2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點題型訓(xùn)練：圓的相關(guān)證明與計算（含答案解析）

2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點題型訓(xùn)練一圓的相關(guān)證明與計算

(含答案解析)

類型一基本性質(zhì)有關(guān)的

1.(2022?湖南省郴州市)如圖，在△ABC中,AB=AC.以AB為直徑的。0與線段BC交于點D,

過點D作DE1AC,垂足為E,ED的延長線與AB的延長線交于點P.

(1)求證：直線PE是。。的切線；

(2)若O。的半徑為6,ZP=30°,求CE的長.

【答案】⑴連接OD,根據(jù)AB=AC,OB=0D,得NACB=ZODB,從而OD〃AC,由DE1AC,

即可得PEIOD,故PE是OO的切線；

(2)連接AD,連接OD,由DEJ.AC,zP=30°,得NPAE=60。，又AB=AC,可得△ABC

是等邊三角形，即可得BC=AB=12,NC=60。，而AB是。。的直徑，得NADB=90。，

可得BD=CD=^BC=6,在RtaCDE中，即得CE的長是3.

本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線，等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用，含特殊角的直角三角形三

邊關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是判定△ABC是等邊三角形.

2.(2022?遼寧省盤錦市)如圖，^ABC內(nèi)接于。。，NABC=45。，連接AO并延長交。。于

點D,連接BD,過點C作CE〃AD與BA的延長線交于點E.

(1)求證：CE與。0相切；

(2)若AD=4,ND=60。，求線段AB,BC的長.

E

【答案】⑴連接OC,根據(jù)圓周角定理得4Aoe=90。，再根據(jù)AD〃EC,可得/OCE=90。,

從而證明結(jié)論；

(2)過點A作AF1EC交EC于F,由AD是圓0的直徑，得NABD=90。,又AD=4,ND=60°,

即得AB=V3BD=2遍,根據(jù)4ABe=45。，知aABF是等腰直角三角形，AF=BF=乎AB=

V6,又4AOC是等腰直角三角形，0A=0C=2,得AC=2加,故CF='AC?-AF2=&,

從而BC=BF+CF=V6+V2.

本題主要考查了圓周角定理，切線的判定與性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識，作

輔助線構(gòu)造特殊的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?山東臨沂市?中考真題)如圖，已知在。。中，AB=BC=CD-OC與AD相交于點

E.求證：

(1)AD〃BC

(2)四邊形BCDE為菱形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】

（1）連接BD,根據(jù)圓周角定理可得NADB=/CBD,根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論；

（2）證明4DEF之ZkBCF,得到DE=BC,證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)元=⑤

得到BC=CD,從而證明菱形.

【詳解】

解：（1）連接BD,

AB=BC=CD^

.?.NADB=NCBD,

；.AD〃BC；

(2)連接CD,

；AD〃BC,

.-.ZEDF=ZCBF,

1-BC=CD，

：.BC=CD,

；.BF=DF,又/DFE=/BFC,

.?.△DEF^ABCF(ASA),

；.DE=BC,

四邊形BCDE是平行四邊形，又BC=CD,

...四邊形BCDE是菱形.

【點睛】

本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱

形的判定，解題的關(guān)鍵是合理運用垂徑定理得到BF=DF.

4.(2021?四川南充市?中考真題)如圖，A,B是。。上兩點，且,連接0B并延長

到點C,使BC=OB,連接AC.

(1)求證：AC是。。的切線.

(2)點D,E分別是AC,0A的中點，DE所在直線交。。于點F,G,OA=4,求GF的長.

【答案】(1)見解析；(2)2^/13

【分析】

(1)先證得^AOB為等邊三角形，從而得出NOAB=60。，利用三角形外角的性質(zhì)得出

ZC=ZCAB=30°,由此可得/OAC=90。即可得出結(jié)論;

(2)過。作OM_LDF于M,DN_LOC于N,利用勾股定理得出AC=4百，根據(jù)含30。的直

角三角形的性質(zhì)得出DN=百，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出GF的長.

【詳解】

(1)證明：VAB=OA,OA=OB

/.AB=OA=OB

...△AOB為等邊三角形

.?.ZOAB=60°,ZOBA=60"

,/BC=OB

BC=AB

.\ZC=ZCAB

又：ZOBA=60°=ZC+ZCAB

，/C=/CAB=30°

ZOAC=ZOAB+ZCAB=90°

；.AC是00的切線；

(2)0A=4

.,.0B=AB=BC=4

；.0C=8

AC=^OC2+OA2=VS2-42=4G

：D、E分別為AC、OA的中點，

/.OE//BC,DC=2G

過。作OM_LDF于M,DN_LOC于N

則四邊形OMDN為矩形

；.DN=OM

在RtZ\CDN中，ZC=30°,；.DN=—DC=g

：.0M=y/3

連接OG,VOMXGF

：.GF=2MG=2^QG2-OM2=2^42-(V3)2=2舊

【點睛】

本題考查了切線的判定、垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)的知識是解題

的關(guān)鍵.

5.（2021?安徽中考真題）如圖，圓0中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點E.

（1）M是CD的中點，OM=3,CD=12,求圓。的半徑長；

（2）點F在CD上，且CE=EF,求證：AF1BD.

【答案】（1）375；（2）見解析.

【分析】

(1)根據(jù)M是CD的中點,0M與圓0直徑共線可得(W1CD)(W平分CD,則有MC=6,

利用勾股定理可求得半徑的長；

(2)連接AC,延長AF交BD于G,根據(jù)CE=EF,AE1FC,可得AF=AC，Z1=Z2,

利用圓周角定理可得N2=NO,可得=利用直角三角形的兩銳角互余，可證得

ZAGB=90°,即有

【詳解】

(1)解：連接。C,

是CD的中點，OM與圓。直徑共線

OM1CD,O河平分CD,

ZOMC=90°

???c。=12

MC=6.

在RtZSOMC中.

OC=^MC2+OM2

=-\/62+32

=3亞

，圓。的半徑為3JS

(2)證明：連接AC,延長AF交BD于G.

,;CE=EF,AEA.FC

AF=AC

又?：CE=EF

/I=N2

\-BC=BC

Z2=ZD

Z1=ZD

在RtABED中

ZD+ZB=90°

Zl+ZS=90°

ZAGB=90°

AF1BD

【點睛】

本題考查了垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的兩銳角互余，勾股定理等知識點，熟練應(yīng)

用相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

6.（2021■浙江中考真題）如圖，已知48是0。的直徑，N/CD是40所對的圓周角，

乙4c￡>=30°.

（1）求的度數(shù)；

（2）過點。作垂足為￡,的延長線交。。于點E.若45=4，求。尸的

長.

【答案】（1）60°；（2）2百

【分析】

(1)連結(jié)8￡),根據(jù)圓周角性質(zhì)，得/B=N4CD；根據(jù)直徑所對圓周角為直角、直角三

角形兩銳角互余的性質(zhì)計算，即可得到答案；

(2)根據(jù)含30。角的直角三角形性質(zhì)，得48；根據(jù)垂徑定理、特殊角度三角函數(shù)

2

的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】

(1)連結(jié)BD，

ZACD=30°

\DB=^)ACD=30°

Q是。。的直徑，

ZADB=90°,

ND4B=90。一/B=60°

(2)ZADB=90°,ZB=30°,48=4

：.AD=^-AB=1

2

VZDAB=60°,DEYAB,且48是直徑

:.EF=DE=ADsin60°=g

DF=IDE=2G.

【點睛】

本題考查了圓、含30。角的直角三角形、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角、

垂徑定理、含30。角的直角三角形、三角函數(shù)、直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，從而完成求

解.

7.(2021?湖南中考真題)如圖，A/BC是。。的內(nèi)接三角形，/C是。。的直徑，點。是

部的中點，交NC的延長線于點￡.

(1)求證：直線。E與。。相切；

(2)若。。的直徑是10,44=45。，求CE的長.

【答案】(1)見解析；(2)CE=5\[2-5-

【分析】

(1)連接OD,由點D是前的中點得OD_LBC,由DE〃BC得OD_LDE,由OD是半徑可得

DE是切線；

(2)證明AODE是等腰直角三角形，可求出OE的長，從而可求得結(jié)論.

【詳解】

解：(1)連接0D交BC于點F,如圖，

；.OD_LBC,

DE//BC

/.ODXDE

：OD是的半徑

，直線。E與O。相切；

（2）；AC是O。的直徑，且AB=10,

/ABC=90°,OC=OA=—AB=5

2

VODXBC

.?.ZOFC=90°

.?.OD//AB

?/ABAC=45°

/./DOE=45°

,//ODE=90°

ZOED=45

DE=OD=OC=5

由勾股定理得，OE=542

CE=OE-OC=542-5-

【點睛】

此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)

鍵.

8.（2021?湖南張家界市?中考真題）如圖，在MA/08中，ZABO=90°,ZOAB=30°,

以點。為圓心，08為半徑的圓交5。的延長線于點C,過點。作OA的平行線，交。。于

點D,連接4D.

A

（1）求證：WD為0。的切線；

（2）若OB=2,求弧CO的長.

2

【答案】（1）見解析；（2）-71

3

【分析】

（1）連接0B,先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到NAOB=60。，再運用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條

件可得NAOD=60°,再證明AAOB沿AAOD可得ZADO=AABO=90°即可；

（2）先求出NCOD,然后再運用弧長公式計算即可.

【詳解】

（1）證明：連接OD

VAOAB=3Q°,Z5=90°

/.ZAOB=60°

又,：CD11AO

ZC=ZAOB=60°

/.ZBOD=2ZC=120°

AAOD=60°

又；OB=OD,4O=4O

：.AAOB^AAOD（SAS）

：.ZADO=ZABO=90°

又：點。在0。上

，40是。。的切線;

(2)VZB0D=nQ°

ZC0D=60°

【點睛】

本題主要考查了圓的切線的證明、弧長公式等知識點，掌握圓的切線的證明方法成為解答本

題的關(guān)鍵.

9.(2020?齊齊哈爾)如圖，AB為的直徑，C、D為。。上的兩個點，AC=CD=DB,

連接AD,過點D作DE_LAC交AC的延長線于點E.

(1)求證：DE是。。的切線.

(2)若直徑AB=6,求AD的長.

【分析】

(1)連接OD,根據(jù)已知條件得到NBOD=^X180。=60°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/

ADO=ZDAB=30°,得到/EDA=60°,求得OD_LDE,于是得到結(jié)論；

(2)連接BD,根據(jù)圓周角定理得到/ADB=90°,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解析】

(1)證明：連接0D,

VAC=CD=DB,

1

AZB0D=2X180°=60°,

VCD=DB,

i

AZEAD=ZDAB=2^BOD=30°,

VOA=OD,

ZADO=ZDAB=30°,

VDE1AC,

ZE=90°,

AZEAD+ZEDA=90°,

ZEDA=60°,

AZEDO=ZEDA+ZADO=90°,

.,.ODXDE,

ADE是。O的切線；

(2)解：連接BD,

VAB為。O的直徑，

AZADB=90°,

VZDAB=30°,AB=6,

1

???BD=2AB=3,

AD=V62-32=3A/3.

E

10.(2020?深圳)如圖，AB為o。的直徑，點C在。。上，AD與過點C的切線互相垂直,

垂足為D.連接BC并延長，交AD的延長線于點E.

(1)求證：AE=AB；

(2)若AB=10,BC=6,求CD的長.

【分析】

(1)證明：連接AC、OC,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC_LCD,則可判斷OC〃AD,所以

/OCB=/E,然后證明/B=/E,從而得到結(jié)論；

(2)利用圓周角定理得到NACB=90°,則利用勾股定理可計算出AC=8,再根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)得到CE=BC=6,然后利用面積法求出CD的長.

【解析】

(1)證明：連接AC、OC,如圖，

VCD為切線，

.-.OC±CD,

/.CD±AD,

，OC〃AD,

/.ZOCB=ZE,

VOB=OC,

.?.ZOCB=ZB,

/.ZB=ZE,

/.AE=AB；

(2)解：：AB為直徑，

.-.ZACB=90°,

；.AC=V102-62=8,

：AB=AE=1O,AC_LBE,

；.CE=BC=6,

11.(2020?陜西)如圖，4ABC是。。的內(nèi)接三角形，ZBAC=75°,ZABC=45°.連接

AO并延長，交O。于點D,連接BD.過點C作。0的切線，與BA的延長線相交于點E.

(1)求證：AD〃EC；

(2)若AB=12,求線段EC的長.

E

【分析】

(1)連接0C,由切線的性質(zhì)可得NOCE=90°,由圓周角定理可得NAOC=90°,可得結(jié)

論；

(2)過點A作AF_LEC交EC于F,由銳角三角函數(shù)可求AD=8^,可證四邊形OAFC是正

方形，可得CF=AF=4g,由銳角三角函數(shù)可求EF=12,即可求解.

【解析】

證明：(1)連接0C,

VCE與相切于點C,

.?.ZOCE=90°,

VZABC=45°,

.?.ZAOC=90°，

VZAOC+ZOCE=180°，

：.AAD//EC

(2)如圖，過點A作AF_LEC交EC于F,

:/BAC=75°,/ABC=45°,

.?.ZACB=60°,

.../D=NACB=60°,

../…ABV3

??sinNADB=而=-2,

.?.AD=^^=8后

V3

.?.OA=OC=4V3,

VAF±EC,ZOCE=90°,NAOC=90°,

，四邊形OAFC是矩形，

又：OA=OC,

，四邊形OAFC是正方形，

.-.CF=AF=4V3,

VZBAD=90°-ZD=30°,

.?.ZEAF=180°-90°-30°=60°,

tanZEAF=黑=V3,

/.EF=V3AF=12,

.,.CE=CF+EF=12+4V3.

類型二與三角形全等、相似有關(guān)的

12.(2022?遼寧省營口市)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作。0與AC交于點E,

過點A作。0的切線交BC的延長線于點D.

(1)求證：ND=ZEBC；

(2)若CD=2BC,AE=3,求。。的半徑.

【答案】

⑴根據(jù)切線的性質(zhì)可得NDAO=90。，從而可得ND+NABD=90。，根據(jù)直徑所對的圓周角

是直角可得NBEC=90°,從而可得NACB+ZEBC=90。，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得

ZACB=ZABC,從而利用等角的余角相等即可解答；

(2)根據(jù)已知可得BD=3BC,然后利用⑴的結(jié)論可得△DAB-aBEC,從而利用相似三角形

的性質(zhì)可得AB=3EC,然后根據(jù)AB=AC,進行計算即可解答.

本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練

掌握切線的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.(2022?北部灣)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AC為直徑作。0交BC于

點D,過點D作DE1AB,垂足為E,延長BA交。0于點F.

B

DC

(1)求證：DE是00的切線

(2)若需=■!,AF=10,求。0的半徑.

【答案】(1)證明：連接OD；

VOD=OC,

AZC=ZODC,

,.?AB=AC,

JZB=ZC,

???NB=NODC,

.'.OD||AB,

???NODE=NDEB；

VDE±AB,

???NDEB=90。，

???ZODE=90°,

即DELOD,

???DE是。O的切線

(2)解：連接CF,

由(1)知OD_LDE,

VDEXAB,

AOD||AB,

VOA=OC,

???BD=CD,即OD是AABC的中位線,

〈AC是。0的直徑，

???ZCFA=90°,

VDE±AB,

.??NBED=90。，

.??NCFA=NBED=90。，

ADE||CF,

.??BE=EF,即DE是AFBC的中位線，

???CF=2DE,

..AE_2

*DE-3y

?,?設(shè)AE=2x,DE=3k,CF=6k,

VAF=10,

???BE=EF=AE+AF=2k+10,

???AC=BA=EF+AE=4k+10,

在Rt^ACF中，由勾股定理，得

AC2=AF2+CF2,即(4k+10)2=102+(6k)2,

解得：k=4,

.??AC=4k+10=4x4+10=26,

AOA=13,

即。0的半徑為13.

【知識點】平行線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；三角形的

中位線定理

【解析】

【分析】

(1)連接0D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NC=NODC,ZB=ZC,則/B=NODC,

推出0D〃AB,由平行線的性質(zhì)可得NODE=NDEB=90。，即DELOD,據(jù)此證明；(2)

連接CF,由(1)知ODLDE,則OD〃AB,易得0D是AABC的中位線，根據(jù)圓周

角定理可得NCFA=90。,根據(jù)垂直的概念可得NBED=90。,則DE〃CF,推出DE是4FBC

的中位線，得CF=2DE,設(shè)AE=2x,DE=3k,CF=6k,貝ijBE=EF=2k+10,AC=BA=4k+10,

根據(jù)勾股定理可得k的值，然后求出AC、OA,據(jù)此可得半徑.

14.(2021?江蘇無錫市?中考真題)如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于ZC是。。的直徑，AC

與BD交于點E,P8切。。于點B.

(1)求證：ZPBA=ZOBC；

(2)若BPB4=20°,ZACD=40°,求證：VOABKCDE.

【答案】(1)見詳解；(2)見詳解

【分析】

(1)由圓周角定理的推論，可知/ABC=90。，由切線的性質(zhì)可知/OBP=90。，進而即可得到

結(jié)論；

(2)先推出NOCS=NO5C=20°,從而得/AOB=40。，繼而得/OAB=70。，再推出

ZCDE=70°,進而即可得到結(jié)論.

【詳解】

證明：(1)是。。的直徑，

/.ZABC=90",

切。。于點B,

.".ZOBP=90°,

Z.PBA+/ABO=ZOBC+AABO=90°,

NPB4=N0BC；

(2)-：DPBA=20°,/PBA=NOBC，

：.ZOBC=20°,

VOB=OC,

ZOCB=ZOBC=20°,

.".ZAOB=20o+20°=40°,

VOB=OA,

，ZOAB=ZOBA=(180o-40o)-r2=70",

/.ZADB=-ZAOB=20°,

2

*/NC是。。的直徑，

.,.ZADC=90°,

.?./CDE=90°-20°=70°,

.,.ZCDE=ZOAB,

???乙4CD=40。，

ZACD=ZAOB=40°,

/.VOABsNCDE.

【點睛】

本題主要考查圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定定理，掌握圓周角定理的推論，相似三角形的

判定定理，切線的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵.

15.（2020?衢州）如圖，△ABC內(nèi)接于o。，AB為。。的直徑，AB=10,AC=6,連結(jié)。C,

弦AD分別交OC,BC于點E,F,其中點E是AD的中點.

(1)求證：ZCAD=ZCBA.

(2)求0E的長.

【分析】

(1)利用垂徑定理以及圓周角定理解決問題即可.

CEAC

(2)證明△AECS^BCA,推出一=一，求出EC即可解決問題.

ACAB

【解析】

(1)證明：VAE=DE,0C是半徑，

/.AC=CD,

.\ZCAD=ZCBA.

(2)解：,；AB是直徑，

.?.ZACB=90°,

VAE=DE,

.\OC±AD,

.?.ZAEC=90°,

；./AEC=NACB,

/.△AEC^ABCA,

.CEAC

??—，

ACAB

.CE6

610

?CE=3.6,

1

VOC=2AB=5^

??.OE=OC-EC=5-3.6=1.4.

C

16.(2020?銅仁市)如圖，AB是。。的直徑，C為。。上一點，連接AC,CEJ_AB于點E,D

是直徑AB延長線上一點，且NBCE=NBCD.

(1)求證：CD是。。的切線；

BE1

(2)右AD=8,—=—,求CD的長.

CE2

【分析】

(1)連接。C,根據(jù)圓周角定理得到/ACB=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到/A=/ECB,求得

NA=NBCD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA=NACO,等量代換得到NACO=/BCD,求

得NDCO=90°,于是得到結(jié)論；

(2)設(shè)BC=k,AC=2k,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】

(1)證明：連接OC,

VAB是。O的直徑，

.-.ZACB=90",

VCE±AB,

；./CEB=90°,

.,.ZECB+ZABC=ZABC+ZCAB=90°,

；./A=/ECB,

VZBCE=ZBCD,

.?.ZA=ZBCD,

,.?OC=OA,

/.ZA=ZACO,

；./ACO=/BCD,

AZACO+ZBCO=ZBCO+ZBCD=90°,

.?.ZDCO=90°,

ACD是。。的切線；

(2)解：VZA=ZBCE,

.BC/…BE1

.?tanA=前=tanZBCE=京=彳

設(shè)BC=k,AC=2k,

VZD=ZD,ZA=ZBCD,

.?.△ACD^>ACBD,

.BCCD1

"AC-AD-2’

VAD=8,

.'.CD=4.

17.(2020?衡陽)如圖，在△ABC中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于點D,過點A和

點D的圓，圓心O在線段AB上，。0交AB于點E,交AC于點F.

(1)判斷BC與的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若AD=8,AE=10,求BD的長.

【分析】

(1)連接0D,根據(jù)平行線判定推出OD〃AC,推出ODLBC,根據(jù)切線的判定推出即可；

(2)連接DE,根據(jù)圓周角定理得到/ADE=90°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AC=雷，根

據(jù)勾股定理得到CD=VAD^-AC2=182+(田產(chǎn)=等，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到

結(jié)論.

【解析】(1)BC與相切，

理由：連接0D,

VOA=OD,

/.ZOAD=ZODA,

VAD平分NBAC,

.?.ZBAD=ZCAD,

.?.ZODA=ZCAD,

.?.OD〃AC,

VZC=90°,

.?.ZODC=90°,

；.OD_LBC,

VOD為半徑，

BC是。0切線；

(2)連接DE,

VAE是。。的直徑,

/.ZADE=90°,

VZC=90°,

/.ZADE=ZC,

:NEAD=NDAC,

.?.△ADE^AACD,

?_AEAD

??—，

ADAC

108

8—AC'

CD=VAD2—AC2=(8?—(等刑—苦,

VOD±BC,AC±BC,

/.△OBD^AABC,

.ODBD

"AC—BC'

，A_BD

18.（2020?遵義）如圖，AB是的直徑，點C是。。上一點，NCAB的平分線AD交資

于點D,過點D作DE〃BC交AC的延長線于點E.

（1）求證：DE是。。的切線；

（2）過點D作DF_LAB于點F,連接BD.若OF=1,BF=2,求BD的長度.

E

【分析】

(1)連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出/ADO=NDAE,從而OD〃AE,

由DE〃BC得NE=90°,由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出/ODE=90°,由切線的判定定

理得出答案；

(2)先由直徑所對的圓周角是直角得出NADB=90°,再由OF=1,BF=2得出0B的值，

進而得出AF和BA的值，然后證明△DBFSAABD,由相似三角形的性質(zhì)得比例式，從而求

得BD2的值，求算術(shù)平方根即可得出BD的值.

【解析】

(1)連接0D,如圖：

VOA=OD,

.?.ZOAD=ZADO,

VAD平分NCAB,

.?./DAE=NOAD,

；./ADO=/DAE,

/.OD//AE,

?；DE〃BC,

/.ZE=90°,

.,.ZODE=180°-ZE=90°,

ADE是。0的切線；

(2)TAB是O0的直徑，

.?.ZADB=90°,

VOF=1,BF=2,

/.OB=3,

；.AF=4,BA=6.

VDFXAB,

.?.ZDFB=90°,

/.ZADB=ZDFB,

又：/DBF=/ABD,

/.△DBF^AABD,

.BDBF

?'BA—BD'

；.BD2=BF?BA=2X6=12.

.?.BD=2V3.

19.(2019?陜西)如圖，OO的半徑OA=6,過點A作。O的切線AP,且AP=8,連接PO

并延長，與。。交于點B、D,過點B作BC〃OA,并與交于點C,連接AC、CD.

(1)求證：DC〃AP;

(2)求AC的長.

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到/OAP=90。，根據(jù)圓周角定理得到NBCD=90°,根據(jù)平行線的

性質(zhì)和判定定理即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解析】

(1)證明：：AP是的切線，

AZOAP=90°,

VBD是。。的直徑，

/.ZBCD=90°,

V0A/7CB,

AZAOP=ZDBC,

ZBDC=ZAPO,

，DC〃AP；

(2)解：VA0/7BC,OD=OB,

,延長AO交DC于點E,

貝UAEJ_DC,OE=|BC,CE=|CD,

在RtAAOP中，0P=V62+82=10,

由(1)知，△AOPs/XCBD,

DBBCDC

OP-OA—AP'

12BCDC

10—6一8

3648

，BC=DC=

T'

1824

/.OE=E'CE=號'

在Rt/XAEC中，AC=VAE2+CE2=J(6+苧/+(停/=怨5.

A

20(2021?云南中考真題)如圖，48是0°的直徑，點C是上異于A、B的點，連接A。、

5C,點D在8/的延長線上，且/DC4=乙4BC,點E在DC的延長線上，且上℃.

(1)求證：DC是。。的切線：

ClA2

(2)若J=—,8E=3,求D4的長.

OD3

9

【答案】(1)見解析；(2)—

10

【分析】

(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理得到/ACB=90。，根據(jù)等量代換得到/DCO=90。，即可證明

DC是圓0的切線；

(2)根據(jù)已知得到0A=2DA,證明△DCOs^DEB,得至1|變=效，可得DA=3EB,即可

DBEB10

求出DA的長.

【詳解】

解：(1)如圖，連接OC,由題意可知：/ACB是直徑AB所對的圓周角，

.?.ZACB=90°,

,/OC,OB是圓。的半徑,

/.OC=OB,

.-.ZOCB=ZABC,

又：NDCA=/ABC,

.?.ZDCA=ZOCB,

ZDCO=ZDCA+ZACO=ZOCB+/ACO=NACB=90°,

.?.OC±DC,

又?..OC是圓o的半徑，

/.DC是圓0的切線；

OA_2

化簡得0A=2DA,

OA+DA~3

由(1)知，ZDCO=90",

VBE±DC,即/DEB=90°,

.?.ZDCO=ZDEB,

，OC〃BE,

.?.△DCO-^ADEB,

DOCOHnDA+OA3DA3IDA

____=即________________=_____=_=_____

DBEB'DA+OA+OB5DA5EB

3

DA=——EB,

10

VBE=3,

33?9

,DA=—EB=—x3=—

10io10

9

經(jīng)檢驗：DA=一是分式方程的解,

10

9

DA=—.

10

【點睛】

本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，正確的作出輔助線，證明

切線，得到相似三角形是解題的關(guān)鍵.

21.(2021?江蘇揚州市?中考真題)如圖，四邊形48c。中，AD//BC,ABAD=90°,

CB=CD,連接BD，以點B為圓心，民4長為半徑作。8,交BD于點E.

(1)試判斷CO與08的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若AB=2陋,/BCD=60。,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)相切，理由見解析；(2)2百—〃

【分析】

(1)過點B作BF_LCD,證明4ABD之△FBD,得到BF=BA,即可證明CD與圓B相切；

(2)先證明4BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合一得到NABD=30。，求出AD,再利用S^BD-S

扇形ABE求出陰影部分面積.

【詳解】

解：（1）過點B作BFLCD,

：AD〃BC,

.-.ZADB=ZCBD,

VCB=CD,

.?.ZCBD=ZCDB,

/.ZADB=ZCDB,又BD=BD,ZBAD=ZBFD=90",

.?.△ABD^AFBD(AAS),

.\BF=BA,則點F在圓B上，

/.CD與圓B相切；

(2)VZBCD=60°,CB=CD,

ABCD是等邊三角形，

.?.ZCBD=60"

VBF±CD,

/ABD=NDBF=NCBF=30°,

，/ABF=60°,

：AB=BF=2jL

/.AD=DF=4B-tan30°=2,

，陰影部分的面積=5妨8?6扇形ABE

il30x?x(2百)

=-X2A/3X2-------------

2360

=2號兀?

【點睛】

本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，

三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強，難度不小，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線.

22.(2020?上海)如圖，4ABC中，AB=AC,。。是^ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC

于點D.

(1)求證：ZBAC=2ZABD；

(2)當(dāng)4BCD是等腰三角形時，求/BCD的大小；

(3)當(dāng)AD=2,CD=3時，求邊BC的長.

【分析】

(1)連接OA.利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可.

(2)分三種情形：①若BD=CB,貝!)NC=NBDC=/ABD+NBAC=3NABD.②若CD=CB,

則/CBD=/CDB=3/ABD.③若DB=DC,則D與A重合，這種情形不存在.分別利用三

角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解即可.

AEAD2AOAE4

(3)如圖3中，作AE〃BC交BD的延長線于E.則==二：=彳，推出777=嬴7=二，設(shè)

DCDC3(JHDHD

OB=OA=4a,OH=3a,BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,構(gòu)建方程求出a即可解決問題.

【解析】

(1)證明：連接OA.

VAB=AC,

AAB=AC,

/.OA±BC,

.'.ZBAO=ZCAO,

VOA=OB,

.-.ZABD=ZBAO,

/.ZBAC=2ZBAD.

(2)解：如圖2中，延長AO交BC于H.

：AB=AC,

.,.NABC=/C,

.?.ZDBC=2ZABD,

VZDBC+ZC+ZBDC=180°,

/.8ZABD=180°,

，/C=3/ABD=67.5°.

②若CD=CB,貝Ij/CBD=/CDB=3/ABD,

.,.ZC=4ZABD,

VZDBC+ZC+ZCDB=180",

.,.10ZABD=180°,

.-.ZBCD=4ZABD=72°.

③若DB=DC,則D與A重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°.

（3）如圖3中，作AE〃BC交BD的延長線于E.

則,_AE=A_D=2_,

BCDC3

AOAE

設(shè)OB=OA=4a,OH=3a,

OHBH

BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

：.25-49a2=16a2-9a2,

23.（2021?云南中考真題）如圖，AB是。O的直徑，點C是。O上異于A、B的點，連接ZC、

6C,點D在24的延長線上，且=。，點E在。C的延長線上，且

(1)求證：。。是的切線：

r)A2

(2)若J=—,BE=3,求D4的長.

OD3

_,9

【答案】(1)見解析；(2)—

10

【分析】

(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，根據(jù)等量代換得到/DCO=90。，即可證明

DC是圓0的切線；

(2)根據(jù)已矢口得至！JOA=2DA,證明△DCOs^DEB,得至1「空="，可得DA=』EB,即可

DBEB10

求出DA的長.

【詳解】

解：(1)如圖，連接OC,由題意可知：NACB是直徑AB所對的圓周角，

/.ZACB=90°,

VOC,OB是圓。的半徑，

.*.OC=OB,

.?.ZOCB=ZABC,

又：NDCA=/ABC,

.\ZDCA=ZOCB,

.?.ZDCO=ZDCA+ZACO=ZOCB+ZACO=ZACB=90°,

.,.OC±DC,

又；oc是圓0的半徑,

.1.DC是圓O的切線；

OA2..

..-------=-,化簡得OA=2DA,

OA+DA3

由(1)知，ZDCO=90°,

VBEXDC,即/DEB=90°,

/.ZDCO=ZDEB,

；.OC〃BE,

/.△DCO^ADEB,

_D__O_=CO即Bn_____D__A__+__O__A___=-3-D--A-=一3=_I_D__A_

'DBEB'DA+OA+OB5DA5EB

3

；.DA=—EB,

10

VBE=3,

39x3,

DA=—EB=

101010

9

經(jīng)檢驗：DA=—是分式方程的解,

10

9

??DA=—.

10

【點睛】

本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，正確的作出輔助線，證明

切線，得到相似三角形是解題的關(guān)鍵.

類型三與銳角三角函數(shù)有關(guān)

24.(2022?遼寧省鐵嶺市)如圖,△ABC內(nèi)接于。0,AC是。0的直徑，過OA上的點P作PD，

AC,交CB的延長線于點D,交AB于點E,點F為DE的中點，連接BF.

(1)求證：BF與。0相切；

(2)若AP=OP,cosA='AP=4,求BF的長.

【答案】(1)連接OB,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NABC=90°,從而可得NABD=90°,

進而利用直角三角形三角形斜邊上的中線可得BF=EF=|AD,然后利用等腰三角形的性質(zhì)

可得NFEB=NFBE,從而可得NFBE=NAEP,最后根據(jù)垂直定義可得4EPA=90。，從而可

得NA+ZAEP=90°,再利用等腰三角形的性質(zhì)可得NA=ZOBA,從而可得NOBA+ZFBE=

90°,進而可得4OBF=90。，即可解答；

(2)在Rt^AEP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長，從而利用勾股定理求出PE的

長，然后利用同角的余角相等可得LAEP=NC,從而可證△APE-aDPC,進而利用相似三

角形的性質(zhì)可求出DP的長，最后求出DE的長，即可解答.

本題考查了解直角三角形，切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，直線

與圓的位置關(guān)系，熟練掌握解直角三角形，以及切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.(2022?四川省廣安市)如圖，AB為。0的直徑，D、E是。0上的兩點，延長AB至點C,

連接CD,ZBDC=ZBAD.

(1)求證：CD是。0的切線.

7

(2)若tan/BED=京AC=9,求O0的半徑.

【答案】

(1)連接0D,由圓周角定理得出NADB=90。，證出OD_LCD,由切線的判定可得出結(jié)論;

(2)證明△BDO4DAC,由相似三角形的性質(zhì)得出當(dāng)=白=9=|,由比例線段求出CD和

AL.CUUAj

BC的長，可求出AB的長，則可得出答案.

本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，圓周角定理，根

據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

26.(2021?山東荷澤市?中考真題)如圖，在0。中，48是直徑，弦垂足為〃，

￡為前上一點，尸為弦。。延長線上一點，連接用并延長交直徑48的延長線于點G,

連接/￡交CD于點P,若FE=FP.

(1)求證：FE是。。的切線;

3

(2)若。。的半徑為8,sinF=-,求BG的長.

【答案】(1)見解析；(2)BG=2

【分析】

(1)連接0E,證明OE_LEF即可；

34

(2)由sin/=—證得sinG=—,運用正弦的概念可得結(jié)論.

55

【詳解】

解：(1)證明：連接。E,如圖，

VOA=OE

/.ZOAE=ZOEA.

VEF=PF,

/.ZEPF=ZPEF

VZAPH=ZEPF,

/.ZAPH=ZEPF,

.\ZAEF=ZAPH.

VCD±AB,

.?.ZAHC=90".

/.ZOAE+ZAPH=90o.

.\ZOEA+ZAEF=90°

.,-ZOEF=90°

/.OE±EF.

：0E是OO的半徑

，EF是圓的切線，

（2）VCDXAB

AFfTG是直角三角形

VsinF=-

5

,GH_3

"FG"5

設(shè)GH=3x,則/G=5x

由勾股定理得，F(xiàn)H=4x

由（1）得，AOEG是直角三角形

.cOEFH4x

??sinCJ--------——

OGFG5x

，即°F/

OG5OE+BG5

?/=8

,84

"8+BG~~5

解得，8G=2

【點睛】

此題主要考查了圓的切線的判定，勾股定理和解直角三角形等知識，熟練掌握切線的判定是

解答此題的關(guān)鍵.

27.（2022?黔東南）（1）請在圖中作出△ABC的外接圓。0（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，

不寫作法）;