2024-2025學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)高三12月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)高三12月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）

數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合/=卜,2<5},5={-1,0,2,3},則42=()

A.{-1,0}B.{0,2}C.{0,2,3)D.{-1,0,2}

x2,x<0,。滿足/1|]=|,則實(shí)數(shù)加的值為（

2.已知函數(shù)〃x）=<

A.353

B.一c.—D.

48128

3.已知平面向量B滿足同=1,歸+.=3,a±j則歸=()

A.1B.2C.V6D.布

4.蘇州荻溪倉(cāng)始建于明代，曾作為古代官方根倉(cāng)，圓筒根倉(cāng)簡(jiǎn)約美觀、儲(chǔ)存容量

大，在糧食儲(chǔ)存方面優(yōu)勢(shì)明顯，如圖（1）.某校模型制作小組設(shè)計(jì)圓筒糧倉(cāng)模型時(shí)，

將糧倉(cāng)的屋頂近似看成一個(gè)圓錐，如圖（2）.若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓，底面圓

的直徑為2a,則該圓錐的體積為（）

圖（1）圖⑵

A.^-na3B.拒威C.—Tia3D.不四府

33

5.已知函數(shù)/（戈）=5出（2丫+夕）[0<夕<口，若/1+力為偶函數(shù)，且/（x）在區(qū)間

[-。,。]上不單調(diào)，則（）

7T兀兀7T

A.Q>—B.Q>—C.〃<—D.Q<一

6363

6.物理學(xué)中的“波義耳定律”是指一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變的情況下，壓強(qiáng)p與

體積修成反比.若容器的容積為匕容器內(nèi)某種氣體的初始?jí)簭?qiáng)為P。，真空泵每次

抽出該氣體的體積為外,"次抽氣后，設(shè)容器內(nèi)剩余該氣體的壓強(qiáng)為則

%./=4（%+%）?若匕=；k，設(shè)抽氣時(shí)該氣體溫度不變，欲使容器內(nèi)剩余該氣體的

壓強(qiáng)低于初始?jí)簭?qiáng)的。，則最少需要抽氣的次數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：1〃23。1.58）

A.1B.2C.3D.4

+sin(^-a)=|4

7.已矢口sinatan￡=1,/?G(0,71),貝!Jcosa+cos('-a)=(

A-2V22

cD.

~T~-I3

8.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+y)</(x)+/(y)-1,且當(dāng)％>0時(shí),

/(%)<1,設(shè)〃=/(e=1),6=/(ln(x+l)),則()

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=a-i（aeR）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若忖=2,則°B.若彳.z=2,貝Ua=±l

C.若卜（l+i）|=2,貝i]a=lD.若三=-i,貝ija=-l

1-1

10.已知v/3c是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)尸在V/8C內(nèi)或邊界上，則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.若麗=定，則荔?9B.若而=2正，則網(wǎng)=々

C.若網(wǎng)=1,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為午D.若網(wǎng)=網(wǎng)=5則冏=百

11.如圖所示的多面體Z8CDPAW中，/BCD為矩形，平面48cD,

PDHNC11MB旦PD=NC=MB=2,AB=2BC=2PD,點(diǎn)G為的重心，設(shè)

CG=2C7/（2^0）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.該多面體的體積為§

B.存在2,使得CG_L平面

C.若4=2,則2,。,N,*四點(diǎn)共面

2

D.若點(diǎn)〃在該多面體外接球的球面上，則％=5

三、填空題(本大題共3小題)

41

12.已知一--=1^>0),則。的最大值為_(kāi)_____.

ab

13.某密碼鎖的密碼由三位不重復(fù)的數(shù)字組成，請(qǐng)根據(jù)下面三張圖片提供的信息,

判斷這個(gè)密碼鎖的解碼為.

石、個(gè)號(hào)碼正確珀、個(gè)號(hào)碼正確

11個(gè)號(hào)碼正確2

318位置正確卜卜⑼位置不正確四6|3|位置都不正確

14.若關(guān)于x的方程-1|=0有且僅有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)。的值為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.記V/2C的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知二二口.

b2+c2-a22

⑴若6c=2,求tanN；

(2)若A=^~,cosB=2五,求o?.

33

16.已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S,且。2=5,=數(shù)列｛"｝滿足

n2

L_a〃+2caw+1.

bn---------------

n+1n

⑴求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列應(yīng)｝的通項(xiàng)公式及S”.

17.已知函數(shù)/(x)=2Inx+(t-l)f+1.

(1)若，=g,求證：/(x)<l；

⑵若feZ且〃x)+2/x<0在(0,內(nèi))上恒成立，求t的最大值.

18.如圖，在四棱臺(tái)/BCD-48cA中，平面/BCO,底面/BCD為菱形,

43=244，點(diǎn)￡為的中點(diǎn).

(1)求證：。田//平面片GCB;

⑵若班小CG，AD=2^,二面角E-0C-D的大小為45。，求該四棱臺(tái)的體積.

3

19.已知函數(shù)/(x)=Inx+roc?-2x+].

⑴若/(x)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)%的取值范圍.

(2)若加=：,正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足q=；,%="“")+1.

①求證：當(dāng)X〉1時(shí)，；

②求證：對(duì)任意N*,￡鼠-1|<1.

k=\

答案

1.【正確答案】D

【詳解】將x=-l,0,2,3代入，<5中，可知x=-l,0,2成立，x=3不成立，

.?."8={-1,0,2}.

故選：D.

2.【正確答案】B

【詳解】/圖=嗎/3a*n[j+2]=]

5

故加二一，

8

故選：B

3.【正確答案】C

【詳解】由〃(共5)可得筋_。%=0，故萬(wàn)石=i,

X|a+Z)|="\a+~b+2a-b=3,故川+片+2=3,故問(wèn)="，

故選：C

4.【正確答案】A

【詳解】由題意，知該圓錐底面圓的半徑為。，設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為/,高為人

由2兀。=兀/,得I=2a,h—\[?>a,所以該圓錐的體積v=工兀/?百〃

33

故選：A.

5.【正確答案】A

【詳解】/1+.)=5苗12苫+1+0][0<0<1]為偶函數(shù)，

兀兀兀

故—v(p——Fkit,keZ,故(p——Fkit,keZ,

326

由于0<。<一故"=B，則/(x)=sinhx+^j,

2O

J71TTTJT

令2x+—￡——+2左兀一+2左兀，左EZ,

622

jl兀

角星XG-----F歷I,---Fkit，左￡Z,

36

jrjr

故〃x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為-徐

由于區(qū)間卜。,可關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，要使“X）在區(qū)間［一0,可上不單調(diào)，故

6

故選：A

6.【正確答案】C

【詳解】因?yàn)镻/=P"+%）,%=卜，所以

所以即得/匚=：

Tcn-\

要使。即得j

即得

」210叼log23-22-log232-1.580.42

所以〃>3.

故選：C.

7.【正確答案】D

【詳解】由于tan￡=g>0,*（0,兀），故戶中看

,?sin/?4

tanp=———=—

cos/33

由'sin2/3+cos20=1,可得sin￡=—,cos=—,

sin>055

由sina+sin(￡-a)=—可得sina+—cosa——sina=—n—cosa+—sina=—,

\)3553553

(。、34.84?1c2

貝nrUlcosa+cos(〃—a=cosa+—cosa+—sma=-cosa+—sina=-x2=一,

')555533

故選：D

8.【正確答案】B

【詳解】任取為，X2GR,且再<々，設(shè)工=石，y=x2-x1>0,

由/(x+y)</(x)+/(力一1,得/52)</(再)+/(工2-％)-1,

即f(x2)-f(xl)<f(x2-xl)-l<0,所以/(切</(再),

所以“X)在R上為減函數(shù)，

記g(X)=^-1-ln(x+I)(x>-1),則g，(X)=e*--—=-3'-1,

x+1x+1

記=(x+l)ex-l(x>-1),所以"(x)=(x+2)e”>0,

所以M*)在(t+8)上單調(diào)遞增且Mo)=o,

所以當(dāng)xe(-l,O)時(shí)，力(x)<0,g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，A(x)>0,g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x"g(O)=O,

所以e=l21n(x+1)恒成立，所以/(e-l)V/(ln(x+l)),即“46.

故選.B

9.【正確答案】BD

【詳解】對(duì)于A,忖="^71=2,故0=±6,A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,z-z=|s|=a2+1=2,故。=±1,B正確，

對(duì)于C,|z(l+i)|=|(。-i)(l+i)|=1+1+(a-l)i|=2=>J(0+行*a-1)~=：,

解得a=±l,故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,由三=-i,則z=-i(l-i)=-l-i,故。=-l,D正確，

故選：BD

10.【正確答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)而=無(wú)時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，則BC_L/尸，故

對(duì)于B,BP=2PC，貝!||網(wǎng)=2,|京卜1,由余弦定理可得

|1?|=^^2+BP1-2AB-5Pcos|=^32+22-2x3x2「，B正確，

對(duì)于C,若網(wǎng)=1,則點(diǎn)尸的軌跡為以A圓心，以網(wǎng)=1為半徑的圓（在V/8C內(nèi)部

TT

及邊界部分），故長(zhǎng)度為c錯(cuò)誤，

對(duì)于D,當(dāng)網(wǎng)=|研=5則尸位于邊相的高CQ上，故

PQ=U尸-4。=’（"『-圖S，又CQ二手,故|磅|=G,D正確，

故選：ABD

c

11.【正確答案】ACD

【詳解】將該多面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如圖所示：

對(duì)于A,故該多面體的體積為廠=%方體—VA—QMP

=4x2x2--x-x4x2x2=16--=—,A正確，

3233

對(duì)于B,由于G為AAPM的重心,

DP+DC+-DP+2DA+DC^

而礪=（。+叫.前=（麗-反-9+2方+西.麗=2方加,

顯然刀，而不垂直，故刀.前二0,

因此麗.應(yīng)5/0，故江，而不垂直,

因此不存在2,使得CG1平面3DH,B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,建立如圖所示的空間之間坐標(biāo)系，

則尸（0,0,2）,4（4,0,0）,M（4,2,2）,8（4,2,0）,N（0,2,2）,2（4,0,0）,C（0,2,0）,

（824、______<4421

則由于，=2,。。=2CH"故”是。。的中點(diǎn)，故話話/

_____.___.f442、

故08=（4,2,0）,DN=（0,2,2）,D8=匕,],1,

故麗=-麗+3而，因此方瓦而，麗共面，進(jìn)而可得82N,〃共面，C正確,

對(duì)于D,\cd\=

該多面體的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同,

故球的直徑為長(zhǎng)方體對(duì)角線"萬(wàn)萬(wàn)=2幾，

而。（4,0,2）,西=（4,-2,2）,且=§,-],],故詬=§函，

—?2—?2

故H位于。，故CG=1C〃，4=3，D正確.

故選：ACD.

12.【正確答案】1

【詳解】由題意，-4-71=1（i>0）,即4二b=+中\(zhòng)，解得。=一4b一,

ababo+l

因?yàn)?>0,所以b+l>0,所以

”b=db4(6+1)—4,_4

^71Sz+l)+l1=5-彳-3K+1)

b+1

=5一高+修+1)W5-2.?(6+1)=5-4=1,

4

當(dāng)且僅當(dāng)廠7=6+1,即6=1時(shí)等號(hào)成立，

即。-6的最大值為1.

故1

13.【正確答案】698

【詳解】假設(shè)第一個(gè)圖片中的3號(hào)碼正確，且位置正確，

則第二圖片中的3也滿足號(hào)碼正確，且位置正確，不合要求，

假設(shè)第一個(gè)圖片中的1號(hào)碼正確，且位置正確，

則從第三個(gè)圖片可知，剩余的2個(gè)號(hào)碼為8和3,且位置要互換，

故密碼鎖的解碼為318,

但此時(shí)第一個(gè)圖片將有2個(gè)號(hào)碼正確，不合要求，

假設(shè)第一個(gè)圖片中的8正確，則從第三個(gè)圖片可知，有1個(gè)號(hào)碼為6,

從第二個(gè)圖片可知，第三個(gè)號(hào)碼為7或9,

若第三個(gè)號(hào)碼為7,且密碼鎖的解碼為678,此時(shí)第二個(gè)圖片中7的位置正確，不合

要求，

若第三個(gè)號(hào)碼為9,且密碼鎖的解碼為698,滿足所有圖片要求.

故698

14.【正確答案】e2

【詳解】由題意可知當(dāng)x-1=0,即x=l時(shí)，方程為e=0不成立，故可得x-120,

a

則此方程可化為。=j-T(>°)>令、(x)=[e「,xwl,

I尤7l^-l|

X>1

則小人舟=二

x<1

、-X+1

當(dāng)m時(shí)，〃加白，則八’令…）=。，解得修,

故當(dāng)x>2時(shí)，r（x）>0,函數(shù)/（X）為增函數(shù);

當(dāng)l<x<2時(shí)，八幻<0,函數(shù)/（x）為減函數(shù),

當(dāng)x<l時(shí)，/（x）=—,則-。一%>0在（一肛1）上恒成立，

-x+1（X-1）

故函數(shù)“X）為增函數(shù)，

e'X>1

作出>和函數(shù)/（x）=i—x的圖象如下：

X-1ex,

故由圖象可知當(dāng)a=e?時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的圖象只有2個(gè)公共點(diǎn).

故答案為.e?

15.【正確答案】（1）26

(2)C2=1+2V6

【詳解】(1)be=2,由余弦定理得cos/="+b—"一="+?一”

2bc4

sinA_V3

故62+C2_/=4COS4將其代入「in”@中得,

b2+c2-a224cosJ2

(2)/二個(gè)，故sin4=，cosA=—,

322

因?yàn)?sin49,所以〃+c2一/=1①，

b2+c2-a22

由余弦定理得cos//.'-1=《,5Lb-+c2-a2=\,

2bc2

所以歷=1,

cosB=20,由余弦定理得cosB=@十?！?V2

3lac~T~

故1+,2-62=拽竺②，

3

聯(lián)立①②得2c2T=如1"③,

3

又加=1,故。=工，將其代入〃+°2一］=1中得

C

解得4c。4c2-23=0,解得四，負(fù)值舍去

2

16.【正確答案】（1也=上而

/c、21c3/+〃

（2）%=3〃_1；sn=-^—.

【詳解】（1）因?yàn)?-1=?,所以2s“-2〃=%,

n2

當(dāng)〃=1時(shí)，2sl-2=%,所以q=2,

當(dāng)〃22時(shí)，2s“T—2（〃-1）=（〃,

作差得2（S.一Si）-2〃+2（"-1）=〃%-（〃一1）%,

所以一2=（〃一2）%-（“一1）%,

1-2

所以當(dāng)一力=^）2，

所以?；Ia.-2

n

aa,-2

⑵當(dāng)心時(shí)，因?yàn)榘僖稽c(diǎn)

（1）（〃-2）

所以Br怒=2=一占，3—怒=2/，…慧音=2g

所以累加法得出4-4

n-11

所以4T=3+三，所以。，=3〃一1,

n-1n-1

當(dāng)"=1時(shí)，2S]-2=%,所以%=2,

所以?！?3〃-1,

而2c〃(2+3〃-1)3n2+n

所以S”=%+%HHa?~""

17.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵T

【詳解】(1)“X)的定義域?yàn)?0,+功，

117—Y2

當(dāng)，=—時(shí)，y(x)=21nx——%2+1,=-----,

22x

當(dāng)xe(0,行)時(shí)，r(x)>0,所以/(無(wú))在(0,行)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe押,+q時(shí)，r(x)<0,所以/(尤)在(&,+8)上單調(diào)遞減,

所以/(x)W/(Vi)=ln2<l.

(2)令g(x)=/(x)+2Zx=21nx+(/-l)x2+2a+l,則g(x)<0在(0,+。)上恒成立.

求導(dǎo)，得8(上2g+1)[(1卜+1],

當(dāng)此1時(shí)，g'(x)>0在(0,+8)上恒成立，所以g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增.

又g(l)=%>0,不符合題意，舍去.

當(dāng)/<1時(shí)，若x<0,占]，可得g'(x)>0,所以g(x)在[0,。)上單調(diào)遞增，

若可得g'(x)<0,所以在上單調(diào)遞減，

ci112/1,.xI1

所以g(x)max=g2In---1------1----\-l=_2In(I—Z)H------1,

占l-tt-l\-t'7l-t

只需—2In—+----I<0即可.

2]

設(shè)〃(x)=-2ln(l-x)+占一l(x<l),貝M'(X)==+^7^>0,

所以〃(x)在(-8,l)上單調(diào)遞增.

又"0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí)，"x)<0恒成立，所以f<0.

又teZ,所以，的最大值為T.

18.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)216

【詳解】(1)由于"3=244，底面48。為菱形，且/BCD-為四棱臺(tái),

故四邊形&8C2也為菱形，

故A8=2C.且AB//CQ,

由于點(diǎn)E為的中點(diǎn)，故BE〃D\C\,BE=￡>&,故四邊形BERQ為平行四邊形，

則EZVABC],E〃(Z平面gC|CB,平面gQCB,

故。￡//平面4cle8,

(2)因?yàn)镈R，平面/BCD,且。C,O8u平面48CD,故DRLDC,DR_LDB,

71

2222

則QC=r>1r)+(r>c-D1c1)=DXD+-DC,

22222

BXB-=DtD+(BD-D^]=DtD+^BD-^BD^=DXD+^BD,

故BO=OC,

由于44G2也為菱形，故。8=DC=BC,故為等邊三角形，

乙4DC=120°,NDN3=60°,且ABCD也為等邊三角形，

由于點(diǎn)E為N8的中點(diǎn)，故氏DELCO,

因?yàn)椤?_L平面48CD,故DEu平面48cD,DD}1DE,

DCcD|D=2Z>C,Z)|Du平面D、DC,故。E_L平面D,DC,

過(guò)。作于H,連接EX,

D.DC,，Cu平面，。C,故Z>EJ_D]C,

DEcDH=D,DE,DHu平面DEH，故，CJ■平面DEH,

HEu平面DEH，故D{C_LHE,

故NOHE為二面角E-0C-。的平面角，所以/D〃E=45°,

向

ED=—AD^3MDH=3,

2

又DC=2>/3,故sinZ.HCD=-----=—廣=――,故NHCD=60°，

DC25/32

因止匕2D=CDtan60°=2，Jx6