專訓(xùn)3-反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用

階段方法技巧訓(xùn)練（二）專訓(xùn)3反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用習(xí)題課解反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合題，一般先設(shè)出幾何圖形中的未知量，然后結(jié)合函數(shù)的圖象用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出幾何圖形與圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)解析式及幾何圖形的性質(zhì)寫出含未知數(shù)及待求字母系數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可得所求幾何圖形中的未知量或函數(shù)解析式中待定字母的值．【中考·棗莊】如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象交于A(m，6)，B(3，n)兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象直接寫出使kx＋b＜成立

的x的取值范圍；(3)求△AOB的面積．訓(xùn)練角度1反比例函數(shù)與三角形的綜合解：(1)求一次函數(shù)的解析式；∵A(m，6)，B(3，n)兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝(x>0)

的圖象上，∴m＝1，n＝2，即A(1，6)，B(3，2)．又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象上，∴解得即一次函數(shù)的解析式為y＝－2x＋8.解：(2)根據(jù)圖象直接寫出使kx＋b＜成立的x的取值范圍；根據(jù)圖象可知使kx＋b＜成立的x的取值范圍是0＜x＜1或x＞3.解：(3)求△AOB的面積如圖，分別過點(diǎn)A，B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別為E，C，設(shè)直線AB交x軸于點(diǎn)D.令y＝0，則－2x＋8＝0，解得x＝4，即D(4，0)．∴OD＝4.∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE＝6，BC＝2.∴S△AOB＝S△AOD－S△ODB＝

×4×6－

×4×2＝8.2．如圖，點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，DC⊥x軸于點(diǎn)C，AO＝DC＝2，AB＝DA＝，反比例函數(shù)y＝(k＞0)的圖象過CD的中點(diǎn)E.(1)求證：△AOB≌△DCA；(2)求k的值；(3)△BFG和△DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，其中點(diǎn)F在y軸上，試判斷點(diǎn)G是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．解：(1)求證：△AOB≌△DCA；∵點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，DC⊥x軸于點(diǎn)C，∴∠AOB＝∠DCA＝90°.在Rt△AOB和Rt△DCA中，∵∴Rt△AOB≌Rt△DCA.解：(2)求k的值；在Rt△ACD中，∵DC＝2，DA＝，∴AC＝＝1.∴OC＝OA＋AC＝2＋1＝3.∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，2)．∵點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3，1)．∴k＝3×1＝3.解：(3)△BFG和△DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，其中點(diǎn)F在y軸上，試判斷點(diǎn)G是否在反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．點(diǎn)G在反比例函數(shù)的圖象上．理由如下：∵△BFG和△DCA關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴△BFG≌△DCA.∴FG＝CA＝1，BF＝DC＝2，∠BFG＝∠DCA＝90°.易知OB＝AC＝1，∴OF＝OB＋BF＝1＋2＝3.∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，3)．∵1×3＝3，∴點(diǎn)G(1，3)在反比例函數(shù)的圖象上．訓(xùn)練角度2反比例函數(shù)與四邊形的綜合如圖，過反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上一點(diǎn)A作x軸的平行線，交雙曲線y＝－(x＜0)于點(diǎn)B，過B作BC∥OA交雙曲線y＝－(x＜0)于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，連接AD交y軸于點(diǎn)E，若OC＝3，求OE的長．類型1反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，)，由題易知四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB＝OC＝3.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a－3，).∴(a－3)·

＝－3.解得a＝2，經(jīng)檢驗(yàn)知，a＝2是原方程的解．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，3)．由題易知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－3，0)，∴直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝

x＋

.聯(lián)立方程組整理得x2＋3x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝－2.∴D(－2，).∴直線AD對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝

x＋

.令x＝0，則y＝

，∴E(0，).∴OE＝

.【中考·煙臺(tái)】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別是(4，0)和(0，2)，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象過對(duì)角線的交點(diǎn)P并且與AB，BC分別交于D，E兩點(diǎn)，連接OD，OE，DE，則△ODE的面積為________．類型2反比例函數(shù)與矩形的綜合

因?yàn)镃(0，2)，A(4，0)，由矩形的性質(zhì)可得P(2，1)，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可得k＝2，所以反比例函數(shù)解析式為y＝

.易知點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，所以AD＝

＝

.所以BD＝

.又易知點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2，所以2＝

.所以CE＝1.所以BE＝3.所以S△ODE＝S矩形OABC－S△OCE－S△BED－S△OAD

＝8－1－

－1＝

【中考·德州】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的對(duì)角線OB，AC相交于點(diǎn)D，且BE∥AC，AE∥OB.(1)求證：四邊形AEBD是菱形；(2)如果OA＝3，OC＝2，求出經(jīng)過點(diǎn)E的雙曲線對(duì)

應(yīng)的函數(shù)解析式．證明：(1)求證：四邊形AEBD是菱形；∵BE∥AC，AE∥OB，∴四邊形AEBD是平行四邊形．∵四邊形OABC是矩形，∴DA＝AC，DB＝BO，AC＝BO.∴DA＝DB.∴四邊形AEBD是菱形．解：(2)如果OA＝3，OC＝2，求出經(jīng)過點(diǎn)E的雙曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．連接DE，交AB于F，易知DE＝OA＝3.∵四邊形AEBD是菱形，∴EF＝DF＝DE＝，AF＝AB＝OC＝1.∴E(，1).設(shè)所求反比例函數(shù)解析式為y＝，把點(diǎn)E(，1)的坐標(biāo)代入得1＝，解得k＝.∴所求反比例函數(shù)解析式為

y＝.【中考·武威】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝(k>0，x>0)的圖象上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3)．(1)求k的值；(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)D落

在反比例函數(shù)y＝(k>0，x>0)的

圖象上時(shí)，求菱形ABCD沿x軸正

方向平移的距離．類型3反比例函數(shù)與菱形的綜合證明：(1)求k的值；如圖，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3)，∴OF＝4，DF＝3.∴OD＝5.∴AD＝OD＝5.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，8)．∴k＝xy＝4×8＝32.解：(2)若將菱形ABCD沿x軸正方向平移，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)D落在反比例函數(shù)y＝(k>0，x>0)的圖象上時(shí)，求菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離．如圖，將菱形ABCD沿x軸正方向平移，使得點(diǎn)D落在反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象上D′點(diǎn)處，過點(diǎn)D′作x軸的垂線，垂足為F′.∵DF＝3，∴D′F′＝3.∴點(diǎn)D′的縱坐標(biāo)為3.∵點(diǎn)D′在y＝的圖象上，∴3＝，解得x＝，即OF′＝.∴FF′＝－4＝.∴菱形ABCD沿x軸正方向平移的距離為.7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，反比例函數(shù)y＝(x＞0，k≠0)的圖象經(jīng)過線段BC的中點(diǎn)D.(1)求k的值；(2)若點(diǎn)P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)D重合)，過點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，作PQ⊥BC

所在直線于點(diǎn)Q，記四邊形CQPR的

面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式并

寫出x的取值范圍．類型4反比例函數(shù)與正方形的綜合證明：(1)求k的值；∵正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，∴C(0，2)．∵D是BC的中點(diǎn)，∴D(1，2)．∵反比例函數(shù)y＝(x＞0，k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，∴k＝2.證明：(2)若點(diǎn)P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)D重合)，過點(diǎn)P作PR⊥y軸于點(diǎn)R，作PQ⊥BC所在直線于點(diǎn)Q，記四邊形CQPR的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出x的取值范圍．當(dāng)P在直線BC的上方，即0＜x＜1時(shí)，∵點(diǎn)P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，∴y＝∴S四邊形CQPR＝CQ·PQ＝x·(－2)

＝2－2x.當(dāng)P在直線BC的下方，即x＞1時(shí)，同理求出S四邊形CQPR＝CQ·PQ＝x·(2－)＝2x－2.綜上，S＝8．如圖，雙曲線y＝(k>0)與圓O在第一象限內(nèi)交于P，Q兩點(diǎn)，分別過P，Q兩點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，3)，則圖中陰影部分的面積為______．訓(xùn)練角度3反比例函數(shù)與圓的綜合4∵圓O在第一象限的部分關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，雙曲線y＝