高考總復(fù)習(xí)課程-高考數(shù)學(xué)尖子生拔高課程（理）課后練習(xí)第1819講代數(shù)不等式數(shù)列的生成函數(shù)

第18講代數(shù)不等式設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3)．已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，求證：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac．已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且ab＋bc＋ca＝1．求證：(1)a＋b＋c≥eq\r(3)；(2)eq\r(\f(a,bc))＋eq\r(\f(b,ac))＋eq\r(\f(c,ab))≥eq\r(3)(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，試求的最值．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,3c)＝m，求a＋2b＋3c的最小值．已知正數(shù)滿(mǎn)足．（1）求證：；（2）求的最小值．第19講數(shù)列的生成函數(shù)已知數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿(mǎn)足：，．證明：．?dāng)?shù)列中，，(為常數(shù)，)，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）證明：；（Ⅲ）比較與的大小，并加以證明．已知數(shù)列對(duì)任意的滿(mǎn)足:，則稱(chēng)為“Z數(shù)列”．(1)求證：任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”；(2)已知正數(shù)列，若數(shù)列是“Z數(shù)列”，數(shù)列是否可能是等比數(shù)列，說(shuō)明理由，構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，使得是“Z數(shù)列”；(3)若數(shù)列是“Z數(shù)列”，設(shè)求證．已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)(1)，n∈N*，，設(shè)且為等比數(shù)列，求的值；(2)在(1)的條件下，設(shè)證明：(i)對(duì)任意的，；(ii)，．已知數(shù)列滿(mǎn)足，EQ．(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：．對(duì)于任意的，若數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件，則稱(chēng)數(shù)列具有“性質(zhì)”：①；②存在實(shí)數(shù),使得成立．(1)數(shù)列、中，、()，判斷、是否具有“性質(zhì)”；(2)若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且,，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”；(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式()．對(duì)于任意且，數(shù)列具有“性質(zhì)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

第18講代數(shù)不等式見(jiàn)詳解．詳解：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，由均值不等式可得eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))，即eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥eq\f(3,abc)．所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥eq\f(3,abc)＋abc．而eq\f(3,abc)＋abc≥2eq\r(\f(3,abc)·abc)＝2eq\r(3)．所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3)．見(jiàn)詳解．詳解：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2．由a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ac)．∴eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac．綜上所述，a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac，命題得證．見(jiàn)詳解．詳解：(1)要證明a＋b＋c≥eq\r(3)，∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，∴只需證明(a＋b＋c)2≥3，即證明a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3．又ab＋bc＋ac∴只需證明a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．上式可由ab＋bc＋ca≤eq\f(a2＋b2,2)＋eq\f(b2＋c2,2)＋eq\f(c2＋a2,2)＝a2＋b2＋c2證得，∴原不等式成立．(2)∵eq\r(\f(a,bc))＋eq\r(\f(b,ac))＋eq\r(\f(c,ab))＝eq\f(a＋b＋c,\r(abc))．又由(1)已證a＋b＋c≥eq\r(3)，∴原不等式只需證明eq\f(1,\r(abc))≥eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)，即證明aeq\r(bc)＋beq\r(ac)＋ceq\r(ab)≤ab＋bc＋ca．而aeq\r(bc)＝eq\r(ab·ac)≤eq\f(ab＋ac,2)，beq\r(ac)≤eq\f(ab＋bc,2)，ceq\r(ab)≤eq\f(ac＋bc,2)．∴aeq\r(bc)＋beq\r(ac)＋ceq\r(ab)≤ab＋bc＋ca成立．∴原不等式成立．，．詳解：由柯西不等式得，有；即由條件可得，；解得，；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，代入得，；當(dāng)時(shí)，．（1）1；（2）9．詳解：(1)因?yàn)閒(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等價(jià)于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1．(2)由(1)知eq\f(1,a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(1,3c)＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式，得：所以a＋2b＋3c的最小值為9（1）見(jiàn)詳解；（2）18．詳解：（1）根據(jù)柯西不等式，得因?yàn)?所以．（2）根據(jù)均值不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)柯西不等式，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．綜上，．第19講數(shù)列的生成函數(shù)見(jiàn)詳解．詳解：1°當(dāng)n=0時(shí)，∴a0＜a1＜2，命題正確．

2°假設(shè)n=k時(shí)有ak1＜ak＜2．則n=k+1時(shí)，而ak1ak＜0．4ak1ak＞0，∴akak+1＜0．

又∴n=k+1時(shí)命題正確．

由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)，有an＜an+1＜2．（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）見(jiàn)詳解．詳解：（Ⅰ）由，得，解得，或（舍去）．（Ⅱ）證明：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，?)．下面證明：對(duì)于任意，有成立．當(dāng)時(shí)，由，顯然結(jié)論成立．假設(shè)結(jié)論對(duì)時(shí)成立，即因?yàn)?，且函?shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以．即當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立．于是，當(dāng)時(shí)，有成立．（Ⅲ）由，可得，從而．因?yàn)椋砸驗(yàn)?，由（Ⅱ?)．由及，經(jīng)計(jì)算可得所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，得．見(jiàn)詳解．詳解：(1)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，所以任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”或者根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：所以任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”(2)假設(shè)為正數(shù)列，是“Z數(shù)列”，∵是“Z數(shù)列”，所以∴，所以不可能是等比數(shù)列等比數(shù)列只要首項(xiàng)公比其他的也可以：，等比數(shù)列的首項(xiàng),公比,通項(xiàng)公式恒成立,補(bǔ)充說(shuō)明：分析：,根據(jù)幾何意義只要的一階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞減就可以(3)因?yàn)?,,同理：因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意的所以(1)；(2)見(jiàn)詳解．詳解：(1)∵對(duì)于任意的x均成立,∴,即∵∴∴為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,∴．當(dāng),此時(shí)不是等比數(shù)列,∴∵成等比數(shù)列,∴成等比數(shù)列,∴．∵,，解得(2)在(1)的條件下,知,(i)==≤,∴原不等式成立．解法二(i)設(shè),則=∵；當(dāng)；當(dāng)取得最大值∴原不等式成立．(ii)由(i)知，對(duì)任意的x＞0，有=∴取)=,則．∴原不等式成立．見(jiàn)詳解．詳解：(Ⅰ)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)時(shí)，．所以結(jié)論成立．(2)假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則．所以．即時(shí),結(jié)論成立．由(1)(2)可知對(duì)任意的正整數(shù)，都有．(Ⅱ)證明：．因?yàn)?，所以，即．所以．?）不具有“性質(zhì)”；具有“性質(zhì)”；（2）見(jiàn)詳解；（3）．詳解：(1)在數(shù)列中，取，則，不滿(mǎn)足條件①，所以數(shù)列不具有“性質(zhì)”；在數(shù)列中，，，，，，則,,，所以滿(mǎn)足條件①；()滿(mǎn)足條件②,所以數(shù)列具有“性質(zhì)”(2)由于數(shù)