2024-2025學年湖南省永州市高三年級上冊期末數學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年湖南省永州市高三上學期期末數學檢測試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求）

1.（5分）已知集合［/={0,1,2,3,4,5,6},/={0,1,2,4},B={1,2,3,4,5},

則（Q）/）ns=（）

A.{3,5,6}B.{3,5}C.{5}D.{5,6}

2.（5分）某地區(qū)組織了一次高三全體學生的模擬考試，經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，數學成纜近似服從正

態(tài)分布N（山W）,已知數學成績高于110分的人數與低于70分的人數相同，那么估計

本次考試的數學平均分為（）

A.85B.90C.95D.100

3.（5分）若復數=Z2=m,則z：-z；=（）

A.DIB.1c.nD.i

x2.y2_%22_

4.（5分）已知橢圓巾4_1（m>0）與雙曲線九,-1（w>0）有共同的焦點，則直線

mx+ny=\必過定點（）

A.殍-匚）B.僑一？C.（1,口1）D.（3,口3）

5.（5分）已知數列{的}是等差數列,0-4=15,a7=27,則過點尸（3,的），Q（5,恁）的直

線斜率為（）

1_1

A.4B.4C.口4D.-4

6.（5分）已知定義在R上的函數/（x）滿足“'（x）=/（□%）+3巴則曲線y=/（x）在點

（0,7（0））處的切線方程為（）

A.y=3x+3B.y=3x\J3C.y=x+3D.y=x\J3

7.（5分）Q+l—?。?的展開式中，常數項為（）

A.口59B.口61C.181D.721

8.（5分）已知函數/（x）的定義域為R,則7Xx+l）4/G）=0”是'了（％）是周期為2的周

期函數”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既不充分又不必要條件

D.充要條件

二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

（多選）9.（6分）已知方程，X2+8J，2+S+DX+切+尸=0,其中企能目應足下列命題為

真命題的是（）

A.可以是圓的方程

B.可以是拋物線的方程

C.可以是橢圓的標準方程

D.可以是雙曲線的標準方程

（多選）10.（6分）若log疝>1,則下列不等式一定成立的是（）

111,,1

A.a<bB.ab+\>a+bC.a~a>b~bD.a+a+b

（多選）11.（6分）已知函數/（x）=,口3首+0口1,則下列選項正確的是（）

A.y=f（x）在（2,3）上單調遞增

B.>=/（x）恰有一個極大值

C.當a>l時，/（x）=0無實數解

D.當。=1時，/（/（x））=0有三個實數解

三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）

12.（5分）正方體各面所在的平面將空間分成部分.

13.（5分）已知某次數學期末試卷中有8道四選一的單選題，學生小萬能完整做對其中4道

題，在剩下的4道題中，有3道題有思路，還有1道完全沒有思路，有思路的題做對的概

2

率為沒有思路的題只能從4個選項中隨機選一個答案.若小萬從這8個題中任選1題，

則他做對的概率為.

—>

14.（5分）已知平面向量b,c滿足|a|=l,\b\=2,<a,且（c—a）（c—b）=0,

貝心,c的最大值為.

四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）為提高學生的數學應用能力和創(chuàng)造力，學校打算開設“數學建模”選修課，為了

解學生對“數學建模，，的興趣度是否與性別有關，學校隨機抽取該校30名高中學生進行問

卷調查，其中認為感興趣的人數占70%.

感興趣不感興趣合計

男生12

女生5

合計30

(1)根據所給數據，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷，依據小概率值a=0.15

的獨立性檢驗，分析學生對“數學建?！边x修課的興趣度與性別是否有關？

(2)若感興趣的女生中恰有4名是高三學生，現(xiàn)從感興趣的女生中隨機選出3名進行二

次訪談，記選出高三女生的人數為X,求X的分布列與數學期望.

2_n(ad-bc)2

附：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中〃=a+b+c+d.

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

16.(15分)已知｛〃“｝是正項遞增的等比數列，且a2a6=64,a3+a5=20.數列｛乩｝是等差數列,

2

且(ri+l)bn=2n+九+C

(1)分別求數列｛四｝和數列｛兒｝的通項公式；

(2)設％1)"%+函二，求數列｛.｝前〃項和

17.(15分)古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積等于圓周率兀與橢圓的長

半軸長、短半軸長的乘積.已知橢圓M的中心為坐標原點，焦點/，尸2均在x軸上，面

積為2兀，點I'2)在橢圓M上.

(1)求橢圓M的標準方程；

(2)經過點尸(口1,0)的直線/與曲線M交于4,3兩點，△Q45與橢圓〃的面積比

2

為瓦，求直線/的方程.

18.(17分)已知函數/(x)=x2n2x+alnx,(aCR).

(1)若a=l,求函數/(x)在點(1,f(1))處的切線;

(xT).蘆?！敖?

xx

(2)若對任意的xi，X2G(0,+oo),xi#2＞有1之i2恒成立，求實數a

的取值范圍.

19.(17分)一般地，任何一個復數。+歷,(a,6GR)可以寫成r(cos9+isin9),其中r是復

數的模，e是以x軸非負半軸為始邊，射線OZ為終邊的角，稱為復數的輔角.我們規(guī)定

7T

在OW0V2兀范圍內的輔角稱為輔角主值,通常記作argz,如arg/=0,argz-2,arg(1

n

+?)=3.

發(fā)現(xiàn)zi?Z2=o(cos0i+sin0i)?尸2(cos02+sin02)=rir2[cos(也+電)+zsin(仇+。2)]?就是說

兩個復數相乘，積的模等于各復數模的積，積的輔角等于各復數輔角的和.

考慮如下操作：從寫有實數0,1,8的三張卡片中隨機抽取兩張，將卡片上的兩個數依

次作為一個復數的實部和虛部.設"為正整數，重復"次上述操作，可得到〃個復數，將

它們的乘積記為z”.

(1)寫出一次操作后所有可能的復數；

(2)當〃=2,記%的取值為X,求X的分布列；

(3)求句為實數的概率0”.

答案與試題解析

題號12345678

答案BBCAACAA

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求）

1.（5分）已知集合。={0,1,2,3,4,5,6},/={0,1,2,4},2={1,2,3,4,5）,

則（Cd）A5=（）

A.{3,5,6}B.{3,5}C.{5}D.{5,6}

【分析】由補集和交集的定義求解即可.

解：因為/={0,1,2,4},U={0,1,2,3,4,5,6},

所以Cd={3,5,6},

所以（CM）門2={3,5}.

故選：B.

【點評】本題考查了集合的定義與運算問題，是基礎題.

2.（5分）某地區(qū)組織了一次高三全體學生的模擬考試，經統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，數學成纜近似服從正

態(tài)分布N（山/）,已知數學成績高于110分的人數與低于70分的人數相同，那么估計

本次考試的數學平均分為（）

A.85B.90C.95D.100

【分析】根據正態(tài)分布的對稱性即可得結論.

解：數學成纜近似服從正態(tài)分布N（山/）,

已知數學成績高于110分的人數與低于70分的人數相同，

由正態(tài)密度函數的對稱性，數學成績高于110分的人數與低于70分的人數相同，

則估計本次考試的數學平均分為90.

故選：B.

【點評】本題考查正態(tài)分布的對稱性，屬于中檔題.

3.（5分）若復數Z2=F7,貝ijz：-z；=（）

A.LIB.1C.DzD.i

【分析】根據復數的乘方、復數的除法、加減法運算化簡即可得答案.

11

解：，1=市，Z2F,

2-Z：--1-----1-=-1,-1-=一1

(1+02(1-022i2ii

故選：c.

【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎題.

_W_”2_

4.（5分）已知橢圓石了一1（m>0）與雙曲線7一〉-1（?>0）有共同的焦點，則直線

mx+ny=\必過定點（）

A.替一二）B."一百）C.（1,DI）D.（3,口3）

【分析】由橢圓和雙曲線的方程，推得“="+5,即有直線方程為（〃+5）x+即=1,求得

定點可得結論.

x2y2_x22_

解：橢圓方十Z=i（加>0）與雙曲線五一、=i（〃>o）有共同的焦點，

可得冽口4=幾+1,即m=n+5f

則直線mx+ny=1,即為（川+5）x+ny=1,

即〃（x+y）+（5xD1）=0,

i

（x+y=0__i

可得〔5x-i=0,解得|/=一二，

11

即直線加x+即=1恒過定點（g,5）.

故選：A.

【點評】本題考查橢圓與雙曲線的方程、性質，以及直線恒過定點，考查方程思想和運算

能力，屬于基礎題.

5.（5分）已知數列｛恁｝是等差數列，6Z4=15,5=27,則過點尸（3,%），Q（5,玲）的直

線斜率為（）

11

A.4B.4C.口4D.-4

_a7~a4

【分析】利用。4=15,。7=27,求出公差d7-4,再由的口。3=22=8,結合直線求出過

點尸（3,%），Q（5,%）求出斜率.

解：數列｛四｝是等差數列，。4=15,劭=27,

_a7-a4_27-15_

?，?公差7一4―3一%.,.。5口〃3=24=8,

_a5_a3_8_

???過點尸(3,的)，Q(5,a5)的直線斜率左=57=2=4.

故選：A.

【點評】本題考查直線的斜率的求法，考查直線的斜率公式、等差數列的性質等基礎知識,

考查運算求解能力，是基礎題.

6.(5分)已知定義在R上的函數/(x)滿足V(x)=/(Zx)+3巴則曲線y=/(x)在點

(0,/(0))處的切線方程為()

A.y=3x+3B.y=3兼口：3C.y=x+3D.y=xQ?>

【分析】利用方程組法求出函數解析式，然后利用導數求切線斜率，由點斜式可得切線方

程.

解：因為2f(x)=于(Ux)+3巴所以(Ux)=于(x)+3dI

聯(lián)立可解得/(x)=eOx+2ex,所以/'(0)=3,所以/(%)=口0口*+2d,f(0)=1.

所以曲線y=/(x)在點(0,f(0))處的切線方程為了-3=x,

故所求的切線方程為y=x+3.

故選：C.

【點評】本題考查導數的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.

7.(5分)(久+1—7)6的展開式中，常數項為()

A.U59B.U61C.181D.721

6

(x+I--')-('+'-2)6

【分析】根據I衣產，求分子的展開式中含的項，進而求解結論.

(X+1—[6=(-+/-2)6

解：因為(2針,

又(如+/口？)6的展開式中含”的項為：06.(x3)4,(2)2+06.(%3)2?^4?(x2)

3.(口2)1+C6.(X2)6=(60D120+1)?x12=Z59x12.

故(x+1—N的常數項為口59.

故選：A.

【點評】本題主要考查二項式定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題.

8.(5分)已知函數/Xx)的定義域為R,則?(x+l)+fCx)=0”是丁(x)是周期為2的周

期函數”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.既不充分又不必要條件

D.充要條件

【分析】根據周期函數的定義，充分與必要條件的概念即可判斷.

解：?函數/(無)的定義域為R,

二由/'(x+1)4/(x)=0得/(x+1)=□/(x),

.■/(x+2)—J[(x+1)+1]=_/(x+1)—f(x),

??/G)的周期為2,

反過來，由/(x)是周期為2的周期函數得了(x+2)=f3,但不能得到/G+l)

+f(x)=0,

故7■(尤+1)+fCx)=0”是V(x)是周期為2的周期函數”的充分不必要條件，

故選：A.

【點評】本題考查周期函數的定義，充分與必要條件的概念，屬基礎題.

二、選擇題(本大題共3個小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

(多選)9.(6分)已知方程，x2+3y2+s+Dx+￡>+F=0,其中4NBNC沙莊F.下列命題為

真命題的是()

A.可以是圓的方程

B.可以是拋物線的方程

C.可以是橢圓的標準方程

D.可以是雙曲線的標準方程

【分析】通過舉例分析判斷，可得48、C三項的正誤；對于。，根據雙曲線的標準方

程的特征，結合已知條件分析判斷，可得答案.

解：對于/,A^+By-+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中/淮NQD應尸，

當/=2=1NC=Z>=E=OW=U1時，方程為％2切2口1=o,

此時方程為X2+儼=1,表示一個圓，因此該方程可以是圓的方程，故/項正確；

對于2,當4=1沙=。=。=0之石=21加=口2時，方程為了2口y口2=0,即^=》2口2,

此時該方程是拋物線的方程，故8項正確；

y+T=1

對于C,當/=2沙=GC=。=￡=0x^=口l時，方程為2爐"口1=0,即2,

此時該方程是橢圓的標準方程，故C項正確；

對于。，若方程為雙曲線的標準方程，則有N8<0,C=D=E=O,F<0,

這與題設/叫NQDNF矛盾，因此該方程不可以是雙曲線的標準方程，故。項錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題主要考查圓的方程及其應用、圓錐曲線及其標準方程等知識，考查概念的理

解能力，屬于中檔題.

(多選)10.(6分)若log°6>l,則下列不等式一定成立的是()

1111

.-7C7?1?7八?！?gt;b——nCLH—<Zb+—

A.a<bB.ab+\>a+bC.。匕D.?b

【分析】由分類討論OVQVI和Q>1時的情況可判斷選項Z,B；取特殊值可

_.1

判斷選項c：根據y-w勺單調性可判斷選項D.

解：因為10ga6>l,所以10gab>10gaQ

當OVaVl時，解得0<bV〃Vl；當Q>1時，解得IVaVb,選項/錯誤：

所以(〃口1)(.bn1)>0,即〃6+l>q+b,選項3正確：

當〃=2,6=3時，ab,選項。錯誤；

因為y=x+l在(0,1)上單調遞減，在a,+oo)上單調遞增，所以a+l<b+l選

項。正確.

故選：BD.

【點評】本題主要考查不等式比較大小，屬于基礎題.

(多選)11.(6分)已知函數/'(x)=歸口3舊+(2口1,則下列選項正確的是()

A.y=f(x)在(2,3)上單調遞增

B.>=/(x)恰有一個極大值

C.當a>l時，/(x)=0無實數解

D.當a=l時，/(/(x))=0有三個實數解

【分析】分類討論去掉絕對值符號后求導數確定單調性、極值判斷/以利用極值判斷方

程的實根個數判斷C,利用數形結合思想判斷。.

解：對于N,當x<3時，f(x)=(3Cx)ex+aZ1,f(x)=(2Dx)應當x<2時,

f(x)>0,當2Vx<3時，f(x)<0,所以/(x)在(Uoo,2)上單調遞增，在

(2,3)上單調遞減.當x>3時，f(x)=(xH3)丹?？?,f(x)=(xD2)

ex>0,f(x)在(3,+oo)上單調遞增，/錯誤；

對于8,由以上討論知x=2是/G)的極大值點，8正確;

對于C,當0>1時，aUl>0,f(2)=e2+aUl>0,f(3)=aUl>0,當x<2時，

f(x)=|x匚3|^+0口1>&口1>0,所以當a>l時，/(x)=0無實數解，C正確；

對于。，當°=1時，/(x)—\xD3\ex,由以上討論知當/(力=0時，t—3.而/(2)

=e2>3,/(3)=0<3,作出/G)的大致圖象如圖所示.如圖可知，/(x)=3有三個

實數解，所以/(/(x))=0有三個實數解，D正確.

故選：BCD.

【點評】本題主要考查用導數研究函數的單調性與極值，函數的零點與方程根的關系，考

查數形結合思想與運算求解能力，屬于中檔題.

三、填空題(本大題共3個小題，每小題5分，共15分)

12.(5分)正方體各面所在的平面將空間分成27部分.

【分析】利用一個平面把空間分成兩部分，兩個平行平面把空間分成三部分來解.

解:27；上、中、下三個部分，每個部分分空間為9個部分，共27部分，

故答案為27

【點評】正方體共有六個面，在這六個面中，有三對是平行平面，且任一平面均與不和它

平行的其他四個平面垂直

13.(5分)已知某次數學期末試卷中有8道四選一的單選題，學生小萬能完整做對其中4道

題，在剩下的4道題中，有3道題有思路，還有1道完全沒有思路，有思路的題做對的概

2

率為沒有思路的題只能從4個選項中隨機選一個答案.若小萬從這8個題中任選1題，

25

則他做對的概率為_32_.

【分析】設小萬從這8題中任選1題，且作對為事件4選到能完整做對的4道題為事件

B,選到有思路的三道題為事件C,選到完全沒有思路為事件。，利用全概率公式進行求

解即可.

解：設小萬從這8題中任選1題，且作對為事件/,

選到能完整做對的4道題為事件B,

選到有思路的三道題為事件C,選到完全沒有思路為事件。，

4131

則P(B)=4,P(C).P(D)=§,

由全概率公式得P(A)=P(5)P(/盧)+P(C)PU|C)+P(D)PC4|D)

25

故互.

【點評】本題考查全概率公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題.

—>

14.(5分)已知平面向量a,b,c滿足|a|=l,\b\=2,<a,，且(c—a)(c—b)=0,

則了二的最大值為

【分析】設。=(1,0),b=(1,道)，c=(x,y),根據(c—a)(c—b)=0,利用向量

_V3_3

數量積坐標法則列式并化簡，得出(XD1)2+(丁一三)2=4,然后利用三角換元得到、=1

■_A/3J3->-?;三.5

2cosa,y—22sina,從而推導出力?。=x+小)={3sin(a6)2,進而根據正

—>—>

弦函數的最值，求出6-c的最大值.

—>

—>—>—77T—>T—>

解：根據1磯=1,網=2,<a,>=5,設￡1=(1,o),b=(1,鄧),c=a,>),

—>—>—>—?

(xUl,廠避),

可得c—a=(xni,y),c—b=

_V3_3

2

所以(c—a)(c—6)=0即(xUl)+y(廠G)=0,整理得(xD1)2+(y2)24,

x—1=~cosa%=1+—coscr

邪V3.,邪工平.

=smay=—+—sina廿占「八。

設7-TT,可得/22，其中aE[0,2兀],

——r~*史3,3

+5+?sina二避(sinacosfi+cosasine)

所以b-c=x+43y=12cosa

715

+6)+2

7T7T7TTtn5

根據正弦函數的性質，可知：當a+G=5時，即a=§時，bc=V^sin(a6)5的最

大值為”在

故打平.

【點評】本題主要考查平面向量積的坐標運算法則、三角恒等變換公式及其應用、正弦函

數的最值等知識，屬于中檔題.

四、解答題（本大題共5個小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）為提高學生的數學應用能力和創(chuàng)造力，學校打算開設“數學建?！边x修課，為了

解學生對“數學建?！钡呐d趣度是否與性別有關，學校隨機抽取該校30名高中學生進行問

卷調查，其中認為感興趣的人數占70%.

感興趣不感興趣合計

男生12

女生5

合計30

（1）根據所給數據，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷，依據小概率值a=0.15

的獨立性檢驗，分析學生對“數學建?！边x修課的興趣度與性別是否有關？

（2）若感興趣的女生中恰有4名是高三學生，現(xiàn)從感興趣的女生中隨機選出3名進行二

次訪談，記選出高三女生的人數為X,求X的分布列與數學期望.

*2_n(ad-bc)2

附：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中"=a+6+c+”.

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【分析】（1）由題可得列聯(lián)表，根據列聯(lián)表可得蜉進而即得;

（2）由題可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，進而可得分布列，再利用

期望公式即得.

解：（1）列聯(lián)表如下：

感興趣不感興趣合計

男生12416

女生9514

合計21930

_30x(12x5-4x9)2?

K2=16X14X21X9X0.4082<2.072,

所以沒有85%的把握認為學生對“數學建模”選修課的興趣度與性別有關;

(2)由題意可知X的取值可能為0,1,2,3,

則尸(X=0)璐42,

_ClCS_10

P(X=l)瑞21,

_C阻_5

P(X=2)穹14,

=烏=工

P(X=3)瑤21,

故X的分布列為：

X0123

p51051

42211421

數學期望E(X)=0X42+lX2i+2Xi4+3X2i=3.

【點評】本題主要考查獨立性檢驗，離散型隨機變量分布列及數學期望，考查運算求解能

力，屬于中檔題.

16.(15分)己知｛?！埃钦椷f增的等比數列，且。2。6=64,的+05=20.數列也5是等差數列，

且(n+l~)bn=2n2+n+C

(1)分別求數列｛an｝和數列｛bn｝的通項公式；

(2)設％=(—1)%+b",求數列｛Cn｝前〃項和S“.

【分析】(1)應用等比數列通項公式建立方程組可解出?！?，利用待定系數法可求出

(2)應用等比數列求和公式與裂項相消方法可求出S,,.

解：(1)設等比數列｛斯｝的公比為q,且有a,>0,q>l,

由Q2a6=64,43+05=20,可得64,即。4=8,8gq20,

解得夕=2,

所以?！?。4/匯4=8*2〃口4=2”山；

由于也｝是等差數列，設兒=4+5,

22

則有(?1+l)bn=(n+l)(i4n+B)=An+(Z+B)n+B=2n+n+C

'A=2(A=2

A+B=lB=-l

所以B=C，解得匕=T,

所以數列｛bn｝的通項公式為bn=2nni.

(2)由(])矢口，％=_(_2尸1+(2W-1)(2)+1)=T-2)"1+](=—2n+P,

ee

所以Sn=Ci+C2+*+Cn

=一[(一2)。+(-2)1+…+(-2尸]++(|-|)+…+(+――)]

1-(-2)",

^7^+Xi-心)

l-(-2)n+1_1

64n+2.

【點評】本題考查等差數列和等比數列的通項公式、求和公式，以及數列的分組求和、裂

項相消求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

17.(15分)古希臘數學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積等于圓周率兀與橢圓的長

半軸長、短半軸長的乘積.已知橢圓M的中心為坐標原點，焦點B,6均在x軸上，面

積為2兀，點I(1'-2'I)在橢圓M上.

(1)求橢圓〃的標準方程；

(2)經過點尸(D1,0)的直線/與曲線M交于4,8兩點，△ON8與橢圓M的面積比

2

為藐，求直線/的方程.

【分析】(1)由題意，設出橢圓河的方程，結合橢圓面積為2兀，點(L在橢圓”上,

列出等式即可求出橢圓M的標準方程；

(2)對直線/的斜率是否存在進行討論，當直線斜率存在時，通過將直線方程與橢圓方

程聯(lián)立，利用韋達定理結合三角形面積公式求解直線的斜率，進而推出直線方程.

解:(1)已知橢圓M的中心為坐標原點，焦點Q,B均在x軸上，面積為2兀，點

2)在橢圓M上，

不妨設橢圓M的方程為尹*1(490),

'71ab—27r

1二】

解得。=2,b=\,

X22_1

所以橢圓M的標準方程為了十y-1

(2)因為經過點P(DI,0)的直線/與曲線M交于4,8兩點,

當直線/的斜率左=0時，A(UI,T),B(U1,一三),

此時SACMB=?X1="

2

因為△CM2與橢圓M的面積比為藐,

平

T_2

所以方=同不成立，

即直線斜率左存在；

不妨設直線/的方程為夕=左(X+1),

y=k（x+1）

1X22_1

聯(lián)立E+y=i

消去》并整理得（4左2+1）x2+8Fx+4FD4=0,

不妨設4（xp為），B（必及），

_-8k_4廿—4

則Xi+%24k2+1,X1X24k2+1,

11/n

所以s△招，義lx回切廣"（乃+為）-4%巧

=（久1+久2）+2句2-4/（久1+1）（久2+1）

_1I4p12k2

4（4/+1）24/+1,

1I~蔡12fcz

勾（4k2+I14k2+1_2

其滿足五一嬴,

解得左=±1,

所以直線I的方程為工口＞+1=0或X+科1=0.

【點評】本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用；考查分類討論

思想和分析解決問題的能力.

18.（17分）已知函數/（%）=x2U2x+alnx,（oER）.

(1)若a=l,求函數/G)在點(1,/(1))處的切線;

y(x1)y(x2)

(2)若對任意的修，X2e(0,+00),x#X2，有久2),(工---口)>°恒成立，求實數a

的取值范圍.

【分析】(1)求導，可得切點處的斜率，即可由點斜式求解直線方程,

f(%i)f(%2)y()alnx

(2)將不等式變形為虧虧，構造函數。(久)=丫x=久一2+三，利用單調性與導數之

間的關系，分離參數即可求解，或者利用分類討論，求解導函數的正負求解.

解：⑴尸(x)=2x-2+,

當a=\時，f(1)=口1,/(%)=1,

故切線方程為：y+l=x\Jl,即)；=工口2；

(2)不妨設0<%1<工2，則口%/(M)<0,

f(%i)f(x2)

------------

同除以XiM得xiS，

r(\-/W-?Ialnx

所以d(v町一丫一”r"十〒在(0,+oo)單調遞增,

所以G'⑺=1+中2。，

①若a=0,G'(x)>0恒成立，符合題意；

1lnx—1

②若a>0,貝族一*恒成立，

令?⑴二號，則F'⑶=二"

/、3—2lnx八3

.F(X)=——-—>0E八7.2

令I/X3,貝IJ0V久</,

33

所以FG)在(0,7)單調遞增，在(/，+8)單調遞減,

3

->F(e^)=口

所以。一21,所以尤(0,2例；

1lnx-1

③若a<0,同理，1一丁恒成立，

由②可知，當X—>0+時，F(xiàn)(x)—>口8,

所以不存在滿足條件的a.

綜上，實數。的取值范圍是。6[0,2e3].

【點評】本題考查導數綜合應用，屬于難題.

19.(17分)一般地，任何一個復數a+4(a,bER)可以寫成r(cosO+isinO),其中r是復

數的模，0是以x軸非負半軸為始邊，射線OZ為終邊的角，稱為復數的輔角.我們規(guī)定

在goV2兀范圍內的輔角稱為輔角主值，通常記作argz,如arg/=O,argi一萬，arg(1

+居)=3.

發(fā)現(xiàn)z/Z2=ri(cos0i+sin0i)?尸2(cos02+sinO2)=rir2[cos(0i+02)+zsin(0i+02)],就是說

兩個復數相乘，積的模等于各復數模的積，積的輔角等于各復數輔角的和.

考慮如下操作：從寫有實數0，1,避的三張卡片中隨機抽取兩張，將卡片上的兩個數依

次作為一個復數的實部和虛部.設〃為正整數，重復〃次上述操作，可得到〃個