2024-2025學年廣東省廣州市越秀區(qū)九年級上期末數(shù)學試卷（附答案解析）

2024-2025學年廣東省廣州市越秀區(qū)九年級上期末數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合

題目要求的.）

1.（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作品錄，下列四

幅作品分別代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）

A.

2.（3分）拋物線y=-（x+3）2+5的頂點坐標是（）

A.（-3,5）B.（3,5）C.（5,-3）D.（5,3）

3.（3分）若關于x的一元二次方程（A1）f+3x+F-1=0的一個根為0,則左的值為（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

4.（3分）如圖，N3是。。的直徑，CD是。。的弦，ABLCD,垂足為￡.若CD=8,OD=5,則的

長為（）

A

B

A.1B.2C.3D.4

5.（3分）如圖，將△/BC繞點。順時針旋轉后得到B'C,且點夕恰好落在邊48上，若/2=70°,

則NWCA=（）

6.（3分）如圖,CD與。。相切于點C,經過圓心。，若ND=30°,CO=b,則前1的長為（)

第1頁（共25頁）

7.（3分）北京時間12月4日，我國申報的“春節(jié)一一中國人慶祝傳統(tǒng)新年的社會實踐”在聯(lián)合國教科文

組織保護非物質文化遺產政府間委員會第19屆常會上通過評審，列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文

化遺產代表作名錄.為迎接春節(jié)到來,某商場規(guī)定:購物滿88元以上都可以獲得一次轉動轉盤的機會.如

圖①所示，當轉盤停止時，指針指向哪個區(qū)域顧客就獲得對應的獎品.轉動轉盤若干次，其中指針落

入優(yōu)勝獎區(qū)域的頻率如圖②所示，則轉盤中優(yōu)勝獎區(qū)域的圓心角的度數(shù)近似為（）

8.（3分）如圖，在△N5C中，點E是線段NC上一點，AE：CE=1：2,過點C作CD〃/8交BE的延長

線于點D,若△/BE的面積等于4,則△BCD的面積等于（）

A.8B.16C.24D.32

9.（3分）形如x2+8x=33的方程，可以按如下方法求它的正數(shù)解：如圖1,先構造一個面積為x2的正方

形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積33+4X22=49,則

該方程的正數(shù)解為7-2X2=3.羊羊同學按此方法解關于x的方程，+加1=64（m>0）時，構造出如

圖2所示面積為100的大正方形，則該方程的正數(shù)解為（）

第2頁（共25頁）

圖1圖2

A.3B.4C.6D.8

10.（3分）拋物線y=ax2+6x+cQWO）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=-2.下列說法:

①a6c>0；

②4a-2bWt（at+b）（/為全體實數(shù)）；

③c>3a；

④若/（m,yi）和2（m+1,竺）為圖象上兩點，且/<絲，則mV—

其中正確的是（）

A.②③B.②④C.③④D.①②

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11.（3分）若/（-3,2）,則點/關于原點的對稱點的坐標為.

12.（3分）已知關于x的一元二次方程/+2升加=0有實數(shù)根，則％的取值范圍是.

13.（3分）“任選兩個對應角分別相等的四邊形，這兩個四邊形相似”是事件.（填“不可能”

或“必然”或“隨機”）

14.（3分）用一個圓心角為120。，半徑為4的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑

為.

15.（3分）通過對數(shù)據的記錄、整理和分析，發(fā)現(xiàn)飛機著陸后滑行的距離6（單位：米）與滑行的時間，

（單位：秒）之間近似存在一個函數(shù)關系，測得一些數(shù)據（如表）：

滑行時間〃秒01234

第3頁（共25頁）

滑行距離S/米058.5114166.5216

根據表中的數(shù)據，從一次函數(shù)和二次函數(shù)中選擇一個函數(shù)模型，使得它能近似地反映滑行距離與滑行時

間之間的函數(shù)關系，并根據所選的函數(shù)模型估計飛機著陸后滑行秒時停下來.

16.(3分)如圖，已知點N(3,0),。。的半徑為2,點尸為。。上一動點，將線段/尸繞點N順時針旋

轉90°,得到線段N0.

(1)當點尸落在x軸正半軸上時，點。的坐標為；

(2)連接。。，當點尸在。。上運動時，。。的最大值為.

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(4分)解方程：X2-6X-7=0.

18.(4分)如圖，在平面直角坐標系xQy中，每個小正方形的頂點叫做格點，△O3C的三個頂點都在格

點上.

(1)將△02C繞點。逆時針旋轉90°,得到△031。，畫出△02C1；

(2)以。為位似中心，在位似中心異側把△O8C放大到原來的2倍，得到△。為。2,畫出△。歷。2.

19.(6分)如圖，已知函數(shù)為=d—2久—3與x軸交于/(-1,0),3兩點，過點3的直線”=依+6

與拋物線在第二象限交于點C.

(I)求線段N3的長；

(2)若A/BC的面積為10,結合圖象，當時，求x的取值范圍.

第4頁(共25頁)

20.（6分）已知①號盒子中有2個白球、1個黃球，②號盒子中有加個紅球、2個黃球，這些球除顏色

外無其他差別.

1

（1）若從②號盒子中隨機取出1個球，它是黃球的概率是5,求加的值；

（2）在（1）的條件下，分別從每個盒子中隨機取出1個球，請用列表或畫樹狀圖的方法求取出的2

個球恰好都是黃球的概率.

21.（10分）某小組通過實驗探究凸透鏡成像的規(guī)律，他們依次在光具座上垂直放置發(fā)光物、凸透鏡和光

屏，并調整到合適的高度.如圖，主光軸/垂直于凸透鏡且經過凸透鏡光心。，將長度為8厘米

的發(fā)光物進行移動，使物距為32厘米，光線/O,8。通過凸透鏡后傳播方向不變，移動光屏,

直到光屏上呈現(xiàn)一個清晰的像卬B',此時測得像距為12.8厘米.

（1）求像HB'的長度；

（2）已知光線/尸平行于主光軸/,經過凸透鏡AW折射后通過主光軸上的點尸，求。尸的長.

22.（8分）某商品現(xiàn)在的售價為60元，每星期可賣出300件.市場調查反映：如果調整價格，每漲價1

元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件.已知商品的進價為每件39元.

（1）若降價2元，每星期可以賣出多少件該商品？

（2）若要每星期獲利6480元，應該漲價多少元？

23.（10分）如圖所示，四邊形/BCD為。。內接四邊形，ZADC=90°,DA=DB,點、E為前上一苴,

且

（1）尺規(guī)作圖：作線段NE（保留作圖痕跡，不寫作法）；

第5頁（共25頁）

(2)求證：ZEAD+ZADB=90°；

(3)若4D=3CD=3,求△45。的面積.

24.(12分)已知拋物線G：y^a^+bx-8(z(aWO)經過點M(3,-5a),拋物線G與x軸交于點/,B

(點/在點2的左側)，點尸為拋物線G上/,3之間的動點(點尸不與點4,2重合).

(1)求該拋物線的對稱軸；

(2)若a>0,△a3的面積的最大值為9,求y=8a(aWO)在3a-2WxW3a+l時的取值范

圍；

(3)若。<0,點。為線段A3上一定點(點。不與點4,2重合)，過。作x軸的垂線/,直線/分別

交射線/P,BP于點、E,F,若點P運動的過程中DB+2Db的值始終為6,求a的值.

25.(12分)如圖所示，/BCD為矩形，48=4,4D=3,點E為BC上一動點,AE與BD交于點F,將線

段/尸繞點歹逆時針旋轉90°得到線段尸G,FG與CD交于點、H.

(1)求線段AD的長；

(2)連接DG,若/DGF=90°,求BE的長；

(3)連接/H,AH與BD交于點K,求△/總面積的最小值.

第6頁(共25頁)

2024-2025學年廣東省廣州市越秀區(qū)九年級上期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合

題目要求的.）

1.（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作品錄，下列四

幅作品分別代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）

【解答】解：/、繞某一點旋轉180°后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意;

8、繞某一點旋轉180°后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；

。、繞某一點旋轉180°后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，故不符合題意；

。、繞某一點旋轉180。后，能夠與原圖形重合，故是中心對稱圖形，故符合題意；

故選：D.

2.（3分）拋物線y=-（x+3）2+5的頂點坐標是（）

A.（-3,5）B.（3,5）C.（5,-3）D.（5,3）

【解答】解：y=-G+3）?+5的頂點坐標為（-3,5）,

故選：A.

3.（3分）若關于x的一元二次方程（A1）f+3x+F-1=0的一個根為0,則人的值為（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

【解答】解：?方程（左-1）/+3》+后-1=0為一■兀二次方程，

：.k-17^0,

將x=0代入（左-1），+3x+。-1=0,得：1c-1=0,

解得左1=-1,左2=1（不合題意，舍去）.

故選：C.

4.（3分）如圖，N3是。。的直徑，CD是。。的弦，ABLCD,垂足為￡.若CD=8,OD=5,則的

長為（）

第7頁（共25頁）

A

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：?.?4g是。。的直徑，且

1

:?DE=^CD=4.

在RtADOE中，

0E=7s2-42=3,

：.BE=5-3=2.

故選：B.

5.（3分）如圖，將△NBC繞點。順時針旋轉后得到△4'B'C,且點夕恰好落在邊上，若N5=70°,

則NHCA=（）

【解答】解：?.?將△ZBC繞點。順時針旋轉后得到△%'BfC,

：./BCB=/ACA,BC=BC

：.ZB=ZBB'C=70°,

???N5'C5=180°-/B-/BB'C=40°,

???N4C4=40°；

故選：D.

6.（3分）如圖，CD與。。相切于點C,40經過圓心。，若NZ）=30°,CD=W,則元的長為（）

第8頁（共25頁）

DC

2TT7T

A.—B.-

32

【解答】解：連接oc,

：CD與。。相切于點C,

：.ZOCD=90°,

：/。=30°,

?.ZDOC=60°,

：.0D=20C,N/OC=120°,

：C￡>=V3,

/.OD2-OC2=CD2,

，3。。2=3,

；.OC=1（負值舍去），

1207TX12

=7T，

7.（3分）北京時間12月4日，我國申報的“春節(jié)一一中國人慶祝傳統(tǒng)新年的社會實踐”在聯(lián)合國教科文

組織保護非物質文化遺產政府間委員會第19屆常會上通過評審，列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文

化遺產代表作名錄.為迎接春節(jié)到來,某商場規(guī)定:購物滿88元以上都可以獲得一次轉動轉盤的機會.如

圖①所示，當轉盤停止時，指針指向哪個區(qū)域顧客就獲得對應的獎品.轉動轉盤若干次，其中指針落

入優(yōu)勝獎區(qū)域的頻率如圖②所示，則轉盤中優(yōu)勝獎區(qū)域的圓心角//O3的度數(shù)近似為（）

第9頁（共25頁）

【解答】解：由圖②可估計指針落入優(yōu)勝獎區(qū)域的概率為0.2,

???轉盤中優(yōu)勝獎區(qū)域的圓心角N/O8的度數(shù)近似為：0.2X360°=72°.

故選：B.

8.（3分）如圖，在△45。中，點E是線段4C上一點，AE：CE=1：2,過點。作CO〃/5交8E的延長

線于點。，若后的面積等于4,則△58的面積等于（）

【解答】解：??,CZ)〃45

4ABEsUDE

又,：AE：CE=1：2

SACDE4

?S/\ABE=4

??S^CDE=\6

U：AE：CE=\：2

：.CE=2AE

■:ABCE中CE邊上的高和△45萬中/E邊上的高相等

S^BCE=2S“BE

?S“BE=4

?』5k2X4=8

第10頁（共25頁）

SABCD=SACDE+SABCE=16+8=24

故選：C.

9.（3分）形如，+8x=33的方程，可以按如下方法求它的正數(shù)解：如圖1,先構造一個面積為一的正方

形，再以正方形的邊長為一邊向外構造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積33+4X22=49,則

該方程的正數(shù)解為7-2X2=3.羊羊同學按此方法解關于x的方程一+〃江=64（m>0）時，構造出如

圖2所示面積為100的大正方形，則該方程的正數(shù)解為（）

圖1圖2

A.3B.4C.6D.8

【解答】解：'：x2+mx=64,

???陰影部分的面積為64,

:大正方形的面積為100,

四個小正方形的面積=大正方形的面積-陰影部分的面積=100-64=36,

小正方形的邊長為g=3,

???大正方形的面積=（x+2X3）2=100,

即（x+6）2=100,

解得：xi=4,X2=-16（不符合題意，舍去），

：.x1+mx=64（m>0）的正數(shù)解為4.

故選：B.

10.（3分）拋物線y=Qx2+b%+c（qWO）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=-2.下列說法:

①abc>0；

②4Q-264（Q什6）。為全體實數(shù)）；

③C>3Q；

④若/（m,>i）和B（加+1,y2）為圖象上兩點，且yi<y2，則能V—宗

其中正確的是（）

第11頁（共25頁）

【解答】解：①因圖象開口向下，可知：a<0；

又??,對稱軸為直線x=-2,

.??一/=—2,整理得：b=4a,即a、b同號.

由圖象可知，當x=4時，y<0,

又???對稱軸為直線x=-2,可知：當x=0時，y<0；

即c<0；

abc<0,故①錯誤.

②設4/-2abWat(at+b),則aft-bt^4a-2b,

兩邊+c得至U4Q-2b+c?aft-bt+c,

左側為x=-2時的函數(shù)值，右側為1=/時的函數(shù)值，成立，故②正確.

③)由①得：b=4a.

代入原解析式得：y=ax2+4ax+c；

a*(-1)2+4tz*(-1)+c>0,

整理得：c-3Q>0,

.\c>3a,故③正確.

(4)9?A(m,yi)和5(m+1,y2)為圖象上兩點，yi<y2^

m+m+1

???----------->-2,

2

???加>—I',故④錯誤.

故選：A.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.)

11.(3分)若/(-3,2),則點/關于原點的對稱點的坐標為(3,-2).

第12頁(共25頁)

【解答】解：點/的坐標是（-3,2）,則點/關于原點的對稱點的坐標是（3,-2）.

故答案為：（3,-2）.

12.（3分）已知關于x的一元二次方程/+2x+加=0有實數(shù)根，則的取值范圍是inWl.

【解答】解：由一元二次方程/+2x+%=0可知。=1,6=2,c=m,

?.?方程有實數(shù)根，

/.A=22-4%20,解得加W1.

故答案為：

13.（3分）“任選兩個對應角分別相等的四邊形，這兩個四邊形相似”是隨機事件.（填“不可能”

或“必然”或“隨機”）

【解答】解：任選兩個對應角分別相等的四邊形，這兩個四邊形不一定相似，

故答案為：隨機.

4

14.（3分）用一個圓心角為120°,半徑為4的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑為

【解答】解：F1207T-x4=2仃，解得右4*

4

故答案為：--

15.（3分）通過對數(shù)據的記錄、整理和分析，發(fā)現(xiàn)飛機著陸后滑行的距離s（單位：米）與滑行的時間f

（單位：秒）之間近似存在一個函數(shù)關系，測得一些數(shù)據（如表）：

滑行時間〃秒01234

滑行距離S咪058.5114166.5216

根據表中的數(shù)據，從一次函數(shù)和二次函數(shù)中選擇一個函數(shù)模型，使得它能近似地反映滑行距離與滑行時

間之間的函數(shù)關系，并根據所選的函數(shù)模型估計飛機著陸后滑行20秒時停下來.

【解答】解：從表格數(shù)據看：s、/不是線性變化，故不是一次函數(shù)關系，則為二次函數(shù)關系，

s=0,

???設函數(shù)表達式為：s=/+從，

將點（2,114）、（4,216）代入上式得：

116a+4b=216

解得：［a=-1

3=60

函數(shù)的表達式為：s=—■|/2+603

一駕=20,

~2

第13頁（共25頁）

...飛機著陸后滑行20秒時停下來，

故答案為：20.

16.(3分)如圖，已知點N(3,0),。。的半徑為2,點尸為。。上一動點，將線段/尸繞點N順時針旋

轉90°,得到線段N0.

(1)當點尸落在x軸正半軸上時，點。的坐標為(3,1)；

(2)連接。0,當點尸在。。上運動時，。。的最大值為3近+2.

【解答】解：(1)當?shù)豍在x軸的正半軸上時，P(2,0),

；.OP=2,

?：A(3,0),

.?.04=3,

：.AP=AQ=OA-OP=3-2=1,

.?.點。的坐標為(3,1).

故答案為：(3,1)；

(2)將△04。繞點/逆時針旋轉90°得到A。'AP,連接。0'.

'：OA=AO'=3,ZOAO'=90°,

：.OO'=3近，

?：PO'^OP+OO'=3V2+2,

：.PO'的最大值為3近+2,

第14頁(共25頁)

由旋轉變換的性質可知：OQ=O'P,

；.。0的最大值為3V2+2.

故答案為：3V2+2.

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(4分)解方程：f-6x-7=0.

【解答】解：原方程可化為：(x-7)(x+1)=0,

x-7=0或x+1=0；

解得：Xl=7,X2=-1.

18.(4分)如圖，在平面直角坐標系xQy中，每個小正方形的頂點叫做格點，△O3C的三個頂點都在格

點上.

(1)將△02C繞點。逆時針旋轉90°,得到△O3C1,畫出△02C1；

(2)以。為位似中心，在位似中心異側把△O8C放大到原來的2倍，得到△O&C2,畫出△。為C2.

【解答】解：(1)如圖，△。囪Ci即為所求.

(2)如圖，△O&C2即為所求.

19.(6分)如圖，已知函數(shù)為=/一2久—3與x軸交于/(-1,0),3兩點，過點8的直線”=履+6

與拋物線在第二象限交于點C.

(1)求線段N8的長；

(2)若△/BC的面積為10,結合圖象，當時，求x的取值范圍.

第15頁(共25頁)

【解答】解：(1)當y=0時，x2-2x-3=0,

解得Xl=-=1,X2=3,

：.A(-1,0),B(3,0),

：.AB^3-(-1)=4；

(2)設C(f,t2-2f-3),

:△48C的面積為10,

1

.".-x4X(t2-2f-3)=10,

2

整理得e-2/-8=0,

解得/i=4,t2=-2,

：.C(-2,5),

:拋物線與直線的交點為C(-2,5),B(3,0),

...當/>”時，x的取值范圍為x<-2或x>3.

20.(6分)已知①號盒子中有2個白球、1個黃球，②號盒子中有機個紅球、2個黃球，這些球除顏色

外無其他差別.

(1)若從②號盒子中隨機取出1個球，它是黃球的概率是最求加的值；

(2)在(1)的條件下，分別從每個盒子中隨機取出1個球，請用列表或畫樹狀圖的方法求取出的2

個球恰好都是黃球的概率.

1

【解答】解：(1)???從②號盒子中隨機取出1個球，它是黃球的概率是5,

?21

**m+22'

解得m=2,

經檢驗，加=2是原方程的解且符合題意，

???冽=2.

第16頁(共25頁)

（2）列表如下:

紅紅黃黃

白（白，紅）（白，紅）（白，黃）（白，黃）

白（白，紅）（白，紅）（白，黃）（白，黃）

黃（黃，紅）（黃，紅）（黃,黃）（黃，黃）

共有12種等可能的結果，其中取出的2個球恰好都是黃球的結果有2種，

21

，取出的2個球恰好都是黃球的概率為不=

21.（10分）某小組通過實驗探究凸透鏡成像的規(guī)律，他們依次在光具座上垂直放置發(fā)光物、凸透鏡和光

屏，并調整到合適的高度.如圖，主光軸/垂直于凸透鏡兒W,且經過凸透鏡光心。，將長度為8厘米

的發(fā)光物48進行移動，使物距。2為32厘米，光線NO,2。通過凸透鏡后傳播方向不變，移動光屏,

直到光屏上呈現(xiàn)一個清晰的像HB',此時測得像距。夕為12.8厘米.

（1）求像HB'的長度；

（2）已知光線NP平行于主光軸/,經過凸透鏡折射后通過主光軸上的點凡求。尸的長.

：.AB//A'B',

：.AAOB^AA'OB',

：.AB：A'B'=OB-.OB',

；.8：A'B'=32：12.8,

：.A'B'=3.2厘米；

(2)平行于主光軸/,AB//OP,

...四邊形/BOP是平行四邊形，

'.PO=AB=Scm,

'：PO_Ll,A'B'11,

：.PO//A'B',

第17頁（共25頁）

:.APOFsAA'B'F,

：.P0：A'B'=0F：B'F,

?：B'F=OB'-O尸=12.8-OF,

；.8：3.2=OF：(12.8-OF),

64

：.OF=^-cm.

22.(8分)某商品現(xiàn)在的售價為60元，每星期可賣出300件.市場調查反映：如果調整價格，每漲價1

元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件.已知商品的進價為每件39元.

(1)若降價2元，每星期可以賣出多少件該商品？

(2)若要每星期獲利6480元，應該漲價多少元？

【解答】解：(1)由題意可知，300+2X20=340(件),

答：若降價2元，每星期可以賣出340件該商品；

(2)設應該漲價x元，則每星期可以賣出(300-1Ox)件該商品，

由題意得：(60+X-39)(300-10x)=6480,

整理得：x2-9x+18=0,

解得：xi=3,X2=6,

答：要每星期獲利6480元，應該漲價3元或6元.

23.(10分)如圖所示，四邊形4BCD為。。內接四邊形，/ADC=90；DA=DB,點E為而上一點，

且NE=CD

(1)尺規(guī)作圖：作線段/￡(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)求證：ZEAD+ZADB=9Q°；

(3)若4D=3CD=3,求△48。的面積.

【解答】(1)解：如圖所示，點￡即為所求;

第18頁(共25頁)

E,D

作法提示：以4為圓心，CQ長為半徑畫弧，交通于點E,則點E即為所求;

(2)證明：連接4C,BE,

A

B

U：BC=BC,

：.ZBDC=ABAC,

■:AE=CD,

：.AE=CD,

：./ABE=/DAC,

*：DA=DB,

：.NDAB=NDBA,

：.ZDAB-ZDAC=ZDBA-NABE,

即/BAC=/DBE,

：.ZDBE=/BDC,

又?：證=DE,

：.ZEAD=ZDBE,

：.NEAD=/BDC,

VZADC=90°,

：.ZBDC+ZADB=90°,

：.ZEAD+ZADB=90°；

(3)9：AD=3CD=3,

；?CD=L

：.AC=y/AD2+CD2=V10,

VZADC=90°,

第19頁(共25頁)

...NC是直徑,

:DA=DB,

：.AH=BH,

二?！边^點圓心。,

設

在RtAAOH中，0H=y/OA2-AH2=

在RtZ\4D8中，AH2+DH2^AD2,

Vlo|-x2)2=32,

..x?2+z(-----+

2

整理得|+

+=9,

解得》=嚼(負值舍去),

同

?.■AbH=-3w-

2V10

：.AB=2AH=OH=

~5~

.?.切=。。+。長孚+空=窄

S^ABD—^AB'DH=

24.(12分)已知拋物線G：y=ax1+bx-8a(aWO)經過點Af(3,-5a),拋物線G與x軸交于點4B

(點4在點8的左側)，點P為拋物線G上/,8之間的動點(點P不與點4,8重合).

(1)求該拋物線的對稱軸；

(2)若a＞0,的面積的最大值為9,求＞=0?+岳；-8a(°#0)在3a-2WxW3a+l時的取值范

圍；

(3)若。＜0,點。為線段48上一定點(點。不與點/,8重合)，過。作x軸的垂線/,直線/分別

第20頁(共25頁)

交射線BP于點、E,F,若點P運動的過程中。片+2。9的值始終為6,求。的值.

【解答】解：(1)，.uy=ax2+bx-Sa(aWO)經過點V(3,-5a),

??-5〃=9Q+3b-8Q,即b~~-2Q,

故^="2-2ax-8a,

???該拋物線的對稱軸為直線x=-白=1.

(2)\y=ax1-2ax-Sa=a(x+2)(x-4),令y=O,得x=-2或4,

且點4在點5的左側，故點4坐標為(-2,0),點5坐標為(4,0).

1

???△久5的面積為S△物8=%B||=3||,

???點P為拋物線G上4,4之間的動點，

???當P為拋物線的頂點時，||取得最大值為||,

*,?5A/^5=3||=3x||=9,

i一

a=+-j,又a>0,

故a=亍

.*?3a~2=~1,3a+l=2,

拋物線為尸92-1x-1=|(x-l)2-3,

當X=1時，ymin=-3;當X=-1時，ymax=-

則當-1WXW2時，—3<y<一|.

(3)設點尸(Kat1-2at-點、D(d,0),

由(2)可得拋物線恒過點4(-2,0)和5(4,0),

則直線4尸的解析式可表示為y=[a(Z-2)-2d]x-Sa+2at=Cat-4a)x+2at-Sa,

同理直線5尸的解析式為表示為>=[Q(什4)-2a]x-Sa-4at=(at+2a)x-Sa-Satf

當x=d時，DF=(。什2。)d-Sa-4at,

貝Ij2DF=(2at+4a)d-\6a-Sat,DE=(Q/-4a)d+2at-8。，

:?DE+2DF=3atd-24。-6at=(3ad-6Q)t-24。，

???點P運動的過程中DE+2DF的值始終為定值6,即不受t的影響，

???令3ad-6Q=0,解得d=2,

i

-24Q=6,解得：a=--r.

q

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25.(12分)如圖所示，/BCD為矩形，48=4,AL>=3,點、E為BC上一動點、,AE與BD交于點、F,將線

段/廠繞點尸逆時針旋轉90°得到線段FG,FG與CD交于點、H.

(1)求線段8。的長；

(2)連接。G,若/DGF=90°,求BE的長；

(3)連接/〃，4H與BD交于點K,求A/K尸面積的最小值.

【解答】解：(