2024-2025學(xué)年天津市濱海高新區(qū)高三年級上冊三聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年天津市濱海高新區(qū)高三上學(xué)期三聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測試卷

一、單選題（本大題共9小題）

2

已知集合/=白q<5},B=^\x-8x+7<0},則

1.(4")c8=)

A{x|5<x<7}B{+5<x<7}C.{x|5<x<7}D.{x\5<x<7}

1?

267'—>1

2.已知xeR,條件P"<x,條件x，則P是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)/（X）的解析式可能是（)

B.7(x)=(4^-4-)log2|x|

D.7(x)=(4^4-')log2|x|

/、

a=flog12

6=)(log52),C=f(e02)^

4,設(shè)函數(shù)/G)=l°g2W,若I§A貝i]a,b,c的

大小為（)

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c

{“"}的前"項和為S",且$4=452，%,=2%+1("0)，則

5.已知等差數(shù)列

%=()

A.6B.9C.11D.14

〃x)"m3+°)+W>0,…冏后

6.設(shè)函數(shù)的最大值為2,其圖象相鄰兩個對稱

兀71

—X-......

中心之間的距離為2,且/（X）的圖象關(guān)于直線12對稱，則下列判斷正確的是

()

7171

A.函數(shù)>=/（、）在-上單調(diào)遞減

Y，o]

B.函數(shù)＞=/（x）的圖象關(guān)于點I6J對稱

x-....

c.函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于直線12對稱

D.要得到＞=sin2x+l的圖象，只需將/（X）圖象向右平移3個單位

7.已知直線人機(jī)X--3加+1=°恒過點尸，過點P作直線與圓c：

（xT＞+（y-2）2=25相交于力,夕兩點,則的最小值為（）

A.4石B.2C.4D.2石

8.尻殿（圖1）是古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式.宋稱為“五脊殿”、“吳殿

尻殿建筑是房屋建筑中等級最高的一種建筑形式，多用作宮殿、壇廟、重要門樓等高級

建筑上.學(xué)生小明在參觀文廟時發(fā)現(xiàn)了這一建筑形式，將其抽象為幾何體ABCDEF,

如圖2,其中底面/BCD為矩形，

EF//AB,AE=DE=CF=BF=4&EF=AD=-AB=8

2,則該幾何體的體積為()

1024640

A.512B.384C.D.3

[xe1(xN0)

9.函數(shù)f(x)若關(guān)于X的方程f2（x）-afQx)+a-a2=0有四個

不等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（)

B.(-8,-1)U[1,+8)

C.(-8,-1)U{1}D.(-1,0)U{1}

二、填空題（本大題共6小題）

2+az

10.設(shè)，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)工二廠為純虛數(shù)，則實數(shù)a=.

11.二項式的展開式中，第4項的二項式系數(shù)是丁的系數(shù)是

12.已知直線八尸工+機(jī)被圓C/+/-4x_2尸1=0截得的弦長等于該圓的半徑，則實數(shù)

m=

3

log332-log49-log,-+log,6

13.計算-4~的值為

4（中+1）尤？

-------------1----

14.已知X/都為正實數(shù)，則x夕的最小值為

15.在平行四邊形/2CO中，E是線段CD的中點，點口滿足/E=3E尸，若設(shè)

BC=b,則旃可用表示為___________；點屈是線段2。上一點，且=

若BMLBF,則cosZABC的最大值為.

三、解答題(本大題共5小題)

16.在V/2C中，角A,B,C的對邊分別為"b,c,已知

3(sinA-sinC)2=3sin22-2sin/sinC

(1)求cosB的值;

(2)若5。=36,

(i)求tan/的值：

TT

sin(2Zd——)

(ii)求6的值.

17.如圖所示，在三棱柱"8C-/4G中，平面N8C,

/A4c=90。，/2=/。=/4=2.。是棱C￡的中點，M為棱3c中點，尸是的延長線

與4G的延長線的交點.

⑴求證：咫〃平面由M；

(2)求直線MP與平面8n4所成角的正弦值；

(3)求平面MPB、與平面夾角的余弦值.

18.數(shù)列｛""｝的前〃項和為與“產(chǎn)1%+i=2S“+l"cN'

(1)求數(shù)列｛""｝的通項公式；

1

c,=logs%，b*=

⑵令J：,數(shù)列也J的前〃項和為T?,若對

V”eN*,T>-log(1-a)

5a'恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.設(shè)｛"J是等差數(shù)列，""｝是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列.且

%=b]=1,Q3+b?=7,2tz2-bq.—2

⑴求｛%｝，也｝的通項公式；

(2)記]為｛"｝的前〃項和，求證：(Z+2<1+1；

(%為奇數(shù)

—潦~n，〃為偶數(shù)

⑶若〔1”力Iz力，求數(shù)列匕｝的前2〃項和$2”.

20.已知函數(shù)〃x)=x(lnx-加-1),weR.

(1)若加=2,求曲線V=〃x)在點(e，〃e))處的切線方程；

(2)當(dāng)X>1時，求函數(shù)/(?的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若對于任意xe[e，e2],都有〃x)<41nx成立，求實數(shù)力的取值范圍.

答案

1.【正確答案】B

【詳解】由8={削/-"7<0}得8={X|1<X<7},由4={小<5}得>=班溝所

以（。/）（"18={引54》<7}

故選：B

2.【正確答案】C

【詳解】解二次不等式，<x,可得0<x<l,貝|j/={x|0<尤<1}

陋2>1

解分式不等式x,可得0<x<l,則3={x[0<x<l}

因為N=3,所以0是夕的充要條件.

故選：C.

3.【正確答案】D

【詳解】對于A,/（x）=（4'Y》|,其定義域為R,有/（r）=（4-41x|=_/a）,

則函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，不符合題意，故A錯誤；

對于B,小）=（41'）1。氏叱其定義域為崗―},

有"）=（…）噫…（X）,則函數(shù)小）為奇函數(shù)，不符合題意，故B錯誤；

對于C,心（4"對，在區(qū)間91）上，小）>。，不符合題意，故c錯誤.

對于D,/S）=6+4'）og2H=（4"）"=小），則小）為偶函數(shù),

且在區(qū)間（0,1）上，山）<°,符合題意，故D正確.

故選：D.

4.【正確答案】A

【詳解】解：因為/5）=晦問=噫國=/口所以小）為偶函數(shù)，

/、

alo

=fgi2=/（-log32）=/（log32）

所以<3）

當(dāng)X>°時，/（x）=bg2X在（0,+8）上為增函數(shù)，

因為°<bg52<log32<le°2>e°=l

所以0<log52<log32<e°2,

因為/（X）在（0,+8）上為增函數(shù),

所以“k)g52)<〃k)g32)</(e°2),

所以6<“<c,

故選：A

5.【正確答案】B

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛""｝的首項為4,公差為心

由S4=4S2,a2?=2a?+l(MeN,)^

+6d=8〃i+4d1%=1

貝lj有［4+(2〃一l)d=2q+2(〃一l)d+l,解得［d=2

所以等差數(shù)列｛"J的通項公式為%=2"-l,"eN*,

故生=2X5-1=9.

故選：B.

6.【正確答案】C

(p=—/(x)=3sin(2x+—)+1

【詳解】由已知：/=3,。=2,3,所以3

_,7i_71_,3zrjr7萬

2k兀?—?2xH—?2k7TH-----kjr-\—?x?kjr-\-----(kGZ)

令232,得1212,故選項A錯誤；

根據(jù)函數(shù)〃x)的解析式可知對稱中心的縱坐標(biāo)一定是1,故選項B錯誤；

7TTC,,.r、7Ck/C,.r、

2xH—=—FGZ)x=------1-----(kGZ)

令32，解得122,當(dāng)上=-1時，符合題意，故選項c

正確;

對于選項D,需將“X)圖象向右平移6個單位才能得到y(tǒng)=sin2x+l,故選項口錯誤.

故選：C.

7.【正確答案】A

【詳解】由鞏x-3)-y+l=0恒過P(3,l),

又(3-1)2+(1-2)2=5<25,即尸在圓,內(nèi),

要使M同最小，只需圓心CQ，2)與尸的連線與該直線垂直，所得弦長最短，

由《尸|=石，圓的半徑為5,

由z|/>=2義卜25-5=4退

故選：A

8.【正確答案】D

【分析】

根據(jù)等腰梯形以及等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求解長度，利用體積公式求出一個

棱柱與兩個棱錐的體積，可得該幾何體的體積，

【詳解】

因為EF〃/3,AB//DC,所以斯//DC,

AE=DE=CF=BF=4百,EF=AD=-AB=S

由2

得四邊形ABFE，四邊形DCFE均為等腰梯形,

4,i

過E作于K,作EA/_LDC于連接KN,

過尸作尸G//3于G,作FHLDC于H,連接，

所以E尸〃KG〃必/,EF=KG=MH=8,AK=GB=DM=HC=4,

因為4B/ADC,FH±DC,所以AB_LF8,

又ABLGF,GF,切在平面FG”內(nèi)，GF^FH=F

所以平面RG”,同理，平面EKM,所以平面尸G"http://平面EKN,

所以該幾何體被分為一個棱柱與兩個棱錐.

分別取力。，8c的中點尸，Q,連接尸0,EP,

因為4E=DE=BF=CF=473,所以EP14。，尸0-LBC,

所以FQ=-BQ2=J（4"）2-4。=4>/2

FG=^FB2-BG2=7（4>/3）2-42=4及

連接PQ,交G”于T,則7為G好的中點，連接尸T,

因為平面尸G”,/T在平面PG”內(nèi)，所以

因為GF=FH=EK=EM,所以FT_LGW,

又4B,G”在平面/BCD內(nèi)，AB[}GH=G所以77Tl平面/火。，

所以FT=^FQ2-QT2=7（4V2）2-42=4,

I228

匚UI、I9棱錐晡=胃F-GBCH=—><8x4x4=——

所以33

=-GH-FT=-x8x4=16

因為22

所以"二棱柱RH-EJ?=S.FGH，GK=16x8=128

er-IUnZ-rZJ-AAZ-l-XnAL/梭F-GBCH+FGH-EKM=2X+128=

所以該幾何體的體積為33,

故選：D

9.【正確答案】D

【詳解】當(dāng)GO時,/(x)=ei(l-x),

所以當(dāng)0<x<1時，f'(jr)>0,fQx)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f'(x)

<0,f(x)單調(diào)遞減，

且/1(())=0,當(dāng)+8時，fQx)-0,當(dāng)x<0時，y(x)單調(diào)遞減，所以

f(x)的圖象如圖所示：

令t—f(x),則由上圖可知當(dāng)力=0或1時，方程t=f(x)有兩個實根；

當(dāng)力e(0,1)時，方程t=f(x)有3個實數(shù)根；

當(dāng)力G(-8,0)U(1,+8)時，方程t=fQX)有一個實數(shù)根，

所以關(guān)于x的方程產(chǎn)(x)-afB+a-a2=0有四個不等的實數(shù)根

等價于關(guān)于大的方程a什a-a2=0有兩個實數(shù)根『0,北=1或力G(0,1),

12G(-8,0)U(1,+8),

當(dāng)fy=0,12=1時，a=l,

當(dāng)(0,1),12G(-8,0)U(1,+8)時，(02-aXO+a-a2)

(I2-aXl+a-a2')<0,解得-l<a<0,

綜上所述，(-1,0)U{1}.

故選：D.

10.【正確答案】2

2+ai(2+ai)(l+i)(2—a)+(a+2)i2—aa+2.

【詳解】j(j)0+i)222為純虛數(shù)，

p-a=O

則［a+2w0,解得a=2.

故答案為.2

11.【正確答案】35-280

【詳解】由題意，第4項的二項式系數(shù)為=35,通項公式為

r\74r

r,,=C；x7-r(-^)r=(-2)rC；x7-2=3,,,,

,理，令3,所以y=3,所以4=(一2)C7X=-280x,

故無3的系數(shù)是一280.

故35；-280.

12.【正確答案】2或一4

求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長，列出等量關(guān)系，即可求出結(jié)果

【詳解】由/+/_4x_2y_]=0得（x—2）+（7-1）=6

所以圓C的圓心為（2」），半徑

j2-l+m||m+l|

圓心到直線/"=x+》的距離V2V2,

則由題可得『=26一/,

V6=2LMY

即VI42J,解得加=2或_4.

故2或-4.

13.【正確答案】8

3

?=log32-log23-log2-+log26

【詳解】原式-4-

3

=51og32-log23-log2-+log26

3

=5-log2-+log26

.[6

=5+log2—

4

=5+log28

=8

故8

14.【正確答案】8

4（町+1）x24x2

-------------1=4VH14y+—>2,4/=4x

【詳解】X>.X因為X/都為正實數(shù),丁，當(dāng)且

4x24

僅當(dāng)4/=',即2>=x時等號成立，所以.尤丁x,當(dāng)且僅當(dāng)

（切+）2

，4_141x

4x=一x_-------------1----

X,即x=l時等號成立，綜上所述，當(dāng)2時,X夕取最小值為8.

故8

14一

-a+-b

15.【正確答案】33

??4F=-4E

【詳解】由NE=3所，可得3,

—?——.—-——?4—.——.4—?1—.——?4—?2—?

BF=BA+AF=BA+-AE=BA+-(AD+-DC)=BA+-BC+-DC

貝I]33233

=BA+-BC+-AB=-BA+-BC=-a+-b

333333；

AM=-AD

由=可得3,

BM=BA+AM=BA+-AD=a+-b

則33,

由BMJ_BF,可得BF-BM=0,

i4-i-I.4f13-

(-a+-b)\a+-b)=-a2+-b2+—a-b=O

即333399

_3萬2+4戶

a-br=-------------

整理得13

-113^+4廬＜12512M473

cosZABC=a|^|=

同網(wǎng)13同|可一13同忖

故

|b|=—|a|

當(dāng)且僅當(dāng)2時等號成立,

4百

則cos/4BC的最大值為13.

2146+3

16.【正確答案】(1)3.(2)(i)2.(ii)10.

a_b_c

【詳解】在△/BC中，由正弦定理嬴2=而萬"寂

2a2+c2-b2_2

可得：3(Q—c)=3/_24，整理得2ac~3,

2

cosB=一

由余弦定理，可得3；

.「V5ab

sinB——------=-------

(2)(i)由(1)可得3,又由正弦定理sin/sinB,

.,asin53V5V5

sin/4=_____—_x___—___

及已知“=36,可得b535,

由己知"=36,可得a<6,故有/<3,

cosA=tan/=L

為銳角，可得5,2.

34

cos2/=l—2sinA=—sin2A=2sinAcosA--

（ii）由（i）可得5,5,

.r.7r\.,,7ic“.兀4c3\4e+3

sin2/d——=sin2^4cos——l-cos2^4sm—=—xF—x—=----------

（6）66525210

17.【正確答案】（1）證明見解析

⑵丁

8收

⑶63

【詳解】（1）在三棱柱中，平面/8C,ZBAC=90°,

則直線4綜4￡，4/兩兩垂直，

以點4為原點，直線44，40,4,分別為x，v，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖:

由4B=/C=”2,得4（0,0,0）,4（2,0,0）,3（2,0,2）,￡）（0,2,1）,1（0,0,2）,

C（0,2,2）,M（l,l,2）,

在皿月中，說/g且。是棱eq的中點，則G也是4尸的中點，即4P=4

尸（0,4,0）,

設(shè)平面87M的一個法向量1=（x,y,z）,則42=（2,0,2）,40=（021）

元?A[B=2x+2z=0

<

貝ij〔所,4O=2〉+z=0,令y=l,得萬=（2/，一2）,

珂=（2，-4,0）,因為西?萬=2x2-4+0=0,所以西，為，

又因為「平面出必，所以股//平面區(qū)D4.

（2）由（1）知平面助4的法向量?=（2/，-2）,又MP=（T3,-2）,

設(shè)直線"P與平面出M所成的角為a,

.I訴一|MP^\卜2+3+4|5V14

sina=\cosMP,n\=------L=J―—-----L=--------

皿11MP\\n\V14x342

則I11,

59

所以直線MP與平面所成角的正弦值為丁.

(3)設(shè)平面”P片的一個法向量而=(網(wǎng)，乂，4),瓦必=(-1,1,2),平=(-2,4,0),

m-B、M--x+必+2Z]=0

<1

則忻?8|P=-2X]+4%=0,令1=1,得比=(4,2,1)

設(shè)平面MPB\與平面BD4夾角為e,

m-n|8+2-2|8721

L

cos"=cos<m,n>=-n>——=-------

則m\\nV21X363

8而

所以平面Mpq與平面瓦夾角的余弦值7r.

18.【正確答案】⑴0”=3'1

ae[0)—|

⑵s

[詳解](1)="=1'%+i=2S.+lGeN*)①，

當(dāng)"=1時，。2=2%+1=3；當(dāng)〃22時，an=2S.-1+1②,

由①-②得:%+1-a,=2a”,即%+1=3a,

又=3%,.?.〃=：!時也滿足,

'{%}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，?,?4=3

(2)由⑴知:/=噫"2〃！

11111

b,

(2n-l)(2?+3)4(2〃-12〃+3)

=U111111111—

+++…+1+--

則4537592九一12〃+343

+

3^n+\2n+3)y又1在〃eN*時單調(diào)遞增，,也上山-1-5

V〃eN*,Tn>|loga(l-o)

:對5恒成",

.'.|>|loga(l-?)^即

,.T-Q〉0,

\-a>a,:.0<a<—G|0,-I

又2,即I2人

a?=2w-l,neN*b=2"-1,neN*

19.【正確答案】(1)n

(2)證明見解析

_q八220

（3）S2“=Q〃-3）2+3

【詳解】(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列包｝的公差為心等比數(shù)列也｝的公比為“4>°),

1%+偽=1+2d+g=7J2d+q=6

則匕出-4=2（l+d）-4?=2,化簡，得j2d-q2=0,

d=d=2

整理，得42+彳-6=0,解得《=-3（舍去），或q=2,則一2一2

-1-l

an=l+2（M-l）=2/z-l,neN*bn=l-2"=2",neN*

T==2〃_1

（2）由⑴可知，”1-2,

則&產(chǎn)2向-1,&2=2"+2-1,

,?ZZ+2-a=（2--lX2"+2-l）-（2"+1-l）2

=22n+2-T-2n+2+1-22n+2+2.2n+1-1

=-2"<0,

T"'&2<T；+i.

(%+1)?瓦，〃為奇數(shù)2"?萬工〃為奇數(shù)

(3)由(1)可得,

n+\

n-22，〃為奇數(shù)

一;（“-占],"為偶數(shù)

yZ—1Z—iy

..S2n=C]+C2HFC2n

二（q+C3+?,,+。2〃一1）+（。2+Q+…+。2〃），

令4=G+q+…+°21=1?21+3-22+5123+一+（2〃一1）.2〃

=1-22+3?23+???+（2”一3>2〃+（2〃—1）2〃+1,

兩式相減，可得-4=2+23+2，+…+2向-（21）.2向

<^3_077+2

=2+_一（21>2向=_（2〃一3）2"+|-6