2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破專練：多邊形證明（復(fù)習(xí)講義）（三角形、平行四邊形、矩形、正方形、菱形）

題型四多邊形證明

（三角形、平行四邊形、矩形、正方形、菱形）

（復(fù)習(xí)講義）

【考點(diǎn)總結(jié)I典例分析】

對邊平行且相等

對角相等、鄰的互補(bǔ)—性質(zhì)

對角線互相平分-

TSW邊平行且相等四邊形1

兩組對邊平行的四邊形-

碉穌有nx(n-3)-2

兩組對邊相等的四邊形一

「正多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有n-2條對角線

對角線互相四邊形J

多邊形內(nèi)角(n-2)180Fn

三個(gè)角是的四邊形

90?多邊形內(nèi)角和

f角是90?的平行四邊形

多邊形外角和360,

判定

對角線互相平分且相等的四邊形」

iZ2i22iZl(SSS)

確蠅等的呻

-邊角邊（SAS）

四個(gè)角都是直角

三角形全等角角邊（AAS）

對角線互相垂直且平分

性質(zhì)J

角邊角（ASA）

鄰角互補(bǔ)且相等

直角邊和斜邊（HL）

對邊平行且相等

四邊形多邊形證明三組對邊成

對角線垂直平分

三角形相似兩組對邊成比例且夾角相等

對角線平分對角

兩個(gè)內(nèi)角相等

對邊平行且相等

三角形

30?所輜

對角相等.鄰角互補(bǔ)

斜邊上的中我是斜邊的T

四邊相等的四邊形

直角三角形

三角形斜邊的高線等于直角邊的乘積除以斜邊

對角線垂直平分的四邊形

亙角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）

對角線垂直的平行四邊形

等邊對等角

臨邊相等的平行四邊形

等角對等邊

臨邊相等的矩形

等腰三角形

有一個(gè)角是90?的稀

軸對稱圖形

對角線垂直平分相等的四邊形

對角線垂直且相等的平4亍四邊形—正方形

對角線垂直平分且相等

四條邊都相等

四個(gè)角都相等且是90。

G要點(diǎn)歸納

考點(diǎn)01三角形全等及性質(zhì)

一、三角形的基礎(chǔ)知識

1.三角形的概念

由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形.

2.三角形的三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊.

（2-）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍；③證明線段

不等關(guān)系.

3.三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°.

推論：

①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

③三角形的?一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

4.三角形中的重要線段

（1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三

角形的角平分線.

（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.

（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡

稱三角形的高）.

（4）連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，且

等于第三邊的一半.

二、全等三角形

5.三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊角邊”

或“SAS”）；

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“角邊角”

或“ASA”）；

（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；

（4）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有

斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

6.全等三角形的性質(zhì)：

（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；

（2）全等三角形的周長相等，面積相等；

（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等.

三、等腰三角形

7.等腰三角形的性質(zhì)

定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對等角）.

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底

邊上的中線、底邊上的高重合.

推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60。.

8.等腰三角形的判定

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）.這

個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等.

推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

推論2：有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

四、等邊三角形

（1）定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

（2）性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60。.

（3）判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊

三角形.

五、直角三角形與勾股定理

9.直角三角形

定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

性質(zhì)：

（1）直角三角形?兩銳角互余；

（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么?它所對的直角邊等于斜邊的一半；

（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

判定：

（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

10.勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2.

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形

是直角三角形.

G典例解析

1.（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在，A6C中，A8=AC,AD為ASC的角平分線.以

點(diǎn)A圓心，AD長為半徑畫弧，與AB,AC分別交于點(diǎn)E,尸，連接。瓦。廠.

（1）求證：VADE絲VADR；

（2）若/SAC=80。，求/瓦定的度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）ZBDE=20°

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出NA4D=NC4T）,由作圖可得即可證明

NADE^IADF；

（2）根據(jù)角平分線的定義得出ZEW=4O。，由作圖得出鉆=AD,則根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理以及等腰三角形的性質(zhì)得出NADE=70。，AD1BC,進(jìn)而即可求解.

【詳解】（1）證明：為，A5C的角平分線，

ABAD=ACAD,

由作圖可得AE=AF,

在VADE和△ADP中，

AE=AF

<ABAD=ACAD,

AD=AD

/.NADE^IADF(SAS)；

(2)?：ABAC=80°,AD為二ABC的角平分線,

ZEAD=4O°

由作圖可得鉆=AD,

ZAPE=70°,

9

：AB=ACfAD為一ABC的角平分線，

JAD1BC,

：.ZBDE=20°

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義,

熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，AC和BD相交于點(diǎn)0,0A=0C,OB=0D.

(1)求證：Z.A=Z.C；

(2)求證:AB//CD.

0A=0C

【答案】證明：(1)在AAOB和△COD中，ZAOB=ZCOD,

、OB=OD

.-.△AOB=ACOD(SAS),

???zA=Z.C；

(2)由(1)得NA=NC,

?-.AB//CD.

3.(2023?云南?統(tǒng)考中考真題)如圖，C是3。的中點(diǎn)，AB=ED,AC=EC.求證:

AABC咨4EDC.

AE

【答案】見解析

【分析】根據(jù)C是8。的中點(diǎn)，得到3C=CD,再利用SSS證明兩個(gè)三角形全等.

【詳解】證明：C是3。的中點(diǎn)，

:.BC=CD,

在，ABC和△EDC中，

BC=CD

AB=ED,

AC=EC

ABC%EDC(SSS)

【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對三角形判定條件的確定是解決本

題的關(guān)鍵.

4.如圖，點(diǎn)B,F,C,E在同一條直線上，BF=EC,AB=DE,NB=NE.求證：zA=ZD.

【答案】證明：?；BF=EC,

BF+CF=EC+CF,

即BC=EF,

在△ABC和△DEF中，

AB=DE

zB=zE，

、BC=EF

??.△ABC三△DEF(SAS),

???Z.A=Z.D.

5.(2023?福建?統(tǒng)考中考真題)如圖，OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求證：AB=CD.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)已知條件得出NAO8=/COD,進(jìn)而證明△/如絲根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：ZAOD=ZCOB,

ZAOD-/BOD=ZCOB-/BOD,

即ZAOB=NCOD.

在.493和中，

'OA=OC,

<ZAOB=ZCOD,

OB=OD,

AOB^COD

AB=CD.

【點(diǎn)睛】本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查幾何直觀、

推理能力等，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?四川省宜賓市）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一直線上，AB//DE,ZB=ZE,BC=EF.

求證：AD=CF.

【答案】證明：vAB//DE,

?.?4A=ZEDF.

SAABC^DADEF中，

ZA=ZEDF

ZB=Z.E,

BC=EF

.-.△ABC=ADEF(AAS).

??.AC=DF,

??.AC-DC=DF-DC,

即：AD=CF.

7.(2022?陜西省)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD=AB,DE//AB,ZJDCE=ZA求證:

DE=BC.

E

A

【答案】證明：???DE〃AB,

Z.EDC=Z.B,

在^CDE和△ABC中，

ZEDC=ZB

CD=AB,

Z.DCE=zA

.-.△CDE=AABC(ASA),

DE=BC.

8.(2022?浙江省杭州市)如圖，在RtAACB中，ZACB=90。，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM

上，EFJ.AC于點(diǎn)F,連接CM,CE.已知NA=50。，zACE=30°.

(1)求證：CE=CM.

(2)若AB=4,求線段FC的長.

【答案】(1)證明：???NACB=90。，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn),

???MC=MA=MB,

??.Z.MCA=zA,ZMCB=4B,

???zA=50°,

??.ZMCA=50°,ZMCB=ZB=40°,

???ZEMC=ZMCB+4B=80°,

???Z.ACE=30°,

??.zMEC=NA+zACE=50°,

??.ZMEC=ZEMC,

??.CE=CM；

(2)解：???AB=4,

??.CE=CM=iAB=2,

2

???EF1AC,ZACE=30°,

???FC=CE?cos30°=V3.

9.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考中考真題)如圖，ZA=90°,AB=AC,BD±AB,BC=AB+BD.

⑴寫出A3與8。的數(shù)量關(guān)系

(2)延長BC到E,使匿=3<7,延長。C到尸，使CF=DC,連接EP.求證：EF±AB.

(3)在(2)的條件下，作/ACE的平分線，交于點(diǎn)H,求證：AH=FH.

【答案］⑴(夜T)AB=B￡>

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)勾股定理求得8c=04?，結(jié)合已知條件即可求解；

(2)根據(jù)題意畫出圖形，證明,CBD絲CEF,得出/E=/DBC=45°,則砂〃3￡>,即可

得證；

(3)延長交于點(diǎn)延長S交ME于點(diǎn)G,根據(jù)角平分線以及平行線的性質(zhì)證明

EG=EC,進(jìn)而證明.AHC空切G(AAS),即可得證.

【詳解】(1)解：：ZA=90O,AB=AC

BC=41AB，

BC=AB+BD

:.近AB=AB+BD

即(0-1)AB=肛

(2)證明：如圖所示,

A

F

B

D

：.ZA=90°,AB=AC

：.^ABC=45°,

,:BDJ.AB,

：.=45°

VCE=BC,Z1=Z2,CF=DC

：.CBD^CEF

：.ZE=ZDBC=45°

：.EF//BD

：.AB±EF

（3）證明：如圖所示，延長8A,跖交于點(diǎn)M,延長CH交建于點(diǎn)G,

VEF±ABfAC.LAB,

：.ME//ACf

：.ZCGE=ZACG

???"是/ACE的角平分線,

???ZACG=ZECG9

：.ZCGE=ZECG

：.EG=EC

,:-CBD空CEF,

；?EF=BD,CE=CB,

：.EG=CB,

又：BC=AB+BD,

：.EG=AB+BD=AC+EF,

M

^FG+EF=AC+EF,

：.AC=EG,

又AC〃/G,則4Z4G=NHFG,

在3酒腹產(chǎn)"G中，

ZHAG=ZHFG

<ZAHG=ZFHG,

AC=FG

：..AHC^FHG(AAS),

；?AH=HF

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線的

性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

10.(2021?浙江溫州市?中考真題)如圖，B石是工A5C的角平分線，在A5上取點(diǎn)。，使

DB=DE.

(1)求證：DE//BC.

(2)若NA=65。，NAED=45。，求NE5C的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）35。

【分析】

（1）直接利用角平分線的定義和等邊對等角求出=即可完成求證；

（2）先求出NADE,再利用平行線的性質(zhì)求出NABC,最后利用角平分線的定義即可完成

求解.

【詳解】

解：（1）3E平分NABC,

ZABE=ZEBC.

DB=DE,

ZABE=ZBED,

ZBED=NEBC,

DE//BC.

（2）ZA=65。，ZAED=45。,

ZADE=1800-ZA-ZAED=70°.

DE/IBC.

ZABC^ZADE=10°.

BE平分/ABC,

ZEBC=-ZABC=35°,

2

即NEBC=35°.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本

題的關(guān)鍵是牢記概念與性質(zhì)，本題的解題思路較明顯，屬于幾何中的基礎(chǔ)題型，著重考查了

學(xué)生對基本概念的理解與掌握.

11.（2021?福建中考真題）如圖，在，A4C中，D是邊上的點(diǎn)，DE±AC,DF±AB,

垂足分別為E,F,且DE=DF,CE=BF.求證：ZB=NC.

F

BD

【答案】見解析

【分析】

由。石，4。,。下，鉆得出“￡。=〃￡8=90。，由SAS證明一DEC注DEB,得出

對應(yīng)角相等即可.

【詳解】

證明：1?DE±AC,DF±AB,

■.ZDEC=ZDFB=90。.

DE=DF,

在，DEC和叢DFB中，＜NDEC=ZDFB,

CE=BF,

DEC金.DFB,

ZB=ZC.

【點(diǎn)睛】

本小題考查垂線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、空間觀念

與幾何直觀.

G）要點(diǎn)歸納

考點(diǎn)02相似

六、相似三角形的判定及性質(zhì)

11.定義

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似

比.

12.性質(zhì)

（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；

（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

13.判定

（1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；

（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：

（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）;

（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角［用判定（1）］或再找夾邊成比例［用判定（2）］；

（3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；

（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；

（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例.

七、相似多邊形

14.定義

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們

的相似比.

15.性質(zhì)

（1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；

（2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；

（3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

八、位似圖形

16.定義

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或在同一

條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比.

27.性質(zhì)

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k,那么位似圖形對

應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k；

（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比.

18.找位似中心的方法

將兩個(gè)圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中

心.

19.畫位似圖形的步驟

（1）確定位似中心；

（2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；

（3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù);

（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；

（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對應(yīng)點(diǎn).

G典例解析

12.（2023?湖北鄂州.統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC與位似,

AB

原點(diǎn)。是位似中心,且訴=3.若4（9,3）,則4點(diǎn)的坐標(biāo)是

X

【答案】（3,1）

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對應(yīng)線段的長.

【詳解】解：設(shè)4（加,〃）

???ABC與位似，原點(diǎn)。是位似中心，且丁丁=3.若A（9,3）,

；?位似比為3:，

.9__33_3

??一，一,

mini

解得m=3,n=l

"（3,1）

故答案為：（3,1）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵.

13.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是線段A8上一點(diǎn),

連結(jié)AC、DE交于點(diǎn)E若當(dāng)=￡，貝-

EB3

D

【答案】|

【分析】四邊形A5CD是平行四邊形，則A8=Cr>,A8CD,可證明.胡尸一，得到

/=爺=槳，由若=段進(jìn)一步即可得到答案?

EFAEAEEB3

【詳解】解：：四邊形A8CD是平行四邊形，

AB=CD,ABCD,

:.ZAEF=NCDF,ZEAF=/DCF,

:…EAFs.DCF,

,DFCDAB

??EF~AE~AE"

..AE_2

?——,

EB3

.AB_5

"A￡"2'

.SAADF_DF_AB_5

,,S^7"EF-A￡-2-

故答案為：—

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明

EAFsDCF是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?云南中考真題）如圖，在A8C中，點(diǎn)D,E分別是3cAe的中點(diǎn)，AD與BE

相交于點(diǎn)F,若BE=6,則3E的長是.

【答案】9

【分析】

iDFFFi

根據(jù)中位線定理得到DE=—AB,DEIIAB,從而證明仆DEF-△ABF,得到一=—=一，求

2ABBF2

出EF,可得BE.

【詳解】

解：???點(diǎn)D,E分別為BC和AC中點(diǎn)，

1

/.DE=-AB,DEIIAB,

2

△DEF—△ABF,

?DEEF

一花一而一5'

?/BF=6,

/.EF=3,

/.BE=6+3=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線的性質(zhì)

證明△DEF-△ABF.

15.（2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖,在區(qū)14至。中，ZACB=90°,AC=3,BC=1,^,ABC

An

繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到ZWC.連接BB'，交AC于點(diǎn)D,則—的值為.

【分析】過點(diǎn)。作于點(diǎn)尸，利用勾股定理求得AB=根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證

ABB，、ZYOFB是等腰直角三角形，可得￡＞尸=8尸，再由S=gxBCxAD=gx￡）FxAB,

DFAJF

得AO=JTUDF,證明AFDACS,可得——=——，即AF=30尸，再由AP=w一。/，

BCAC

求得。尸=典，從而求得AD=3,CD=-,即可求解.

422

【詳解】解：過點(diǎn)。作。尸_L于點(diǎn)尸，

VZACB=90°,AC=3,BC=l,

,AB=J3-+12=-\/10,

..將二ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△AB'C',

,.AB=42'=而，ZBAB'=90°,

二是等腰直角三角形，

/AS?=45。，

又：DF±AB,

：./FDB=45°,

△￡＞汽?是等腰直角三角形，

DF=BF,

11,—

?/SMB=-xBCxAD=-xDFxAB,即AO=?DF,

'：ZC=ZAFD=90°,ZCAB=ZFAD,

\AFDACB,

.DFAF

即AF=3忙，

"BC-AC

又：AF=屈-DF,

.“歷

??DF=-----,

4

：.AD=y/lQx^-=-,CD=3--=-,

4222

5

.A￡=2=5

"CD1'

2

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角

形的面積，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）在RtAABC中，ZBAC=90°,AD是斜邊3C上的高.

A

⑴證明：△ABD^CBA;

(2)若AB=6,3c=10,求8。的長.

【答案】(1)見解析

(2)B￡?=y

【分析】⑴根據(jù)三角形高的定義得出ZADB=90°，根據(jù)等角的余角相等，得出ABAD=NC,

結(jié)合公共角=即可得證；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：：/BAC=90。，AD是斜邊3C上的高.

AZADB=90°,ZB+ZC=90°

：.ZB+ZBAD^90°,

：.ZBAD=ZC

又：ZB=ZB

(2)*/△ABD^XCBA

.ABBD

又AB=6,BC=10

AB2_3618

-cF-io-y

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的

關(guān)鍵.

AE

BC=4,AB+DE=10-則獲的值.

【分析】由平行線得三角形相似，得出AB?DE,進(jìn)而求得AB,DE,再由相似三角形求得結(jié)

果.

【解析】：BC〃DE,

.?.△ADE^AABC,

,ADDEAE4_DE_AE

ABBCACAB4AC

??.AB?DE=16,

VAB+DE=10,

.\AB=2,DE=8,

AEDE8

?,?—-—-——一乙O，

ACBC4

故答案為：2.

18.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，YA3CD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接CE并延

長交54的延長線于點(diǎn)F

⑴求證：AF=AB；

（2）點(diǎn)G是線段AF上一點(diǎn)，滿足/FCG=/FCD,CG交AD于點(diǎn)H,若AG=2,尸G=6,求

GH的長.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB〃CD,AB^CD,證明V3=VDEC（ASA）,

推出AF=C￡>,即可解答；

（2）通過平行四邊形的性質(zhì)證明GC=GF=6,再通過（1）中的結(jié)論得到DC=AB=AF=8,

最后證明△AG"s^oc”,利用對應(yīng)線段比相等，列方程即可解答.

【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

AB//CD,AB=CD,

:.ZEAF=ZD,

E是AD的中點(diǎn),

AE=DE,

ZAEF=NCED,

/.AEF^DEC(ASA),

：.AF=CD,

.\AF=AB；

(2)解：四邊形ABC。是平行四邊形，

DC=AB=AF=FG+GA=8,DC^FA,

ZDCF=ZF,NDCG=NCGB,

ZFCG=ZFCDf

:.ZF=ZFCG,

,\GC=GF=6f

ZDHC=ZAHG,

:.AAGH^ADCH,

GHAG

'~CH~~DC"

^HG=x^CH=CG-GH=6-x,

x2

可得方程3二5，

6-x8

解得尤=|,

即G”的長為g.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

f蒙要點(diǎn)國?

考點(diǎn)03多邊形

十、多邊形

20.多邊形的相關(guān)概念

(1)定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

(2)對角線：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了

(n-2)個(gè)三角形；n邊形對角線條數(shù)為"、一”.

2

21.多邊形的內(nèi)角和、外角和

（1）內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為（n-2”80。；

（2）外角和：任意多邊形的外角和為360。.

22.正多邊形

（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.

（2）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為（“一2）"80,每一個(gè)外角為迎I.

nn

（3）正n邊形有n條對稱軸.

（4）對于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對稱圖形，又

是中心對稱圖形.

6典例解析

19.（2023?湖南永州?統(tǒng)考中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和等于360。的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)“邊形內(nèi)角和公式（〃-2）/80。分別求解后，即可得到答案

【詳解】解：A.三角形內(nèi)角和是180。，故選項(xiàng)不符合題意；

B.四邊形內(nèi)角和為（4-2）x180。=360。，故選項(xiàng)符合題意；

C.五邊形內(nèi)角和為（5-2）'180。=540。，故選項(xiàng)不符合題意；

D.六邊形內(nèi)角和為（6-2）x1800=720。，故選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了"邊形內(nèi)角和，熟記〃邊形內(nèi)角和公式（“-2）/80。是解題的關(guān)鍵.

20.（2021?湖南岳陽市■中考真題）下列命題是真命題的是（）

A,五邊形的內(nèi)角和是720。B.三角形的任意兩邊之和大于第三邊

C,內(nèi)錯(cuò)角相等D.三角形的重心是這個(gè)三角形的三條角平分

線的交點(diǎn)

【答案】B

【分析】

根據(jù)相關(guān)概念逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】

A、五邊形的內(nèi)角和是540。，故原命題為假命題，不符合題意；

B、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，原命題是真命題，符合題意；

C、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題為假命題，不符合題意；

D、三角形的重心是這個(gè)三角形的三條中線的交點(diǎn)，故原命題為假命題，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題判斷，涉及多邊形的內(nèi)角和，三角形的三邊關(guān)系，平行線的性質(zhì)，以及三角形

的重心等，熟記基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵.

21.（2023?安徽?統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于C。，連接OC,OD,則

ZBAE-ZCOD=（）

A.60°B.54°C.48°D.36°

【答案】D

【分析】先計(jì)算正五邊形的內(nèi)角，再計(jì)算正五邊形的中心角，作差即可.

3600360°

【詳解】ZBAE=180°一一~,ZCOD=-^-,

3600360°

NBAE-ZCOD=180°-----------------=36°,

55

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計(jì)算，熟練掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)

鍵.

22.（2021?四川自貢市?中考真題）如圖，AC是正五邊形4BCDE的對角線，NACD的度數(shù)是

(

4

CD

A.72°B.36°C.74°D.88°

【答案】A

【分析】

根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得NB=NBCD=108。，AB=BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ZBCA=ZBAC=36°,利用角的和差即可求解.

【詳解】

解：,??ABCDE是正五邊形，

ZB=ZBCD=108°,AB=BC,

ZBCA=ZBAC=36°,

ZACD=108°-36°=72°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正五邊形的性質(zhì)，求出正五邊形內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

23.（2021?四川資陽市?中考真題）下列命題正確的是（）

A.每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形

B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.過線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線

D.三角形的中位線將三角形的面積分成1：2兩部分

【答案】B

【分析】

分別根據(jù)正多邊形的判定、平行四邊形的判定、線段垂直平分線的判定以及三角形中線的性

質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：4每個(gè)內(nèi)角都相等，各邊都相等的多邊形是正多邊形，故選項(xiàng)A的說法錯(cuò)誤，不符合題

思；

B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，說法正確，故選項(xiàng)B符合題意;

C.過線段中點(diǎn)且垂直這條線段的直線是線段的垂直平分線，故選項(xiàng)C的說法錯(cuò)誤，不符合

題意；

D.三角形的中位線將三角形的面積分成1：3兩部分，故選項(xiàng)。的說法錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：8.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了對正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷以及三角形中線性質(zhì)的認(rèn)

識，熟練掌握正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷是解答此題的關(guān)鍵.

24.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正五邊形ABCL比中，連接AC,則NBAC的度數(shù)

為.

【答案】36°

【分析】首先利用多邊形的內(nèi)角和公式求得正五邊形的內(nèi)角和，再求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利

用等腰三角形的性質(zhì)可得/BAC的度數(shù).

【詳解】正五邊形內(nèi)角和：（5-2）x180°=3x180°=540°

/3=2=108,

5

180-ZB180-108

/./BAC==36.

22

故答案為36°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式：（n-2）X180。是解

答此題的關(guān)鍵.

25.（2021?浙江麗水市?中考真題）一個(gè)多邊形過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和

為720°,則原多邊形的邊數(shù)是.

【答案】6或7

【分析】

求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形.

【詳解】

解：由多邊形內(nèi)角和，可得

(n-2)xl80°=720°,

n=6,

新的多邊形為6邊形，

???過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角，

,原來的多邊形可以是6邊形，也可以是7邊形，

故答案為6或7.

【點(diǎn)睛】

本題考查多邊形的內(nèi)角和；熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

26.（2021?湖北黃岡市?中考真題）正五邊形的一個(gè)內(nèi)角是度.

【答案】108

【分析】

根據(jù)正多邊形的定義、多邊形的內(nèi)角和公式即可得.

【詳解】

解：正五邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°義；-2）=]08。,

故答案為：108.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正多邊形的內(nèi)角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵.

27.（2021?陜西中考真題）正九邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為.

【答案】140°

【分析】

正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，每個(gè)外角也相等，而每個(gè)內(nèi)角等于180。減去一個(gè)外角，求出外

角即可求解.

【詳解】

360°

正多邊形的每個(gè)外角=——（”為邊數(shù)），

n

360°

所以正九邊形的一個(gè)外角=——=40°

9

???正九邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180。-40°=140°

故答案為:140。.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是多邊形的內(nèi)角和，多