2024-2025學年廣東省深圳市高三年級上冊第二次診斷性測試數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年廣東省深圳市高三上學期第二次診斷性測試數(shù)學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知全集”R,集合/fio｝,二｛依1｝,則"如）=（）

A.O'?）B.HZC.S'?）D.Hl）

2.不等式xx-l的解集為（）

A.（°，+°°）B.（1，+8）C.（°/）D.12>

3.已知邊長為2的正方形/8CO中，4c與BD交于前E,則存?元=（）

A.2B.-2C.1D.-1

4.在斜三棱柱中，4,綜分別為側棱44,8瓦上的點，且知8綜=44,

過4,B0,a的截面將三棱柱分成上下兩個部分體積之比為（）

A.2:1B.4:3C.3:2D.1:1

5.已知函數(shù)[2x,x>a若〃x）的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（—8,0][0,1]c.[°，+8）D.（-8,1]

6.已知包｝是等比數(shù)列，則甲：數(shù)列｛"/為遞增數(shù)列,乙:V〃eN*,%+2>4恒成立,

則甲是乙的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

a+b

7.已知實數(shù)。，"a>6）滿足仍>0,若下列四個數(shù)。，b,2,而經(jīng)過適當排序

后構成公差為"的等差數(shù)列，則冏=（）

A.HB.2同c.3同D.4問

.71

8.若s）。是函數(shù)/6）=弟-灰+1（d6。）的一個零點，則/⑴=（）

A.5B.4C.3D.2

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知直線。，°是異面直線，點尸為空間中一點，且尸不在直線“，方上，則下列

說法一定正確的是（）

A.存在過點P的平面與。，6都相交B.存在過點尸的平面與。，6都平行

C.存在過點P的直線與。，°都相交D.存在過點尸的直線與。，°都垂直

10.已知。>0,記》=$出》在［凡2回的最小值為s“，在［2a,3a］的最小值為。，則下列情

況可能成立的是（）

A.s“>°,。>°B.s“<°,

C.%>°,。<°D.

11.已知由實數(shù)構成的數(shù)列｛“"｝滿足""+L-d+2a“GeN）,則以下說法正確的是（

）

A.存在后?N*且-2,使必=2

B.若％"°』），則數(shù)列也｝是遞增數(shù)列

c.若%?1，2）,則數(shù)列｛%｝的最大項為q

1

=9_b=

D.若"一歷，設"lg（j"）,也｝的前"項和為I則5">-2

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知空間中三點/（1/，G），3（1，T，2）,C（O,O,O）,則點A到直線BC的距離為

-3-7-71

13.己知圓臺的高為1,下底面的面積驍兀，體積為3,則該圓臺的外接球表面積為

14.在平面直角坐標系中，已知點A在曲線V=x-lnx上運動，點B在曲線V=f+1上

運動，點N（T，°）,M為中點，則MM的最小值為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.如圖，在AABC中，NABC=90°,AB=^,BC=1,P為aABC內一點,

ZBPC=90°.

]_

(1)若PB=2,求PA；

(2)若/APB=150°，求tan/PBA.

fan+1,〃為奇數(shù)

Q^3J

16.已知數(shù)列｛“"｝滿足%=1,""12%+2,〃為偶數(shù)

⑴記寫出仇，瓦,并證明數(shù)列包+3｝為等比數(shù)列;

17.如圖，在多面體/BCD跖中，四邊形/8CO是菱形，48c=60。，及4,平面

ABCD,EA//BF,AB=AE=2BF=2.

(1)證明：平面平面EFC；

(2)過。作平面即°的垂線，垂足為"，求”到平面的距離.

18.已知函數(shù)"x)="2fsinx+b.

(1)當。=1時，求證：

①當x＞。時，/(x)＞6；

②函數(shù)/(x)有唯一極值點；

(2)若曲線G與曲線C?在某公共點處的切線重合，則稱該切線為G和G的“優(yōu)切線”.

若曲線＞=/(x)與曲線＞=-cosx存在兩條互相垂直的“優(yōu)切線。求a,6的值.

19.己知集合”=也2,3,其中〃eN*,4,4,4,是A的互不相同的子集.

記4的元素個數(shù)為M（:12…，加），4口次的元素個數(shù)為My（i<z<7<m）

⑴若"=4,m=3,4={1，2},4={1,3},N\3=N[3=\,寫出所有滿足條件的集合

4（結論不要求證明）；

⑵若〃=5,且對任意的1口<八加，都有求加的最大值；

（3）若給定整數(shù)"27,叫W3（"1,2,...,加）且對任意1"</〃7,都有必=1,求

機的最大值.

答案

1.【正確答案】D

【詳解】由--4<0,得-2<x<2,所以"={X_2<X<2},

因為3={x|x之1},所以d8={x|x<l},

所以Zc?8)={x|-2<x<l}.

故選：D.

2.【正確答案】C

L>J_11_T.

【詳解】了二I,則xxTx(x-l),解得O<X<1,故原不等式的解集為(°」).

故選：C

3.【正確答案】A

—1—1—1—

AE=-AC=-AB+-AD————

【詳解】由題可知，222,BC=AD,

AE-BC=\-AB+-AD\-AD=-AB-AD+-AD=2

所以122J22

故選：A

4.【正確答案】A

【詳解】設三棱柱/8C-48c的體積為y

側棱和BB'上各有一動點4,1滿足BB°=44,

???四邊形4緯以與四邊形44)片4的面積相等.

故四棱錐。一41胡的體積等于三棱錐C-/54的體積等于3.

%

則四棱錐C一/。穌44的體積等于3.

故過4,B。,a三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積比為2:1

故選.A

5.【正確答案】B

【詳解】根據(jù)題意可得，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)y=x+l和g（x）=2'的圖象如下

圖所示：

當好0時，顯然兩圖象之間不連續(xù)，即值域不為R；

同理當。>1,值域也不是R；

當OWaVl時，兩圖象相接或者有重合的部分，此時值域是R；

綜上可知，實數(shù)。的取值范圍是

故選：B

6.【正確答案】C

【詳解】設等比數(shù)列｛""｝的公比為式《*°）,則。"叫

當為遞增數(shù)列時，即V〃eN*,%+2>?！昂愠闪ⅲ食浞中猿闪?

當V〃eN*,。"+2>為恒成立時，即%"

若%>°,則4<T或4>1,

當“<T時，見+1=04<°,與假設矛盾，舍去，

故4>1,此時“，用=《〃>為，則｛%｝為遞增數(shù)列；

若見<0,貝廠或

當-1<4<0時，％包=%4>0,與假設矛盾，舍去，

故此時4+1=%?>%,則包｝為遞增數(shù)列.

綜上所述，當V〃eN*,a“+2>%時，為遞增數(shù)列，故必要性成立；

所以甲是乙的充要條件.

故選：C.

7.【正確答案】D

【詳解】不相等的實數(shù)。，6滿足仍>0.

a+b

a>>y[ab>b

當a〉b>0時,顯然有2

a+b="1"+4ab=>=4ab=a=b

要想構成等差數(shù)列，則有:22

這與矛盾；

4ab>a>"土">b

當O〉a〉b時，2,

a+"+'=4ab+bnb=9a

要想構成等差數(shù)列，則有：2或b=a（舍去），

此時四個數(shù)由大到小為-3。，a,5a,9a.故同=4同.

故選：D

8.【正確答案】A

【詳解】因為sin36°=cos54。，

2sin18°cos18°=cos(2xl8°+18°)=cos36°cos18°-sin36°sin18°

所以

=^2cos218°-l^)cosl80-2cosl8°ginl80]

可得2sinl8°=4cos218°_32sinl8°=4(l-sin218°)-3

sin18。=~~-

即4sin218o+2sinl8O-l=0,解得4,

A/5-1-6x^^+l=0

a正la-bx3+l=0

I4J4

可得,即84

石(a-2b)+2b-2Q+8=0

JQ-26=0Ja=8

因為a,beN*,所以[26-2a+8=0,解得〔6=4

/(l)=a-b+l=8-4+1=5

故選：A.

9.【正確答案】AD

【詳解】若點尸與直線。所確定的平面與直線人平行時，BC不可能成立;

任取直線。上點A,直線人上點3,使尸，A,B不共線，則平面P/8與。和6相交,

A正確；

過P作直線。和°的平行線"和"，記"和6'所確定的平面為c,過戶作。的垂線乙

則垂線/與。，°都垂直，D正確；

故選：AD.

10.【正確答案】ABC

【詳解】依題意，。＞。，區(qū)間,’2"］與的區(qū)間長度相同,

O-匹兀\上力兀5兀3屁上，4兀攵

2T

a=—\a,2a\=—,12Q,3Q]=—

取6,則L」〔63」L」132」，此時、＞0,。＞0,人可能；

八

a=12Lk2a]=f—l[2a,3a]=[—]n

取6,則LJL63JL」[32」，此時s〃＜0/＜0,B可能;

5兀5兀5兀5兀5兀

,[2Q,3Q]=

a=—129~6~-6'4］，此時、

取12。＜0c可能;

由三角函數(shù)性質可知,假設成立，必然有a＞n,

則區(qū)間［。，2句與［2。,3旬的區(qū)間長度大于匹根據(jù)V=sinx的函數(shù)圖象可知,

當區(qū)間長度大于兀，》=$苗、在區(qū)間［。,2可與［20,3月上的取值必然有正有負,

此時力＜0,。＜0,與假設矛盾，D不可能.

故選：ABC

11.【正確答案】BCD

【詳解】對于A,假設存在AeN*且后22,。*=2,則-無+2%=2g2）,

即"3-2%T+2=0,該方程無實根，故A錯誤；

對于B,假設“e（°」），則。"1=一（％T）+140,1）,又為e（0,l）,

則對于〃eN*,%e（°，l）,那么對+1-。"=_力+?！?%（1_。"）＞0,

二數(shù)列｛"/是遞增數(shù)列，B正確；

對于C,若％貝ij?=+2%=_(q-I)+1

由二次函數(shù)的性質可知，々e（O,l）,由B選項的分析可知，當〃23時，4”0,1）,

故數(shù)列｛“"｝的最大項為卬，C正確;

對于D,由=一但一1Y+1得1一%=(1-。J,

__9_

因為%一10,所以%

，lg(l-a,+i)=21g(l-a”)，

.]」]，_1

一坨。-%)2lg(l-a,),即%=萬",

仄=一

?g

又因為

所以數(shù)列｛2｝是以-1為首項，5為公比的等比數(shù)列,

故D正確.

故選：BCD.

12.【正確答案】百

【詳解】'I，1，兩，BQT2)，C?0,0),

:.CA=(1,1,V3),C5=(1,-1,2)?,?|C^|=Jf+F+g)=國詞="+(-市+(2)2=V6

9

EK；CACBlxl+lx(-l)+2V32cV10

cos<CA,CB>=1I—I=----------l'J-----------==——

倒畫V5xV6而5

sin<CA,CB>=yjl-cos2<CA,CB>=—

設點A到直線8c的距離為d,則

t/=|c4|sin<G4,CS>=V5x^p.=V3

故答案為.百

13.【正確答案】100兀

【詳解】設上底面的半徑為3下底面的半徑為與，外接球的半徑為R,

由下底面的面積為16兀，則馬=%

廠=9?！?外4)=|?！?+16+4/)=乎

圓臺的體積3'73v73,

即L+4r「21=0,解得13或一7(舍),

當球心在圓臺的外側時，作出圓臺與外接球的軸截面，如下圖①所示，

設O/=x,若03=l+x.

在ACMC和AOBD中，42+X2=R2,32+(1+X)2=7?2;兩式聯(lián)立，

解得x=3,Ri=25.所以圓臺外接球的表面積為4成2=1007t.

圖①

當球心在圓臺的內側時，作出圓臺與外接球的軸截面，如下圖②所示,

設O4=x,若08=1一%.

222

在AO4c和AOB。中，4+x=Rt32+(l-x)2=R2,兩式聯(lián)立，

解得、=一3(舍去)，

綜上，圓臺外接球的表面積為4位?2=100。

故答案為.10°兀

V2+—ln2

14.【正確答案】4

【詳解】如圖:

直線＞=r+l關于點N（-1,O）的對稱直線為：y=-x-3；設點5關于點N的對稱點為

點C,則點C在直線產FT上.

因為點M為中點，點N為3C中點，所以=

的最小值等于點A到直線＞=f-3距離最小值.

過點A作曲線V=xTnx的切線，當切線與直線N=T-3平行時，點A到直線

y=_x_3總巨離最小.

G-lnxj=1--1-----=TX.

因為x,由再解得2.

巫（4+ln2）

因此1224此時點A到直線了=一》-3距離為2＜

V2+—ln2

因此l"N|的最小值為4.

V7B

15.【正確答案】（1）2（2）4

【詳解】試題分析：（1）在三角形中，兩邊和一角知道，該三角形是確定的，其解是唯

一的，利用余弦定理求第三邊.（2）利用同角三角函數(shù)的基本關系求角的正切值

（3）若是已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)大邊對大角進行判

斷.（4）在三角形中，注意H+3+C-1這個隱含條件的使用.

試題解析:解：（1）由已知得/PBC=60°,所以/PBA=30°.

號-翦疆斕舞題部口N

在4PBA中，由余弦定理得PA2=4S4

立

故PA=2.5分

(2)設/PBA=a,由已知得PB=sina.

V3_sina

在4PBA中，由正弦定理得sinl50。sin（30。-a）,

化簡得百cosQ=4sina.

百V3

所以tana=4,即tanZPBA=412分

考點：（1）在三角形中正余弦定理的應用.（2）求角的三角函數(shù).

16.【正確答案】（1）4=2,仇=7,證明見解析

（2）5-2,,+1-7?-10

【詳解】（1）顯然2"為偶數(shù)，貝1|=2%+2,%+2=%用+1.

所以的“+2=24“+3,即”+I=26“+3=>*]+3=20“+3）

且4+3=。2+3=。1+4=5

所以也+3｝是以§為首項，2為公比的等比數(shù)列，6"+3=5-2自

于是4=2,37,-3.

（2）j己％貝|]4=%“=021+1=g+1

從而數(shù)列｛"/的前2"項和為：

a++fl+,,+

$2"=（4+%+°5+,,,+in-\）+（?26%相）

=（。+。2+…C"）+01+4+??也）=2色+Z+???4）-”

=2X[5-（1+2'+---+2,--1）-3?]-H=5-2,!+1-7M-10

17.【正確答案】（1）證明見解析

]_

⑵5

【詳解】（1）證明：取EC的中點G,連接8。交/C于N,連接GN,G尸因為

N88是菱形，所以“CIBO,且N是NC的中點.

GN=-AE

所以GN///E且2,又AE//BF,AE=2BF=2,

所以GN//BF且GN=BF,所以四邊形BNGP是平行四邊形，

所以GF//BN.

又E4_L平面48cZ）,BNu平面4BCQ,所以EA上BN.

又因為NC_LBN,ACoEA=A

所以1平面E/C,所以G尸，平面E/C,又GFu平面EFC,

所以平面EFCL平面EHC；

（2）因為GN,AC,2。兩兩垂直.以N為原點如圖建立空間直角坐標系

則C（1,O,O）,。?,一6,0）,￡（-1,0,2）；尸。指,1）

CE=（-2,0,2）,。尸=什，亞1）不共線

因為a在平面EC尸上，由平面向量基本定理知，存在實數(shù)%、〃

國=2屋+〃而=外2/1-?,2/1+〃)

使得

麗=友+國=1_22_〃,6+百〃,2彳+〃)

所以

DH-CE=Q]42+2〃-1=0"=4

由[加,3=0得(紜+5〃+2=0,解得l〃=T

。"=[-A]-

因此122人故<22J

所以b到平面/BCD的距離為2.

18.【正確答案】（1）①證明見解析；②證明見解析

2

a=------，左￡Z,b=0

⑵4E+71

[詳解】(1)①當4=1時，/(x)-xsilu+b=x(x-siwc)+b

,己g(%)=x—sinx(x>0)則gf(x)=1-cosx>0

所以g（x）在m+s）上是增函數(shù).

所以當x>0時,g6）>g（°）=°

所以當x>0時，/(x)=x(x-sim0+6>6

②由/(%)=工2—xsinx+b得/'(x)=2x-sinx-xcosx且/z(0)=0

當x>0時/'(1)=x(l_cosx)+x_sinx

因為1-cosx20,x-sinx>0,

所以/'(x)>0.

因為''（r）=-/'（x）對任意xwR恒成立，

所以當x<o時，

所以0是一（X）的唯一極值點.

（2）設曲線>=/（x）與曲線N=Yosx的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點的橫坐標分

別為項戶2,其斜率分別為左，k2,則左向=-1.

因為（-cosx）'=sinx,

所以sinX]?sinr?—krk2=—1

所以{si嗎,siiW2}={-l,l}

71

1x=2kn+—,kGZ

不妨設si叫=1,則2

因為《i=/'（玉）=2axi-sinXj-XjCOS%1

由“優(yōu)切線”的定義可知2"1-sinxi-XROS%=sinX]

a=—=--—，左eZ

所以%14析+兀

?2.入

—xx-XjSinXj+b--cos叫

由“優(yōu)切線”的定義可知石

所以6=°.

22兀”兀

a—X,—2471HX1——2A7C

當4也+兀，kwZ,b=0時，取2,-2,

則/（占）=-8叫=0,/&）=-8衿=0,/'（陽）=5皿=1,/'。2）=3叫=-1,符合題

a=---------,kGZ,6=0

所以4E+7T

19.［正確答案］⑴4={1}或4=乩4}或4={2,3}或4=億3,4}

⑵%max=房

⑶加max=?

【詳解】（1）因為乂3=⑼3=1,則4c&和4A4的元素個數(shù)均為1,

又因