2024-2025學(xué)年湖北省高二年級上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.復(fù)數(shù)z=(l+i)’的共輾復(fù)數(shù)彳=（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

2.如圖，VN5C斜二測畫法的直觀圖是^A'B'C,AHB'C'的面積為那么V/8C的

面積為（）

22

2

C.4D.2

3.在VN5C中,設(shè)AB-a,AC=b,若。是線段8C中點,AE=2ED,貝ijBE=()

-^a--b--a+^b

A.33B.33

--a--b-^a+-b

C.33D.33

￡

4.如圖，三個元件1馬Z正常工作的概率均為3,且是相互獨立的，將它們接入電路

中，則電路不發(fā)生故障的概率是（)

157

A.9B.27C.27D.27

已知點（）

5.°°,°若曲線C上存在兩點48,使△0/8為正三角形，則稱c為「型曲

線.給定下列三條曲線：①y=f+5；②了=也下；③其中，是「型曲線

的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

6.若某圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所

成角的正弦值為2,則此圓臺與其內(nèi)切球的表面積之比為（）

4137

A.3B.2C.6D.3

7.小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測試中的成績是班級第十五名（每位同學(xué)測試的成績兩兩不同）

且小明同學(xué)的成績恰好是該班成績的第60百分位數(shù)，則該班的人數(shù)可能為（）

A.36B.41C.46D.51

8,正四面體0-/8C中，QA=ay點〃滿足加=@+9+（27-了）℃,則.長

度的最小值為（）

4A/66^6瓜

----a----ci—ar~

A.5B.5C.3D.76a

二、多選題（本大題共3小題）

9.設(shè)/，加是兩條不同直線，打，夕是兩個不同平面，下列命題為真命題的是（）

A.若a，夕,/'a,貝”〃△或‘up

B.若/，則加〃a或加ua

C.若/〃氏〃a,貝I]/〃加

D.若/-L￡,加則C分

10.有以下說法，其中錯誤的是（）

A.互斥的事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件

B.互斥的事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件

C.事件A與事件B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A與3中恰有一個發(fā)生的概率

大

D.事件A與事件3同時發(fā)生的概率一定比A與3中恰有一個發(fā)生的概率小

11.某四面體的棱中恰好有一條的長度大于2,則此四面體的體積可能是（）

x1

A.4B.2c.1D.2

三、填空題（本大題共3小題）

12.己知復(fù)數(shù)z滿足匕-3+創(chuàng)=1,則目的最大值是.

13.如圖，在梯形中，/B=45.,AB=36,BC=6,且工。一%若初，只是線

段8c上的動點，且因吊=1,則萬而?市的取值范圍為

AD

14,已知圓-4x-2町+4=0和直線G：y=x+2,折線G：y=|x-2|+2,若

C與G恰有一個公共點，則實數(shù)m=；若C與G恰有兩個公共點，則實數(shù)

加的取值范圍是.

四、解答題（本大題共5小題）

asinB=bcosA--

15.在三角形NBC中，內(nèi)角加3C所對邊分別為加Lc,已知I6人

（1）求角A的大小；

26

（2）若。=26,三角形的面積為了，求三角形/8C的周長.

16.在如圖所示的四棱錐中，底面48。是梯形，且8CS/'面/BCD,

為SO的中點.

（1）若3=℃,證明：CD,平面&4C；

（2）已知/°=8,80=4,/8=2,斜線S3和平面/BCD所成角的正切值為2,求平面

/C。和平面so的夾角的余弦值.

22

17.已知橢圓瓦/+瓦一I""\"的焦點為月（一2?0）和凡（2百,0）,短軸長為今

（1）求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓上、下頂點分別為卻鳥，過點°（°」）的直線4與橢圓￡交于⑷8兩點（不與

卻巴兩點重合）.證明直線/耳與直線8鳥交點的縱坐標(biāo)為定值，并求出該值.

18.某校藝術(shù)團(tuán)共有150人，男生與女生的比例是2:1.為了解藝術(shù)團(tuán)全體學(xué)生的身高，

按性別比例進(jìn)行分層隨機抽樣，抽取樣本量為30的樣本，并觀測樣本身高數(shù)據(jù)（單位：

cm）.已知男生樣本的身高平均數(shù)為169,標(biāo)準(zhǔn)差為底.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù):

抽取次序12345678910

身高155158156157160161159162169163

記抽取的第，個女生的身高為X，('=L2,3,…,10),樣本平均數(shù)元=160,標(biāo)準(zhǔn)差s=而.

(1)用女生樣本的身高頻率分布情況估計藝術(shù)團(tuán)女生總體的身高頻率分布情況，試估計藝

術(shù)團(tuán)女生總體身高在口60,165]范圍內(nèi)的人數(shù)；

72

(2)用總樣本的平均數(shù)和方差估計藝術(shù)團(tuán)總體身高的平均數(shù)〃和方差求〃，0的值;

(3)若女生樣本數(shù)據(jù)在(于-2s，5+2s)之外的數(shù)據(jù)稱為偏離值，剔除偏離值后，計算剩余

女生樣本身高的平均數(shù)與方差.(其中，樣本平均數(shù)了=160,標(biāo)準(zhǔn)差s=A.)【參考

22

數(shù)據(jù)：V15~3.9；159=25281,169=28561.]

19.球面幾何學(xué)是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學(xué).對于半徑為&的球°,過

球面上一點A作兩條大圓的弧益，AC,它們構(gòu)成的圖形叫做球面角，記作

&BAC(或4),其值為二面角B-/O-C的大小，其中點A稱為球面角的頂點，大圓

弧/8,/C稱為球面角的邊不在同一大圓上的三點4B,C,可以得到經(jīng)過這三點中任意

兩點的大圓的劣弧ABgCA,這三條劣弧組成的圖形稱為球面YABC,這三條劣弧

稱為球面VN8c的邊，42，C三點稱為球面V/2C的頂點；三個球面角44《民《C稱

為球面V/8C的三個內(nèi)角.

已知球心為°的單位球面上有不同在一個大圓上的三點A，B，C.

XL4二一

(1)球面V/5C的三條邊相等(稱為等邊球面三角形)，若2,請直接寫出球面

V/BC的內(nèi)角和(無需證明)；

(2)與二面角類比，我們稱從點尸出發(fā)的三條射線.，尸'IQ組成的圖形為三面角，記

為尸一MNQ,其中點p稱為三面角的頂點，尸初，尸稱為它的棱，

稱為它的面角,若三面角。-N5C的三個面角的余弦值分別為

也也工

①求球面V/BC的三個內(nèi)角的余弦值；

②求球面VN2C的面積.

答案

1.【正確答案】A

【詳解】（l+i>=l+2i+i2=2i,故共軌復(fù)數(shù)為-2i.

故選：A.

2.【正確答案】A

ZC'O'B'=-SA,B,C,=-A'B''O'C'sin—O'C

【詳解】由4則“244

S.?r=-AB-OC=-A'B'-20'C'=A'B'-O'C

如圖，作出還原后'ABC,則c22

故S^AB'C，所以S“BC=

故選：A.

【詳解】

/JE\

/i--------------------

__?______2_____??1z~~~?_______?2___1__?2_1一

BE=AE-AB=-AD-AB=-x-(AB+AC)-AB=——AB+-AC=——a+-b

332、)3333

故選：D.

4.【正確答案】C

【詳解】記】正常工作為事件A,乙正常工作為事件B,記4正常工作為事件C,

貝U尸(/)=P(8)=尸(。)=3,

電路不發(fā)生故障，即［正常工作且％,1至少有一個正常工作,

尸=1-(1--)(1-1)=—

心、4不發(fā)生故障即心,4至少有一個正常工作的概率1339,

所以整個電路不發(fā)生故障的概率為P=P(/)XxP1=-L3Xxl9=-_2L7.

故選：C.

5.【正確答案】D

572

【詳解】對于①，。(0,0)到直線了二一無+5的距離為〒，若直線上存在兩點A，B,使

,\OB\=\OC\=—

為正三角形，則3,

-----xy——%+y=

以。為圓心，以3為半徑的圓的方程為-3,聯(lián)立〔3,如圖，可求

解出兩解，所以曲線①是「型曲線.

對于②，了=收二3化為/+必=2。'0),圖形是半圓(包括端點)，則由。(0,0)為頂

點的60°角兩邊能與半圓找到交點，故曲線②也是「型曲線，

八ooy——(X>0),八

對于③，過。分別作傾斜角為165和105的直線交X、/于45兩點,

則06=60°,

-0°y=-—(X>0)

同時過。傾斜角為165和105的直線關(guān)于V=r對稱，x''也關(guān)于^=—對稱,

所以。/=08曲線C上存在兩點43,使為正三角形，所以曲線③是「型曲線.

yk

故選：D

6.【正確答案】C

【詳解】設(shè)上底面半徑為3下底面半徑為d

如圖，取圓臺的軸截面，作W加，垂足為

設(shè)內(nèi)切球。與梯形兩腰分別切于點E,F,

可知8C=《+G,BM=々_八,

ZB=-

由題意可知：母線與底面所成角為3,

BM_r2-r}

貝ijBC2,可得弓二34，

即BC=4八，BM=2八,可得CM=JBC?-BM2=2何

可知內(nèi)切球°的半徑r二6.，

2

可得,圓臺=兀/+9兀片+兀（4+3外）x44=26兀1S球二471x(7^)=12K?]

S臺_26M2_13

所以S球12叫26.

故選：C.

7.【正確答案】A

【詳解】設(shè)班級的人數(shù)為X,由題意0.6x<x-14<0.6x+l,解得35<x<37.5,xeN.

故選：A

8.【正確答案】C

【詳解】如圖所示，延長。4。瓦℃至點2E,尸，使得詼=2逅,灰=2/，/=2區(qū)

QM=xQA+yQB+（2-x-y）QC=^QD+^QE+^—^^QF

所以222

x7（2-x-y）

---11-1

又由22---------2---------，所以A/,。,反尸四點共面，

所以的最小值，即為點A到平面。E尸的距離，

因為點A是8的中點，則點A到平面尸的距離是點0到平面DE尸的距離的一半,

又因為QD=QE=QF=DE=DF=EF=2a,所以三棱錐。一。跖為正三棱錐，

取等邊ADEF的中心為。，連接0。,0°,可得0°，平面。即，

所以即為點°到平面。跳"的距離，

r>c2A2也a

DO=-x=-------

在等邊ADEF,因為DE=DF=EF=2a,可得33,

QO=^QD2-DO2=J4a2-=—a

在直角中，可得"I3J3,

276

即點。到平面。跖的距離為3",

A/6

—a

所以的最小值為3.

故選：C

9.【正確答案】AB

【詳解】對于A,若a，四/,a,則/〃?或/up,故A正確；

對于B,若則機〃a或加ua,故B正確；

對于C,若"，〃％〃〃a,則〃?，〃平行或相交或異面，故C不正確;

對于D,若/上民加,a,當(dāng)機〃呼則a〃,，故D不正確.

故選：AB.

10.【正確答案】ACD

【詳解】對于AB,投一枚骰子，事件A表示擲出的點數(shù)為2,事件B表出的點數(shù)為

3,

則事件A和B互斥，但不是對立事件，互為對立的事件一定互斥，故A錯誤，B正確;

對于C,當(dāng)兩個事件A和3互斥時，事件A和事件3至少有一個發(fā)生的概率

與A和&中恰有一個發(fā)生的概率相等，他們都等于「（/）+尸（3）,故c錯誤;

對于D,考慮投擲一個骰子的試驗，樣本空間為{1，2,3,4,5,6},

記事件'={123,4,5},事件8={2,3,4,5,6},

P（AB）=-

則事件A和&同時發(fā)生的概率3,

1

A和3恰好有一個發(fā)生的概率為3,故D錯誤.

故選：ACD.

11.【正確答案】ABC

【詳解】設(shè)四面體/BCD,棱4B>2,而其余每條棱長都小于等于2,

設(shè)A到底面的高為力，在"CD中，A到CZ）的距離為4,則％2匕

1

>—a

若NE是A/8的高，則中有一條的長度-2，（設(shè)CD的長為。42）.

-A/16-￡Z2

類似的，在△BCZ）中，點B到。的距離小于等于2

SBCD4—J16-

所以4

V.——h,SQ—Q（16—Q?）=—Q（4—Q）（4+Q）

RrnRrnV

所以，3"CD24V）24八）

1（。+4-。丫

（4+a）=-（4+a）＜-（4+2）=1

66

故選：ABC.

A

12.【正確答案】6

【分析】

先設(shè)出復(fù)數(shù)z=x+Wx，蚱R）,由已知得出復(fù)平面內(nèi)點GM到G，一4）的距離為1；再結(jié)

合圖象即可求出目的最大值.

【詳解】

設(shè)2=工+y9”2,貝止-3+圳+-3+（y+4）i|=l,則@一3）2+G+4）2=1,即復(fù)平面

內(nèi)點GM到GY）的距離為J.

又上3+j?表示復(fù)平面內(nèi)點（*J）到原點的距離，結(jié)合圖像可知：最大值為原點到

GT的距離加1,即檸不7+1=6.

故6.

13.【正確答案】L4」

【詳解】以點B為坐標(biāo)原點，5c所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系

xBy,

BC=6,/.C（6,0）,v|^5|=3s/2,ZABC=45°,/.^（3,3）

.??石=河,則“⑸,設(shè)“（X，。）,

貝l」N（x+l,O）（其中0Wx45）,

DM=(x-4,-3),DN=(x-3,-3)

2-7X+21=

35

x——------------??---------------------?

所以，當(dāng)2時，取得最小值4,當(dāng)x=0時OM.DN取得最大值21.

A

故

14.【正確答案】-4±4及（L+8）

【詳解】由題意可知：圓C可化為（x-2）2+（y-用）2=療表示圓心為c（2"）,

半徑為網(wǎng)的圓，故加4°，

12—777+21??

------------------—^2

若C與G：x-y+2=°恰有一個公共點，則41,解得機=-4±4也;

法一，因為C與均關(guān)于直線x=2對稱，注意到G與直線x=2的交點為Q，2）,

若C與G恰有兩個公共點，等價于C與C?在（2,+s）內(nèi)只有1個公共點，

且C不過（2,2）,此時Cz：y=x,

\y=x

聯(lián)立方程+y2-4x-2my+4=0消去y得廠—（2+加）x+2=0,

即關(guān)于》方程“一（2+加卜+2=°在（2,+8）僅有一解，且解不為2,

m+2-加+2-空^2

----->2-----<2

222

4-2(2+m)+2<0甫2?-(2+機)x2+2<0_p.(2+加)2-4二0

則

解得加＞1,

所以實數(shù)m的取值范圍是（L+8）.

法二，因為o與G均關(guān)于直線x=2對稱，注意到G與直線x=2的交點為。，2）,

若C與G恰有兩個公共點，等價于C與C?在Q,+8）內(nèi)只有1個公共點，

且c不過（2,2）,

所以點（2,2）在圓。：/+/-4》-2叼+4=0內(nèi),

gp22+22-8-4m+4<0,解得力>1.

所以實數(shù)機的取值范圍是（L+°°

故①-4±4拒；②0，+8）.

兀

15.【正確答案】（1）§

⑵2g+2

ab

bsinZ=6cosA——

【詳解】（1）由正弦定理sin/sing得asin8=bsin”,所以I6

sinA=cosA——cos/+1sin/

I6

所以2,整理得sinZ=J3cos/,

,sin4

因為“?0,兀），所以sinN>0,tanA---------

因此cosN>0,所以cosA

A,=—兀

所以3

273一

（2）由V/8C的面積為3,得23，解得3,

b=-y/3c=—V3

又c=2b,則3,3

2人2cL,1648

a2c+b-2bccosA=----1--------=4

=2b+c=2V3

由余弦定理得333，解得。，，

所以V/BC的周長為20+2.

16.【正確答案】（1）證明見解析

7

⑵9

【詳解】（1）因為平面48czUD,CZ）u平面/5C0,

可知SALAD.SALCD1

cQA=QD=SQ=-SD

在RtA"￡>中，。為SO的中點，則2,

因為0/=℃,所以℃=B=S。，所以/S°=90。，gpSCVCD,

又因為"cSC=S,2u平面NCS,SCu平面/cs,所以CD,平面NCS.

（2）由題意可知：S/工平面"CD,

所以48是斜線P3在平面N8CD上的射影，即/S8/為S3和平面所成的角,

tan/SBA==2

在RSS/B中，AB,所以"=4

又因為故4B，40，/S兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點，以/氏/。,45所在直線分別為％軸，》軸，z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

則/（0,0,0）,2（2,0,0）,C（2,4,0）,D（0,8,0）,5（0,0,4）,0（0,4,2）,

可得而=（0,4,2）,就=（2,4,0）,麗=（0,8,-4）,而=（一2,4,0）,

設(shè)平面ACQ的法向量為ni=（%跖*1）,

-AQ=0J2必+Z[=0

則〔"『NC=°,即[x[+2"=0,可取4=（2,-1,2）;

設(shè)平面的法向量為“=k，%/2）,

*..

%.SD=0J2y2-z2=0

則四。。=0,即1_%2+2%=0,可?。?（2/，2）；

一一?々?%4-1+47

COS〃1,〃2=----―-------------------

卜21J4+1+4,—4+1+49

從而可知

7

所以平面"CQ和平面SCD的夾角的余弦值為9.

---1---=1

17.【正確答案】（1"64

（2）證明見解析，定值為4

【詳解】（1）根據(jù)題意可得：c=2?2b=4,b=2,所以/=62+°2=16,

22

二+匕=1

因為焦點在X軸，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為164；

（2）因為直線4過點0（°/），且與橢圓的交點不與用巴重合，

可知直線4的斜率存在,

且直線4與橢圓必相交，可設(shè)直線4：7="+1，/（再，%），3。2，%）,

y=kx+l

</y2_

聯(lián)立方程［16十4一1，消去y可得（16/+4卜2+32癡-48=0,

8k12

x.+x=----——,xx=----——

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：9必-+19-4F+1,

+

AP{:y=――-x+2BP2:y-x-2

因為“（°，2），6（°，-2）,可得直線再，直線馬

必一2

kAP}演_馬（%-2）_%2（向-1）_何%2-工2-（巧+工2）+玉

kBP^%+2芭（%+2）xx（kx2+3）kxxx2+3x1kxxx2+3^

所以%

nk（%k\4k

必一2

y-2_再_馬（必一2）_迎（丘「1）

y+2）+2萬（％+2）x{（kx2+3）y-2_1

%即y+2解得了=4,

所以直線'41鳥的交點尸在直線y=4上.

18.【正確答案】（1）20

（2）〃=166,cr2=49

20

（3）平均數(shù)為159,方差為§

2

【詳解】（1）?.?在女生樣本中，身高在160,165］的頻率歷一.

12

］50xx_20

二藝術(shù)團(tuán)女生總體身高在『60,165］范圍內(nèi)的人數(shù)估計為X3X5~人.

（2）由題意知：男生樣本的身高平均數(shù)為169,方差為39,

女生樣本的身高平均數(shù)為160,方差15,

20x169+10x160

-----------------------=166

則總樣本的平均數(shù)為30

、差為|x[39+(166-169)2]+1x[15+(160-166)2]=32+17=49

.?.〃=166,(y2=49

(X-25,X+25)=(160-2V15,160+2^/15(152.2,167.8)

\3)由屈、知：\'，

由樣本數(shù)據(jù)可知-9如。-2而,160+2后)…69為偏離值，

亍=1x(160*10-169)=159

剔除169后，女生樣本的身高平均數(shù)為9

\(10A1<10)10

S2=6gx,2-10x2=-￡^-256000=15=256150

由1。3=1)1。1日)得：；=i

則剔除169后，女生樣本的身高的方差為

22(

s'1-169-9^=1256150-28561-9x25281)=y

3兀

19.【正確答案】(1)2

\_n

⑵①5,0,2.②%

—/=—

【詳解】(1)(1)由2可知dC在兩個互相垂直(即交點處切線垂直)的大圓上,

/—~TT/~~TT

BC<~AB=AC<-

從而2,故2,

ZAOB=ZAOC=a&\0,-__

設(shè)I2」，則/8=/c=a,

a

從而阿一⑷一2sin],注意到3,C到直線/0的距離均為sine,故忸[=缶強

‘'ID/^|_IjD|VZsin6z=2sin—V2cos—=1

所以由=知目q—N回，所以2,即2,

71

a——

這得到2,

c

TT

ZAOB=ZAOC=-?

從而2,又D5°在兩個互相垂直的大圓上，

ZBOC=-

故2,

從而°4。民℃兩兩垂直，

從而由°色℃在平面內(nèi)交于點0,可知。/垂直于平面OBC,

而。/在平面和平面OAB內(nèi)，

故平面0a垂直于平面0BC,同理平面垂直于平面0BC,

平面。28垂直于平面。C4,所以三個平面048,03C,0C/兩兩垂直，

MZ=KB=/C=—71

故由球面角的定義知2,

3兀

所以球面V4BC的內(nèi)角和是T.

cosZAOB=—,cosZBOC=—,cosZCOA=-

(2)①由已知條件，可設(shè)333,

/(i,o,o),2g,中

如圖，以0為原點，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,0),不妨設(shè)133)

設(shè)C（p,g,r）,則由|。4|=|。卻=|。。|=1可知

1---------

—=cos^COA=OAOC=p

3；

—=cos^BOC=OB-OC=—p+—q

3