高等代數(shù)課件：逆矩陣

2逆矩陣的定義與唯一性3第五節(jié)逆矩陣矩陣可逆的判定定理及其求法4運(yùn)算規(guī)律1概念的引入5逆矩陣的應(yīng)用問題：在數(shù)字運(yùn)算中，已知數(shù)a與c，求x，使得

ax=c或xa=c？（引出數(shù)字乘法逆運(yùn)算－除法）解設(shè)，于是有意義。用左乘第一個方程兩邊，得而用右乘第二個方程兩邊，得而所以，除法運(yùn)算可歸結(jié)為：數(shù)a是否有逆元素？即是否有數(shù)b，使得ab=ba=1？當(dāng)時，a有逆元素b，一、概念的引入例1

設(shè)

定義：對于階方陣，如果有一個階方陣

則說方陣是可逆的，并把方陣稱為的逆矩陣.,使得顯然有注意：逆矩陣千萬不要寫作。二、逆矩陣的定義與唯一性定理：若n階方陣A可逆，則A的逆矩陣唯一。證明設(shè)方陣B、C都是A的逆矩陣，則有因此所以矩陣A的逆矩陣唯一。例2

設(shè)求A的逆矩陣。解設(shè)是的逆矩陣,

逆矩陣求法一－－待定系數(shù)法二、逆矩陣的定義與唯一性則有又因?yàn)槎?、逆逆矩陣的定義與唯一性所以注意：這種求法雖然思路簡單，但計算量太大，比如要求一個三階矩陣的逆陣，就要求解一個九個未知數(shù)的方程組，所以平時不用它來求逆陣。二、逆逆矩陣的定義與唯一性定理

矩陣可逆的充要條件是.

證明(必要性)已知A可逆，則有矩陣使得三、矩陣可逆的判別定理及其求法兩邊取行列式，有所以(充分性)當(dāng)時，由式得所以矩陣A可逆，且證畢思考：設(shè)I和II是n維向量空間的兩組基，P為基I到基II的過度矩陣，P是否可逆？為什么？

三、矩陣可逆的判別定理及其求法

逆矩陣求法二－－伴隨矩陣法由上述定理的證明知其中為A的伴隨矩陣。特別地，對于二階方陣當(dāng)時，有例如則三、矩陣可逆的判別定理及其求法例3

設(shè)，判斷A是否可逆.若可逆，求其逆陣。解因?yàn)樗跃仃嘇可逆.又因?yàn)槿?、矩陣可逆的判別定理及其求法所以注意驗(yàn)證注：用伴隨矩陣法求逆陣非常容易出錯，一般不提倡。三、矩陣可逆的判別定理及其求法推論1方陣不可逆

奇異矩陣與非奇異矩陣的定義當(dāng)時，稱A為奇異矩陣；當(dāng)時，稱A為非奇異矩陣；所以矩陣A可逆的充要條件是A為非奇異矩陣;

矩陣A不可逆的充要條件是A為奇異矩陣.推論2

設(shè)A,B為同階方陣，若，則方陣A,B都可逆，且證明因?yàn)?，所以三、矩陣可逆的判別定理及其求法所以，所以可逆，記其逆陣為，則有同理可證注意：以后判斷B是否為A的逆矩陣，只需驗(yàn)證

和中的一式即可。三、矩陣可逆的判別定理及其求法⒈A可逆可逆，且證取B＝A，則有四、運(yùn)算規(guī)律⒉A可逆，可逆，且證對，取，則有證⒊同階方陣均可逆可逆，且對，取，則有四、運(yùn)算規(guī)律證⒋A可逆可逆，且。對，取，則有⒌A(chǔ)可逆證因?yàn)锳可逆，所以有A可逆可逆四、運(yùn)算規(guī)律兩邊取行列式，有注意：

A可逆，且(×)A可逆，且(√)6.A可逆也可逆，且證設(shè)A可逆，則，由恒等式得所以也可逆，且四、運(yùn)算規(guī)律（反證法）已知可逆，假設(shè)不可逆，則因此因?yàn)榭赡?，所以上式兩端同時右乘，得所以，與可逆矛盾，所以可逆。7.A可逆證在恒等式中,把A用代替,有所以四、運(yùn)算規(guī)律再由性質(zhì)6的證明知，所以有8.無論A是否可逆，恒有證

當(dāng)A可逆時，對恒等式兩邊取行列式,有因?yàn)锳可逆，所以，所以有四、運(yùn)算規(guī)律當(dāng)A不可逆時，由性質(zhì)6的證明知，所以所以有9.A可逆證在恒等式中,把A用代替,有兩端左乘，得證由得10.同階方陣均可逆四、運(yùn)算規(guī)律則關(guān)于方陣的冪的結(jié)論，可以擴(kuò)展到11.負(fù)冪A可逆，定義四、運(yùn)算規(guī)律例4

設(shè)方陣A滿足，證明A及E－A均可逆，并求和。證明由得因此A可逆，且同理由得所以E－A可逆，且四、運(yùn)算規(guī)律例5、（2001數(shù)一，3分）設(shè)矩陣A滿足，則

例6、已知3階矩陣A的行列式，則解由，得，所以，所以例7、已知三階方陣滿足，則四、運(yùn)算規(guī)律1.n階線性方程組的求解

對于n個方程n個未知數(shù)的線性方程組，若，則有其中，.分析所以五、逆矩陣的應(yīng)用克拉默法則五、逆矩陣的應(yīng)用例6利用逆矩陣求解線性方程組解令所以有,又因?yàn)?，所以五、逆矩陣的?yīng)用2.求線性變換的逆變換對于線性變換，若，則有這是x到y(tǒng)的線性變換.可求得所以五、逆矩陣的應(yīng)用3.矩陣方程求解

設(shè)m階方陣A和n階方陣B都可逆，矩陣已知，則有注意：1.矩陣相乘的次序不能變;

2.若給定的方程與上面三種形式都不同時，多數(shù)可經(jīng)過恒等變形化為其中的一種.五、逆矩陣的應(yīng)用例8設(shè)，且,求解將所給方程變形，得又因?yàn)椋晕?、逆矩陣的?yīng)用因?yàn)樗钥赡?。所以設(shè)A的伴隨矩陣,且求矩陣B例9分析把原矩陣方程變形，得到五、逆矩陣的應(yīng)用等式兩邊同時左乘右乘，得由已知，及式和式很容易求出,再求，求。解法二：由已知式變形得到所以有五、逆矩陣的應(yīng)用由