2024-2025學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在等差數(shù)列an中，a1+a3A.?2 B.?1 C.1 D.22.若直線l1:1?ax+y+1=0，直線l2:?2x+ay?2=0，若A.?1 B.23 C.2 D.3.已知圓C1:x2+y2=9，圓CA.內(nèi)含 B.外切 C.相交 D.外離4.比較下列四個橢圓的形狀，其中更接近于圓的是(

)A.x236+y24=1 B.5.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，設(shè)原正三角形(圖①)的邊長為2，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為C1,C2,C3A.51227 B.25627 C.51296.過雙曲線y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線l，垂足為點(diǎn)A，直線l與另一條漸近線相交于點(diǎn)A.y=±2x B.y=±3x C.y=±7.如圖，已知二面角α?l?β的大小為60°，棱l上有兩個點(diǎn)A,B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l.若AB=1,AC=2,BD=3，則CD=A.22 B.14 C.28.設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1,a2,?,a3m+2是公比不為1的等比數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)ai和aj(i<j)后剩余的3m項(xiàng)可被平均分為m組，且每組的3個數(shù)都能構(gòu)成等比數(shù)列，則稱數(shù)列a1,a2,?,a3m+2是i,j?可分?jǐn)?shù)列．現(xiàn)有下列3個命題：①數(shù)列aA.① B.①② C.①③ D.②③二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，則下列條件能推出a5=0A.a2=a8=0 B.Sn10.已知動點(diǎn)P在拋物線y2=16x上，過點(diǎn)P向x軸作垂線段，垂線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線C,A,B是曲線C上的兩點(diǎn)，則(

)A.曲線C的方程為y2=4x

B.若OA?OB=?2，則直線AB過定點(diǎn)2,0

C.若直線AB過點(diǎn)F1,0，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1，則AF=54

D.若直線AB過點(diǎn)11.如圖，棱長均為1的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A1A.A1C⊥平面BDD1B1

B.AA1在AC1上的投影向量為13AC1

C.以D1為球心，半徑為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.M是雙曲線x24?y212=1上一點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)213.已知數(shù)列an中a1=1,an+1?a14.已知圓x2+y2?4x?4y?1=0，圓上恰有兩個點(diǎn)到直線l:y=x+b的距離都等于1，則b四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在正方體ABCD?A1B1C(1)求證：EF⊥DA(2)求異面直線A1D與D16.(本小題12分)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和(2)若bn=n?1n∈N?,cn17.(本小題12分)已知圓M過A?(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓N與圓M關(guān)于直線：x?y+2=0對稱，求圓N的方程；(3)若過點(diǎn)P?1,12的直線l與圓M相交于E,F兩點(diǎn)，且EF=218.(本小題12分)如圖，四棱錐P?ABCD中，?PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2．(1)若點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn)，①證明：CE//面PAB；②求直線CE與平面PAB間的距離；(2)若點(diǎn)E為直線PD上的動點(diǎn)，當(dāng)直線CE與底面ABCD所成角的正弦值取最大值時，求三棱錐E?ACD的體積．19.(本小題12分)設(shè)橢圓x2a2+y24=1(a>b>0)的離心率為63，過點(diǎn)A0,1(1)求橢圓的方程；(2)若BC=DA，求(3)若圓心在橢圓上，半徑為a2的圓，我們稱是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點(diǎn)O作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于E,F兩點(diǎn)，試問OE|2參考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.A

6.C

7.A

8.C

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.9

13.2n14.215.(1)由題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1為設(shè)正方體棱長為2，則D(0,0,0),A則E(2,2,1),F1,1,2，所以EF所以EF?DA(2)D1B1=設(shè)異面直線A1D與D1故cosθ=|所以θ=π

16.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}已知a3=9又已知S3=13將①代入②得：a1+a1由①得a1=9q2，代入③得：9q2(1+q)=4，因?yàn)閍n>0(n∈N?)把q=3代入a1q2=9，得那么數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn(2)已知bn=n?1，則T3Tn=0×由④???⑤得：Tn?2T等比數(shù)列{3k}(k=1,2,?,n?1)的首項(xiàng)為3，公比為3，項(xiàng)數(shù)為n?1所以?2T則Tn則數(shù)列{cn}的前n

17.(1)設(shè)圓M的方程為x2把A(?2,?2(?解得F=?4，D=0，E=0，所以圓M的方程為x2+y(2)設(shè)圓N的圓心N(a,b).因?yàn)閳AN與圓M關(guān)于直線x?y+2=0對稱，則直線MN與直線x?y+2=0垂直，且線段MN的中點(diǎn)在直線x?y+2=0上.直線x?y+2=0的斜率為1，兩直線垂直斜率之積為?1，所以ba線段MN中點(diǎn)(a+02,b+02由(4)得b=?a，代入(5)式得：a2+a2+2=0，a+2=0所以圓N的圓心N(?2,2)，半徑與圓M相同為2．則圓N的方程為(x+2)(3)當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=?1．此時M(0,0)到直線l的距離d=1，弦長|EF|=2當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y?12=k(x+1)圓心M(0,0)到直線l的距離d=|k+因|EF|=23，弦長公式|EF|=2r2所以|k+12|展開得k2+k+1則直線l的方程為y?12=綜上所得，直線l的方程為x=?1或3x?4y+5=0．

18.(1)①如圖，取PA的中點(diǎn)F，連接EF,FB，有EF/?/AD，EF=1又BC//AD，BC=12AD所以四邊形BCEF是平行四邊形，所以CE/?/BF，因?yàn)镃E?平面PAB，BF?平面PAB，所以CE//面PAB；②如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OP,OB，因?yàn)镻A=PD,∠APD=90°，所以由BC//AD,BC=OD=CD=1,CD⊥OD，四邊形BCDO是正方形，有AD⊥BO,OB=1，因?yàn)镻O∩BO=O，PO,BO?平面PBO，所以AD⊥平面PBO，因?yàn)锳D?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PBO，在平面PBO內(nèi)作直線BO的垂線Oz，則Oz⊥平面ABCD，有Oz⊥OB,Oz⊥OD，以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OD,Oz所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锽C//AD，所以BC⊥平面PBO，因?yàn)锽P?平面PBO，所以BC⊥BP，由PC=2，CB=1，知BP=由cos∠BOP=OP從而有P(?12,0,有PA=(設(shè)平面PAB的法向量為m=由m?PA=12得平面PAB的一個法向量為m=因?yàn)镃E//面PAB，所以C到平面PAB的距離即為直線CE與平面PAB間的距離，又BC=(0,1,0)，所以C到平面PAB的距離d=所以CE與平面PAB間的距離為5(2)DP設(shè)DE=λCE=底面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1)設(shè)直線CE與底面ABCD所成的角為θ，所以sin=當(dāng)且僅當(dāng)1λ=2λ，即λ=所以E到平面ABCD的距離為d=DE又S?ACD=12×2×1=1

19.(1)橢圓x2a2離心率e=ca(c為半焦距)，且e=6由e=ca=63可得即23a2所以橢圓的方程為x2(2)過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l方程為y=kx+1．令y=0，可得x=?1k，所以設(shè)C(x1,y1)，D(x化簡得(1+3k由韋達(dá)定理可得x1因?yàn)锽C=DA，所以(x所以?6k1+3k2=?即?6k2=?1?3(3)由(1