2024年中考數(shù)學幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的重要模型-等積模型（原卷版+解析）

專題07三角形中的重要模型-等積模型

三角形的面積問題在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學幾何里面一個非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三

角形中的等積模型（蝴蝶（風箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進行梳理及對應(yīng)

試題分析，方便掌握。

模型1.等積變換基礎(chǔ)模型

1）等底等高的兩個三角形面積相等；

如圖1,當ABHCD,則=反之，如果=則可知直線A3”。。。

2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。

如圖2,當點。是BC邊上的動點時，則SAABO：：OC。

如圖3,當點。是BC邊上的動點，BE±AD,時，貝|以人加：&AOC=BE：CT。

例L（山東省臨沂市2023-2024學年八年級月考）如圖，3D是_ABC邊AC的中線，點E在BC上，gE=：EC,

△ABD的面積是3,則—BED的面積是（）

A.4B.3C.2D.1

例2.（河北省石家莊市2023-2024學年八年級月考）如圖，是J1BC的邊AC上的中線，AE是

的邊上的中線，8F是一4汨的邊AE上的中線，若，ABC的面積是32,則陰影部分的面積是（）

A.9B.12C.18D.20

例3.（湖北十堰五校聯(lián)考2023-2024學年八年級月考）如圖，點G為ABC的重心，D,E,b分別為3C,

C4,的中點，具有性質(zhì)：AG-.GD=BG-.GE=CG-.GF=2A.己知一AFG的面積為2,則AABC的面積為.

例4.（浙江省杭州市2023-2024學年八年級上學期10月月考數(shù)學試題）如圖，。是二ABC的一條中線,

E為邊上一點且BE=2CE,AE、CD相交于E四邊形BDFE的面積為6,則ABC的面積是.

例5.（2023春?江西萍鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期中）基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積.

如圖1,AD是ABC邊上的中線，則入謝=5讖8=；工即一

理由：因為AO是ABC邊BC上的中線，所以BD=CD.

又因為SABD=g8OxA”，SACD^^CDXAH,所以5%?=%48=京4枷-

所以三角形中線等分三角形的面積.

基本應(yīng)用：在如圖2至圖4中，—ABC的面積為a.

⑴如圖2,延長一ABC的邊BC到點。，使連接ZM.若一ACD的面積為航，則*=（用

含。的代數(shù)式表示）；

（2）如圖3,延長，ABC的邊BC到點。，延長邊C4到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若aOEC的

面積為邑,則S?=（用含a的代數(shù)式表示）；

⑶在圖3的基礎(chǔ)上延長A3到點尸，使BF=AB,連接ED,FE,得到/JEF（如圖4）.若陰影部分的面

積為$3,則S3=（用含a的代數(shù)式表示）；

拓展應(yīng)用：

（4）如圖5,點。是ABC的邊BC上任意一點，點E,尸分別是線段AD,CE的中點，且ABC的面積為8a,

則△BEF的面積為一（用含。的代數(shù)式表示），并寫出理由.

例6.（2023春?上海?九年級期中）解答下列各題

（1）如圖1,已知直線機〃"，點A、B在直線w上，點C、P在直線小上，當點P在直線機上移動時，總有

______與ABC的面積相等.

⑵解答下題.①如圖2,在ABC中，己知BC=6,且3C邊上的高為5,若過C作CE〃AB,連接AE、

BE,則54E的面積為.

②如圖3,A、5、E三點在同一直線上，JBH，AC,垂足為/f.若AC=4,JBH=0T，NABC=NACB=6O。，

ZG=ZGBF=60°,求△ACF的面積.

（3）如圖4,在四邊形ABCD中，與CO不平行，AB^CD,且過點A畫一條直線平分四

邊形ABC。的面積（簡單說明理由）.

模型2.蝴蝶（風箏）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則

四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。

蝴蝶定理：任意四邊形中的比例關(guān)系

如圖1,結(jié)論：①S[：邑=邑：$3或HXS3=S2XS4；②AO：OC=(S]+S2)：(S4+S3)。

梯形蝴蝶定理：梯形中比例關(guān)系

如圖2,結(jié)論：①51@="份；②S、：S3:S2：S&=a?:b2:ab:ab；③梯形S的對應(yīng)份數(shù)為(a+bj。

例L在四邊形ABCD中，AC和8?；ハ啻怪辈⑾嘟挥凇｜c，四個小三角形的面積如圖所示.則陰影部分

三角形BCO的面積為

例2、如圖，SAACB=24平方厘米，SAAO=16平方厘米，S&ABZ>=25平方厘米，則SACOB為平方厘米。

例3、如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD,對角線AC,BD交于O,已知八位汨與△BOC的面積分別

為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是.?平方厘米.

AB

25

券、35

DC

例4、如圖，梯形A5CD中，MOB.ACOD的面積分別為1.2和2.7,則梯形MCD的面積為.

例5、梯形ABC。中，對角線AC,8。交于點O,AB垂直AC,并且已知A0=6厘米，80=10厘米，則三

角形DOC的面積是平方厘米。

例6、圖中大平行四邊形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標出，則中間的四邊形GQHS的面積為

模型3.燕尾（定理）模型

條件：如圖，在"BC中，E分別是3c上的點，G在AE上一點，結(jié)論：51：52=53：S4=S1+S3:S2+S4=BE

：ECo

例1、如圖，AABC中，M、N分別是BC、AC邊上的三等分點，AM,BN相交于點。，己知ABOM的面

積為2,則四邊形MCN0的面積為。

A

例2.（2023?山東?八年級專題練習）如圖，在回ABC中，己知點P、Q分別在邊AC、BC±,BP與AQ相交

于點O,若EIBOQ、0ABO,0APO的面積分別為1、2、3,則I3PQC的面積為（）

A.22B.22.5C.23D.23.5

例3.如下圖，三角形ABC中，瓶:￡8=班＞:￡＞。=匿:/歸=3:2,且三角形Gm的面積是1,則三角形ABC

的面積為.

例4.（2023江蘇淮安九年級月考）已知ABC的面積是60,請完成下列問題：

⑴如圖1,若AD是一ABC的BC邊上的中線，則的面積_ACD的面積.（填“

（2）如圖2,若C。、3E分別是ABC的A3、AC邊上的中線，求四邊形ADOE的面積可以用如下方法，連

=

接A。，由AD=DB得：,ADOSBDO，同I理：S.CEO=S.AEO,設(shè)S4Ao。=x,S^CEO=y,則SBDO=x,,AEO=y

11f2x+y=30

由題意得：S^=-8ABC=30,s^=-8^=30,可列方程組為：/,解得______,則可得

221[x+2y=30

四邊形ADOE的面積為.⑶如圖3,AD:/）3=1:3,CE:AE=1:2,則四邊形ADOE的面積為.（4）

如圖4,D,尸是A3的三等分點，E,G是C4的三等分點，CD與BE交于O,且％迎=60,則四邊形ADOE

的面積為.

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型

圖1圖2

共角三角形：兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形。

共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比。

如圖，在△ABC中，￡?,E分別是AB,AC上的點（如圖1）或。在54的延長線上，E在AC上（如圖2）,則

S&ABC:SAADE=xAC):(ADXAE)

例1、如圖，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得點，且ADAB=2:5,AE：AC=4：7,三角形ADE的

面積是16平方厘米，則ABC的面積為0

例2.（2023?山西晉中?九年級統(tǒng)考階段練習）閱讀理解

如果兩個三角形中有一組對應(yīng)角相等或互補，那么這兩個三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積比等

于對應(yīng)角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比,

S4八尸AD,AE

例：在圖1中，點。，E分別在A8和AC上，"山和"BC是共角三角形，則

證明：分別過點及。作EG0AB于點G,于點尸，得到圖2,

「EGAE

回她GE=她尸C,又麗A二酎,甌GAEfflMC,團——=——

CFAC

ADEG

\'.SAADE_AD，EG_ADAES^ADE_ADAE

------------=?.——?RJ一?

SMBCLAB.CF---^AABCAB?CFABACSAABCABAC

2

SADEAD,AE

任務(wù):(1)如圖3,已知團8AC+團DA氏180。，請你參照材料的證明方法，求證:

SABCA.B,A.C

⑵在⑴的條件下，若匕4如卜…則心

例3.(2023?重慶?九年級專題練習)問題提出：如圖1,D、E分別在SABC的邊AB、AC上，連接。E,已

知線段AO=a,DB=b,AE=c,EC=d,則SADE,S4ABe和a,b,c,d之間會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

E

圖4

問題解決：探究一：(1)看到這個問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律.如圖2,若。丸BC,

則且所以EAOEfflABC,可得比例式：一^=-^而根據(jù)相似三角形面積之比等于相

a+bc+d

S

似比的平方.可得根據(jù)上述這兩個式子，可以推出：

3ABC\a+b)

2

SADE_a_aa_ac_ac

S.(Q+b/a+ba+ba+bc+d(a+/?)(c+d)，

(2)如圖3,若她?！?團。，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由.

SQC

探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：rr=g+b)(c+4)?方法回顧：

兩個三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當兩個三角形的底成高具有一定的關(guān)系時，也可以

S-BDAHRD

解決.如圖4,。在回ABC的邊上，做于H,可得：-------=".借用這個結(jié)論，請你

3Aoe-DC-AHDC

2

解決最初的問題.

延伸探究：（1）如圖5,D、E分別在0ABe的邊A8、AC反向延長線上，連接。E,已知線段A￡）=a,AB

S

=b,AE=c,AC=d,則三嶼=.（2）如圖6,￡在0ABe的邊AC上，。在AB反向延長線上，連

s

接。E,已知線段4。=。，AB=b,AE=c,AC=d,.

3ABC

結(jié)論應(yīng)用：如圖7,在平行四邊形ABC。中，G是BC邊上的中點，延長GA到E,連接。E交朋的延長線

于尸，若AB=5,AG=4,AE=2,0ABe。的面積為30,則0AEF的面積是

模型5.金字塔與沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

條件：①空=鉆=DE=

ABACHC^G'②SAADE.S拉由c=AF2:AG\

例1.（2023秋?遼寧沈陽?九年級?？茧A段練習）如圖，已知點。、E分別是AB、AC邊上的點，且

△ADEsAABC,面積比為1:9,AGLBC交DE于點F.則AF:AG=（）

A.1:3B.3:1C.1:9D.9:1

例2.（2023?福建龍巖?九年級?？茧A段練習）如圖，,ABC中，DE//BC,仍與8相交于點尸.如果

DGR?=1:3,那么S.E：SABC等于（）

A

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

例3.（2023?江蘇?模擬預(yù)測）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,。是網(wǎng)格線交點，AC與8。相交

于點0,則的面積與工CDO的面積的比為（）

A.1：2B.72:2C.1：4D.72:4

例4.（2023春?北京海淀?九年級?？奸_學考試）如圖，是等邊三角形，被一矩形所截，A3被截成

三等分，EH//BC,若圖中陰影部分的面積是6,則四邊形BCGb的面積為（）

A.8B.9C.10D.11

例5.（2023?遼寧?九年級校考期中）如圖，所為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點P處與地面篦的距離為1.6

米,車頭FACD可近似看成一個矩形,且滿3FD=2E4,盲區(qū)班的長度是6米，車寬E4的長度為米.

例6.（2023?四川成都?九年級成都實外?？计谥校┤鐖D，一ABC中，點P。分別在AB,AC上，且尸?！?C,

PM13c于點M,QNIBC于點、N,AZ>13C于點。，交PQ于點E,且AD:3c=2:3,連接M。，若..，至。

的面積等于75,則MQ的最小值為.

例7.（2022秋?河南鄭州?九年級?？计谥校┤鐖D，矩形EPG”內(nèi)接于一ABC（矩形各頂點在三角形邊上），

E,尸在3C上，H,G分別在AB,AC上，且AD13C于點。，交龐于點N.

⑴求證：△AHGs^ABC（2）若AD=3,BC=9,設(shè)EH=x,則當x取何值時，矩形EFG8的面積最大?

最大面積是多少？

課后專項訓(xùn)練

1.（2023山西八年級期末）如圖在2ABe中，D、E分別是邊8C、AD的中點.CF=^EF,5^=12cm2,

則圖中陰影部分的面積為（）

A

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

2.（2023?江蘇揚州?八年級校聯(lián)考期末）如圖，一個矩形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占矩形

面積的15%,黃色三角形面積是21平方厘米，則矩形面積為平方厘米.

3.（2023安徽蕪湖八年級期中）如圖，在一ABC中，D,E,尸分別是8C,AD,CE的中點，且5兇吹=8cn?,

貝IS陰影=--------------

4.（浙江省杭州2023-2024學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題）如圖，。是一ABC的一條中線，E為BC

邊上一點且BE=2CE,AE、CD相交于尸，四邊形BDFE的面積為6,則ABC的面積是.

5.（廣東省寶安區(qū)文匯學校2023-2023學年九年級上學期月考數(shù)學試題）如圖，一ABC的面積為《Ocn?,

DE=2AE,CD=3BD,則四邊形比）EF的面積等于cm2.

6.如圖，在AABC中，已知M、N分別在邊AC、3c上，3M與AN相交于O,若AAQW、A/RO和ABON

的面積分別是3、2、1,則AWC的面積是

8.四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點0（如圖所示）。如果三角形的面積等于三角形BCD的面積

的工，且AO=2,DO=3,那么CO的長度是。。的長度的倍。

3

9.如圖，△ABC三邊的中線A。，BE,CF的公共點為G,且AG：GD=2：1,若S4wc=12,則圖中陰影

部分的面積是.

10.如圖，三角形A3C的面積是1,E是AC的中點，點。在BC上，S.BD:DC=1:2,AD與8E交于點尸.則

四邊形DFEC的面積等于

11、如圖所示，在△ABC中，BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC,那么△ABC的面積是△GHI面積的幾倍?

D

G

B

12、如圖，SAACB=48平方厘米，SAAO=32平方厘米，&ABD=45平方厘米，則以COB為多少平方厘米？

13、圖中大平行四邊形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經(jīng)標出，那么中間的四邊形GQHS的面積是多

少？

14如圖，某公園的外輪廓是四邊形A3CD,被對角線AC8。分成四個部分，△A03面積為1平方千米,

△8OC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工湖組成,

求人工湖的面積是多少平方千米？

15.（2023春?北京西城?七年級校考期中）閱讀與理解:

三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1,AO是AABC中邊上的中線，則

理由：BD=CD,：.=^BDxAH=^CDxAH=SMCD,

即：等底同高的三角形面積相等.

操作與探索：在如圖2至圖4中，AABC的面積為

⑴如圖2,延長AABC的邊BC到點。，使CD=3C,連接D4.若AACD的面積為'，貝|=

（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）如圖3,延長AABC的邊BC到點。，延長邊C4到點E,使CD=3C,AE=CA,連接。E.若ADEC的

面積為邑，則邑=（用含。的代數(shù)式表示），并寫出理由;

積為S3,則S3=；（用含。的代數(shù)式表示）

拓展與應(yīng)用：（4）如圖5,已知四邊形ABCD的面積是。，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、ZM的中

點，連接切，召G交于點。求圖中陰影部分的面積？

圖5

16.（2022秋?陜西西安?七年級西安益新中學?？计谥校┨剿鳎涸趫D1至圖3中，已知ABC的面積為

（1）如圖1,延長，ABC的邊BC到點。，使CD=3C,連接DA若..ACD的面積為跖，則5尸.（用含。

的代數(shù)式表示）

（2汝口圖2,延長，出C的邊BC到點。，延長邊C4到點E,使CD=3C,AE=CA,連接￡>E.若—DEC的

面積為邑，則s?=.（用含。的代數(shù)式表示）

⑶在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點F,使BF=AB，連接ED,FE,得到」）￡F（如圖）若陰影部分的面積為

邑，則$3=.（用含。的代數(shù)式表示）

⑷發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將二ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△。斯（如圖3）,此時，我們稱

MC向外擴展了一次.可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的4湖的面積是原來ABC面積的倍.

⑸應(yīng)用：要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進行了如下的圖案設(shè)計：首先在aABC的空地上種

紅花，然后將,ABC向外擴展三次（圖4已給出了前兩次擴展的圖案）.在第一次擴展區(qū)域內(nèi)種黃花，第二次

擴展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴展區(qū)域內(nèi)種藍花.如果種紅花的區(qū)域（即ABC的面積是10平方米，請你運用

上述結(jié)論求出：①種紫花的區(qū)域的面積；②種藍花的區(qū)域的面積.

17.（2022?河南鄭州?校考二模）小明發(fā)現(xiàn)，若一個三角形中，中線的存在會和三角形的面積有一定的關(guān)系.

如圖1,一ABC中，8為AB邊的中線，可得AD=BD,過點C作◎/_L4?于M,則“?c=

-ADCM=-BDCM=8^

22△力

在持續(xù)研究中，小明發(fā)現(xiàn)，這個研究可以運用到很多問題解決中，請你幫助小明完成下列任務(wù):

⑴如圖2,矩形ABCD中，點”，N分別為CD,AB上的動點，且。0=AN,AM與DN交于點E.連

接CE.①判斷D4E與⑺腔的面積關(guān)系；②若AD=3,AB=4,當點M為。的中點時，求四邊形3C￡N

的面積；（2）..ABC中，ZA=3O°,AB=6,點。為A3的中點，連接8,將ACE）沿。折疊，點A的對

應(yīng)點為點E,若ECD與ABC重合部分的面積為ABC面積的;，直接寫出ABC的面積.

4

18.（2。22秋?浙江?九年級專題練習）如圖］，點C將線段A3分成兩部分，如果嶗=￡，那么稱點C為

線段AB的黃金分割點.

某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到"黃金分割線"，類似地給出"黃金分割線”的定義：直線

/將一個面積為s的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為耳，邑，如果3=年，那么稱直線/為該圖形

kJ

的黃金分割線.

圖1圖2圖3圖4

（1）研究小組猜想：在，ABC中，若點。為A8邊上的黃金分割點（如圖2）,則直線C。是的黃金

分割線.你認為對嗎？為什么？

（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

（3）研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交A3于點E,再過點。作直線DF〃CE,交AC

于點F,連接EF（如圖3）,則直線EF也是ABC的黃金分割線.請你說明理由.

（4）如圖4,點E是YABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作砂〃AD,交DC于點尸，顯然直線所是

YABCD的黃金分割線.請你畫一條YABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過YABCD各邊黃金分割點.

19.（2023春?江蘇南京?七年級?？茧A段練習）【數(shù)學經(jīng)驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要

線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點.

（1）①如圖LABC中，ZA=90°,貝IABC的三條高所在直線交于點.

②如圖2,一ABC中，ABAC>900,已知兩條高8E、AD,請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩

點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出，ABC的第三條高.（不寫畫法，保留作圖痕跡）

【綜合應(yīng)用】⑵如圖3,在‘ABC中，ZABC>Z.C,平分NA4C,過點8作BE,AD于點E.

①若ZABC=80。，NC=30。，則N￡BD=；②請寫出NEBD與—A5C,/C之間的數(shù)量關(guān)系,并

說明理由.

【拓展延伸】⑶三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積

比等于對應(yīng)底邊的比.如圖4,,中，又是5c上一點，則有黑爆黑=篝如圖5,ABC中,

M是上一點，S.BM=^BC,N是AC的中點，若ABC的面積是加，請直接寫出四邊形&WOV的面

積一.（用含加的代數(shù)式表示）

20.（2023春?江蘇鹽城?七年級統(tǒng)考期末）【問題情境】

蘇科版數(shù)學課本七年級下冊上有這樣一道題：如圖1，AD是「.ABC的中線，ABC與的面積有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？

小旭同學在圖1中作邊上的高AE,根據(jù)中線的定義可知3D=CD.又因為高AE相同，所以SAB。=SA。。

于是SAABC=2SM。.據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積.

【深入探究】（1）如圖2,點。在..ABC的邊BC上，點尸在AD上.

①若AD是ABC的中線，求證：SAAPB=SAAPC；②若BD=3DC,貝USAAPB：S^c=

【拓展延伸】（2）如圖3,分別延長四邊形ABC。的各邊，使得點A、B、C、。分別為斯、AE,BF、

CG的中點，依次連結(jié)E、F、G、H得四邊形EFG”.

①求證：S△HOG+S△尸BE=2S四邊形ABCD；②若S四邊形=3,貝（J,四邊形EFGH二

21.（2023秋?廣西柳州?八年級?？奸_學考試）閱讀下面資料:

小明遇到這樣一個問題：如圖1,對面積為a的EIABC逐次進行以下操作：分別延長AB、BC、CA至Ai、Bi、

Cl,使得AiB=2AB,BiC=2BC,C1A=2CA,順次連接Ai、BI、Ci,得到ElAiBG,記其面積為Si,求Si的值.

小明是這樣思考和解決這個問題的:BiC=2BC,CiA=2CA,根

據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以鼠9。=SMCA=S"8C==2SAABC=2a,由此繼續(xù)推理，從而

解決了這個問題.（1）直接寫出Si=（用含字母a的式子表示）.

請參考小明同學思考問題的方法，解決下列問題:

圖4

（2）如圖3,P為回ABC內(nèi)一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F,則把回ABC

分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，求回ABC的面積.

（3）如圖4,若點P為回ABC的邊AB上的中線CF的中點，求SAAPE與SABPF的比直

22.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考二模）（1）如圖1,0ABe中，。是8C邊上一點，則MM與0AOC有一個相同的

SRD

高，它們的面積之比等于相應(yīng)的底之比，記為^^=不力她的、MOC的面積分別用SAAB。、SAAOC表

?ADCDC

示）.現(xiàn)有則SAAB。：SAAOC=_；

（2）如圖2,a48c中，E、尸分別是BC、AC邊上一點，且有BE：EC=1：2,AF：FC=1：1,AE與8歹相交

于點G、現(xiàn)作EHEIBF交4c于點H、依次求FH：HC、AG；GE、BG：GF的值；

（3）如圖3,S48c中，點尸在邊AB上，點M、N在邊AC上，且有AP=P8,AM=MN=NC,BM、BN與CP

分別相交于點R、Q,現(xiàn)已知0ABe的面積為1,求SBR。的面積.

23.（2023?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形。所G的邊EE在0ABe的邊BC上，頂點￡>,G分別

在邊上,A/fflBC于H.BC=1S,AH=1O.求正方形。EFG的邊長和面積.

24.（2023廣東九年級校考課時練習）已知：如圖，E、M是AB邊的三等分點，EF3\MN3\BC.求：&AEF

的面積:四邊形EMNF的面積:四邊形MBCN的面積.

A

ML--------\N

c

25.(2023?河南信陽?九年級統(tǒng)考期末)將一副直角三角板按右圖疊放.

(1)證明：EIAOBH3cOD；(2)求MOB與EIOOC的面積之比.

D

專題07三角形中的重要模型-等積模型

三角形的面積問題在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，等積變形是中學幾何里面一個非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等積變形思想變化而成的，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容。本專題就三

角形中的等積模型（蝴蝶（風箏）模型，燕尾模型，鳥頭模型，沙漏模型，金字塔模型）進行梳理及對應(yīng)

試題分析，方便掌握。

模型1.等積變換基礎(chǔ)模型

1）等底等高的兩個三角形面積相等；

如圖1,當ABHCD,貝IJ=S^BCD；反之，如果=ZBCD，貝I可知直線A3〃CD。

圖1圖2圖3

2）兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比。

如圖2,當點。是邊上的動點時，則SAAB。：S△ADC=BD:DCO

如圖3,當點。是3。邊上的動點，BELAD,時，貝U品&：。/。

例1.（山東省臨沂市2023-2024學年八年級月考）如圖，3。是一ABC邊AC的中線，點E在上，BE=；EC,

△ABD的面積是3,貝!!.BED的面積是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用三角形面積公式，等高的三角形的面積比等于底邊的比，由此利用已知條件可以分別求出

0.BDC、0BED?

【詳解】解：回8。是邊AC的中線，的面積是3,SSBDC=SABD=3,

回哈*c,MEL京…1，故選:D.

【點睛】本題考查了三角形面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半；三角形的中線將三角形分

成面積相等的兩部分.

例2.（河北省石家莊市2023-2024學年八年級月考）如圖，BD是ABC的邊AC上的中線，AE是△ARD

的邊上的中線，8F是一ABE的邊AE上的中線，若，ABC的面積是32,則陰影部分的面積是（）

A.9B.12C.18D.20

【答案】B

【分析】利用中線等分三角形的面積進行求解即可.

【詳解】解：回3。是一ABC的邊AC上的中線，回$BCD=；SABC=；*32=16,

國AE是△視的邊加上的中線‘回5-5『3""6=8,

又EIB尸是LABE的邊AE上的中線，則Cb是ZSACE的邊AE■上的中線，

回SBEF=S.ABF=]SABE=-x8=4,SCEF=SACF=SiAD￡=SCED=—S^ACE=8,

則S陰影=SBEF+S.CEF=4+8=12，故選：B.

【點睛】本題考查了中線的性質(zhì)，清晰明確三角形之間的等量關(guān)系，進行等量代換是解題的關(guān)鍵.

例3.（湖北十堰五校聯(lián)考2023-2024學年八年級月考）如圖，點G為，ABC的重心，D,E,b分別為BC,

C4,AB的中點，具有性質(zhì)：AG:GD=BG-.GE=CG-.GF=2A.己知一AFG的面積為2,則AABC的面積為.

A

【答案】12

【分析】根據(jù)高相等的兩個三角形的面積之比等于底之比可得答案.

【詳解】解：CG:GF=2A,MG的面積為2,

[ACG的面積為4,.[△Ab的面積為2+4=6,

，點廠為AB的中點，.?.△ACF的面積的面積，

ABC的面積為6+6=12,故答案為：12.

【點睛】本題主要考查了三角形的重心，三角形的面積等知識，熟練掌握高相等的兩個三角形的面積之比

等于底之比是解題的關(guān)鍵.

例4.(浙江省杭州市2023-2024學年八年級上學期10月月考數(shù)學試題)如圖，CO是二ABC的一條中線,

E為BC邊上一點、且BE=2CE,AE、CD相交于F,四邊形BDFE的面積為6,貝IABC的面積是.

【答案】14.4

【分析】連接設(shè)SBDF=。，則S班尸=6-根據(jù)CD為AB邊上中線，可得S,陋尸=S加尸=a,

1112

BEF

S、BDC=/SABC；根據(jù)3E=2CE,可得SCEF=5S=5(6—a)，SME=]SABC-進而，SABC的面積可表

33

2SB%E，

示為和5sAs由此建立方程18-。=]。+9,解出a的值即可得到3ABe的面積.

【詳解】解：連接3n如圖所示：設(shè)SBDF=4,則S,BEF=6-。，

EIC。為A3邊上中線，，s皿=5加尸=a，SBDC=^S

112

⑦BE=2CE，??S.CEF=eSBEF=萬（6_。｝SABE=]SABC'

SMC=2S3℃=2[a+（6—a）a+5（6—a）]=18—a,

333

s=s

ABC~ABE=-（2a+6-a）=-a+9f

3

即18—a=3+9.解得：〃=3.6..?.SABc=18—。=18—3.6=14.4,故答案為：14.4.

【點睛】本題考查了三角形面積的計算，關(guān)鍵是利用同底等高的三角形面積相等、等高不同底的三角形面

積比為底之比來表示出三角形面積，進而使用方程思想解決問題.

例5.（2023春,江西萍鄉(xiāng),八年級統(tǒng)考期中）基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積.

如圖1,AD是一ABC邊上的中線，則以加=5"0=3%?-

理由：因為AD是ABC邊BC上的中線，所以3D=CD.

又因為SABD=-BDxAH,SACD=-CDxAH,所以S^ABD=S^ACD=-S^ABC.

所以三角形中線等分三角形的面積.

基本應(yīng)用：

在如圖2至圖4中，ABC的面積為a.

⑴如圖2,延長，ABC的邊BC到點。，使CD=BC,連接ZM.若ACD的面積為航，則*=（用

含。的代數(shù)式表示）；

（2）如圖3,延長，ABC的邊8C到點。，延長邊C4到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若.DEC的

面積為邑,則$2=（用含a的代數(shù)式表示）；

⑶在圖3的基礎(chǔ)上延長A3到點憶使BF=AB,連接ED,FE,得到_。即（如圖4）.若陰影部分的面

積為邑，則$3=（用含a的代數(shù)式表示）；

拓展應(yīng)用：

⑷如圖5,點。是ABC的邊BC上任意一點，點E,尸分別是線段AD,CE的中點，且ABC的面積為8a,

則△BEF的面積為一（用含。的代數(shù)式表示），并寫出理由.

【答案】（1）。（2）2。（3）6a（4）2A,見解析

【分析】（1）直接根據(jù)"等底同高的三角形面積相等"即可得出答案；

（2）連接AD,運用"等底同高的三角形面積相等"得出5.°=2鼠期，即可得解;

（3）由（2）結(jié)論即可得出&=鼠改。+&EfA+5八3尸￡），從而得解;

（4）點E是線段AD的中點，可得SABE=SBDE，$XACE=^ADCE?SBCE=；5ABe?點P是線段CE的中點,

可得SBEF=SBCF=3SBCE?從而可得答案.

【詳解】（1）解：如圖2,延長ABC的邊BC到點O,使CD=BC,

AC為aABD的中線，sAS=s"c即，=a；

（2）如圖3,連接AD,

圖3

延長BBC的邊3C到點D,延長邊C4到點E,使CD=3C,AE=CA,

==

…SAACD=^AAED=5SAECD'^AACD^AABC>…^AECD2$AABC=2。，即S?=2";

(3)由(2)得S.CD=2sMsc=2a,

===

問理：^AEFA2sA—2。，S.CD=^BFD=2a，,,^3^AECD+^AEFA+^ABFD6。；

（4）SABEF=2a，理由如下：理由：回點E是線段4Z）的中點,

回SABE=SBDE，S4ACE~^ADCE?回S=-SABC?

BCE2

團S婀=；SABc=2a.

回點尸是線段CE的中點，回SBEF=SBCF-2°BCE?

【點睛】此題考查了閱讀與理解：三角形中線的性質(zhì)，等底同高的三角形面積相等，靈活運用這個結(jié)論并

適當添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

例6.（2023春?上海?九年級期中）解答下列各題

⑴如圖1,已知直線切〃〃，點A、3在直線〃上，點。、P在直線加上，當點P在直線加上移動時，總有

與，ABC的面積相等.

EA

GB

（2）解答下題.①如圖2,在‘ABC中，己知3c=6,且邊上的高為5,若過C作CE〃鉆，連接AE、

BE,則54E的面積為.

②如圖3,A、3、E三點在同一直線上，9/，AC,垂足為a.若AC=4,出7="i',N/RC=NACB=60。，

ZG=ZGBF=60°,求△ACF的面積.

（3）如圖4,在四邊形ABCD中，AB與CO不平行，AB^CD,且過點A畫一條直線平分四

邊形ABCD的面積（簡單說明理由）.

【答案】⑴一抽「⑵①15；②2用■⑶圖見解析，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)〃〃/”,可得一MC和sAB尸同底等高，即可求解；

（2）①先求出^^=15,再由CE〃Afi,可得EABC和aBAE是同底等高的兩個三角形，即可求解；

②先求出5AABC=2721，再由ZABC=ZACB=60°,ZG=NGBF=60°,可得AC^BF,從而得到SAAB=^BC,

即可求解；（3）過點B作BEEL4c交OC延長線于點E,連接AE,取OE的中點/，作直線AF,則直線A尸

即為所求，可得，ABC=S^^EC，從而得到S四邊形ABCD=SAACD+‘AA3C=8AAe0+8AAEC=SMED，即可求解.

【詳解】（]）解：Bm//n,回，ABC和AB尸同底等高，則ABC與尸的面積相等；

（2）解：①回3C=6,且8C邊上的高為5,05^=1x6x5=15,

SCE//AB,fflABC和SB4E是同底等高的兩個三角形，0^==15;

@IUBH±AC,AC=4,BH=y/21，^^ABC=~X^X=2^21,

團NABC=/ACB=60。,ZG=ZGBF=60°f

^ZABC=ZACB=ZBAC=60°,ZG=Z.GBF=ZBFG=60°,

O

團團ESG=120°,0[?]EBF=6O,團回尸二團BAC,0ACWBF,回5MB=5AAsc=2?；

（3）解：如圖，過點8作3國AC交。。延長線于點E,連接AE,取。E的中點尸，作直線A凡則直線

A尸即為所求，理由如下：

A

B

0BE0AC,麗ABC和她EC的公共邊AC上的高也相等,

=+=+

團SMBC=S^EC，回S四邊形A5CD^AACD^AABCAACDAAEC~M.ED，

國S四邊形ABC/=SMDF-2ED=萬$四邊形ABC。，回*^AACD〉>^AABC，

團所以面積等分線必與CD相交，取DE中點F,則直線AF即為要求作的四邊形ABC。的面積等分線.

【點睛】本題主要考查了平行的性質(zhì)，熟練掌握兩平行線間的距離處處相等，并利用類比思想解答是解題

的關(guān)鍵.

模型2.蝴蝶（風箏）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則

四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。

蝴蝶定