2024年高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)的性質（講義）

3.2函數(shù)的性質（精講）

本節(jié)概要

單調函數(shù)的定義

單調區(qū)間的定義

知識點一函數(shù)的單調性復合函數(shù)的單調性

定義法

導數(shù)法

判斷單調性的方法

圖象法

知性質法

識

知識點二函數(shù)的最值

點

定義

知識點三函數(shù)的奇偶性

性質

知識點四函數(shù)的周期性

函知識點五函數(shù)的對稱性

數(shù)

的

性考法一具體函數(shù)的單調區(qū)間

質

考法二已知單調性求參數(shù)

考法三判斷函數(shù)的奇偶性

求函數(shù)值

求解析式

考考法四函數(shù)奇偶性的應用

法根據(jù)奇偶性求參數(shù)

解不等式

奇偶性與單調性

比較大小

考法五函數(shù)的周期性與對稱性

考法六函數(shù)性質的綜合運用

考點展現(xiàn)

函數(shù)單調性的定義

1.單調函數(shù)的定義

一般地，設函數(shù)“X)的定義域為/,區(qū)間。U/,如果Vxi，X2^D,當為＜12時

條件

都有7(X1)勺口2)都有加)次檢)

那么就稱函數(shù)人尤)在區(qū)間D上單調遞增那么就稱函數(shù)?x)在區(qū)間D上單調遞減

結論

當函數(shù)1X)在它的定義域上單調遞增時，稱它是當函數(shù)兀0在它的定義域上單調遞減時，稱它

增函數(shù)是減函數(shù)

y

施J㈣

圖示11

]______1?11

/XX041424

12

2.單調區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)

間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間.

3.復合函數(shù)的單調性：函數(shù)丫=①/),"=貝尤)在函數(shù)0(無))的定義域上，如果與&="(無)的單調性相

同，那么y=/M(x))單調遞增；如果y=K")與〃=p(x)的單調性相反，那么y=/M(x))單調遞減.

二.函數(shù)的最值

前提設函數(shù)y=Ax)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：

(l)Vxe/,都有(l)Vxez,都有大X2/；

條件

(2)3xez,使得人月=加(2)3xe/,使得人功=加

結論M是函數(shù)y=/(x)的最大值Af是函數(shù)y=/(x)的最小值

三.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

偶函數(shù)八一x)=yu)關于y軸對稱

一般地，設函數(shù)木X)的定義域為/,

如果VxG/,者B有一無?/,且

奇函數(shù)關于原點對稱

四.函數(shù)的周期性

1.周期函數(shù)

對于函數(shù)人無），如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的任何值時，都有那么就稱

函數(shù)八X）為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

2.最小正周期

如果在周期函數(shù)加）的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做兀0的最小正周期.

五.函數(shù)的對稱性

1.對稱性:若對于R上的任意尤都有八2a—%）=/口）或五一x）=/（2a+x）,則y=/（x）的圖象關于直線x=a對稱.

2.對稱中心：八一犬+6）+yU+6）=2a,則函數(shù)y=黃尤）的圖象關于點（b,a）中心對稱.

思路點撥

一.判斷函數(shù)單調性常用的方法

1.定義法：一般步驟為取值一作差一變形一判斷符號一得出結論.

2.圖象法：如果五x）是以圖象形式給出的，或者五尤）的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調性.

3.導數(shù)法：先求導數(shù)，利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調性（或單調區(qū)間）.

4.性質法：

①對于由基本初等函數(shù)的和、差構成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及/（x）±g（x）的增減性進行判斷；

②對于復合函數(shù)，先將函數(shù)y=Kg（x））分解成y=/0）和a=g（x）,再討論（判斷）這兩個函數(shù)的單調性，最后根

據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷.

5.在公共定義域內，增+增=增，減+減=減，增一減=增，減一增=減.

6.復合函數(shù)y=/[ga）]的單調性判斷方法：“同增異減”.

易錯點：求函數(shù)的單調區(qū)間,首先需要求函數(shù)的定義域.

二.利用單調性求參數(shù)的范圍（或值）

1.視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調性的定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數(shù)；

2.若分段函數(shù)在R上是單調的，則該函數(shù)在每一段上具有相同的單調性，還要注意分界點處的函數(shù)值大小.

3.比較函數(shù)值的大小時，轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決.

4.求解函數(shù)不等式，由條件脫去，尸，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數(shù)的定義域.

5.利用單調性求參數(shù)的取值（范圍）.根據(jù)其單調性直接構建參數(shù)滿足的方程（組）（不等式（組））或先得到其圖象

的升降，再結合圖象求解.對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值.

三.判斷函數(shù)的奇偶性

1,定義法

2.圖象法

.關于原點對稱/㈤為奇函數(shù)

/㈤的圖像卜

U關于y軸對稱］_?|/㈤為偶函數(shù)

3.性質法

設1X）,g（x）的定義域分別是。1，。2,那么在它們的公共定義域上，有下面結論:

於）g(x)J[x)+g(x)期（X））

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

同性乘除為偶復合函數(shù)有偶為

同性加減不變性，異性加減非奇偶

異性乘除為奇偶，兩奇為奇

四.函數(shù)奇偶性的應用

1.求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉化為求已知解析式區(qū)間上的函數(shù)值.

2.求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出.

3.求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)1x）墳一x）=。得到關于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性

得方程（組），進而得出參數(shù)的值.

4畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象.

5.求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結構的函數(shù)值.

考法解讀

考法一具體函數(shù)的單調區(qū)間

【例1-1］（2023云南）下列函數(shù)在R上為增函數(shù)的是（）

A.y=x2B.y-XC.y=-GD.y=-

【答案】B

【解析】y=d在（ro,0］上單調遞減，在（0,+8）上單調遞增，故選項A錯誤；

在R上為增函數(shù)，選項B正確；

y=_6在［0,+8）上單調遞減，故選項C錯誤;

^=；在（e,0）單調遞減，在（0,+8）單調遞減，故選項D錯誤.故選：B.

【例1-2］（2023?云南?校聯(lián)考二模）函數(shù)/（x）=e*-ln（l+x）的單調遞增區(qū)間為.

【答案】(O,+8)/［O,+8)

【解析】由題得函數(shù)定義域為(T+8)/(x)=e'--—=g(x),g'(x)=e，+廣二>0,

1+x(1+x)

所以g(x)在上單調遞增，又g(O)=O,所以當x>0時，fr(x)>0,

故/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+8)(或［0,+8)).故答案為：(0,+8)

【例1-3］(1)(2023?江西)函數(shù)/(x)=f—2忖+5的單調增區(qū)間是()

A.(—，―1)和(0,1)B.(—,-1)和(1,+8)C.[―1,0]和[L+oo)D.(-1,0)和(0,1)

(2)(2022?廣東)函數(shù)/(x)=,2—3x+2|的單調遞增區(qū)間是()

「3)3

A.—,+8B.1,-和[2,飲)

(3)(2022秋?河北廊坊?高三?？茧A段練習)函數(shù)/(X)=|X-1|+|X-2|的單調遞增區(qū)間是(

A.[l,+oo)B.(-00刀C.[1,2]D.[2,+oo)

【答案】(1)C(2)B(3)D

【解析】(1)由/(-X)=(—X)2-2卜X|+5=X2-2W+5=/(X),

則/(x)為偶函數(shù)，/(x)的圖像關于歹軸對稱.

當XN0時，/(X)=JC2-2X+5,對稱軸為X=L所以/(x)在［1,+8)上遞增，在［0,1］遞減;

則當X40時，/(X)在［-1,0］遞增，在(YO,-1］遞減，

則有/(x)的遞增區(qū)間為［—1,0］,［1,+8).

X2-3X+2,X<1

(2)^=|X2-3X+2|=-x2+3x-2,lvxv2如圖所示:

x2-3x+2,x>2

3

函數(shù)的單調遞增區(qū)間是1,-和［2,+oo).故選：B.

2

3-2x,x<l

(3)因為/(X)=,_1|+卜_2|=.-l,l<x<2,所以/(%)的增區(qū)間為［2,例)，故選：D.

2x-3,x>2

【例1-4］(2022?全國?高三專題練習)函數(shù)/(x)=log2，-2x-3)的單調增區(qū)間是()

A.(1,3)B.(l,+oo)C.(-oo,l)D.(3,-Ko)

【答案】D

【解析】/(x)=log2(x2-2x-3)要滿足犬_2X_3>0，解得：x>3或》<一1，又y=log2〃是增函數(shù)，所以

只需求出g(x)=K-2x-3的單調遞增區(qū)間，g(x)=f-2x-3的對稱軸為x=l，且開口向上，結合函數(shù)的

定義域可得：/(x)=log212-2X-3)的單調遞增區(qū)間為(3,飲)故選：D

【一隅三反】

1.(2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習)函數(shù)/(月=學的單調遞增區(qū)間為.

【答案】僅，五)

【解析】函數(shù)y(x)=詈的定義域為(o,+8),則,(x)=L詈，

令/")>0,解得o<x<布，故函數(shù)/(X)的單調遞增區(qū)間為(0,五).故答案為：(0,八).

2.(2023?西藏林芝)函數(shù)/(x)=J3+2X-X2的單調遞增區(qū)間是

【答案】［-1』

【解析】函數(shù)/(x)=J3+2X—X2的定義域需要滿足3+2x-f*0,解得/(x)定義域為［-1,3卜

因為丁=3+2x-%?在上單調遞增，所以〃x)=j3+2x-x2在卜U］上單調遞增。

3.(2023?江西)函數(shù)/(X)=log2(x2-3x-4)的單調減區(qū)間為.

【答案】(ro,T)

【解析】函數(shù)/(x)=log2(x2—3x—4)中，X2-3X-4>0,解得X<-1或x>4,即函數(shù)/(x)的定義域為

L?,T)U(4,+oo),

〃=、2一3］-4在(-00,-1)上單調遞減，在(4,+8)上單調遞增，而丁=log2X在(0,+8)單調遞增，

于是得/(x)=log23-3x-4)在(-8,-1)上單調遞減，在(4,+00)上單調遞增，

所以函數(shù)/(x)=log2(f-3x-4)的單調減區(qū)間為(-oo,T)

故答案為：(T?,-1)

4.(2023北京)已知函數(shù)/(X)=T,+2X,則下列結論正確的是

①遞增區(qū)間是(0,+oo)②遞減區(qū)間是(-oo,T)③遞增區(qū)間是(-嗎T)④遞增區(qū)間是

【答案】④

【解析】因為函數(shù)/(x)=-x|x|+2x=｛，'-,作出函數(shù)/(x)的圖象，

x+2x,x<0

如圖所示：\?_由圖可知，遞增區(qū)間是(-1,1),遞減區(qū)間是(-OO,T)和a+oo)..

A-7Ao12\~3x

i\

5(2022,山東)函數(shù)y=的單調減區(qū)間是.

【答案】［L+8)

【解析］令〃=卜一1|,則y=(：)

00<^<1,回,=(1)在(一00,m)上單調遞減

作出〃=卜一1|的圖象

由圖象可以〃=k-1在（-8/上單調遞減，在［L”）上單調遞增

町=0"”在（-8』上單調遞增，在［1,飲）上單調遞減故答案為：［1,儂）.

考法二函數(shù)單調性的應用

【例2-1］（2023?全國?高三專題練習）設awR,則"a.l"是"函數(shù)/（*）=子+在（L+oo）為減函數(shù)"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】由題意可得/（*）=竺3=。+胃為減函數(shù),

則。一1>0，解得a>L

因為。21推不出a>L

所以"a.r是"函數(shù)/（力=簽;在（1,+8）為減函數(shù)"的必要不充分條件，故選：B

【例2-2】（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)/（x）邛:丁*一3x-\在R上為嚴格增函數(shù)，則實數(shù)。的

ax>7

取值范圍是（）

B.(2,3)；

D.

3-a>0

Q

【解析】???/（X）在R上為嚴格增函數(shù)，二a>\,解得一<av3.

[(3-a)x7-3<a7-64

即實數(shù)a的取值范圍是\,3）.故選：D

［^ij2-31（2023秋?江西撫州?高三臨川一中?？计谀┮阎瘮?shù)/卜）=唾“12_^+3）在［0』上是減函數(shù)，

則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,4）

C.（（UMMD.［2,4）

【答案】D

【解析】函數(shù)/口）=1。8,卜2-"+3）在［0』］上是減函數(shù)，

22

當0<a<l時，x2-ax+3=（x——）2+3——>3——>0恒成立，

244

而函數(shù)〃=必—?+3在區(qū)間［0』上不單調，因此0<°<1，不符合題意，

當時，函數(shù)y=log/在（0,+8）上單調遞增，于是得函數(shù)"=改+3在區(qū)間［0/上單調遞減，

因此州之】并且12—4/+3>0,解得24a<4,

2

所以實數(shù)a的取值范圍是［2,4）.

故選：D

【一隅三反】

1.（2023?廣西）已知函數(shù)/（x）=x2-2ar+b在區(qū)間（―，1］是減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.［1,+°°）B.（-8,1］C.［-1,+°°）D.（-8,-1］

【答案】A

【解析】/（x）=x2-2ax+b對稱軸為x=a,開口向上，要想在區(qū)間（-8,1］是減函數(shù)，所以ae［l,+8）.

故選：A

2.（2023?北京）使得〃函數(shù)/卜）=3.36f在區(qū)間（2,3）上單調遞減〃成立的一個充分不必要條件可以是（）

4

A.t>2B.t<2c.t>3D.-</<3

3

【答案】C

【解析】由函數(shù)/（、）=3*垢在區(qū)間（2,3）上單調遞減，得丁=/—3a在區(qū)間（2,3）上單調遞減，

所以義N3,解得他2.結合A，B,C,。四個選項，知使得"函數(shù)/（x）=3123m在區(qū)間（2,3）上單調遞減"成立

的一個充分不必要條件可以是3.故選：C.

-x2+2ax+4,x,,1,「、

3.（2023?湖南）已知函數(shù)是-匕+oo］上的減函數(shù)，則。的取值范圍是（）

-,x>l2）

B.(-oo,-l]

一；）D.（7,

【答案】A

【解析】顯然當x>i時，y（x）=：為單調減函數(shù)，/（x）<〃i）=i

當X”1時，/(x)=-x2+2OX+4,則對稱軸為x=_2x：])=凡/(9=2a+3

若/（x）是—L+oo）上減函數(shù)，貝““'一萬解得ae-1,-1

）2a+3Nl

故選：A.

4.（2023?河北）若函數(shù)/（X）=船-1口在區(qū)間1點+8上單調遞增，則上的取值范圍為（）

A.2，+°°B.[2,-H?)C.D.[4,+oo)

【答案】B

【解析】/'（x）=?J因為函數(shù)〃x）=h—hu在區(qū)間上單調遞增，所以/?！?"*0在］；,+8）

上恒成立，即左士1在［；,+8）上恒成立.因為y在（；,+8）上單調遞減，所以當xc（；,+8）時，y<2,所

以4》2，則左的取值范圍為［2,+oo）.故選：B

考法三判斷函數(shù)的奇偶性

【例3】（2023安徽）判斷下列函數(shù)的奇偶性：

⑴/（X）=log0（&+1+x）；（2）/（工）=42_］+<_工2；（3）/（X）=lg（iox+1）-^；

⑷/（x）二（5）/（x）=|x|（|x-2|+|x+2|）.

\x-3\-3

【答案】（1）是奇函數(shù).（2）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（3）是偶函數(shù)（4）是奇函數(shù).（5）是偶函數(shù)

【解析】（1）J*?+1+x>0對一切xeR恒成立,

22

且f（x）+/（-X）=loga（77+i+x）+loga（77+l-JC）=loga［（V?71）-X］=0,即=

回/(X)=10ga(4^+l+')是奇函數(shù)，

(2)由題意，得即工2=1.函數(shù)的定義域為此時/(x)=0.所以/(X)既是奇函數(shù)又是偶

[%—1..0.

函數(shù).

(3)xeR，/(x)=lg(10x+l)-^=lg(10x+l)+lgl02

xl(XX、(二X、

=lg(W+lJlO2=lg102+102=lg102+102=/(一x),所以/(x)為偶函數(shù).

.」I7k/

(4)4-X2..O,即-2融2,此時|x-3|-3=3-x-3=-x.原函數(shù)可化為/田=由士，

-X

/(T)="十4=^7=_f?)/(X)為奇函數(shù).

X-X

(5)0/(x)=|x|(|x-2|+|x+2|),

自/(-x)=|rM|T-2|+|7+2|)=|x|(|x+2|+|x-2|)=/(x).所以/(x)=|x|(|x-2|+|x+2|)為偶函數(shù).

【一隅三反】

(2023?廣東潮州)判斷下列函數(shù)的奇偶性.

"(X)=G⑵/(、)=廳；⑶?)=忙:二：⑷

2

/(x)=J33+&-3；(5)/(x)=log2［x+\/x+lj.(6)/(x)=|x+l|-|x-l|；

⑺/(x)=(x-l)Jj||；(8)/(x)=|lg(V77i+x).

【答案】(1)非奇非偶函數(shù)⑵奇函數(shù)⑶偶函數(shù)⑷既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)⑸奇函數(shù)⑹奇函數(shù)

⑺既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)⑻偶函數(shù)

【解析】(1)函數(shù)7W的定義域為［0,+00),不關于原點對稱，所以/"(》)=?是非奇非偶函數(shù).

(2)*v)的定義域為［―關于原點對稱.f(_x)="T=-f(x)，所以/(x)為奇函數(shù).

-X

(3)/(X)的定義域為(ro,0)U(0,”)，且關于原點對稱，

當x>0時，一x<0，貝U/(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=/(x)；

當x<0時，-x>0,貝i|/(-x)=(-xy+(-x)=x2-x=/(x),故/(x)是偶函數(shù).

3-x2>0,

(4)由得N=3,解得X=±?,即函數(shù)/W的定義域為{—/,6},

X2-3>0,

從而/W=、3_爐+]爐-3=°?因此)一力=一/W且力—無)才團,回函數(shù)/(無)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

⑸顯然函數(shù)力力的定義域為R,

2-21=x

f(-x)=log2[-x+^(-x)+1]=\og2(7F+1^)=log2(7x+l+^)-~Iog2(7xr+1+)=-故/W為奇函數(shù).

(6)的定義域為R.因為/(-*)=卜*+1卜卜*-1|=1-1-卜+1|=-/(*卜所以/(x)是奇

函數(shù).

⑺〃x)=(xT若的不關于原點對稱，所以/(X)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(8)/(x)=M&+l+x)|

的定義域為R.

因為/(-X)=,(Ju+i-x)=M&+i_q,/(x)=卜g.f+i+xj|

2

且lgX++l)-x]=0,所以Ig+1+xL

P(-X)2+l-xj=|-lg(V?+l+x),所以/(T)=〃X),所以/(x)是偶函數(shù).

所以lg

考法四函數(shù)奇偶性的應用

【例4-1](1)(2023春?四川成都?高三石室中學校考開學考試)己知y(x)為奇函數(shù)，當xNO時,

f(x)=x2-ex+\,則當x<0時，/(X)三

(2)(2023山西)己知/(X)是偶函數(shù)，當x<0時，/(x)=x(x+l),則當x>0時，/(x)=

【答案】(1)-x2+ex-l(2)x(x-l)

【解析】(1)當x<0時，-x>0,因為當xNO時，/(x)=x2-eI+L所以/(-x)=(-x)2-e*+l=x2-e*+1

①，

又因為/(X)為奇函數(shù)，所以〃T)=-/(x)②，結合①，②得，一/田=*2一尸+1，則/田=力2+尸-1

(2)由x>0，則一x<0，且函數(shù)_/(x)是偶函數(shù),故當x>0時，/(x)=/(-x)=(-x)(-x+l)=x(x-l)

故答案為：x(x—1)

【例4-2](1)(2022廣東深圳)若/(x)=l+號(xeR)是奇函數(shù)，則實數(shù)。

（2）（2023?江西?校聯(lián)考二模）設aeR,則"。=1"是"/（x）=ln（4?ii+可為奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（3）（2022?全國?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=（x3-x7）ln（Voi3+x）為偶函數(shù)，則。=.

【答案】（1）-2（2）A（3）1

【解析】（1）???/（x）定義域為R,且/（x）為奇函數(shù)，二/（0）=1+1=0,解得：fl=-2；

7V_1-11-V

當a=-2時，f（x）=1---------=-------，/./（-x）=---------=-------=一/（X），

'）3X+13X+1八73X+11+3X'）

???/（X）為R上的奇函數(shù)，滿足題意；綜上所述：。二一2.故答案為：—2.

（2）若/（x）=lnJf+i+困為奇函數(shù),則

/(x)+f(-x)=In(yjx2+1+ar)+In(y/x2+1-avj=ln^l-a2)x2+1]

二°，，1一々2二0,

解得a=±l，經(jīng)檢驗，符合題意，=是"/（x）=ln（V?il+ax）為奇函數(shù)"的充分不必要條件.故選：A.

（3）函數(shù)/（》）=13-丫-3）111（7^于+’為偶函數(shù)，則有y（-x）=/（x）,

BP(-x3+x3)ln(da+x2一x)=(/-x3)In(Ja+f+x)恒成立則\n^a+x2-xj=-ln(Ja+x?+x)恒成立

即比卜"+，_x)+ln(Ja+x2+x)=lna=0恒成立則a=L經(jīng)檢驗符合題意.故答案為：1

4x

【例4-3](1)(2023?吉林)已知函數(shù)/(X)=4阿，則不等式-3</(21+1)<3的解集是()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(-oo,-l)U(2,+(?)D.(-℃,-2)U(1,-H?)

：則不等式〃）＞的解集為（）

（2）（2023?全國?高三專題練習）己知函數(shù)〃x）=log2川++3,lgx3

F.)U(I0,+00)

A.B.

~)U(L1O)

c.(1,10)D.

（3）（2023?全國?模擬預測）定義在（-2,2）上的函數(shù)/（乂）滿足/（力=2。2-工+2,則關于X的不等式

/（x）+/（2x-l）＞4的解集為（）

j_3

A.(-2,2)B.c

252-(2

【答案】(1)B(2)D(3)D

【解析】因為/(-x)=-/(x),所以/(x)是奇函數(shù)，

AY4

當x>0時，/(x)=*=4—二一是增函數(shù)，此時/Q)>0,又/(0)=0,

1+X1+X

所以/(X)在R上是增函數(shù).又因為/(-3)=-3,43)=3,

所以—3</(2x+l)<3可化為/(-3)</(2x+l)</(3)所以-3<2X+1<3,解得—2q<L故選：B

(2)由得xwO,即函數(shù)的定義域為(-8,0)U(0,+oo).

因為-X)=log2

所以/(X)為(y,0)u(0,+oo)上的偶函數(shù),

當x>o時，y(x)=iog2

因為函數(shù)y=1+1在(0,+s)上單調遞減，所以y=log2

又y=+8)上單調遞減,

根據(jù)單調性的性質，可知函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調遞減,

又因為函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)/(x)在(《,0)上單調遞增,

又/(1)=3,所以/(1即)>3=7?⑴，nTW|lgr|<|l|=L

所以一且IgxwO,解得或1cx<10,

(3)設g(x)=2，—2'，xe(-2,2),則/(x)=g(x)+2,

因為g(-x)=2,一2、=-(2、—2、)=—8(》)所以8。)在(-2,2)上是奇函數(shù)，

因為g'(x)=ln2-2.+如2-2*=ln2(2x+2*)>0,所以g(x)在(-2,2)上是增函數(shù),

因為/(x)+/(2x-l)>4,所以g(x)+g(2x-l)>0,即g(x)>g(l-2x),

x>l-2x

13

由g(x)在(-2,2)上是增函數(shù)得，l-2<x<2,解得已故選：D.

32

-2<l-2x<2

【例4-4](2022?江蘇)已知函數(shù)y(x)=e*—e*，貝b=/(0.4°6),6=/(0.6°6){=/(04°')的大小關系為

()

A.h<a<cB.a<b<cc.c<a<bD.a<c<h

【答案】D

【解析】由0.6°6=(06)°2=0.216°2,O.4°4=(O.42)OJ=O.1602,即OW<0.216已

所以O,404<O.606，又O.406<0.4°”，

所以O.406<O.404<O,606，而/(x)=e*-尸遞增，

故4=/(0.406)<C=/(0.4°")<b=/(0.6°，故選：D

【一隅三反】

1.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，/(X)=-X2+4X-3,則

函數(shù)/(X)的解析式為.

x2+4x+3,x<0

【答案】/(x)=0,x=0

-x2+4x-3,x>0

【解析】由于函數(shù)/'(X)是R上的奇函數(shù)，則/(0)=。.當x>0時，/(X)=-X2+4X-3,

設xvO,則T>0,貝1」/(一同=一爐一4"3二—/(x),所以〃力二爐+4%+3.

x2+4x+3,x<0x2+4x+3,x<0

綜上所述，/(x)=0,x=0.故答案為:/W=0,x=0

-X2+4X-3,X>0-X2+4X-3,X>0

2.(2023?廣東?高三統(tǒng)考學業(yè)考試)函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，當XNO時，/(X)=X(1+X)，則/(一1)=.

【答案】2

【解析】因為當x20時，/(x)=x(l+x),所以當x<0時，-x>0,所以/(-x)=-x(l-x),函數(shù)/(x)是偶函

數(shù)，所以/(X)=/(-X)=T(lT),所以/(-1)=1(1+1)=2,故答案為：2.

3.(2023?河北?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/0二？工j2J則"公=1"是"函數(shù)/(x)是偶函數(shù)"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】函數(shù)/(》)=--一的定義域為R,關于原點對稱，

2x+k-2x

當函數(shù)/(x)為偶函數(shù)時，/(X)=/(T),即—E一—,整理，得。+左)(2'+2-')=0，

2x+k-2x2x+k-2x

由2'+2-'40,解得左=一1.又公=1，得左=±1，所以"公=]"是"函數(shù)〃x)為偶函數(shù)"的必要不充分條件.

故選：B.

4.(2023春?貴州黔東南?高三校考階段練習)已知偶函數(shù)/(X)在(3,0]上單調遞增，則/(3-2力>/(1)的

解集是()

A.(-1,1)B.(l,+oo)C.(ro,2)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由偶函數(shù)的對稱性知：/(X)在(7,0]上遞增，則在(0,+8)上遞減，

所以|3—2x|<l,故—1<3—2x<l，可得1<%<2,所以不等式解集為(1,2).故選：D

5.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=gx3-2x+e，-1+3,其中C是自然對數(shù)的底數(shù)，若

f(2a-3)+f(a2}>6,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-QO,-3]D[1,+8)B.(—00,—3]C.[l,+oo)D.1—3,1]

【答案】A

【解析】4'g(x)=/(x)-3=-x3-2x+ex--y,

3e

g(x)=；(-x)3-2(-x)+e1—-1-?3+2x-e1+-7=S(x)'

3e3e

所以函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù)，

y.g'(x)=x2-2+ez+-^->x2-2+2^6^=x2>0,僅當尤=0時等號成立，

所以函數(shù)g(X)為R上的增函數(shù)，

又/(2。-3)+/(/)±6,即/(2a-3)-3+/(/)_3N0,則g(2a-3)+g(儲)NO,

所以g(2a-則2a-3*-/,BPa2+2a-3>0^解得。21或以4-3,

實數(shù)。的取值范圍是(―,-3]7[1,+00).

故選：A

6.（2023?陜西,統(tǒng)考一模）函數(shù)/（X）是定義在R上的奇函數(shù)，且在（0,+8）上單調遞增，/（1）=0,則不等式

￥（xT）＜0的解集為（）

A.(-oo,0)O[2,+00)B.(0,1)

C.（-a）,0）U（2,-Ko）D.(1,2)

【答案】D

【解析】因為函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，且在（0,+8）上單調遞增，所以函數(shù)/（X）在（-8,0）上也單調遞增,

又因為/⑴=。，所以/（）。，不等式蟲7＜。等價于{黑…或狀°

x>0x<0

即＜得至（故選：D.

0<x-l<l-1<x-l<0

7.（2023?安徽黃山?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/（x）=lg（|x|—1）+2023、2023。則使不等式〃3x）＜/（x+l）成立

的x的取值范圍是（）

A.（-00,-1）O（l,+oo）

【答案】C

【解析】由題意可知：/（X）的定義域為或X＞1},關于原點對稱,

由=1)+2023、+2023,^/(-x)=lg(|-x|-l)+2023)t+20231=f(x),故〃x)為偶函數(shù),

當X>1時，/(x)=lg(x-l)+2023x+2023\由于函數(shù)/=2023、>=lg(xT)均為(1,+8)單調遞增函數(shù),

尸/+：在/＞1單調遞增，因此/'（X）為（1,+8）上的單調遞增函數(shù)，所以不等式/（3x）＜〃x+l）等價于

3x<|x+l|

解得W，故選：C

3x>1

1

8(2022?江蘇)已知函數(shù)y(x)=e*—e*，貝^=/(0.4力/=/(0.6°6),￡：=/(0.4°')的大小關系為()

A.b<a<cB.a<b<cc.c<a<hD.a<c<h

【答案】D

【解析】由0.6°6=(06)°2=0.216°2,0.404=(0.42)02=0.1602,即0.16°2<0.216°2，

所以0.4°'<O,606，又0.4°6<0.4°”,

所以0.4“6<0.4°'<0,6°6-而/(x)=e*-e”遞增，

故°=/(0.406)<C=/(0.4°")<b=/(0.6°，故選：D

9.(2023?全國?高三專題練習)已知+cosx，若a=/(e，，6=/(lng),c=/(-；),貝|a,b,c

的大小關系為()

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

【解析】因為/(X)=X2+COSX,XGR，定義域關于原點對稱，

/(-x)=(-X)2+cos(-x)=X2+cosX=/(X),所以/(X)為R上的偶函數(shù)，

當xN0時,/'(x)=2x-sinx,,設g(x)=2x-sinx,

貝Ug'(x)=2-cosx,?.TWcosxVl，；.g'(x)>0,

所以g(x)即/(X)在［0,+8)上單調遞增，所以/'(x)2/(0)=0,

所以/(x)在［0,+8)上單調遞增，又因為/(X)為偶函數(shù)，

所以/㈤在(T?,0］上單調遞減,

41

又因為所以b=f

又因為e彳>e「'=」>」,因為，=lne"e，]=e,(*]?2.4<e>所以e">3,

e44IJ⑷4

所以Ine">In2,即，>11>3,所以6彳>1>1112,所以/e4/［in。］,即a>c>加故選：A.

44444IJ⑷I

考法五函數(shù)的周期性和對稱性

【例5-1］(2023?全國?高三專題練習)奇函數(shù)/(x)滿足/(x+4)=/(x),當xe(O,2)時，〃力=3*+；,則

/(2023)=()

“73cle55

2222

【答案】A

【解析】已知奇函數(shù)/(X)滿足/(x+4)=/(x),二/Q)是以4為周期的奇函數(shù)，

又當x?0,2)時，/(x)=3、+；,."(2023)=/(3)=/(-1)=一/⑴=-。+目=］,故選：A.

【例5-2](2022?安徽蚌埠?一模)已知定義在R上的偶函數(shù)/(X)滿足/(l-x)+/(l+x)=0,若/(0)=3,

則/1(2022)+f(2023)=()

A.0B.-3C.3D.6