2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題：絕對值化簡的四種考法（含答案）

專題01絕對值化簡的四種考法

目錄

解題知識必備...............................................

壓軸題型講練...............................................

類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值..................................................1

類型二、分類討論化簡.........................................................3

類型三、幾何意義化簡絕對值..................................................6

類型四、非負(fù)性化簡絕對值...................................................10

壓軸能力測評（13題）.......................................................11

??解題知識必備??

1.絕對值的意義

絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)。的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做。的絕對值，記作時.

2.絕對值的性質(zhì)

a,a>0

絕對值表示的是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故有非負(fù)性向K）,即：同=0,。=0.

-a,a<0

互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等.

3,絕對值與數(shù)的大小

1）正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù).

2）理解：絕對值是指距離原點(diǎn)的距離.

所以：兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。粌蓚€正數(shù)，絕對值大的大.

??壓軸題型講練”

類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值

【典例1］有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，且⑷=|c|.

II?1A

ba0c

（1）用“<"連接這四個數(shù)：0,a,b,c；

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(2)填空：a+b_O,(+c_0(填入">或"=")；

(3)化簡:|a+6|-21al—|b+c|.

【答案】⑴b<a<O<c

(2)<，<

(3)0

【分析】本題考查有理數(shù)的大小比較、數(shù)軸、絕對值：

(1)根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小即可判斷；

(2)根據(jù)數(shù)軸和相反數(shù)的性質(zhì)可得答案；

(3)利用絕對值的性質(zhì)即可解決問題.

解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

【詳解】(1)解：根據(jù)數(shù)軸得：b<a<0<c；

(2)解：由數(shù)軸可得，b<a<0<c,|a|=|c|,

???a+ft<0,/?+c<0；

故答案為：<,<；

(3)解：由圖可知：a<0,a+b<0,b+c<0,a+c-0,

?'?原式=—Gt—b+2a+6+c

—a+c,

=0.

【變式1-1］數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡|-a|+|b-c|的結(jié)果為()

???」A

a0bc

A.—a+b—cB.-u—b+cC.a+b—cD.ct-b+c

【答案】B

【分析】此題考查了運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)和絕對值化簡的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知

識進(jìn)行變形、求解.運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)和絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡、計算.

先確定a,6,c的符合以及大小，然后再取絕對值即可.

【詳解】解：由題意得，a<0<b<c,二一a>。，b-c<0,

|—a\+\b-c|=一a一(b-c)———a—b+c,

故選：B.

【變式1-2］已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡|a+c|+|b-c|一|a—川+2b.

?i_____I__________i?

baQc

【答案】2c+2b

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【分析】

此題考查絕對值，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸和絕對值化簡解答.先根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，確定它們所表示的數(shù)

的和的大小關(guān)系，再根據(jù)有理數(shù)的加減法法則判斷正負(fù)，利用絕對值的意義化去絕對值符號，加減得結(jié)論.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：c>O>a>b,

■■-a+c>O,b—c<O,a—b>0,

|<2+c|+|/)—c|一|ci—b\+2b=a+c+c—b—(a—b)+2b

=a+c+c-b-a+6+2b

—2c+2b.

【變式1-3］如圖，數(shù)軸上點(diǎn)力，B,C,。分別表示有理數(shù)a,b,c,0,

CBOA

_________1111?

cb0a

(1)若點(diǎn)8是線段AC的中點(diǎn)，且a=3,c=—5,則匕=;

(2)若點(diǎn)/在原點(diǎn)。右側(cè)，點(diǎn)2,C在原點(diǎn)。左側(cè)，且。力>OB,化簡|a+b|+|b+c|—|a—c|.

【答案】⑴-1

(2)0

【分析】(1)本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)距離關(guān)系，根據(jù)終端兩線段列式求解即可得到答案；

(2)本題根據(jù)數(shù)軸化簡絕對值，根據(jù)數(shù)軸得到數(shù)字關(guān)系得到式子的正負(fù)，化簡絕對值即可得到答案;

【詳解】(1)解：：點(diǎn)5是線段4C的中點(diǎn)，數(shù)軸上點(diǎn)/,B,C,。分別表示有理數(shù)a,b,c,0,

b=5(a+。)=5x(3—5)=-1,

故答案為：-1；

(2)解：由數(shù)軸可得，

c<b<0<a,

VOA>OB,

\a\>\b\,

/.a+6>0,b+c<0a—c>0,

|a+b|+|b+c|—|a—c\=a+b—b—c—(a—c)=a+b—b—c—a+c=0.

類型二、分類討論化簡

【典例2】請利用絕對值的性質(zhì)，解決下面問題：

(1)已知a,6是有理數(shù)，當(dāng)a>0時，則==；當(dāng)b<0時，則言=.

(2)已知a,b,c是有理數(shù)，a+b+c=0,abc<0,求號+管+當(dāng)?shù)闹?

|a|\b\\c\

⑶已知a,b,c是有理數(shù)，當(dāng)abc70時，求=的值.

\a\\b\\c\

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【答案】(1)1;-1

(2)-1

⑶3或一3或1或一1

【分析】本題考查了絕對值的意義、分類討論的思想方法：

(1)直接根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解即可；

(2)a+b+c=0,abc<0可知三個數(shù)中必需有兩個正數(shù)，一個負(fù)數(shù)，可設(shè)a>0,b>0,c<0解答；

(3)分a,b,c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)或兩個正數(shù)，一個負(fù)數(shù)或三個都為

負(fù)數(shù)四種情況討論即可.

【詳解】(1)解：:a>。，|a|=a,

aa

,?,而_-「_1;

?:b<0,

?'?\b\=-b,

1.

網(wǎng)~b

故答案為:1,-1；

(2)解：*.*a+b+c=0,abc<0,

，三個數(shù)中必需有兩個正數(shù)，一個負(fù)數(shù)，可設(shè)a>0,b>0,c<0

CL——(b+c),b=—(a+c),c=—(a+b),

原式=—+H—-=—1—1+1=-1；

ab—c

(3)解：由題意得：a,b,。三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)或兩個正數(shù)，一個負(fù)

數(shù)或三個都為負(fù)數(shù).

①當(dāng)a,b,c都是正數(shù)，即a>0,/?>0,c>0時，

則:言+白+六=2+1+，=1+1+1=3；

\a\\b\|c|abc

②當(dāng)a,b,c有一個為正數(shù)，另兩個為負(fù)數(shù)時，設(shè)a>0,b<0,c<0,

貝"：言+白+5=±+?+;=1+(―1)+(—1)二一1；

\a\\b\|c|abc

③當(dāng)a,b,c有兩個為正數(shù)，一個為負(fù)數(shù)時，設(shè)Q>0,h>0,c<0,

貝二+-L+-L

川.同十團(tuán)十Id

=1+1-1

=1;

④當(dāng)a,6,C三個數(shù)都為負(fù)數(shù)時，

則.A±_L

1?1+\b\+|c|

=-1-1-1

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=—3；

綜上所述：擊+由+后的值為3或-3或1或-1.

【變式2-1】如果°,6,c為非零有理數(shù)且a+6+c=0,那么得+白+=+陪的所有可能的值為(

|a|\b\|c|\abc\

A.0B.1或-1C.2或-2D.0或-2

【答案】A

【分析】根據(jù)題意確定出a,6,c中負(fù)數(shù)的個數(shù)，原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結(jié)果.

【詳解】解：b、c為非零有理數(shù)，且a+6+c=0

；.a、b、c只能為兩正一負(fù)或一正兩負(fù).

①當(dāng)a、b、c為兩正一負(fù)時，設(shè).、6為正，c為負(fù),

原式=1+1+(-1)+(-1)=0,

②當(dāng)a、b、c為一正兩負(fù)時，設(shè)a為正，b、c為負(fù)

原式1+(-1)+(-1)+1=0,

綜上，言+白+怖■+署;■的值為0,

1?1聞|c|\abc\

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-2］已知a、6為有理數(shù)，abKO,且聞=細(xì)+2，當(dāng)a、6取不同的值時，M的值等于()

a\b\

A.±5B.。或±1C.。或±5D.土1或土5

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值的含義，分四種情況討論即可得到結(jié)果，不重不漏是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：Vab豐0,

.?.當(dāng)a>0,b>0時，時=駟+溫=3+2=5,

a\b\

當(dāng)a>0,6<0時，M=膽+之=3-2=1,

a\b\

當(dāng)a<0,%>0時，M=^+^=-3+2=-l,

a\b\

當(dāng)a<0,6<0時，M=^+^=-3-2=-5,

a\b\

的值等于±1或±5,

故選：D.

【變式2-3】如果abKO,那么*看的值是()

|a|聞\ab\

A.±1或3B.-1或3C.1或3D.±1或-3

【答案】B

【分析】本題考查的絕對值的應(yīng)用，以及化簡求值.根據(jù)協(xié)40,即。、6全為正數(shù)時，或。、6為一正一

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負(fù)時，或a、6全負(fù)時分類討論計算即可.

【詳解】解：???ab豐0,

???設(shè)a>0,b>0時，

百+小荒="1+1=3,

a>0,b<0或a<0,b>0時,

a,b,ab....a,b,ab.,

而+而+而?=1TT=-L或而+而+南=-1+a1-1=-1a,

a<0,bV0時,

—+—+—1-1+1=-1,

l?l網(wǎng)|ab|

綜上可得：卷+白+黑=3或一1,

同\b\\ab\

故選：B.

類型三、幾何意義化簡絕對值

【典例3】閱讀下列材料，回答問題.

經(jīng)過有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，我們知道|5-3|可以表示5與3之差的絕對值，同時也可以理解為5與3兩個數(shù)

在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，我們可以把這稱之為絕對值的幾何意義.同理，|5-(-2)|可以表示5

與-2之差的絕對值，也可以表示5與-2兩個數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.試探究：

I____III______|_______|_________|_____|______|_______|______|_______II_______|______I?

-7-6-5-4-3-2-101234567

(1)|4-1|表示數(shù)軸上_與_所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

(2)|x-5|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到—所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；|x+2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的

點(diǎn)到一所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

⑶利用絕對值的幾何意義，請找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|x+2|+|x-2|=4.這樣的整數(shù)x有

【答案】⑴4,1

(2)5,-2

(3)-2,-1,0,1,2

【分析】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對值的意義等知識，

(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，進(jìn)行作答即可；

(2)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，進(jìn)行作答即可；

(3)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，得到x在—2到2之間，|x+2|+|%—2|=4,即可得出結(jié)論.

掌握兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：|4-1|表示數(shù)軸上4與1所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；

(2)|x-5|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到5所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；

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1%+2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到-2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；

(3)|%+2|+|%-2|=4表示x到-2之間的距離與x到2之間的距離的和為4,

V-2到2之間的距離為4,

在-2到2之間，

這樣的整數(shù)x有—2,-1,0,1,2.

【變式3-1】同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸

上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

試探索：

⑴求|5-(-2)|=.

(2)找出所有符合條件的整數(shù)X,使得|比+5|+|x-2|=7這樣的整數(shù)是.

⑶由以上探索猜想對于任何有理數(shù)》,忱+3|+|%-6|是否有最小值？如果有寫出最小值(請寫清楚過程),

如果沒有說明理由.

【答案】⑴7；

⑵一5、一4、一3、一2、-1、0、1、2；

⑶有最小值，最小值是9.

【分析】

本題考查了數(shù)軸與絕對值，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，理解用絕對值表示兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；

(2)由|x+5|+|x-2|=以一(一5)|+4一2|可得忱+5|+。一2|表示x到一5的距離與久到2的距離之和,

根據(jù)2-(-5)=7即可得到x一定在一5到2之間，進(jìn)而可求解；

(3)由3+3|+|久一6|=|x—(-3)|+|x-6|可得|x+3|+|x—6|表示的是x到-3的距離與x到6的距離之

和，進(jìn)而可得當(dāng)x位于—3和6之間時，|x—(―3)|+|刀一6|的值最小，即為—3到6的距離，即可求解；

【詳解】(1)

解：|5-(-2)|=|5+2|=7,

故答案為:7；

(2)

解:*.*|x+51+|%—21=\x—(—5)|+\x-2|9

|x+51+\x-2|表本/到-5的距離與％到2的距離N和,

V2-(-5)=7,

，第一定在一5到2之間，

，符合條件的整數(shù)%有一5、一4、一3、—2、-1、0、1、2,

故答案為：一5、一4、一3、一2、一1、。、1、2；

(3)解：|久+3|+|%—6|有最小值，最小值是9.

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理由如下：

\x+3|+|x-6|=\x—(—3)|+|x—6|,

...|x+3|+|x-6|表示的是x到-3的距離與x到6的距離之和，

當(dāng)x位于一3和6之間時，氏一(-3)|+反一6|的值最小，即為一3到6的距離，

:.忱+3|+|%-6|有最小值為6-(-3)=9.

【變式3-21點(diǎn)力、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,力、B兩點(diǎn)之間的距離表示為力B,在數(shù)軸上4B兩點(diǎn)之

間的距離力B=\a-b\.利用數(shù)形結(jié)合的思想回答下列問題：

------1--------1-----------1——>

a0b

⑴數(shù)軸上表示2和10兩點(diǎn)之間的距離是數(shù)軸上表示2和-10的兩點(diǎn)之間的距離是」

(2)數(shù)軸上表示x和-2的兩點(diǎn)之間的距離表示為」

⑶若%表示一個有理數(shù)，反-1|+|久+3|有最小值嗎？若有，請求出最小值，若沒有寫出理由.

⑷若x表示一個有理數(shù)，求+4|+|x-5|+|x+6|的最小值.

【答案】(1)8；12

(2)|x+2|

(3)|x—l|+|x+3|有最小值,最小值為4

(4)11

【分析】本題主要考查的是數(shù)軸、絕對值，理解絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

(1)依據(jù)在數(shù)軸上/、2兩點(diǎn)之間的距離4B=|a-團(tuán)求解即可；

(2)依據(jù)在數(shù)軸上/、2兩點(diǎn)之間的距離4B=|a-可求解即可；

(3)根據(jù)題意可得反-1|+|x+3|表示數(shù)軸上x和1的兩點(diǎn)之間與x和-3的兩點(diǎn)之間距離和，即可；

(4)根據(jù)題意可得|x+4|+|x-5|+|x+6|表示數(shù)軸上x和—4的兩點(diǎn)之間，x和5的兩點(diǎn)之間與x和-6

的兩點(diǎn)之間距離和，即可.

【詳解】(1)解：|10-2|=8；|2-(-10)1=12；

故答案為：8；12.

(2)數(shù)軸上表示x和—2的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x—(―2)|=|x+2|；

故答案為：|x+2|.

(3)解:|x-1|+忱+3|有最小值，

根據(jù)題意得：|x-l|+|x+31表示數(shù)軸上x和1的兩點(diǎn)之間與x和-3的兩點(diǎn)之間距離和，

VI-(-3)=4,

??.|x-l|+|x+3|有最小值,最小值為4；

(4)解：根據(jù)題意得：|x+4|+|久-5|+|x+6|表示數(shù)軸上x和-4的兩點(diǎn)之間，x和5的兩點(diǎn)之間與x

和-6的兩點(diǎn)之間距離和，

.?.當(dāng)x=—4時，有最小值，最小值為5—(—4)+(—4)—(—6)=11.

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【變式3-3】在學(xué)習(xí)了數(shù)軸后，小亮決定對數(shù)軸進(jìn)行變化應(yīng)用：

A

—?------1--------------1——?

a0b

應(yīng)用一；點(diǎn)/、2在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,4、2兩點(diǎn)之間的距離表示為N3,在數(shù)軸上/、2兩點(diǎn)之

間的距離力B=\a-b\.

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示x和6的兩點(diǎn)之間的距離表示為；數(shù)軸上表示久和-3的兩點(diǎn)之間的距離表示為

(2)若x表示一個有理數(shù)，則|無-1|+|%+4|的最小值=，滿足條件的所有整數(shù)久的和為.

⑶請寫出當(dāng)x=時，|久+2|+上―1|+|x|+|比+4|+|x+3|有最小值為.

⑷規(guī)律應(yīng)用

工廠加工車間工作流水線上依次間隔2米排著9個工作臺/、B、C、D、E、F、G、H、I,一只配件相應(yīng)該

放在工作處，能使工作臺上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程是米.

【答案】⑴|x—6|；|x+3|

(2)5,-9

(3)-2,8

(4)￡,40

【分析】本題考查有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)、絕對值：

(1)根據(jù)數(shù)軸上4、3兩點(diǎn)之間的距離4B=|a-川計算便可；

(2)當(dāng)x在表示數(shù)-4與1的兩點(diǎn)及兩點(diǎn)之間時，|%-1|+|%+4|的值最小，求出此時的值便可；

(3)根據(jù)絕對值的幾何意義可知，當(dāng)x=-2時，+2|+阿一1|+|x|++4|++3|有最小值8；

(4)以E點(diǎn)為原點(diǎn)，2米為一個單位長度，/、B、C、D、E、F、G、H、/依次在數(shù)軸上排列，根據(jù)絕對

值的意義，幾何數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)可知當(dāng)x=0時，|x-8|+|x-6|+|x-4|+|x-2|+|x|+|x+2|+|x+

4|+|x+6|+|x+8|有最小值40；

【詳解】(1)解：數(shù)軸上表示光和6的兩點(diǎn)之間的距離表示為|久-6|；

數(shù)軸上表示x和-3的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x-(-3)|=|x+3|,

故答案為：民-6|；|x+3|

(2)解：當(dāng)—時，-1|+|x+4|取最小值，

其最小值為：|x-l|+|x+4|=l-x+久+4=5,

滿足條件的整數(shù)x的和為一4-3-2-1+0+1=-9

故答案為：5,—9；

(3)解：|x+2|+|x-1|+|x|+|x+4|+|x+3|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到一4,一3,-2,1所對應(yīng)

的點(diǎn)的距離之和，

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...當(dāng)x=-2時，|x+2|+阿一1|+|用+|久+4|+|久+3|有最小值，最小值為8,

故答案為：-2,8；

(4)以E點(diǎn)為原點(diǎn)，2米為一個單位長度，/、B、C、D、E、F、G、H、/依次在數(shù)軸上排列，

則/點(diǎn)表示的數(shù)為-8,2點(diǎn)表示的數(shù)為-6,。點(diǎn)表示的數(shù)為-4,。點(diǎn)表示的數(shù)為-2,尸點(diǎn)表示的數(shù)為2,

G點(diǎn)表示的數(shù)為4,X點(diǎn)表示的數(shù)為6,/點(diǎn)表示數(shù)為8,

設(shè)配件箱應(yīng)該放在數(shù)軸上表示x的數(shù)的位置，

當(dāng)—8|+|%—6|+—4|+—2|+|x|++2|++4|++6|+|x+81有最小值時,工作臺上的

工作人員取配件所走的路程最短，

當(dāng)%=0時，|x-8|+|x—6|+|x-4|+|x-2|+|x|+|x+2|+|x+4|+|x+6|+|x+81有最小值40,

..?配件箱應(yīng)該放在工作臺￡處，最短路程為40米，

故答案為：E,40；

類型四、非負(fù)性化簡絕對值

【典例4］若有理數(shù)正,〃滿足|2m—1|+(n-2)2=0,則nrn等于()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】B

【分析】此題考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識進(jìn)行求解.先運(yùn)用非負(fù)數(shù)的

性質(zhì)求得加，〃的值，再代入求解.

【詳解】解：,；|2ni-l|+(n-2)2=0,

/.2m—1=0,n—2—0,

解得：m=I，n=2,

mn=-x2=1,

2

故選：B.

【變式4-1］若|a-4|+(b+5/=0則a-b=.

【答案】9

【分析】本題考查絕對值非負(fù)性的知識，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值非負(fù)性的應(yīng)用，根據(jù)題意，則二:

解出a,b,即可.

【詳解】V|a—4|+(b+5)2=0,

?ra—4=0

?"+5=0'

.Ca=4

=一5'

a—=4—(—5)=9.

故答案為：9.

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【變式4-2］若(2a-1)2與21b-3|互為相反數(shù)，則盧=.

【答案w

【分析】本題考查相反數(shù)的概念及絕對值的知識.根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0,可得(2a-1)2與21b-

3|的和為0,再根據(jù)絕對值和偶次方的非負(fù)性即可分別求出a,b.

【詳解】?；(2。-1)2與2|6-3|互為相反數(shù)

?1"(2a—1)2+2|b—31=0

???(2a-I)2>0,2\b-3|>0

2a-1=0,2\b-3\=0

a=r6=3

故答案為：

o

【變式4-3】已知|久+2|+(y—3)2=0,求/的值為.

【答案】-8

【分析】本題考查絕對值的非負(fù)性，代入求值，先根據(jù)絕對值得非負(fù)性求出x,y的值，然后代入解題即可.

【詳解】解：由題可得：x+2=0,y-3=0,

解得x=-2,y=3,

：.xy=(—2)3=-8,

故答案為：-8.

”壓軸能力測評”

1.有理數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡出|-g-a|+|l-a|的結(jié)果為()

~b0^1""

A.1—2aB.l-2bC.1D.2b-2a

【答案】A

【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，化簡絕對值.熟練掌握利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，化

簡絕對值是解題的關(guān)鍵.

由數(shù)軸可知，Z?<0<a<1,貝肪-a<0,1—cz>0,根據(jù)|b|—\b-G|+11—a|=—b+b—a+1—a,

計算求解即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，b<0<a<l,

b-a<0,1—a>0,

\b\_\b_u|+11_CL\———b+b—a+1_a=l_2a,

故選：A.

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2.若a+6+c>0,abc<0,則@+也+血=()

abc

A.1B.-1C.0D.3

【答案】A

【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及絕對值的化簡問題.

【詳解】解：+6+c>0,且abc<0,

...a,b,c三個數(shù)中有兩個正數(shù)一個負(fù)數(shù)，

;.?+回+回=1,

abc

故選：A.

3.若(a+3)2與仍一1|互為相反數(shù)，貝口().

A.a=-3,b=-1B.a=-3,b=1C.a=3,b=1D.a=3,b=-1

【答案】B

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義、絕對值的非負(fù)性等知識點(diǎn)，熟練掌握絕對值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)相反數(shù)的定義及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出b的值即可.

【詳解】解：：(a+3)2與g一1|互為相反數(shù)，

(a+3)2+|b-11=0,

二a+3=0,b—1=0,

.".a=—3,b=1.

故選B.

4.下列說法中正確的是()

A.若|a|=|b|,則a=bB.若=則a,6互為相反數(shù)

C.。的絕對值一定是負(fù)數(shù)D.若一個數(shù)小于它的絕對值，則這個數(shù)一定是負(fù)數(shù)

【答案】D

【分析】由絕對值的含義結(jié)合相反數(shù)的特點(diǎn)可判斷A,B,由絕對值的非負(fù)性可判斷C,D,從而可得答案.

【詳解】解：若|“|=|6|,則a=±b,故A不符合題意；B不符合題意；

。的絕對值一定是非負(fù)數(shù)，故C不符合題意；

若一個數(shù)小于它的絕對值，則這個數(shù)一定是負(fù)數(shù)，描述正確，故D符合題意；

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值的含義，相反數(shù)的含義，絕對值非負(fù)性的理解，有理數(shù)的大小比較，掌握"絕

對值的含義”是解本題的關(guān)鍵.

5.若l<x<2,則白一段+㈣的值是()

x—21—xx

A.-3B.-1C.2D.1

【答案】D

【分析】本題主要考查了絕對值，代數(shù)式的化簡求值問題，在解絕對值時要考慮到絕對值符號中代數(shù)式的

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正負(fù)性，再去掉絕對值符號，解題的關(guān)鍵是在解絕對值時要考慮到絕對值符號中代數(shù)式的正負(fù)性，再去掉

絕對值符號.

【詳解】

x-2<0,x—1>0,%>0,

-(x-2)X—1X

原式二----------1—

x—21—XX

X—1

=-1----------------+1

-(X-1)

=-1+1+1,

=1,

故選：D.

6.|%—1|+|%—2|+氏-3|+???+|%—2021|的最小值是（）

A.1B.1010C.1021110D.2020

【答案】C

【分析】x為數(shù)軸上的一點(diǎn)，|x；|+|x-2|+|x-3|+...|x-2021|表示：點(diǎn)x到數(shù)軸上的2021個點(diǎn)（1、2、3、...2021）

的距離之和,進(jìn)而分析得出最小值為：11011-11+|1011-21+11011-31+...|1011-20211求出即可.

【詳解】解：在數(shù)軸上，要使點(diǎn)x到兩定點(diǎn)的距離和最小，則x在兩點(diǎn)之間，最小值為兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段

長度（否則距離和大于該線段）；

所以：當(dāng)1京42021時,|x-l|+|x-2021|有最小值2020；

當(dāng)2442020時，|x-2|+|x-2020|有最小值2018;...

當(dāng)x=1011時，有最小值0.

綜上，當(dāng)x=1011時，|x-l|+|x-2|+|x-3|+...|x-2021|能夠取到最小值,

最小值為：11011-11+11011-21+|1011-31+...|1011-20211

=1010+1009+...+0+1+2+...+1010

=1011x1010

=1021110.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合求最值問題，利用已知得出x=1011時，

|x-l|+|x-2|+|x-3|+...|x-20211能夠取到最小值是解題關(guān)鍵.

7.若有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖，化簡：\a-c\+\b+c\-\a-b\-.

III_______________I_______

ac0b

【答案】2c

【分析】本題考查了利用數(shù)軸判斷式子的正負(fù)、化簡絕對值，由數(shù)軸得出a<c<0<b,⑹<⑸<|a|,

從而得出a-c<0,6+c>0,a-b<0,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡絕對值即可得出答案，采用數(shù)形結(jié)合

的思想是解此題的關(guān)鍵.

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【詳解】解：由數(shù)軸可得：a<c<O<b,\c\<\b\<|a|,

a—c<0,b+c>0,a—b<0,

|a一c|+|Z?+c|—|a—b\=c-a+b+c+a—b=2c,

故答案為：2c.

8.已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示：

c0a\b-

(l)-a_l,b2,|c|2(填“>"或"<")

(2)化簡:|-a-l|-|6-2|+|h+c|.

【答案】(1)<,>,<

(2)a+c+3

【分析】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸比較大小，化簡絕對值，合并同類項，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值的

意義；

(1)根據(jù)數(shù)軸上確定各個有理數(shù)的大小關(guān)系，然后比較即可；

(2)確定絕對值符號內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)情況再根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值符號進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算即可求解.

【詳解】(1)由數(shù)軸可知：0<a<1,b>2,-2<c<-1且|a|<|c|<\b\,

■■■—a<1,b>2,|c|<2

故答案為：<,>,<；

(2)由(1),得一a—1<0,6—2>0,網(wǎng)>|c|.

又b>0,c<0,

所以b+c>0,

所以|一a—1|一此一2|+|b+c|

=—(—a—1)—(b—2)+(ft+c)

=a+l—6+2+b+c

--a+c+3.

9.綜合與探究：已知點(diǎn)4B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,A,8兩點(diǎn)之間的距離表示為AB,則力B=\a-b\,

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示1和5的兩點(diǎn)之間的距離為數(shù)軸上表示1和-2的兩點(diǎn)之間的距離為一

(2)數(shù)軸上表示%和3的兩點(diǎn)之間的距離為數(shù)軸上表示%和-1的兩點(diǎn)之間的距離為二

⑶若x表示一個有理數(shù)，且x位于-4到2之間，求-2|++4|的值；

(4)|久-4|+|x+1|+|x+7|的最小值是一

【答案】(1)4,3

(2)|x-3|,|x+l|

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⑶6

(4)11

【分析】此題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、絕對值的意義，熟練掌握數(shù)軸和絕對值的特征是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意，可以解答本題；

（2）由題意可以得到，數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)之間的距離和數(shù)軸上表示x和-3兩點(diǎn)之間的距離；

（3）根據(jù)x的值，去掉絕對值符號，進(jìn)行化簡，即可解答本題；

（4）利用數(shù)軸的特點(diǎn)和絕對值的意義可以解答本題.

【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示3和6兩點(diǎn)之間的距離是5-1=4,數(shù)軸上表示1和-2的兩點(diǎn)之間的距離

是1-（-2）=3；

故答案為：4,3；

（2）解：數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x+l|,數(shù)軸上表示x和3的兩點(diǎn)之間的距離表示為

|x-3|；

故答案為：|%-3|,|%+1|；

（3）解：若x表示一個有理數(shù)，則僅一2|+回+4|的最小值=2-（—4）=6；

（4）解：根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置可知，當(dāng)x=—1時，|x—4|+|%+1|+|久+7|有最小值，

最小值為：|—1—4|+|-1++|-1+7|=5+0+6=11,

故答案為：11.

10.【閱讀理解】

（1）如圖所示，|1-3|或|3-1|可以表示在同一條數(shù)軸上1所對應(yīng)的點(diǎn)與3所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.根據(jù)

以上信息，在同一條數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)與-1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離可表示為（只寫一種）.

【探索發(fā)現(xiàn)】

（2）若有理數(shù)a,-1,5在同一條數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別為P,A,B,求P4+PB的值，當(dāng)P4+PB的值最

小時，點(diǎn)P在什么位置？

【聯(lián)系拓廣】

（3）直接寫出|x+1|+|比一2|+阿+4|+|比一5|的最小值________.

2個單位長度

，-------卜------->

-7-6-5-4-3-2-101234567

【答案】（1）|x+l|（答案不唯一）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段上的時候，P4+PB的值最?。?）12

【分析】本題主要考查數(shù)軸上的動點(diǎn)問題及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離問題

是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意即可求解；

（2）把原式轉(zhuǎn)化看作是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示5與-1的點(diǎn)之間的距離最小值，進(jìn)而問題可求解；

（3）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進(jìn)行求解；

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根據(jù)原式的最小值為2,得到表示3的點(diǎn)的左邊和右邊，且到3距離為2的點(diǎn)即可.

【詳解】解：(1)有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)與-1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離可表示為|%+1|；

故答案為：+1|;

(2)@PA+PB=|x-5|+|x-(-l)|,表示P到力與到B的距離之和，

當(dāng)點(diǎn)P在線段力B上，PA+PB=6,

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)力的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時，PA+PB>6,

/.當(dāng)PA+PB取最小值時，點(diǎn)P在線段4B上；

(3)\x+1|+\x—21+\x+4|+|x—51=\x—(—1)|+\x-2|+\x—(—4)|+\x-5|,

|x+11+|x—2|+\x+4|+|x—5|的最小值表示x與—4,—1,2,5之間的距離最小,

r.|x+l|+|x-2|+|x+4|+|x-5|的最小值為|5-(-4)1+|2-(-1)|=12.

故答案為：12.

11.先閱讀，后探究相關(guān)的問題

【閱讀】15-2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；[5+2|

可以看做15-(-2)|,表示5與-2的差的絕對值，也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距

離.

A

II]_______I_______II_______III______III>

-5-4-3-2-10123456

(1)如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點(diǎn)4.5的相反數(shù)的點(diǎn)2,再把點(diǎn)/向左移動1.5個單位，得到點(diǎn)C,則點(diǎn)8和

點(diǎn)C表示的數(shù)分別為和,B,C兩點(diǎn)間的距離是；

⑵若點(diǎn)/表示的整數(shù)為x,則當(dāng)x為時，|無+6|與|比-2|的值相等；

⑶要使代數(shù)式|久+1|+|x-2|取最小值，相應(yīng)的x的取值范圍是.

【答案】(D—4.5,3.5,8；

(2)-2;

(3)-1<x<2.

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離、用數(shù)軸表示有理數(shù)、解絕對值方程、化簡絕對值等知識點(diǎn)，掌

握數(shù)軸與絕對值的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)相反數(shù)的定義即可確定點(diǎn)B表示的數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸確定點(diǎn)C表示的數(shù)先，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離

公式求得B、C兩點(diǎn)之間的距離；

(2)根據(jù)題意得到，解絕對值方程即可解答；

(3)根據(jù)絕對值的意義即可解答.

【詳解】(1)解：4.5的相反數(shù)是-4.5,即點(diǎn)2表示的數(shù)為-4.5；

點(diǎn)C表示的數(shù)為5—1.5=3.5,B、C兩點(diǎn)間的距離是3.5-(—4.5)=3.5+4.5=8.

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故答案為：一4.5,3,5,8.

(2)解：：|尤+6|與|x-2|的值相等，

.,.①萬+6=X-2,此種情況等式不成立；

(2)x+6=—(x—2),解得：x=-2.

故答案為：-2.

(3)解：：|%+1|+|比一2|值最小，

...在數(shù)軸上可以看作表示x的到-1的距離與x到2的距離和最小，

???X只能在—1與2之間，包括—1與2兩個端點(diǎn)，

.".-1<x<2.

故答案為：—1<x<2.

12.若數(shù)軸上M,N兩點(diǎn)分別表示數(shù)m與數(shù)?1,則M,N兩點(diǎn)之間的距離是MN=-可，例如|2-(-1)|表示

2和-1在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

AOBC

Il11A

⑴已知點(diǎn)48在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a,b,且|a+3|+(b—2)2=0.

①a=,b=.

②P是數(shù)軸上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P表示的數(shù)是X,求|x+1|+-2|的最小值.

(2)某條街上有3家新開的自習(xí)室4,8,C.小東的哥哥小浩是大學(xué)生，小浩參與了大學(xué)生創(chuàng)業(yè)計劃，在政府的

支持下，小浩想在自習(xí)室附近開設(shè)一家復(fù)印店，為來自習(xí)室學(xué)習(xí)的學(xué)生提供方便，復(fù)印店記為點(diǎn)P.如圖，

小東家在。處，自習(xí)室力在小東家西邊50米處，B在小東家東邊150米處，C在小東家東邊200米處.請問：

小浩把復(fù)印店開設(shè)在什么地方，復(fù)印店到三個自習(xí)室和家的距離之和最小，即PA+PB+PC+PO的值最

小？最小值為多少？

【答案】⑴①一3,2；②3

(2)點(diǎn)P在O,B之間(包含在點(diǎn)?；駼上)時，P4+PB+PC+P。的值最小，