABF

三、填空題：本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.記Sn為等差數(shù)列｛冊｝的前n項和.若2s3=3S2+6,則公差d=.

13.在正三棱柱ABC-4瓦&中，AB=2,44]=方,則異面直線AB,與BC,所成角的大小為.

14.已知橢圓+￡=l(a>6>0)的左焦點為F,過原點的直線與橢圓。交于4B兩點，|AF|=

a?bz

2|BF|,乙495=等，則橢圓C的離心率為

O

【數(shù)學試卷第2頁(共12頁)】

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)A4BC三個頂點的坐標分別是A(5,1),B(7,—3),。(2,—8).

(1)求外接圓的方程；

(2)若圓。與直線c+?/—2=0交于兩點，求的弦長.

16.(15分)如圖，在正方體ABCD-ABQQi中，AB=1,河為平面ABBXAX的中心.

(1)求證：DVM//平面BCQ；

(2)求點A到平面BCQ的距離.

17.(15分)己知數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”,且Sn=2an-l.

(1)證明:數(shù)列｛@｝為等比數(shù)列；

⑵求和：—+—^―+—^―+…+"二1.

"rian_ian_2Qi

【數(shù)學試卷第3頁(共12頁)】

18.（17分）如圖，四棱錐P—ABCD中，RI_L平面4BCE>,4B_L=4B=AC=

(1)若AD=DC,求證:平面_R4O_L平面PCD；

(2)若AD=,PB中點為E,試問在棱CD上是否存在點Q,使PQ，AE,若存在，指出點Q位置，若

不存在說明理由；

(3)若R4=2,PD與平面PBC成角大小30°,求。。邊長.

19.(17分)已知中心在原點,焦點在立軸上的橢圓G與雙曲線G有共同的焦點E、E，出周=6遍，G的長

半軸與G的實半軸之差為4,離心率之比為3:7.

(1)求這兩條曲線的方程；

(2)求曲線Q以點加(4,2)為中點的弦所在直線的方程；

⑶若P為兩條曲線的交點，求/瓦?國的余弦值.

【數(shù)學試卷第4頁(共12頁)】

參考答案

1.C

【解析】過點（1,0）和點（0,1）的直線的斜率k=臂5=-1,設(shè)傾斜角為明則tana=—1,因為0。&aV

180°,所以a=135°.

故選：C

2.D

【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,則ag—as=4d=26—14=12nd=3,

則CZ3=as—2d=14—6=8,S9=9a5=126.

故選：。

3.D

【解析】在直三棱柱ABC-ABiG中，E,F分別為棱AB,4G的中點，

EF-EA+AAi+A-^F-AC=BA.+BB1+（BC—BA）=c.

故選：。

4.A

【解析】設(shè)2Q（Q>0），以AB中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，

則:一（—Q,0）,B（Q,0）,設(shè)。（力出），可得:AC=Q+a,g）,8C=（劣一a,g）,

從而：AC-BC=（力+a）（力一Q）+y1,

結(jié)合題意可得：（%+a）（力—a）+好=1,整理可得：a；2+?/2=a2+1,

即點。的軌跡是以AB中點為圓心，向TT為半徑的圓.

故選：A.

5.A

【解析】同理可得平面力一2沙+2=0與2/-2+1=0的一個法向量為元=（1,—2,0）和范=（2,0,—1）,

設(shè)直線％的一個方向向量為范=（，,2/,2）,則［”,上：：—2夕：1不妨取，=2,則兀=（2,1,4）,

\rn12?TLQ—z—U

故選：A

6.B

【解析】由題意得，F(xiàn)（L0）,則|4F|=|BR|=2,即點A到準線力=—1的距離為2,所以點4的橫坐標為

一1+2=1,不妨設(shè)點幺在力軸上方,代入得，4（1,2）,所以|48|=了（3—1）2+（0—2）2二22.

故選：B

7.A

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛@｝的公比為Q.由電+。2+。3+。4=4,05+。6+。7+。8=8,

可得恁+期+劭+。8=+電+。4）=4q4=8,因0,解得q4=2.

貝US16=（。1+。2+。3+。4）+（。5+。6+。7+。8）+（。9+。10+all+。12）+（。13+。14+。15+。16）

【數(shù)學試卷第5頁（共12頁）】

=4+4Q4+4Q8+4Q12=4X(1+2+22+23)=60.

故選：A.

8.D

【解析】以D為坐標原點，分別以D4、OC、所在直線為。、y、z軸建立空間直角坐標系，則

。（/斗弓）B（LL。）㈤

無=借,-13）,西=（/方,-J）,則?無1=],|函=乎，|函=卷,

/.cosZBOE=

\OB\\OE\

：.ABOEC(與,n),sin/BOE=.：.S^OEB=《OB?OH?sin/BOE=-.

v2792lo

設(shè)平面OEB的一個法向量為n=（力,9,z），

n-OE=-^x—與g+卷z=0

由取z=1,得4=仕

n-OB—^z—0

又說=（—J,0,0）,F到平面OEB的距離無=匠即=嚕,

'2'同52

/.四面體OEBF的體積V=4x嚓乂噂=熹.

3165296

故選：D

9.AB

【解析】由雙曲線方程/--g2=i可知館＞0,且。=Vm,b=1,由題意，a=3b,代入解得：館=9,故實軸

m

長為2a=2A/9=6,虛軸長為2b=2,故4項，_B項都正確；

焦距2c=2〃9+1=2V10,故C項錯誤；禺心率為e=—=，故D項錯誤.

故選：AB.

10.ABD

【解析】由3冊+1=2冊+2=>3an+i-6=2an+2—6^°“十］:2

“一23

因此2｝是以3—2=1為首項，公比為。的等比數(shù)列，因此有

o

/Q\n-1/Q\n—1

&一2=（百）=&九=（百）+2.

A：因為Q3=（春）+2=岑■，所以A正確；

_B：因為log|（an+i—2）—log|（an-2）=log|（-^-）-log普信）

所以數(shù)列|log|（an-2）｝是等差數(shù)歹!J,因此B正確；

—+既人信）”+2+（勤”“"＜7+2=4，

當且僅當（4）”=得）"時取等號，即當九=0時取等號，因為九是正整數(shù),

O乙

所以上述不等式等號不成立，即冊+1+（等『＞4,所以。錯誤，

【數(shù)學試卷第6頁（共12頁）】

2aL2_n

■D：因為a2n=）+2,所以｛a2n｝的前n項和為-......#----F2n—-I+2",所以D正

\3/i_A5L'9，」

9

確；

故選：ABD

11.BD

【解析】易知，點P在矩形BCGB內(nèi)部（含邊界）.

對于4當4=1時，屈=反5+〃國=反?+〃點,即此時PC線段CG，ZVLBF周長不是定值，故A

錯誤；

對于B,當〃=1時，麗=掂方+國=麗+店方,故此時P點軌跡為線段BG，而BG〃BC,

BiG〃平面4BC,則有P到平面A.BC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

對于。，當4=:時，反5=］瑟+〃函，取中點分別為則加=的+〃?，所以P點

軌跡為線段QH,不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，4（斗,O,I）,P（O,O,〃），B（O,：,O）則4?

=（—平，0，〃—1），反5=（。，—?麗=4（〃—1）=°，所以〃=0或〃=1?故"，Q均滿足，故。

錯誤；

對于。，當〃■時，麗=4反?+方麗，取BBi，CG中點為MN.麗=豳+劉爾，所以P點軌跡

為線段AW.設(shè)P（O,go,］）,因為,0,0）,所以AP=（一J）,AtB=（一一1），所以

-|-+y?/o-y=0nlyo=一"，此時P與N重合，故。正確.

故選：

12.2

【解析】由2s3=3S2+6可得24+。2+。3）=34+Q2）+6,化簡得2四=QI+電+6,

即2（電+2d）=2QI+d+6,解得（1=2.

故答案為：2.

13—

.2

【解析】分別取BC,BG的中點QQ,連接AO,OC\，由正三柱性質(zhì)可知AO±30,00,1.BC,AO±

OO1，

以O(shè)為坐標原點，0408001所在直線分別為力,軸建立空間直角坐標系,如下圖所示：

【數(shù)學試卷第7頁（共12頁）】

由AB=2,人4=2可得4（質(zhì),0,0）,3（0,1,0）,31（0,1,2）,G（。,一1,2），

所以涵=（-V3,1,V2）,BG=（0,—2,2）,

又c°s〈逅，亟〉=萼雷=粽考|=0,且〈函，的〉C［0,汨；

|AB』30V6xV6

所以〈電，屬〉=*.

故答案為：專

14.4

【解析】設(shè)月是橢圓。的右焦點，連接A月，地，

由對稱性可知：|Q4|=|OB|,|OF|=Q區(qū)|,則四邊形E4EB為平行四邊形,

則|4匈=\BF\,即|AF|=2g圖，且/FA?=看,

O

因為|AF|+\AF,\=3|月月|=2a,則\AF,\=^-a,\AF\=《a,

在△孔鉆中，由余弦定理可得\FF^=\AF^+\AFf-2|人月|?\AF\-cos/丑4號

即4c2=熹?+￥&2—2x，x言ax],解得鳥=白，所以橢圓°的離心率為6=2=乎.

99332a2oa3

故答案為：斗.

O

15.(1)設(shè)(re—a)2+(y—b'f—r2,(1分)

f(5-a)2+(l-6)2=r2

則有(7-a)2+(-3-6)2=r2,……(3分)

[(2-a)2+(-8-6)2=r2

（a=2

解得｛b=—3...（5分）

［產(chǎn)=25

所以AABC外接圓的方程為0—2）2+5+3）2=25.……但分）

（2）圓心（2,—3）至?。葜本€2+V一2=0的距離＜1=3f,半徑r=5...（10分）

【數(shù)學試卷第8頁（共12頁）】

所以釁■=，^二源=、再=與，……（12分）

得=……（13分）

16.（1）解法一：以A為坐標原點，AD所在直線為立軸，4B所在直線為y軸，AA,所在直線為z軸建立如圖

所示的坐標系.

???B(0,1,0),G(l,1,1),M(0,(,專),0(1,0,0),01(1,0,1),.?.的=(1,0,1),由=(1,—1,0),豳=

設(shè)面BGD的法向量為日=（a,b,c）」?"的，打麗,憶[J；,令a=l,則b=l,c=T,."=

(1,1,—1)，

D[M,n——1X1H■"X1+(—)X(—1)=0,方_1_D]M且D、M5平面BC1D,

.?.。1刊〃平面3。1。；

解法二:如圖，連接D.B?AB?AD,,

DQHBXB且DQ=瓦3,平行四邊形DD^B中，D.BJ/DBQBd平面BC.D,：.口場〃平面

BCQ,

同理，DXA//GB,則D.A〃平面BCQ,且。島CDXA=,平面D.B.A〃平面BCQ,

又河為入耳的中點，.?.RA1U平面。耳4,.?.。1河〃平面BCQ；

解法三：連接CD.交CQ交于點N,連接A.B,

???河為平面ABBA的中心?是力田的中點，???AN/BC,四邊形ARCB是平行四邊形,

/.A,B〃DC,人田=DQ,?加是的中點，N是GA的中點，

:.BM〃ND、，BM=ND],：.四邊形BJMDW是平行四邊形，。加〃NB,

【數(shù)學試卷第9頁（共12頁）】

1/D1Md平面BCQ,?:NBc平面BCXD,：.DXM//平面BCQ.

⑵解法一:設(shè)2到面BCQ的距離為d,D^D=（0,0,-1）,：.d=1J1=/1=浮.

|n|"1+1+13

解法二:設(shè)Di到面BC.D的距離為d,DB=V2,SDiDCi=yxlxl=^-,SBC1D=^BD-BC1Sin60°=乎,

由=VB-DQGI得SBC1D,d=《Sp”!?。,解得d=.

17.2時,an—Sn—Sn-i=2an—1—（2an-i-1）=2an—2。九一1，有an=20n_i，..........（3分）

又九=1時，Ql=Si=2qi—1,有a1=1#0,.........（5分）

所以數(shù)列｛斯｝是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列.……（6分）

⑵由⑴得數(shù)列｛aj的通項公式冊=2時】⑺GN*）,……（7分）

設(shè)瑪=工+工++…+四口

Qi

a^—icin—2

則丁=——1__J2——L_II2n—3,2n—1①

7Jn2n-12n-22n-3+…?、?/p>

2北=/+3+占+…+巖+2（2九—1）②（10分）

①一②得:

—北=*+2（*"…—2（2九一1）

=2（5+-^+^—+--+—+————4n+2

2m—22n—3212。2九—1

=6—4n------.......（14分）

2九-1

瑪=4九—6?（15分）

18.（1）因為以，平面ABCD,AD,CDu平面ABCD,所以24_L人。,24_1CD,……（1分）

又PD=，^R4,所以PD=，^B4=V^AD,

,:AD=CD,PD=AC：.AC=6CD=6AD,

：.AC2=GD?+AD2,：.ADYCD……（3分）

AD±CD,PA±CD,又PADAD=4B4,AOu平面B4O

所以CD，平面MO,……（4分）

又CDu平面PCD,所以平面PAD，平面PCD.……（5分）

（2）因為24，平面ABCD,AB±A。,所以AP,AB,AC兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系

設(shè)PA=1,則AD—CD—1,AC—AB—V2,

則6（2,0,0）,。（0,2,0）,。（0,0,1）,。（一卓,卓,0）,后（空,0,4）……（7分）

設(shè)就=4而；16[0,1],

???麗=環(huán)+4皮=（—空,§,—1）+,卓,卓,0）=（鳥僅_1）,多僅+1）,—1）

施=（亨,吟），……（8分）

假設(shè)存在P滿足PQLAE,因為PQ,等價于麗?M=0,……（9分）

解得;1=20[0,1],（1分）所以不存在……（10分）

（3）因為Q4=2,所以AD=2,AC=4B=22,

【數(shù)學試卷第10頁（共12頁）】

Zk

D

F(0,0,2),B(2A/2,0,0)C(0,2V2,0),=(2V2,0,-2),FC=(0,2A/2,-2)

設(shè)D(a,b,0),其中QV0,b>0,又<AD=2a2+fe2=4,PD=(a,b,—2),

設(shè)平面PBC法向量右=Q,/z),依題意產(chǎn)絲=°,即仁駕葭=：

[m-PC=0[2V2y-2z=0

令2=方則力=沙=1,所以眉=（1,1,，^）,.......（12分）

因為PD與平面PBC成角大小30°,所以sin30"=|cos〈屈，諭|=，警*「

\PD\\m\

：.《="I2四：.a+6=0或a+b=4^/2,........（13分）

22V2X2

即以啜.?反=（笈⑸二|反|=2……（15分）

[az+b—4：Ib="2

又卜士，此方程組無解……（16分）

[a2+b—4

綜上可得。。=2.……（17分）

19.